2024屆湖南省岳陽市高三下學期教學質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學試題

姓名______準考證號______岳陽市2024屆高三教學質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學本試卷共19題，滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的學校、班級、考號和姓名填寫在答題卡指定位置。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應的標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，只交答題卡。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．拋物線的焦點坐標為（）A． B． C． D．2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．已知為等差數(shù)列，，，則（）A．6 B．12 C．17 D．244．函數(shù)的極小值點為（）A． B． C．4 D．5．下列說法錯誤的是（）A．若隨機變量滿足且，則B．樣本數(shù)據(jù)50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位數(shù)為62C．若事件相互獨立，則D．若兩組成對數(shù)據(jù)的相關系數(shù)分別為、，則組數(shù)據(jù)的相關性更強6．已知，則（）A． B． C． D．7．設，，，則（）A． B． C． D．8．已知點是圓上的兩點，若，則的最大值為（）A．16 B．12 C．8 D．4二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．設是關于的方程的兩根，其中．若（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的定義域為，對任意都有，且，則下列說法正確的是（）A． B．為奇函數(shù)C． D．11．如圖，已知正方體的棱長為2，點為的中點，點為正方形內(nèi)（包含邊界）的動點，則（）A．滿足平面的點的軌跡為線段B．若，則動點的軌跡長度為C．直線與直線所成角的范圍為D．滿足的點的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽．小明為了測量岳陽樓的高度，他首先在處，測得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向行?2.5米至處，又測得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為______米．13．若曲線上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”，則下列方程對應的曲線中存在“自公切線”的序號為______．①；②；③；④．14．已知橢圓的左右焦點分別為，其中，過的直線與橢圓交于兩點，若，則該橢圓離心率的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，，是的中點，作交于點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．16．（本題滿分15分）用1，2，3，4，5，6這六個數(shù)組成無重復數(shù)字的六位數(shù)，則（1）在數(shù)字1，3相鄰的條件下，求數(shù)字2，4，6也相鄰的概率；（2）對于這個六位數(shù)，記夾在三個偶數(shù)之間的奇數(shù)的總個數(shù)為，求的分布列與期望．17．（本題滿分15分）已知函數(shù)（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有三個不同的實根，求的取值范圍．18．（本題滿分17分）已知，設動點滿足直線的斜率之積為4，記動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）點為直線上的動點，直線與曲線交于點（不同于點），直線與曲線交于點（不同于點）．證明：直線過定點．19．（本題滿分17分）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推．設該數(shù)列的前項和為，規(guī)定：若，使得，則稱為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”．（1）將該數(shù)列的“佳冪數(shù)”從小到大排列，直接寫出前4個“佳冪數(shù)”；（2）試判斷50是否為“佳冪數(shù)”，并說明理由；（3）（?。┣鬂M足的最小的“佳冪數(shù)”；（ⅱ）證明：該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無數(shù)個．

岳陽市2024屆高三教學質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學參考答案及評分標準一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D 2．B 3．C 4．D5．D 6．C 7．A 8．B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．BCD 10．BCD 11．AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12． 13．①②④ 14．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（本題滿分13分）（1）證明：因為底面，平面所以，因為四邊形是矩形，所以，又因為、平面，，所以平面，又平面所以，又因為，是的中點，所以，所以平面，又平面，所以，由已知得，且所以平面，（2）解：以為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，由（1）知平面，所以為平面的一個法向量，又，，設為平面的一個法向量，則由得取，則設二面角的大小為，則所以二面角的正弦值為16．（本題滿分15分）（1）設“數(shù)字1，3相鄰”，設“數(shù)字2，4，6相鄰”，則；（2）的所有可能取值為0，1，2，3，因為3個偶數(shù)中間共有2個空隙．由題意知“”表示3個偶數(shù)相鄰，則，“”表示3個偶數(shù)中間只插入了1個奇數(shù)，則，“”表示3個偶數(shù)中間共插入了2個奇數(shù)，可分為兩種情形：和，則；“”表示3個偶數(shù)中間共插入了3個奇數(shù)，可分為兩種情形：和，則．所以的分布列為0123的期望為．17．（本題滿分15分）（1）當時，函數(shù)，則，令得或，當或時，，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．即當時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），所以為的一個根，故有兩個不同于1的實根，令，則，（ⅰ）當時，，故在上單調(diào)遞增，不符合題意；（ⅱ）當時，令，得，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且當時，；當時，，所以若要滿足題意，只需且，因為，所以，又，所以，所以實數(shù)的取值范圍為．18．（本題滿分17分）（1）設，則，由整理得（2）證明：（方法一）設，，，則即聯(lián)立與曲線的方程得且解得（舍去）或?qū)⒋氲盟?，其中同理，可解得，其中當時，即時，此時，所以此時直線的方程為；當時，直線的方程為整理得，所以直線過定點（方法二）設，則由及三點共線得；將上面兩式相除，再平方可得：①因為，均在曲線上，故滿足；②將②代入①可得整理可得③當直線的斜率存在時，設將直線的方程代入曲線得且由韋達定理得，將上式代入③式可得解得（舍去）或，故直線的方程為當直線垂直于軸時，易求得此時的方程為，所以直線過定點（方法三）設，，，易知直線不垂直于軸，所以設直線的方程為由及三點共線得；由上式可得，即將，代入可得①因為，為曲線上的點，由（1）可知，，所以，即將，代入可得②①②式相減可得又易知，所以，所以直線的方程為，故直線過定點19．（本題滿分17分）（1）解：因為，所以1為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”；又因為，，所以2、3、18也為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”；所以該數(shù)列的前4個“佳冪數(shù)”為：1、2、3、18；（2）解：由題意可得，數(shù)列如下：第1組：1；第2組：1，2；第3組：1，