向量的基本運算與性質(zhì)

向量的基本運算與性質(zhì)目錄CONTENCT向量基本概念與性質(zhì)向量的加法與減法運算向量的數(shù)乘運算向量的點積運算向量的叉積運算向量空間與基向量01向量基本概念與性質(zhì)01020304定義表示方法向量的模特殊向量向量的定義及表示方法向量的大小，即向量的長度，記作|→a|。印刷體記作a，書寫體記作→a（可省略箭頭）。向量是具有大小和方向的量，常用有向線段表示。零向量（模為0的向量）、單位向量（模為1的向量）。向量的模由起點指向終點的射線所確定的方向。向量的方向模的計算公式方向角與方向余弦01020403用于描述向量在坐標系中的方向。表示向量的大小，是一個非負實數(shù)。對于二維向量→a=(x,y)，其模|→a|=√(x^2+y^2)。向量的模與方向零向量模為0的向量，沒有方向。單位向量模為1的向量，方向任意。相等向量大小相等且方向相同的向量。相反向量大小相等但方向相反的向量。零向量、單位向量及相等向量80%80%100%向量的共線與平行關(guān)系方向相同或相反的兩個非零向量。方向相同或相反的兩個向量，也稱為共線向量。對于非零向量→a和→b，若存在實數(shù)λ使得→a=λ→b，則→a與→b共線。共線向量平行向量判定定理02向量的加法與減法運算交換律A+B=B+A定義向量加法遵循平行四邊形法則或三角形法則。若有兩個向量A和B，它們的和向量C是由A的終點連接到B的終點的向量。結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)存在負向量對于任意向量A，存在負向量-A，使得A+(-A)=0存在零向量對于任意向量A，有A+0=A向量加法的定義及性質(zhì)向量減法的定義及性質(zhì)向量減法定義為加上一個向量的負向量。即，A-B=A+(-B)定義(A-B)-C=A-(B+C)結(jié)合律(A+B)-C=(A-C)+(B-C)分配律A-B=-(B-A)反向性三角形法則平行四邊形法則三角形法則與平行四邊形法則若有兩個向量A和B，它們的和向量可以通過將A的終點與B的起點相連得到。兩個向量A和B，可以構(gòu)成一個平行四邊形，其對角線即為兩向量的和。在幾何上，向量的加法可以看作是位移的合成。例如，一個人先朝一個方向走了一定的距離（向量A），然后立刻改變方向走另一段距離（向量B），最終的位置可以通過向量加法得到（即A+B）。向量的減法在幾何上表示兩個位移的差異。例如，如果某人從點A移動到點B（向量A），然后又從點B移動到點C（向量B），那么從點A直接到點C的位移（向量C）可以通過向量減法得到，即C=A-B。加法與減法的幾何意義03向量的數(shù)乘運算定義數(shù)乘是指一個實數(shù)與一個向量相乘，結(jié)果是一個與原向量共線的向量。記作$lambdavec{a}$，其中$lambda$是實數(shù)，$vec{a}$是向量。$(lambdamu)vec{a}=lambda(muvec{a})$$(lambda+mu)vec{a}=lambdavec{a}+muvec{a}$，$lambda(vec{a}+vec)=lambdavec{a}+lambdavec$若$lambdaneq0$，則$lambda(vec{a}-vec)=lambdavec{a}-lambdavec$$|lambdavec{a}|=|lambda||vec{a}|$結(jié)合律數(shù)因子分配律單位向量的數(shù)乘分配律數(shù)乘的定義及性質(zhì)方向當$lambda>0$時，$lambdavec{a}$與$vec{a}$方向相同；當$lambda<0$時，$lambdavec{a}$與$vec{a}$方向相反；當$lambda=0$時，$lambdavec{a}=vec{0}$。長度$|lambdavec{a}|=|lambda||vec{a}|$，即數(shù)乘的結(jié)果向量的模等于數(shù)乘的絕對值與原向量模的乘積。數(shù)乘的幾何意義數(shù)乘與向量模的關(guān)系對于任意實數(shù)$lambda$和向量$vec{a}$，有$|lambdavec{a}|=|lambda||vec{a}|$。特別地，當$lambda=-1$時，$-vec{a}$表示與$vec{a}$方向相反、模相等的向量。要點三物理應用在力學中，數(shù)乘常用來表示力的大小和方向。