(新教材)【人教B版】20版必修一322(數學)

第2課時零點的存在性及其近似值的求法

第2課時(新教材)【人教B版】20版必修一31.函數零點存在定理(1)條件：函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，并且f(a)f(b)<0.(2)結論：函數y=f(x)在區(qū)間(a，b)中至少有一個零點，即?x0∈(a，b)，f(x0)=0.1.函數零點存在定理【思考】(1)函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，f(a)f(b)<0時，能否判斷函數在區(qū)間[a，b]上的零點個數？提示：只能判斷有無零點，不能判斷零點的個數.【思考】(2)函數y=f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點，是不是一定有f(a)f(b)<0？提示：不一定，如f(x)=x2在區(qū)間(-1，1)上有零點0，但是f(-1)f(1)=1×1=1>0.(2)函數y=f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點，是不是一定有2.二分法的概念對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到函數零點的方法叫做二分法.2.二分法的概念【思考】能否用二分法求方程的近似解？提示：能，方程的根即為函數的零點.【思考】3.用二分法求函數零點近似值的步驟給定精度ε，用二分法求函數f(x)零點x0近似值x1，使得|x1-x0|<ε的一般步驟如下：第一步，檢查|b-a|<2ε是否成立，如果成立，取x1=，計算結束，如果不成立轉到第二步；3.用二分法求函數零點近似值的步驟第二步，計算區(qū)間(a，b)的中點對應的函數值，若f()=0，取x1=，計算結束；若f()≠0，轉到第三步；第三步，若f(a)·f()<0，將→b，回到第一步；否則必有f()·f(b)<0，將→a，回到第一步.第二步，計算區(qū)間(a，b)的中點對應的函數值，【思考】當|b-a|<2ε時，取區(qū)間(a，b)的中點作為零點的近似解，區(qū)間(a，b)上的其他點一定不是零點的近似解嗎？為什么不取其他的點作為近似解？【思考】提示：設函數的零點是x0，區(qū)間(a，b)的其他點為x′，x′也可能是零點的近似解，即滿足|x′-x0|<ε，但是也可能不滿足，而區(qū)間的中點一定滿足，因此只取區(qū)間的中點作為近似解，而不取其他的點.提示：設函數的零點是x0，區(qū)間(a，b)的其他點為【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)函數y=2x-1的零點是 (

)(2)若函數y=f(x)在區(qū)間(a，b)上f(a)·f(b)>0，則在區(qū)間(a，b)上一定沒有零點. (

)(3)求任何函數的零點都可以用二分法. (

)【素養(yǎng)小測】提示：(1)×.函數y=2x-1的零點是.(2)×.如f(x)=x2在區(qū)間(-1，1)上有f(-1)f(1)=1×1=1>0，但是在區(qū)間(-1，1)上有零點0.(3)×.函數需滿足在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0，才能用二分法求零點.提示：(1)×.函數y=2x-1的零點是.2.下列圖像表示的函數中沒有零點的是 ()2.下列圖像表示的函數中沒有零點的是 ()【解析】選A.B，C，D的圖像均與x軸有交點，故函數均有零點，A的圖像與x軸沒有交點，故函數沒有零點.【解析】選A.B，C，D的圖像均與x軸有交點，故函數均有零點3.下列圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數零點的是 ()3.下列圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數零點的是 【解析】選A.只有A中圖像沒有穿越x軸.【解析】選A.只有A中圖像沒有穿越x軸.類型一函數零點所在區(qū)間的求法【典例】1.若a<b<c，則函數f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區(qū)間 (

)A.(a，b)和(b，c)內 B.(-∞，a)和(a，b)內C.(b，c)和(c，+∞)內 D.(-∞，a)和(c，+∞)內類型一函數零點所在區(qū)間的求法2.函數f(x)=2x-的零點所在的區(qū)間是 (

