江西省2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第二次模擬選科聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)試題

江西省2023－2024學(xué)年高一年級(jí)上學(xué)期第二次模擬選科聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】按命題的否定的概念判斷.【詳解】將“”改為“”，將“”改為“”.故選：A2.若集合，，則圖中陰影部分表示的集合中的元素個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】利用集合運(yùn)算求解陰影部分即可.【詳解】，故圖中陰影部分表示的集合為，共5個(gè)元素.故選：C3.某地區(qū)老年藝術(shù)團(tuán)由相聲隊(duì)、歌詠隊(duì)以及詩(shī)歌朗誦隊(duì)構(gòu)成，其中相聲隊(duì)有30人，歌詠隊(duì)有45人，現(xiàn)按分層抽樣的方式從中抽取12人參加文藝匯演，其中詩(shī)歌朗誦隊(duì)被抽到6人，則該地區(qū)老年藝術(shù)團(tuán)的總?cè)藬?shù)為（）A.90 B.120 C.140 D.150【答案】D【解析】【分析】解法一，由分層抽樣列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；解法二：由抽取的12人中相聲隊(duì)、歌詠隊(duì)的人數(shù)之和與詩(shī)歌朗誦隊(duì)的人數(shù)相同，列出式子，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】解法一：設(shè)該地區(qū)老年藝術(shù)團(tuán)的總?cè)藬?shù)為x，由分層抽樣知識(shí)可知，，解得，故選：D．解法二：抽取的12人中相聲隊(duì)、歌詠隊(duì)的人數(shù)之和與詩(shī)歌朗誦隊(duì)的人數(shù)相同，故所求總?cè)藬?shù)為，故選：D．4.某班級(jí)共有52位同學(xué)，現(xiàn)隨機(jī)抽取8位同學(xué)參加學(xué)校組織的“校園讀書節(jié)”活動(dòng)，老師將班級(jí)同學(xué)進(jìn)行編號(hào)：01，02，03，……，52，若從隨機(jī)數(shù)表的第3行第27列開(kāi)始，依次往右讀數(shù)，直到取足樣本為止，則第6位被抽到的同學(xué)對(duì)應(yīng)的編號(hào)為（）9533952200187472001838795869328176802692828084253990846079802436598738820753893556352379180598900735464062988054972056951574800832164670508067721642792031890343384682687232148299708060471897634930213071597305500822237177910193204982965926946639679860A.16 B.42 C.50 D.80【答案】B【解析】【分析】利用隨機(jī)數(shù)表法即可得解.【詳解】由隨機(jī)數(shù)法，抽取的同學(xué)對(duì)應(yīng)的編號(hào)為08，32，16，46，50，42，…，故第6位同學(xué)編號(hào)為42.故選：B．5.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得解.【詳解】依題意，，因?yàn)椋谏暇鶈握{(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，而，，故存在唯一的零點(diǎn)，且該零點(diǎn)所在區(qū)間為，故選：B．6.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由特值法，函數(shù)的對(duì)稱性對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；又因?yàn)?，故函?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)趨近時(shí)，趨近，趨近，所以趨近正無(wú)窮，故D錯(cuò)誤.故選：A.7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】依題意，，，，故.故選：C8.已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則滿足條件的a的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】通過(guò)對(duì)a的值討論，把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，結(jié)合換元法以及函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷a的范圍，求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)解，不合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則與的大致圖象如圖1所示，則對(duì)應(yīng)的兩根為，，且，此時(shí)與無(wú)解，即方程無(wú)解，不合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則與的大致圖象如圖2所示，則對(duì)應(yīng)的兩根為，，且，若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則和與圖象共有3個(gè)不同的交點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，與的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，如圖3所示，所以與的圖象有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，則，即，解得；②當(dāng)時(shí)，與的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，所以與的圖象有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，則與矛盾，不合題意；③當(dāng)時(shí)，與的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，如圖4所示，所以與的圖象有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，則，即，解得.故滿足條件的a有2個(gè).故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：復(fù)合方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題的解題策略為：首先要能觀察出復(fù)合的形式，分清內(nèi)外層；其次要能根據(jù)復(fù)合的特點(diǎn)進(jìn)行分析，將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題；最后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式解決問(wèn)題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】解法一：由判斷A；由判斷B；由判斷CD．解法二：依題意列舉中的元素，觀察可得答案.【詳解】解法一：易知，故A錯(cuò)誤；易知，則B正確；，故，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC．解法二：依題意，，，觀察可知AD錯(cuò)誤，BC正確，故選：BC.10.下列函數(shù)在上單調(diào)遞增的為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性可判斷ABC，求出可判斷D.【詳解】為對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞增，故B正確；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，因，，所以，故D錯(cuò)誤，故選：BC．11.已知正數(shù)m，n滿足，則（）A.， B.，．C.， D.，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式結(jié)合解不等式判斷AB；變形，利用基本不等式求出，即可判斷CD.【詳解】，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；顯然，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：ABD．