正弦定理和余弦定理 高頻考點(diǎn)-精講（解析版）-高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

正弦定理和余弦定理（精講）

目錄

第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

第二部分：典型例題剖析

高頻考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形

角度1：三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題

角度2：利用正弦定理解三角形

角度3：利用余弦定理解三角形

角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用

高頻考點(diǎn)二：判斷三角形的形狀

高頻考點(diǎn)三：三角形面積相關(guān)問(wèn)題

角度1：求三角形面積

角度2：根據(jù)面積求參數(shù)

角度3：三角形面積的最值

高頻考點(diǎn)四：三角形周長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題

第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

1、正弦定理

1.1正弦定理的描述

①文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.

②符號(hào)語(yǔ)言：在AABC中’若角人3及C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為〃"及則有總=5鏟荒

1.2正弦定理的推廣及常用變形公式

在AABC中，若角A、3及C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為“，b及c,其外接圓半徑為R,則

三abc”

①------=-------=-------=2R

sinAsinBsinC

@asinB=bsinA；Z?sinC=csinB；asinC=csinA；

③sinA:sin6:sinC=a:Z?:c

abca+b+ca+ba+cb+ci

@----=-----=-----=-----------------=-----------=-----------=-----------=2R

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

⑤a=2HsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）

nhc

（6）sinA=——，sin3=——,sinC=——（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）

2R2R2R

2、余弦定理

2.1余弦定理的描述

①文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩

倍.

②符號(hào)語(yǔ)言：在AABC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是。，仇。，貝ij：

a2=b2+c2-2bccosA；

b1=〃2+c2-laccosB

c2=a2+b2-2abcosC

2.2余弦定理的推論

b1+C1-a1

cosA=

2bc

a1+C1-b1

cosB=

lac

〃2+/?2-C2

cosC=

lab

3、三角形常用面積公式

①S=—x底xfWj；

2

@S=~absmC=—acsinB=-bcsinA；

222

③S=g(a+b+c)r(其中，a,"c是三角形ABC的各邊長(zhǎng)，廠是三角形ABC的內(nèi)切圓半徑)；

4、常用結(jié)論

在三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

①sin(A+B)=sinC

②cos(A+3)=-cosC

(3)tan(A+B)=-tanC

(4)sin(^)=cosf

.C

⑤cos(^—)=sin——

2

⑥若sinA=sin30A=6

-JI

⑦若sin2A=sin25OA=5或A+i?=Q

第二部分：典型,列題剖析

高頻考點(diǎn)一：利用正'余弦定理解三角形

角度L三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題

典型例題

例題1.（2022?河南?南陽(yáng)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）在一ABC中，已知。=2,8=3,3=30。，則此三角形（）

A.有一解B.有兩解C.無(wú)解D.無(wú)法判斷有幾解

【答案】A

【詳解】在一ABC中，0=2,6=3,3=30。，由正弦定理得sin4=竺電0=3。=工

b33

而a<b,有A<8=30,即A為銳角，所以此三角形有一解.

故選：A

例題2.（2022請(qǐng)海西寧福一期末）在/\ABC中，ZA=60。，a=#"=4,則滿足條件的AABCC）

A.無(wú)解B.有一解C.有兩解D.不能確定

【答案】A

a_b_屈_4__*n]

【詳解】由正弦定理可知：=，

T

顯然不存在這樣的角

故選：A

例題3.（2022?天津?高一期中）在ASC中，a=2,8=2,若該三角形有兩個(gè)解，則b邊范圍是（）

O

A.(2,4)B.(A/3,4)C.(V3,2)D.(1,2)

【答案】D

【詳解】因?yàn)槿切斡袃蓚€(gè)解，所以a-sinB<6<a,

TT

所以2xsin—<Z?<2,所以1<Z?<2.