)A.(1，+∞) B. C. D.2.函數f(x)=2x-的零點所在的區(qū)間是 ()【思維·引】1.根據函數零點存在定理，找到一個區(qū)間，使得在區(qū)間兩端點函數值異號.2.計算在各個區(qū)間端點處的函數值，利用零點存在定理判斷.【思維·引】【解析】1.選A.因為f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)，所以f(a)=(a-b)(a-c)，f(b)=(b-c)(b-a)，f(c)=(c-a)(c-b)，因為a<b<c，所以f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，故?x1∈(a，b)，x2∈(b，c)，f(x1)=0，f(x2)=0，所以f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內.【解析】1.選A.因為f(x)=(x-a)(x-b)+(x-2.選B.f(1)=2-1=1，即ff(1)<0，所以?x0∈，f(x0)=0，且f(x)的圖像在內是一條連續(xù)不斷的曲線，故f(x)的零點所在的區(qū)間是.2.選B.f(1)=2-1=1，【內化·悟】求函數零點所在區(qū)間的關鍵是什么？提示：判斷區(qū)間端點處函數值與0的大小關系.【內化·悟】【類題·通】判斷函數零點所在區(qū)間的三個步驟(1)代入：將區(qū)間端點值代入函數求出函數的值.(2)判斷：把所得的函數值相乘，并進行符號判斷.【類題·通】(3)結論：若符號為正且函數在該區(qū)間內是單調函數，則在該區(qū)間內無零點，若符號為負且函數連續(xù)，則在該區(qū)間內至少有一個零點.(3)結論：若符號為正且函數在該區(qū)間內是單調函數，則在該區(qū)間【習練·破】對于方程x3+x2-2x-1=0，有下列判斷：①在(-2，-1)內有實數根；②在(-1，0)內有實數根；③在(1，2)內有實數根；④在(-∞，+∞)內沒有實數根.其中正確的有________.(填序號)

【習練·破】【解析】設f(x)=x3+x2-2x-1，則f(-2)=-1<0，f(-1)=1>0，f(0)=-1<0，f(1)=-1<0，f(2)=7>0，所以f(-2)·f(-1)<0，f(-1)·f(0)<0，【解析】設f(x)=x3+x2-2x-1，f(1)·f(2)<0，所以?x1∈(-2，-1)，x2∈(-1，0)，x3∈(1，2)，f(x1)=0，f(x2)=0，f(x3)=0.則f(x)在(-2，-1)，(-1，0)，(1，2)內均有零點，即①②③正確.答案：①②③f(1)·f(2)<0，所以?x1∈(-2，-1)，x2∈(【加練·固】函數f(x)=x2-2x+a在區(qū)間(-2，0)和(2，3)內各有一個零點，則實數a的取值范圍是________.

【加練·固】【解析】因為函數f(x)=x2-2x+a在區(qū)間(-2，0)和(2，3)內各有一個零點，由二次函數圖像的性質，知解得-3<a<0.答案：(-3，0)【解析】因為函數f(x)=x2-2x+a在區(qū)間(-2，0)和類型二確定函數零點的個數【典例】1.函數f(x)=-x2+1的零點個數是 (

)A.0 B.1 C.2 D.3類型二確定函數零點的個數2.函數f(x)=ax2+bx+c，若f(1)>0，f(2)<0，則f(x)在(1，2)上的零點 世紀金榜導學號(