例如，一個力可以表示為$vec{F}=mvec{a}$，其中$m$是質(zhì)量，$vec{a}$是加速度，$vec{F}$是力。要點一要點二幾何應用在平面幾何和立體幾何中，數(shù)乘常用來表示點的位置、向量的長度和方向等。例如，在平面直角坐標系中，一個點可以表示為$vec{r}=xvec{i}+yvec{j}$，其中$x$和$y$是坐標，$vec{i}$和$vec{j}$是單位向量。計算機圖形學應用在計算機圖形學中，數(shù)乘常用來進行向量的縮放、旋轉(zhuǎn)和平移等操作。例如，一個圖形可以通過數(shù)乘進行等比例縮放。要點三數(shù)乘在解決實際問題中的應用04向量的點積運算1定義兩個向量a和b的點積定義為a·b=|a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分別是向量a和b的模長，θ是向量a和b之間的夾角。性質(zhì)1交換律，即a·b=b·a。性質(zhì)2分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。性質(zhì)3數(shù)乘結(jié)合律，即(ka)·b=k(a·b)=a·(kb)，其中k是標量。點積的定義及性質(zhì)點積的幾何意義是向量a在向量b上的投影與向量b的模長的乘積。當θ為銳角時，點積為正；當θ為直角時，點積為零；當θ為鈍角時，點積為負。點積還可以表示兩個向量的相似程度。當兩個向量方向相同時，點積最大；當兩個向量方向垂直時，點積為零；當兩個向量方向相反時，點積最小。點積的幾何意義010203在物理中，點積可以用來計算力在某一方向上的分量，或者計算兩個力的合力。在計算機圖形學中，點積可以用來計算光照強度或者判斷兩個多邊形是否相交。在機器學習中，點積可以用來計算特征之間的相似度或者進行文本分類等任務。點積在解決實際問題中的應用VS點積與向量夾角之間的關(guān)系可以通過cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)來表示。這個公式可以用來計算兩個向量之間的夾角。當兩個向量的點積為正時，它們之間的夾角為銳角；當點積為零時，它們之間的夾角為直角；當點積為負時，它們之間的夾角為鈍角。這個性質(zhì)可以用來判斷兩個向量的相對位置關(guān)系。點積與向量夾角的關(guān)系05向量的叉積運算對于兩個三維向量a和b，它們的叉積c是一個向量，其方向垂直于a和b所在的平面，大小等于a和b構(gòu)成的平行四邊形的面積。叉積滿足反交換律，即a×b=-b×a；叉積對加法滿足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。叉積的定義及性質(zhì)叉積的性質(zhì)叉積的定義向量a和b的叉積的模等于以a和b為鄰邊的平行四邊形的面積。叉積的模根據(jù)右手定則，四指從a轉(zhuǎn)向b時，大拇指所指的方向就是c的方向。叉積的方向叉積的幾何意義判斷點在線段的哪一側(cè)判斷兩線段是否相交計算三角形的面積叉積在解決實際問題中的應用通過分別計算兩線段所在直線的方向向量與另一線段兩端點構(gòu)成的向量的叉積，可以判斷兩線段是否相交。通過計算三角形三邊向量的叉積的模的一半，可以得到三角形的面積。通過計算點與線段兩個端點構(gòu)成的向量的叉積，可以判斷點在線段的哪一側(cè)。兩向量垂直的充要條件是它們的點積為零。由于叉積的結(jié)果向量垂直于原向量，因此兩向量垂直時，它們的叉積為零向量。當兩向量不垂直時，它們的叉積不為零向量，且叉積的模越大，說明兩向量的夾角越小。叉積與向量垂直的關(guān)系06向量空間與基向量向量空間定義向量空間是一個集合，其中的元素稱為向量，滿足特定的加法和數(shù)乘運算規(guī)則。向量空間的性質(zhì)封閉性、結(jié)合律、交換律、分配律、零元存在性、負元存在性。子空間向量空間的子集，若滿足向量空間的性質(zhì)，則稱為子空間。向量空間的概念及性質(zhì)基向量坐標表示法坐標變換向量空間中的一組線性無關(guān)的向量，可以線性表示出該空間中的任意向量。通過基向量，將向量表示為坐標形式，即向量的分量表示。在不同基向量下，向量的坐標表示會發(fā)生變化?；蛄颗c坐標表示法向量空間中基向量的個數(shù)，表示空間的“大小”。向量空間的維度從一個基向量組到另一個基向量組的變換，可以通過過渡矩陣實現(xiàn)?；儞Q可逆、唯一確定等。過渡矩陣的性質(zhì)