6

故選：D

例題4.（多選）（2022?黑龍江?哈爾濱三中高一階段練習(xí)）一ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為

b,c,已知3=45。，。=8,若解該三角形有且只有一解，則b的可能值為（）

A.6B.4A/2C.5A/2D.8

【答案】BD

【詳解】如圖，當(dāng)628時(shí)，以A為原點(diǎn)，6為半徑的圓與射線8C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

故此時(shí)三角形有唯一解.

當(dāng)6=csin45o=40時(shí)，ABC為直角三角形且C=90。，此時(shí)三角形有唯一解.

當(dāng)0<6<4四，以A為原點(diǎn)，匕為半徑的圓與射線BC無(wú)交點(diǎn)，故此時(shí)三角形不存在，

當(dāng)4&<6<8，以A為原點(diǎn)，6為半徑的圓與射線BC有兩個(gè)公共點(diǎn)，

故此時(shí)三角形有兩解，故舍去.

而4應(yīng)<6<8,4忘<5也<8,

故選：BD.

題型歸類練

1.（2022?山東濰坊?高一期末）在ABC中，若山?=3,BC=4,C=30,則此三角形解的情況是（）

A.有一解B.有兩解C.無(wú)解D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定

【答案】B

【詳解】BCsinC=4sin30=2,BCsinC<AB<BC,ABC有兩解.

故選：B.

2.（2022?陜西?長(zhǎng)安一中高一期中）在一ABC中，NA=60。，a=瓜,b=4,則滿足條件的.ABC（）

A.無(wú)解B.有解C.有兩解D.不能確定

【答案】A

V3

【詳解】在，ABC中，ZA=60°,a=46,b=4,由正弦定理得：sinB=號(hào)或="臀■=上工=&>1,

所以—ABC無(wú)解.

故選：A

3.（2022?山東棗莊?高一期中）在一ABC中，若a=25,人=30,A=44，則此三角形解的情況為（）

A.無(wú)解B.有兩解C.有一解D.有無(wú)數(shù)解

【答案】B

▼、*小丁壯士工小汨.?Z?-sinA30.sin446-sin453應(yīng)?

［詳解］由正弦定理得sinB=---------=---------<--------=，-<1,

a2555

所以6-sinA<a<6,所以此三角形有兩解.

故選：B

4.（2022?福建?上杭縣第二中學(xué)高一階段練習(xí)）在一ABC中，ZA=45°,AC=6,若三角形有兩個(gè)解，則BC

邊的取值范圍是.

【答案】（3應(yīng),6）

【詳解】根據(jù)題意，ZA=45°,AC=6,

BCACACsinA

由正弦定理得:貝W=

sinAsinBsinB

sin3=l時(shí)，三角形只有一個(gè)解，故0<sin3<l,則ACsinAv5C,

又NA=45。，若3C2AC,三角形有一個(gè)解，

故三角形有兩個(gè)解的條件為ACsinA<BC<AC,

解得：3A/2<BC<6.

故答案為：（372,6）,

角度2：利用正弦定理解三角形

典型例題

例題1.（2022嘿龍江?杜爾伯特蒙古族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知ABC中，"4為=4百,4=30。,

則8等于（）

A.60°或120°B.30。或150°C.60°D.30°

【答案】A

【詳解】解：.ABC中，因?yàn)閍=4,6=4"A=30。，

所以5>A,

ab

因?yàn)?/p>

sinAsin5

所以sinB=%a=@

a2

X0°<A<180°,

所以3=60?；?20。.

故選：A.

例題2.（2022?吉林戈春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）ABC中，b=底,A=45。，C=75°,則。=（)

A.2后B.2C.上D.1

【答案】B

【詳解】因?yàn)?=45。,C=75°,所以8=180°-45°-75°=60°

V2

指sin45。a

5—,所以。=X-------

由正弦定理知：02.

sin45°sin60°sin60°

故選：B

例題3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在ABC中，若A=60,a=6，則.「等于（)

sinn+sinC

A.2

B.2C.3D.2名

2

【答案】B

b+ca

【詳解】

因?yàn)?1=磊=比’所以sinB+sinCsinA

a

因?yàn)锳=60,a=A/3,所以sinAG

2

故選：B.

