多選題中的立體幾何綜合問題（原卷版）

多選題中的立體幾何綜合問題一、原題呈現(xiàn)【原題】正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（）A.當時，的周長為定值B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，有且僅有一個點，使得D.當時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【解析】高考群：901591852-公眾號：新課標試卷解法一：對于A，當時，，所以，因為，所以點P是線段上的動點，所以周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，所以，因為，所以點為線段上的動點，而，平面，點到平面的距離為定值，所以，三棱錐的體積為定值，故B正確．當時，，取中點M，中等N，則，即，所以點點是線段MN上的動點，易得當點P與點M或點N重合時都有，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為E，F(xiàn)．則，即，所以點是線段EF上的動點．若平面，則，取中點D，可得，，所以平面，所以BD，所以點P與點F重合，D正確，故選BD。解法二：易知，點在矩形內部（含邊界）．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選BD．【就題論題】多選題中的立體幾何試題，常把多個知識點交匯考查，如把幾何體長度、角度、面積、體積的計算與線面位置關系結合在一起考查，也可與函數(shù)、不等式及空間向量結合在一起考查，此類問題對空間想象能力要求較高，難度也比較大。二、考題揭秘【命題意圖】本題考查空間向量的應用、幾何體中面積與體積的計算及線面位置關系的判斷及應用,考查直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏難【考情分析】立體幾何中對線面位置關系的綜合考查常作為較難試題出現(xiàn)，求角度問題、截面位置不固定幾何體的體積、最值問題，均是熱點問題.【得分秘籍】(1)計算旋轉體的側面積時,一般采用轉化的方法來進行,即將側面展開化為平面圖形,“化曲為直”來解決,因此要熟悉常見旋轉體的側面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法．求一些不規(guī)則幾何體的體積時,常用分割法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決．此外求三棱錐的體積或高時常利用等積法進行轉化.“補形法”是立體幾何中一種常見的重要方法,在解題時,把幾何體通過“補形”補成一個完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中,巧妙地破解空間幾何體的體積等問題.高考群：901591852-公眾號：新課標試卷(2)解決正方體與球的組合問題,常用工具是截面圖,即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面,通過兩個截面圖的位置關系,確定好正方體的棱與球的半徑的關系,進而將空間問題轉化為平面問題.長方體各頂點可在一個球面上,故長方體存在外切球.但是不一定存在內切球.設長方體的棱長為其體對角線為.當球為長方體的外接球時,截面圖為長方體的對角面和其外接圓,和正方體的外接球的道理是一樣的,故球的半徑(3)球與一般的直棱柱的組合體,常以外接形態(tài)居多.以正三棱柱為例,介紹本類題目的解法構造直角三角形法.設正三棱柱的高為底面邊長為,和分別為上下底面的中心.根據(jù)幾何體的特點,球心必落在高的中點,借助直角三角形的勾股定理,可求.(4)正四面體作為一個規(guī)則的幾何體,它既存在外接球,也存在內切球,并且兩心合一,利用這點可順利解決球的半徑與正四面體的棱長的關系.設正四面體的棱長為,內切球半徑為,外接球的半徑為,取的中點為,為在底面的射影,連接為正四面體的高.在截面三角形,作一個與邊和相切,圓心在高上的圓,即為內切球的截面.因為正四面體本身的對稱性可知,外接球和內切球的球心同為.此時,,則有解得：這個解法是通過利用兩心合一的思路,建立含有兩個球的半徑的等量關系進行求解.同時我們可以發(fā)現(xiàn),球心為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數(shù)量關系,可為解題帶來極大的方便.(5)求兩條異面直線所成角的步驟是：先作圖,再證明,后計算.作圖,往往過其中一條直線上一點作另外一條直線的平行線,或過空間一特殊點分別作兩條直線的平行線,即平移線段法,此法是求異面直線所成角的常用方法,其實質是把異面問題轉化為共面問題；證明,即證明作圖中所產(chǎn)生的某個角是異面直線所成的角；計算,一般在一個三角形中求解,注意異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(6)應用平行中的判定定理時,注意由“低維”到“高維”：“線線平行”?“線面平行”?