)A.至多有一個 B.有一個或兩個C.有且僅有一個 D.一個也沒有2.函數f(x)=ax2+bx+c，若f(1)>0，f(2)【思維·引】1.令f(x)=0，移項后轉化為兩個初等函數，利用圖像的交點個數判斷.2.先確定函數，再分類討論a的范圍.【思維·引】【解析】1.選C.令f(x)=-x2+1=0，得=x2-1，則函數f(x)的零點個數，即y=與y=x2-1的交點個數，如圖所示，有兩個交點，故函數f(x)=-x2+1有兩個零點.【解析】1.選C.令f(x)=-x2+1=0，得2.選C.若a=0，則f(x)=bx+c是一次函數，由f(1)·f(2)<0得零點只有一個；若a≠0，則f(x)=ax2+bx+c為二次函數，如果有兩個零點，則必有f(1)·f(2)>0，與已知矛盾.2.選C.若a=0，則f(x)=bx+c是一次函數，【內化·悟】在不求零點的情況下怎樣判斷函數零點的個數？提示：轉化為兩個函數的圖像的交點問題，幾個交點就有幾個零點.【內化·悟】【類題·通】利用函數的圖像判斷零點個數(1)原理：函數的零點個數?方程的根的個數?移項拆分為兩個函數，作圖觀察交點個數.(2)關鍵：拆分成的兩個函數應方便作圖.【類題·通】【習練·破】函數f(x)=x2-(k+2)x+1-3k有兩個不等零點x1，x2，且0<x1<1<x2<2，求實數k的取值范圍.【習練·破】【解析】因為函數f(x)=x2-(k+2)x+1-3k有兩個零點x1，x2，且0<x1<1<x2<2，所以設f(x)=x2-(k+2)x+1-3k，畫出函數的大致圖像如圖.【解析】因為函數f(x)=x2-(k+2)x+1-3k有兩個據圖像有f(0)=1-3k>0，且f(1)=-4k<0，且f(2)=1-5k>0，所以0<k<.所以實數k的取值范圍為據圖像有f(0)=1-3k>0，且f(1)=-4k<0，【加練·固】函數f(x)=2-(x∈[-1，1])的零點個數為_______.

【解析】令2-=0，解得x=0，所以函數僅有一個零點.答案：1【加練·固】類型三二分法的應用角度1二分法概念的理解【典例】1.用二分法求如圖所示函數f(x)的零點時，不可能求出的零點是 (

)A.x1 B.x2

C.x3 D.x4類型三二分法的應用2.用二分法求函數y=f(x)在區(qū)間(2，4)上的近似解，驗證f(2)f(4)<0，給定精度為0.1，需將區(qū)間等分______次.

2.用二分法求函數y=f(x)在區(qū)間(2，4)上的近似解，驗【思維·引】1.根據二分法的定義判斷.2.根據二分法求零點的步驟判斷.【思維·引】【解析】1.選C.二分法求函數f(x)的零點時，函數必須滿足在零點兩側的函數值異號，而題圖中函數在零點x3的兩側的函數值都是負值，故不能用二分法求出.【解析】1.選C.二分法求函數f(x)的零點時，函數必須滿足2.開區(qū)間(2，4)的長度等于2，每經過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄涍^n次操作后，區(qū)間長度變?yōu)橐驗橛枚址ㄇ蠛瘮祔=f(x)在區(qū)間(2，4)上的近似解，要求精確度為0.1，所以≤0.2，解得n≥4.答案：42.開區(qū)間(2，4)的長度等于2，每經過一次操作，區(qū)間【內化·悟】能用二分法求零點的函數圖像有什么特征？提示：函數的圖像應穿過x軸，零點左右的函數值符號相反.【內化·悟】【類題·通】運用二分法求函數的零點應具備的條件(1)函數圖像在零點附近連續(xù)不斷.(2)在該零點左右函數值異號.只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數零點.【類題·通】【習練·破】1.下列函數中，不能用二分法求零點的是(

)【習練·破】(新教材)【人教B版】20版必修一3【解析】選D.由函數圖像可得，D中的函數沒有零點，故不能用二分法求零點；A，B，C中的函數存在零點且函數在零點附近兩側的符號相反，故能用二分法求函數的零點.【解析】選D.由函數圖像可得，D中的函數沒有零點，故不能用二2.下列函數的零點不能用二分法求解的是(