例題4.（2022?浙江?高一期中）在AABC中，。是邊上的一點(diǎn)，ZC=4O°,NC40=6O。，BD=AC9

貝!|NDBA=()

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【詳解】

如圖所示，在qAOC中，ZC=40，ZCAD=60°,

所以NAOC=80，由正弦定理知

AD:AC=sin40:sin80，

設(shè)A￡>=)lsin40，AC=Zsin80,左〉0,

所以3D=AC=/sin80,

設(shè)NOR4=a,

在△ABQ中，由正弦定理得:

ADBDsin40sin80A73ZF,

,即一一sin(80-a)'解得'=30.

sinasin(80-a)sina

故選：B.

題型歸類練

1.（2022?新疆石河子一中高一階段練習(xí)）在1sAsc中，ZA、DB、NC所對(duì)的邊分別為“、b、c,若4

a=y/3,b=V2f則NB=（）

71兀3兀兀八37t

A.-B.—C.一D.一或一，

64444

【答案】B

,V3V2

【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理三=—々，可得:百一sinB，

sinAsinB--

2

解得sinB=變，故可得8=:或手，

244

由可得心心故人“IT

故選B

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A民C所對(duì)的邊分別為c,若sinA=g,b=2sinB,則

4=()

21

AB.C.6D.-

-t26

【答案】A

ab.TE/口》sinA八12

【詳解】由正弦定理一,整理得〃=-----=2x—=—

sinAsmBsinB33

故選：A.

3.（2022?江蘇?鹽城市高一期中）在.ABC中，A=30°,C=45。，c=&,則。的值為（)

A.2B.1C.』D.—

22

【答案】B

【詳解】解：因?yàn)樵凇笰5c中，4=30。，C=45。，c=母,

c.._V2._V21_

所以由正弦;E理可得一^=—即sinCsin45^22，

smAsmC——

2

故選：B.

4.（多選）（2022?福建省福州華僑中學(xué)高二期末）在..ABC中，角A,B,。對(duì)應(yīng)的邊分別為，，b,

已知人=50石,c=150,5=30,則角C的值為（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】BC

ab

【詳解】由正弦定理=今可知:csinB_150sin30又c>a,所以

sinAsinBsinCb-5073-5073—2

C>B=30,

所以C=60或C=120.

故選：BC.

角度3：利用余弦定理解三角形

典型例題

例題1.（2022?江蘇?鹽高一期中）在ABC中，角A氏C所對(duì)的邊分別是db,c,若

b2+c2=a2+>j3bc,則角A的大小為（)

A.2B.至

63

【答案】D

【詳解】解：因?yàn)椤?°2=/+回,

_yf3bc_6

所以由余弦定理可得cosA=:

2bc-2bc~^2,

因?yàn)?<A<?,

所以A=2，

故選：D.

例題2.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在一ABC中，角A,C的對(duì)邊分別為b,c,若b=c=2a,

則cos3等于（）

A.-B.-C-p—

8432

【答案】B

Z72+f2—/?2〃2+4〃2—4〃21

【詳解】解：因?yàn)椤?。=2。，所以cos3=〃°—

2ac2ax2a4

故選：B

jr

例題3.（2022?甘肅?永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））在ABC中，B+C=1A8=2,AC=3,

貝（IBC=.

【答案】V19

27r

【詳解】由已知得人=可.由余弦定理得3。2=.2+402—2A3.ACcosA=19,所以8C=M.

