第一講 方程思想在解三角形中的應(yīng)用（原卷版）

方程思想在解三角形中的應(yīng)用方程思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構(gòu)造方程來(lái)分析數(shù)學(xué)變量問(wèn)的等量關(guān)系，通過(guò)解方程（組），或運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題得以解決。孰練運(yùn)用方程思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是高中階段重要的數(shù)學(xué)能力之一，也是歷年高考的重點(diǎn)。在解三角形的學(xué)習(xí)中,尤其注重對(duì)方程思想的考查,例如方程思想在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息解三角形，在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息求長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積等最值，在“雙正弦”及“雙余弦”類解三角形中都有廣泛的重要應(yīng)用，而本文會(huì)重點(diǎn)就方程思想思想在解三角形中的幾類應(yīng)用展開詳細(xì)講解?！緫?yīng)用一】方程思想在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息解三角形中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)解三角形時(shí)，會(huì)遇到已知邊角關(guān)系、周長(zhǎng)面積關(guān)系來(lái)解三角形，求出其他對(duì)應(yīng)元素或?qū)?yīng)值，此時(shí)我們常常借助正余弦定理來(lái)綜合解題，在使用正余弦定理解題時(shí)，我們經(jīng)常說(shuō)：“由正弦定理可得”，得到一個(gè)方程，“由余弦定理可得”，再得到一個(gè)方程，或者說(shuō)：“由周長(zhǎng)或面積關(guān)系”，得到一個(gè)方程，而此時(shí)我們需要把一個(gè)方程或多個(gè)方程聯(lián)立求解，這就是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的方程思想，也是解三角形中常見(jiàn)的重要數(shù)學(xué)思想，接下來(lái)我們會(huì)分類學(xué)習(xí)方程思想在解三角形中的應(yīng)用，首先學(xué)習(xí)方程思想在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息解三角形中的應(yīng)用，例如下面這道例題：【例1】（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為、、，已知（1）求角的大??；（2）若的面積為，且，求，.本題是?？蓟蚋呖贾薪馊切屋^常規(guī)的題型，解題關(guān)鍵突破口在于運(yùn)用已知條件列式求解，第一問(wèn)由正弦定理的邊角互化可求得；第二問(wèn)已知三角形面積為，此時(shí)我們利用面積公式來(lái)把面積關(guān)系表示出來(lái)，面積公式有關(guān)于三邊高及三個(gè)角的，我們?cè)撊绾芜x擇求解公式呢？其實(shí)題目中已知或求解出哪個(gè)角，我們便可以選擇使用關(guān)于這個(gè)角的面積公式，即，可解到，我們記為方程①；通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)第二問(wèn)題干還已知了，結(jié)合，這類已知對(duì)邊對(duì)角且要求解另外兩邊的問(wèn)題，我們選擇余弦定理求解，即，解得，我們記為方程②，此時(shí)聯(lián)立方程組便可求解【思維提升】通過(guò)本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息解三角形時(shí)，我們都可以使用方程思想，列式聯(lián)立方程求解即可，通過(guò)學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究解三角形中其他形式的求值問(wèn)題【變式1.1】（2023·廣東·高三聯(lián)考）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，且，則（