)A.f(x)=x3-1 B.f(x)=2x-1C.f(x)=|x| D.f(x)=-x2+4x-12.下列函數的零點不能用二分法求解的是()【解析】選C.所給函數均為連續(xù)函數，故只需考慮是否存在區(qū)間[a，b]，使得f(a)f(b)<0即可.對于A，存在區(qū)間[0，2]，使得f(0)f(2)<0，對于B，存在區(qū)間[0，1]，使得f(0)f(1)<0，對于C，由于f(x)=|x|≥0，故不存在區(qū)間[a，b]，使得f(a)f(b)<0，對于D，存在區(qū)間[0，1]，使得f(0)f(1)<0.【解析】選C.所給函數均為連續(xù)函數，故只需考慮是否存在區(qū)間[角度2用二分法求函數的近似解【典例】1.用二分法研究函數f(x)=x3-2x-1的零點時，若零點所在的初始區(qū)間為(1，2)，則下一個有解區(qū)間為 (

)A.(1，2) B.(1.75，2)C.(1.5，2) D.(1，1.5)角度2用二分法求函數的近似解2.已知函數f(x)=x3+2x-8的零點用二分法計算，附近的函數值參考數據如表所示：x121.51.6251.75f(x)-5.004.00-1.63-0.460.862.已知函數f(x)=x3+2x-8的零點用二分法計算，附近則方程x3+2x-8=0的近似解可取為(精度0.1)(

)世紀金榜導學號A.1.50 B.1.625 C.1.75 D.1.6875則方程x3+2x-8=0的近似解可取為(精度0.1)()【思維·引】1.確定有解區(qū)間要計算f(1)，f(2)，f(1.5).2.首先確定有解區(qū)間，再驗證是否滿足精度.【思維·引】【解析】1.選C.對于函數f(x)=x3-2x-1，因為f(1)=-2<0，f(2)=3>0，f(1.5)=-<0，因此?x0∈(1.5，2)，f(x0)=0.所以下一個有根區(qū)間是(1.5，2).【解析】1.選C.對于函數f(x)=x3-2x-1，2.選D.由表格可得，f(1.625)·f(1.75)<0，那么?x0∈(1.625，1.75)，f(x0)=0，所以函數f(x)的零點在(1.625，1.75)之間，又1.75-1.625=0.125<2×0.1=0.2，所以方程的零點可以取2.選D.由表格可得，f(1.625)·f(1.75)<0，【內化·悟】1.怎么樣確定零點所在的區(qū)間？提示：取中點，計算中點的函數值，與端點函數值比較符號異同，在符號相異的一側區(qū)間內.【內化·悟】2.怎樣確定二分法終止的區(qū)間？提示：驗證是否滿足|a-b|<2ε.2.怎樣確定二分法終止的區(qū)間？【類題·通】用二分法求函數零點的近似值應遵循的原則(1)需依據圖像估計零點所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計值的方法完成).【類題·通】(2)取區(qū)間端點的平均數c，計算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的兩個端點符合精度要求，終止計算，得到函數零點的近似值.(2)取區(qū)間端點的平均數c，計算f(c)，確定有解區(qū)間是[m【習練·破】1.用二分法求函數f(x)=x3+5的零點可以取的初始區(qū)間是 (

)A.[-2，1] B.[-1，0] C.[0，1] D.[1，2]【習練·破】【解析】選A.二分法求變號零點時所取初始區(qū)間[a，b]，應滿足f(a)·f(b)<0.本題中函數f(x)=x3+5，由于f(-2)=-3，f(1)=6，顯然滿足f(-2)·f(1)<0，因此?x0∈(-2，1)，f(x0)=0，故函數f(x)=x3+5的零點可以取的初始區(qū)間是[-2，1].【解析】選A.二分法求變號零點時所取初始區(qū)間[a，b]，應滿2.用二分法求f(x)=0的近似解，f(1)=-2，f(1.5)=0.625，f(1.25)=-0.984，f(1.3