故答案為：y/19

例題4.（2022?廣東省陽(yáng)山縣陽(yáng)山中學(xué)高一階段練習(xí)）在ABC中，AB=4,AC=1,A=?,貝！|BC=

【答案】V13

【詳解】依題意，由余弦定理，BC2=AB2+AC2-2AB-ACCOSA^16+1-4=13,于是=

故答案為：V13

題型歸類練

1.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）在一ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,若“=石，c=2,

2

cosA=-,貝姐等于（）

A.72B.6C.2D.3

【答案】D

9Q

【詳解】根據(jù)余弦定理得。2=片+。2一2bccosA,即5=^+4-2x6x2x§,亦即〃一日一仁。，解得^=3

或6=（舍去）.

故選：D.

2.（2022?福建?莆田一中高一期末）在.ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是。，b,c,若廿+c?=￡?+。（?,

則角A的大小為（）

A兀一兀-2"e5萬(wàn)

A.-B.—C.—D.—

6336

【答案】B

【詳解】解：

b2+c2=a2+be

???由余弦定理的推論，可得cosA=

2bc2

又'AG（0,7i）

71

A4——

3

故選：B.

3.（2022?湖南邵陽(yáng),高一期末）在A5c中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=l,b=2,C=60°,

則c=（）

A.3B.6C.幣D.小5-2」

【答案】B

【詳解】由已知c=y/cr+b2-2abcosC=Vl2+22-2xlx2cos60°=■

故選：B.

4.（2022?吉林?東北師大附中高一階段練習(xí)）已知a,6,c分別為A3C三個(gè)內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊，若〃=3,6=2,

C=|,則c=.

【答案】"

【詳解】由余弦定理得：c=a~+b"-2abcosC=9+4—12cos—=7,:.c=布.

故答案為：幣.

角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用

典型例題

例題1.（2022云南昆明?高一期末）AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。,b,c-b2=42ac-c2.

⑴求B;

（2）若6=5,cosC=*,求J

TT

【答案】⑴小2〃

12

（1）Q?一無(wú)二后〃。一。2變形為：a+c-b?=Jlac，

a2+c2-b2_V2

所以cosB=

2ac2

因?yàn)?e（0,兀），所以B=：,

(2)因?yàn)閏osC=^，且Ce(O,7T),

所以sinC=Jl-cos?C=7&

10

5_c

bc

由正弦定理得:即L否

sinBsinC

410

解得：c=7

___\冗TT

例題2.（2。22.北京一七一中高一階段練習(xí)）如圖,在平面四邊形口。中,"A*百’="

AB=2AC=442,CD=2.

(1)求ND4c的值；

(2)求邊BC的值.

AD

【答案】⑴？me|

(2)BC=2四.

又如Ce(O,斗)，貝i]?DACj

46

(2)由NZMB=2,?OAC2,i^ZBAC=—,

663

所以BO?=AB2+AC2—24〃ACCOSZBAC=56,故3c=2&Z.

例題3.(2022?重慶市二0三中學(xué)校高一階段練習(xí))在△ABC中，內(nèi)角4B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,

且cosC+主.

a5a

(1)求cosA；

(2)若a=8及，b=10,求△ABC的邊c的值.

3

【答案】(1)--(2)2

(1)由已矢口得5acosC=5Z?+3c

由正弦定理得5sinAcosC=5sinB+3sinC,

其中3=兀一(A+C),

5sinAcosC=5sin(A+C)+3sinC,

5sinAcosC=5sinAcosC+5sinCcosA+3sinC

sinCwO,

3

5cosA+3=0,解得cosA=-g,

⑵由余弦定理得〃=Z?2+c2-2bccosA,

2222

UP(8A/2)=10+C-2X10X^-|^C,C+12C-28=0,

解得c=2,c=—14(舍去)，

即aA3c的邊c的值為2.