12.已知定義在R上的函數(shù)與滿足，且，若為偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABC【解析】【分析】由為偶函數(shù)，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，即可判斷A；由條件可得①，令可判斷B；由題意可得②，聯(lián)立①②可得，可判斷C；由為圖象的一條對(duì)稱軸，可得的對(duì)稱軸，可判斷D.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，得，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，故，故A正確；由得，，代入中，得①，令，得，故B正確；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，故由得，，則，故②，聯(lián)立①②，可得，故為圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確；而，故的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故D錯(cuò)誤，故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域是___________【答案】（1，1）【解析】【分析】解不等式即得函數(shù)的定義域.【詳解】由題得，所以.所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）.故答案為：（1，1）【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查分式不等式的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由冪函數(shù)的定義以及單調(diào)性列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得.故答案為：15.德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在證明“二次互反律”的過(guò)程中首次定義了取整函數(shù)，其中表示“不超過(guò)x的最大整數(shù)”，如，，，則________．【答案】【解析】【分析】通過(guò)已知條件確定取整函數(shù)的取值法則，即，；利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算，進(jìn)而確定的值.【詳解】，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，，故．故答案為：16.記函數(shù)的零點(diǎn)為，則________．【答案】－2【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)零點(diǎn)的定義，代入計(jì)算，可得，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，，則，故；令，因與在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，故，，則，故．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知函數(shù)，________．在①的最小值為－1；②函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，這2個(gè)條件中選擇1個(gè)條件填寫在橫線上，并完成下列問(wèn)題．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求函數(shù)在上的值域．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①：根據(jù)二次函數(shù)的最小值求得a的值；選②：根據(jù)求得a的值.（2）利用的單調(diào)性求值域.【小問(wèn)1詳解】選①：因?yàn)?，所以的最小值為，解得選②：存在唯一零點(diǎn)，則，解得．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，因?yàn)?，在上均單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，而，，故在上的值域?yàn)椋?8.已知集合，.（1）若，求（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式求解集合A，然后補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解即可.（2）把必要不充分條件化為集合B是集合A的真子集，根據(jù)集合關(guān)系列不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，故或，則.【小問(wèn)2詳解】由“”是“”的必要不充分條件，可得集合B是集合A的真子集，由，故，則，故，綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為19.某化工廠在進(jìn)行生產(chǎn)的過(guò)程中由于機(jī)器故障導(dǎo)致某種試劑含量超標(biāo)，已知該試劑超標(biāo)后會(huì)產(chǎn)生一種有毒氣體，在疏散工人，處理好超標(biāo)試劑后，工廠啟動(dòng)應(yīng)急系統(tǒng)進(jìn)行處理，已知工廠內(nèi)部有毒氣體的濃度與應(yīng)急系統(tǒng)處理時(shí)間t（小時(shí)）之間存在函數(shù)關(guān)系（其中），且應(yīng)急系統(tǒng)處理2小時(shí)后，有毒氣體的濃度為162ppm，繼續(xù)處理，再過(guò)6小時(shí)后，有毒氣體的濃度為48ppm．（1）求a，λ的值；（2）當(dāng)有毒氣體的濃度降低到以下（含）時(shí)，工廠能夠正常運(yùn)行，假設(shè)從啟動(dòng)應(yīng)急系統(tǒng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)t小時(shí)后，工廠能夠恢復(fù)正常生產(chǎn)，求t的最小值．【答案】（1）（2）20【解析】【分析】（1）將兩組條件分別代入解析式，得到方程組，求解即得；（2）依題，使（1）中求出的解析式小于，解不等式即得.【小問(wèn)1詳解】依題意可得，由可得：，即，故，代入①，，故.【小問(wèn)2詳解】令，即得，因是減函數(shù)，則，解得，故t的最小值為20.20.已知函數(shù)，且為偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）函數(shù)是偶函數(shù)，所以，化簡(jiǎn)即可求解實(shí)數(shù)的值；（2）由的解析式可得單調(diào)性，求得最大值，即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】依題意，是偶函數(shù)，則，故，則，則或，解得．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；故，故，即實(shí)數(shù)λ的取值范圍為．21.已知函數(shù)．（1）求在上的最大值；（2）已知，若，且在上的最大值為4，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問(wèn)題；（2）結(jié)合函數(shù)的圖象，明確，的大小關(guān)系，分析函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，利用已知函數(shù)的最大值求的值.【小問(wèn)1詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”，故，則在上的最大值為.【小問(wèn)2詳解】依題意：則且，則因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故解得，，則.22.已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，令，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得，然后分，以及討論，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合零點(diǎn)的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】依題意，令，則原式化為，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則或故在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．【