）A． B．4 C． D．5【變式1.2】（2023·黑龍江·高三統(tǒng)考）在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知．（1）求的值；（2）若的面積為，，求、的值．【變式1.3】（2023·湖北武漢高三模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、，，.(1)求；(2)若，求的周長(zhǎng).【應(yīng)用二】方程思想在已知周長(zhǎng)、面積等幾何信息求長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積等最值中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)解三角形時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到關(guān)于角度、三角函數(shù)值、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積的最值求解，若能轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)，我們可以求出值域從而得到最值范圍，但有些題不能轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)或轉(zhuǎn)換后不易求解，那么此時(shí)我們又該怎樣求解最值及范圍呢？其實(shí)我們可以借助基本不等式來(lái)求解最值，首先補(bǔ)充下基本不等式的相關(guān)公式及應(yīng)用，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，或?qū)懗桑?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；有時(shí)我們也會(huì)使用到重要不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。其實(shí)在使用基本（重要）不等式求解最值時(shí)，就是方程思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，例如下面這道例題：【例2】（2023·全國(guó)·高三模擬預(yù)測(cè)改編）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則△ABC面積的最大值為．周長(zhǎng)的最大值為．本題是?？蓟蚋呖贾薪馊切屋^常規(guī)的題型，解題關(guān)鍵突破口在于運(yùn)用已知條件列式求解得到關(guān)于“、或”的表達(dá)式，由結(jié)合三角形內(nèi)角和關(guān)系及倍角公式可解得，利用余弦定理于是我們得到，即，再結(jié)合重要不等式，即解得，進(jìn)而可求得面積最大值。那么周長(zhǎng)的最大值又該如何求解呢？其實(shí)要求周長(zhǎng)最大值，等價(jià)于求解的最大值，我們需要去建立關(guān)于“”的式子，由，即，即，，故，進(jìn)而可求得周長(zhǎng)最值【思維提升】通過(guò)本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于周長(zhǎng)及面積類最值，我們都可以使用方程思想，列式得到關(guān)于“、或”的表達(dá)式，進(jìn)而通過(guò)基本不等式及重要不等式可求解，通過(guò)學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究解三角形中其他形式的最值問(wèn)題【變式2.1】（2023·陜西·統(tǒng)考二模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．若的面積為，則的最小值為．【變式2.2】（2023·全國(guó)·高三模擬）記的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若，求的面積的最大值.【變式2.3】（2023·湖南·高三模擬）在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且，．(1)若，求的面積；(2)求周長(zhǎng)的最大值．【應(yīng)用三】方程思想在“雙正弦”及“雙余弦”類解三角形中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)解三角形時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到有公共邊或互補(bǔ)角的直觀的圖形類或文字類的三角形求解，我們經(jīng)常在不同的三角形中由正弦定理或余弦定理列方程，再通過(guò)兩個(gè)三角形的邊角關(guān)系可聯(lián)立方程求解，其實(shí)這類思想就是數(shù)學(xué)中的方程思想，例如下面這兩道例題：【例3.1】（2023·江蘇·高三模擬）已知四邊形是由和拼接而成的，且在中，.（1）求角的大??；（2）若，，，，求的長(zhǎng).本題第一問(wèn)由題干條件和余弦定理解得；第二問(wèn)中由四邊形ABCD內(nèi)角和可求得，可設(shè)，則，所以，在中和在中分別由正弦定理列方程得①，②，聯(lián)立方程即可求解【例3.2】（2023·重慶·高三重慶一中?？迹┤鐖D，在中，若，D為邊上一點(diǎn)，，，，則．

本題第由題干條件和正弦定理解得，可設(shè)，則，在中和在中分別由余弦定理列方程得①，②，再結(jié)合，即（），解方程即可求解【思維提升】通過(guò)本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于有公共邊或互補(bǔ)角的直觀的圖形類或文字類的三角形求解，我們可以在不同的三角形中由正弦定理或余弦定理列方程，再通過(guò)兩個(gè)三角形的邊角關(guān)系可聯(lián)立方程求解，通過(guò)學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來(lái)我們也可以用同樣的方法來(lái)研究解三角形中其他較復(fù)雜的雙正余弦問(wèn)題【變式3.1】（2023·上?！じ呷M預(yù)測(cè)）如圖，在中，角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求角；(2)若為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求.【變式3.2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，求．【變式3.3】（2023春·高三模擬）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足，(1)求；(2)是線段邊上的點(diǎn)，若，求的面積.【變式3.4】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）在中，，D為中點(diǎn)，.(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求的長(zhǎng).鞏固練習(xí)1．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中?？家荒＃┲?，分別是角的對(duì)邊，成等差數(shù)列，，的面積為，那么=．2．（2023·廣東·高三?？迹┮阎?，，若，則周長(zhǎng)的最大值為.3．（2023遼寧大連·高二校考開學(xué)考試）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）證明：；（2）記線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為，若，，求.4．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).5．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考三模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)求的最小值.6．（2023春·安徽安慶·高一安慶一中?？茧A段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且.(1)求證：；(2)若求面積.7．（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足.(1)求角的大小；(2)若為邊的中點(diǎn)，且，求的面積.8．（2023春·全國(guó)·高