題型歸類練

1.(2022?廣東?江門市第二中學(xué)高一期中)在銳角ABC中，A民C的對(duì)邊分別為a,b,c,且扃=2csinA

⑴確定角C的大?。?/p>

(2)若c=V7,且必=6,求邊。也

【答案】⑴C=]

[a=1{a=3

(2),Q或7

=3[b=29

r-一、、a2sinAsinA

⑴由y/3a=2csinA及正弦定理得z一=一i=—=

cV3sinC

因?yàn)閟inA>0,故sinC=4^

2

jr

又銳角_ABC,所以C=§.

(2)由余弦定理。之+b2—2cibcos—=7,

ab=6,得〃之+62=13

[a=2[a=3

解得：｛或｛,

[b=3[b=2

2.(2022?新疆?和碩縣高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))在.ABC中，角4民C的對(duì)邊分別為。、從。，已知

3(a-域=3b2—2ac

⑴求COS3的值；

(2)若5a=36,求sinA的值.

【答案】⑴I⑵自

(1)在ABC中，由3(a-c)2=3"-2ac,整理得＞+廠一"=2,又由余弦定理，可得cosB=]；

(2)3€(0,外由(1)可得sinB=好,又由正弦定理二乙=上，及已知5°=36,可得

3sinAsinB

..qsin53A/5非.r..A/5

sinA=------=—x——=——；改sinA=——.

b5355

3.(2022?黑龍江?大慶中學(xué)高一階段練習(xí))在，ABC中，根據(jù)下列條件求相應(yīng)的值.

冗

(1)已知1=3,c=4,B=y,求Z?；

■jr77r

(2)已知a=5,B=—,C=—,求b.

412

【答案】(1)b=A/13；(2)b=5y(2-

【詳解】(1)由余弦定理可得。2=々2+。2—2〃CCOS5=25-12=13,故b=

717萬(wàn)71

(2)A=n------

4u~6

5_b

由正弦定理可得.工一?三,解得〃=5加.

bill13111

64

高頻考點(diǎn)二：判斷三角形的形狀

典型例題

例題1.（2022?江蘇?常州市新橋高級(jí)中學(xué)高一期末）在ABC中，AB=5,BC=6,AC=8,則ABC

的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無(wú)法判斷

【答案】C

【詳解】在ABC中，由余弦定理以及=5,BC=6,AC=8可知：

cosB=-----------------------=----------------=------<0,故E>B為鈍角，因止匕ABC是鈍角二角形

2ABBC2x5x620

故選：C

例題2.（2022?江西省銅鼓中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）在ABC中，角A,民。所對(duì)的邊分別是c,且。=2acosB,

則ABC的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】A

【詳解】因?yàn)閏=2〃cos_B,所以sinC=2sinAcos3,

即sin（A+5）=sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,

整理得到sinAcosB-cosAsinB=sin（A—B）=0,

因?yàn)?<Av?,0<B<7r,所以一萬(wàn)<A—

即A—3=。，A=B,ABC為等腰三角形.

故選：A

例題3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若在AABC中,2Q.COS3=C,則三角形的形狀一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】B

【詳解】由2acosB=c以及余弦定理得2〃---------------=c,

2ac

化簡(jiǎn)得，=〃，所以三角形的形狀一定是等腰三角形.

故選：B

題型歸類練

1.（2022?重慶一中高一期中）若三角形的三邊長(zhǎng)分別是3,4,6,則這個(gè)三角形的形狀是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.不能確定

【答案】B

【詳解】大邊對(duì)大角，故邊長(zhǎng)為6的邊所對(duì)的角為最大角，設(shè)為6,

故6為鈍角，所以這個(gè)三角形是鈍角三角形.