“面面平行”；應用平行中的性質定理時,注意由“高維”到“低維”：“面面平行”?“線面平行”?“線線平行”.要使用線面平行的性質定理,就需要創(chuàng)造定理使用的條件,作輔助線和輔助平面往往是溝通已知和求證的橋梁,輔助平面有時需要根據(jù)確定平面的條件來確定,有時需要在確定的幾何體內去找,當條件比較寬松時,可任意確定一個平面,但必須和已知平面相交且過已知直線.應用面面平行的性質定理時,關鍵是找(或作)輔助線或平面,對此需要強調的是：輔助線、輔助平面要作得有理有據(jù),不能隨意添加；輔助面、輔助線具有的性質,一定要以某一性質定理為依據(jù),不能主觀臆斷.(7)在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉化．面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據(jù)．我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可．(8)與面面垂直有關的計算問題的類型：=1\*GB3①求角的大小(或角的某個三角函數(shù)值)：如兩異面直線所成的角、線面角、二面角等．=2\*GB3②求線段的長度或點到直線、平面的距離等．=3\*GB3③求幾何體的體積或平面圖形的面積．補充知識：正方體中的截面問題用平面去截一個幾何體,所截出的面,就叫截面.可以想象,類似于用刀去切(截)幾何體,把幾何體分成兩部分,刀在幾何體上留下的痕跡就是截面的形狀,截面是一個平面圖形.在立體幾何中,把空間問題轉化為平面問題,歷來是立體幾何的一個基本問題.而已知不共線三點,作幾何體的截面,既是轉化為平面問題的一個方法,也是深化理解空間點線面關系的一個很好的途徑.下面給出作正方體截面的常見方法.一、平面作圖法：1．方法(交線法)．該作圖關鍵在于確定截點,有了位于多面體同一表面上的兩個截點即可連結成截線,從而求得截面．2．作截線與截點的主要根據(jù)有：(1)確定平面的條件．(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們相交于過此點的一條直線．(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線上所有的點都在這個平面內．(4)如果一條直線平行于一個平面,經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交,那么這條直線就和交線平行(線面平行的性質定理,見第2.2節(jié))．(5)如果兩個平面平行,第三個平面和它們相交,那么兩條交線平行（面面平行性質定理,見第2.2節(jié)）．3.作圖的的主要思想方法有：(1)若已知兩點在同一平面內,只要連接這兩點,就可以得到截面與多面體的一個面的截線.(2)若面上只有一個已知點,應設法在同一平面上再找出第二確定的點.(3)若兩個已知點分別在相鄰的面上,應找出這兩個平面的交線與截面的交點.(4)若兩平行平面中一個平面與截面有交線,另一個面上只有一個已知點,則按平行平面與第三平面相交,那么它們的交線互相平行的性質,可得截面與平面的交線.(5)若有一點在面上而不在棱上,則可通過作輔助平面轉化為棱上的點的問題；若已知點在體內,則可通過輔助平面使它轉化為面上的點,再轉化為棱上的點的問題來解決.如已知：P、Q、R三點分別在正方體的棱,CC1和AB上,試畫出過P、Q、R三點的截面．方法一：(1)先過R、P兩點作輔助平面.過點R作R1R∥BB1交A1B1于R1,則面CRR1C1為所作的輔助平面.(2)在面CRR1C1內延長R1C1,交RP的延長線于M.(3)在面A1B1C1D1內,連接MQ,交C1D1于點S,延長MQ交B1A1的延長線于點T.(4)連接TR,交AA1于點N,延長TR交B1B于點K,再連接KP交BC于點L.(5)連接RL、PS、QN.則多邊形QNRLPS為所求.方法二：先過Q作QE∥AA1,聯(lián)結RE、QR聯(lián)結AC交RE于O點過O作FO∥QE,交QR于F點聯(lián)結PF并延長,交AA1于G聯(lián)結GQ并延長,交DD1于J聯(lián)結JP,交C1D1于H,延長線交DC延長線于K聯(lián)結KR,交BC于I聯(lián)結RGQHPC,則多邊形RGQHPC為所求方法三：過Q作輔助平面QGHL平行于ADD1A1聯(lián)結RC1,交GH于K,聯(lián)結RP.過K作KI∥CC1交RP于I,這點便是RP與輔助平面的交點.聯(lián)結QI并延長交平面CDD1C1于M,過F、E分別作QI的平行線,交BC、AA1于E、F聯(lián)結PM交C1D1于J聯(lián)結JREQFP,則多邊形JREQFP為所求上面我們給出了作正方體截面的方法,那么,用一個平面去截一個正方體那么會得到什么形狀的截面圖形呢？因為正方體有六個面,所以它與平面最多有六條交線,即所截到的截面圖形最多有六條邊.所以截圖可能是三角形,四邊形,五邊形,六邊形.【易錯警示】與動點有關的三棱錐的體積計算不會利用等積法求解作幾何體的截面注意要作出與各面的交線，再順次連接成一個封閉的平面圖形三、以例及類（以下所選試題均來自新高考Ⅰ卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷）多選題1．