故選:B

2.（2022?河南?濮陽(yáng)一高高二階段練習(xí)（理））某學(xué)生在"撿起樹(shù)葉樹(shù)枝，凈化校園環(huán)境”的志愿活動(dòng)中拾到

了三支小樹(shù)枝（視為三條線段），想要用它們作為三角形的三條高線制作一個(gè)三角形.經(jīng)測(cè)量，其長(zhǎng)度分

別為3cm,4cm,6cm,貝！］（）

A.能作出二個(gè)銳角三角形B.能作出一個(gè)直角三角形

C.能作出一個(gè)鈍角三角形D.不能作出這樣的三角形

【答案】C

【詳解】因?yàn)槿龡l高線的長(zhǎng)度為3cm,4cm,6cm,故三邊之比為4:3:2,

4+9-161

設(shè)最大邊所對(duì)的角為a,則cos”：：

2x2x34

而a為三角形內(nèi)角，故a為鈍角，故三角形為鈍角三角形，

故選：C.

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在_ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若合+廿^?，貝/ABC

是（）

A.等腰三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

【答案】D

【詳解】因?yàn)?+62<02,由余弦定理可得cosC=“一°<0,

2ab

又由Ce（0/）,所以所以.ABC是鈍角三角形.

故選：D.

高頻考點(diǎn)三：三角形面積相關(guān)問(wèn)題

角度L求三角形面積

典型例題

例題1.（2022?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)高一期末）在ABC中，若AB=3,BC=3近,/8=45則ABC的面積

為（）

7g

A.2V2B.4C.—D.—

22

【答案】D

【詳解】由題意，Sv.Br=-ABJBC-sinZB=-x3x3V2x^=-

丫.2222

故選：D

例題2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，

他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫成公式，就是

S=,其中4,*c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊

af,b=&=2,則該三角形的面積S=.

【答案】叵.

4

22(c*2*4+a2-Z>2Yl/心Ji]、(4+2-3丫]卮

【詳解】因?yàn)镾=,：ca---------,所以S=J：4x2----.

[4[[2川]4]I2JJ4

故答案為：叵.

4

例題3.(2022?四川涼山?高二期末(理))在AABC中，已知c=g,b=l,3=30.

(1)求角A;

(2)求AABC的面積.

【答案】⑴4=90?；?=30。；

⑵舟或走.

24

(1)由‘一=八得:sinC=—sinBxsin30°=.

sinBsinCb2

由且C為三角形內(nèi)角，則C>8,故C=60。或C=120。，而8=30。，

所以4=90?；駻=30。.

(2)當(dāng)A=90°時(shí)，SARr=-Z?csinA=-xlxA/3sin90°=—.

222

當(dāng)A=30°時(shí)，S.=-&csinA=-xlxV3xsin30°=—,

ABCr224

所以“BC的面積為走或走.

24

例題4.(2022?福建?廈門市湖濱中學(xué)高一期中)在AABC中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別是a,4c,已知a=1,

b=29cosC=—.

4

(1)求c的值；

(2)求AABC的面積.

【答案】⑴c=2

⑵叵

4

⑴由余弦定理可得

2

=儲(chǔ)+人2-2〃力cos。，HP(:=l+4-2xlx2xi=4,

4

解得。=2,

(2),/cosC=—>0,且OVCVTI,

?■-0<c<p

由sin2C+cos2C=1得，sinC=A/1-COS2C=

Llx2x叵=巫

S/\=—cib,sinC=

ARr244

故小ABC的面積為姮

4

例題5.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,且

G(acosC—b)=csinA.

(D求角A；

(2)若AD為J5C邊上中線，AD=^-,AB=5f求AABC的面積.

2

【答案】(1)號(hào)(2)受8

34

⑴由正弦定理得V5(sinAcosC-sinB)=sinCsinA,

:A/3sinAcosC-A/3sinB=sinCsinA?

近sinAcosC-gsin(A+C)=sinCsinA,

「?-V3sinCcosA=sinAsinC,

「sinCwO,tanA=-J§\

又0<A<71,.-A=—^-

(2)由己知得AC=b,BD=DC=|,

S.25

4429+a2

在小ABD中,由余弦定理得cos/ADB

ca71292V129a

2x—x-------

22

29+/一4廿

在4ACD中,由余弦定理得cos/AOC=

2^129a

又,?,cosZADB+cosZADC=0,

「?2片—4/+158=0,

在△A3c中，由余弦定理得+25+58,

以上兩式消去a?得/—5b—io4=o,解得。=13或〃=一8（舍去），

貝l|S“c=；6csinNBAC=.

例題6.（2022?遼寧?東北育才學(xué)校高三期末）在一ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已

知向量7〃=(cosA,cosB),n=(^a,2c-b),且〃?〃〃.

(1)求角A的大小；

（2）若。=4,6求.ABC面積.

【答案】（1）y（2）173

【詳解】解：（1）由加〃〃得，（2c-6）cosA-acos3=。，

由正弦定理可得，(2sinC-sin5)cosA-sinAcosB=0,

可得：2sinCcosA-sin(A+B)=0,即：2sinCeosA-sinC=0,

由sinCwO,可得：cosA=；,

又Aw(0,?),

TT

可得：A=j.

b即4可得sinB=；

（2）由已知及正弦定理得一^

兀

sinAsin5si?n——sinB

3

TTTT

a>b/.A>3即B=一故C二一

62

AABC的面積S=—basinC=1x4x,百二*石.

2233

題型歸類練

1.（2022?北京豐臺(tái)?高一期末）在ABC中，若"=3,c=0,B=J,則ASC的面積為.

4

3

【答案】4

2

【詳解】解：因?yàn)閍=3,c=JL5=7，

所以=；acsinB=；x3xV^x^^=m；

3

故答案為：—

2.（2022?全國(guó)?高一）ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別是。，b,J已知片+/=〃+〃。，貝|6=_,

若a=l,c=2,則,ABC的面積為_(kāi).

【答案】y##60°乎#5

【詳解】由于〃+°2="+比，則8$8="一+1—=]_,

2ac2

由于0<3<兀；

所以3=1；

SABC=5acsinB=,

故答案為：&；B.

32

3.（2022?天津河?xùn)|?高一期中）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,b2+c2=a2+bc,

且6c=8,

（1）求角A

（2）求^A3c的面積.

【答案】（1）I；（2）273.

222222

【詳解】（1）b+c=a+be9Wb+c—a=be

cosA="+'———=—,0<A<乃，可得A二工.

2bc23

（2）S3BC=；bcsinA=；X8X^^=26.

4.（2022?福建漳州?高二期末）在△ABC中，QocosB=bsinA.

（1）求NB；

（2）若b=2,c=2a,求△ABC的面積.

【答案】(1)(2)組.

33

【詳解】解：(1)在△ABC中，由正弦定理,

因?yàn)?acos5=bsinA,

所以百sinAcos5=sin5sinA,

因?yàn)閟imAxO,

所以6cosB=sin5,

所以tanB=^3，

因?yàn)?<8VTI,

所以B=?，

(2)因?yàn)閎=2,c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

nJ4=Q?+4Q2—2QX2QX—,

2

mi、12A/34A/3

所以a=—!—fc=—^—

33

所以S.'acsinB工巫X尤心="

ABC223323

角度2：根據(jù)面積求參數(shù)

典型例題

例題1.(2022?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=2cos2x+cos[2x+1j.

⑴若/(tz)=￥+l,0<a<^~,求sin2a的值;

⑵在銳角△ABC中，。、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,若/(A)=-：，c=3,△ABC的面積5ABe=36,

求“的值.

【答案】(1)基二1(2)屈

6

(1)/(X)=2COS2X+COS^2x+y^

1名

=l+cos2x+—cos2x----sin2x

22

3°V3..1

=—cos2x----sin2x+l

22

cosI2xH—j+1

I6

+1,/.cos!2。+.

?"a=~T

「八兀717171

0<a<一,一<2。H—<一,

6662

/.sin2a1—cos22。

71

/.sin2cr=sin2cr+—

I66

.C兀兀71.兀71C兀71

=sin2a+—cos——sin—cos2a+—