（2021福建省廈門高三模擬）如圖，在四棱柱中，平面，，，，為棱上一動點，過直線的平面分別與棱，交于點，，則下列結論正確的是（）A．對于任意的點，都有B．對于任意的點，四邊形不可能為平行四邊形C．存在點，使得為等腰直角三角形D．存在點，使得直線平面2．（2021福建省漳州市高三二模）已知正三棱柱中，，M為的中點，點P在線段上，則下列結論正確的是（）A．直線平面 B．A和P到平面的距離相等C．存在點P，使得平面 D．存在點P，使得3．（2021廣東省惠州市高三一模）在棱長為1的正方體中，是線段上一個動點，則下列結論正確的有（）A．存在點使得異面直線與所成角為90°B．存在點使得異面直線與所成角為45°C．存在點使得二面角的平面角為45°D．當時，平面截正方體所得的截面面積為4．（2021廣東省梅州市高三下學期二模）如圖，在正方體中，，點M，N分別在棱AB和上運動（不含端點），若，下列命題正確的是（）A． B．平面C．線段BN長度的最大值為 D．三棱錐體積不變5．（2021河北省高三下學期仿真模擬）如圖，在長方形中，，，為的中點，為線段(端點除外)上一動點.現(xiàn)將沿折起，使平面平面.在平面內過點作，為垂足.設，則的取值可以是（）A． B． C． D．16．（2021河北省石家莊市高三二模）平行六面體中，各棱長均為2，設，則（）A．當時，． B．的取值范圍為．C．變大時，平行六面體的體積也越來越大． D．變化時，和總垂直．7．（湖北省襄陽市高三下學期最后一模）1982年美國數(shù)學學會出了一道題：一個正四面體和一個正四棱錐的所有棱長都相等，將正四面體的一個面和正四棱錐的一個側面緊貼重合在一起，得到一個新幾何體.中學生丹尼爾做了一個如圖所示的模型寄給美國數(shù)學學會，美國數(shù)學學會根據(jù)丹尼爾的模型修改了有關結論.對于該新幾何體，則（）A．B．C．新幾何體有7個面D．新幾何體的六個頂點不能在同一個球面上8．（2021湖南省婁底市高三下學期仿真模擬）我國古代數(shù)學家祖暅求幾何體的體積時，提出一個原理：冪勢即同，則積不容異.這個定理的推廣是夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的平面所截，若截得兩個截面面積比為，則兩個幾何體的體積比也為.如下圖所示，已知線段長為4，直線過點且與垂直，以為圓心，以1為半徑的圓繞旋轉一周，得到環(huán)體；以，分別為上下底面的圓心，以1為上下底面半徑的圓柱體；過且與垂直的平面為，平面，且距離為，若平面截圓柱體所得截面面積為，平面截環(huán)體所得截面面積為，則下列結論正確的是（）高考群：901591852-公眾號：新課標試卷A．圓柱體的體積為 B．C．環(huán)體的體積為 D．環(huán)體的體積為9．（2021湖南省益陽市2021屆高三下學期4月高考模擬）如圖，棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E為A1B1的中點，則下列說法正確的是（）A．DE與CC1為異面直線B．DE與平面BCC1B1所成角的正切值為C．過D?C?E三點的平面截正方體所得兩部分的體積相等D．線段DE在底面ABCD的射影長為10．（2021湖南省高三下學期3月聯(lián)考）已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，，，，過作平面的垂線，且，，與都在平面的同側，則（）A．三棱錐的體積為B．C．D．球的表面積為11．（2021湖南省郴州市高三3月第三次教學質量監(jiān)測）如圖，正方形的邊長為1，分別為的中點，將正方形沿對角線折起，使點不在平面內，則在翻折過程中，以下結論正確的是（）A．異面直線與所成的角為定值B．存在某個位置，使得直線與直線垂直C．三棱錐與體積之比值為定值D．四面體的外接球體積為12．（2021江蘇省泰州中學高三下學期四模）如圖，在正方體，中，是棱的中點，是線段（不含端點）上的一個動點，那么在點的運動過程中，下列說法中正確的有（）A．存在某一位置，使得直線和直線相交B．存在某一位置，使得平面C．點與點到平面的距離總相等D．三棱錐的體積不變13．（2021江蘇省百校聯(lián)考高三下學期4月第三次考試）下列結論正確的是（）A．存在這樣的四面體，四個面都是直角三角形B．存在這樣的四面體，C．存在不共面的四點???，使D．存在不共面的四點???，使14．（2021山東省百所名校高三下學期4月聯(lián)考）如圖，已知直三棱柱的所有棱長均為3，，，，分別在棱，，，上，且，是的中點，是的中點，則（）A．平面B．若，分別是平面和內的動點，則周長的最小值為C．若，過，，三點的平面截三棱柱所得截面的面積為D．過點且與直線和所成的角都為45°的直線有2條15．（2021山東省百師聯(lián)盟高三二輪聯(lián)考）在直角三角形ABC中，∠B＝，AC＝2BC＝4，D為線段AC的中點，如圖，將△ABD沿BD翻折，得到三棱錐P﹣BCD（點P為點A翻折到的位置），在翻折過程中，下列說法正確的是（）A．△PBD的外接圓半徑為2B．存在某一位置，使得PD⊥BDC