2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）專題08 一元二次方程及其應(yīng)用【九大題型】（舉一反三）（解析版）

專題08一元二次方程及其應(yīng)用【九大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一元二次方程的解法】 2【題型2根據(jù)一元二次方程判斷根的情況】 4【題型3根據(jù)根的情況判斷字母的取值或范圍】 6【題型4一元二次方程的應(yīng)用之平均增長（下降）率問題】 8【題型5一元二次方程的應(yīng)用之幾何圖形的面積問題】 10【題型6一元二次方程的應(yīng)用之與漲價(jià)、降價(jià)有關(guān)的商品利潤問題】 13【題型7中考最熱考法之以開放性試題的形式考查解一元二次方程】 16【題型8中考最熱考法之以開放性試題的形式考查一元二次方程根的判別式】 19【題型9中考最熱考法之以真實(shí)問題情境考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用】 22【知識(shí)點(diǎn)一元二次方程】1.定義等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。2.一元二次方程的解法(1)直接開方法。適用形式：x2=p.(x+n)2=p或(mx+n)2=p。(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步驟是：①化簡(jiǎn)——把方程化為一般形式，并把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；②移項(xiàng)——把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)到等號(hào)的右邊；③配方——兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，把左邊配成x2+2bx+b2的形式，并寫成完全平方的形式；④開方，即降次；⑤解一次方程。(3)公式法。當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根可寫為：的形式，這個(gè)式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。①b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。，②b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。③b2-4ac＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。定義：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。(4)因式分解法。主要用提公因式法.平方差公式.十字相乘法。3.一元二次方程與實(shí)際問題解有關(guān)一元二次方程的實(shí)際問題的一般步驟：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系。第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個(gè)量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。第3步：列方程。根據(jù)題中各個(gè)量的關(guān)系列出方程。第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法。第5步：檢驗(yàn)。檢驗(yàn)所求得的根是否滿足題意。第6步：答。【題型1一元二次方程的解法】【例1】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）解方程：(2x+3)2=(3x+2)2【答案】x1=-1【分析】直接開方可得2x+3=-3x【詳解】解：∵(2∴2x+3=-3解得x1=-1，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋咀兪?-1】（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）解方程：xx【答案】x1=2【分析】先移項(xiàng)得到xx【詳解】解：x移項(xiàng)得：xx分解因式得：x-∴x-2=0或解得：x1=2，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【變式1-2】（2023·吉林·中考真題）解方程：x【答案】x1＝2，x2＝83【分析】先根據(jù)完全平方公式因式分解，再運(yùn)用平方差公式因式分解解答即可．【詳解】解：xxxx（2-x）（3x-8）=02-x=0或3x-8=0則x1＝2，x2＝83【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，正確進(jìn)行因式分解成為解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·山東·中考真題）根據(jù)要求，解答下列問題．（1）根據(jù)要求，解答下列問題．①方程x2－2x＋1＝0的解為________________________；②方程x2－3x＋2＝0的解為________________________；③方程x2－4x＋3＝0的解為________________________；…………（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請(qǐng)猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解為________________________；②關(guān)于x的方程________________________的解為x1＝1，x2＝n．（3）請(qǐng)用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性．【答案】（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2【分析】（1）觀察這些方程可得，方程的共同特征為二次項(xiàng)系數(shù)均為1，一次性系數(shù)分別為－2、－3、－4，常數(shù)項(xiàng)分別為1，2，3．解的特征：一個(gè)解為1，另一個(gè)解分別是1、2、3、4、…，由此寫出答案即可；（2）根據(jù)（1）的方法直接寫出答案即可；（3）用配方法解方程即可.【詳解】（1）①x1②x1③x1（2）①x1②x2（3）x2x2x2－9x＋814＝－8＋(x－92)2＝∴x－92＝±7∴x1【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程.根據(jù)系數(shù)和解的特征找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.【題型2根據(jù)一元二次方程判斷根的情況】【規(guī)律方法】判斷一般形式為一元二次方程根的情況時(shí)，使用根的判別式“b2-4ac”判斷，若方程形式為（mx+n）2=p,則可利用以下方法判斷：當(dāng)p＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)p=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)p＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根.【例2】（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+mxA．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】對(duì)于ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)Δ>0,【詳解】解：∵x2∴Δ=所以原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x(1)求證：無論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若x1，x2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x2【答案】(1)見解析(2)25或1【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，只要判定Δ≥0（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=2【詳解】（1）證明：∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴a=1，b=-2∴Δ=∵4m-1∴不論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程∴x1+x∵x2∴x1∴(2m-1)2-3m∴m的值為25或1【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟記一元二次方程判別式與方程根的情況聯(lián)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b=b2-ab，例如3?2=22A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定【答案】A【分析】先根據(jù)新定義得到關(guān)于x的方程為x2【詳解】解：∵k-∴x2∴x2∴Δ=b∴方程x2故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確得到關(guān)于x的方程為x2【變式2-3】（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）已知a，b，c為常數(shù)，點(diǎn)P(a,c)在第四象限，則關(guān)于x的一元二次方程A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法判定【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)P(a,c)在第四象限得a>0,c【詳解】解：∵點(diǎn)P(∴a>0,∴ac<0∴方程ax2+∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的特征，根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．【題型3根據(jù)根的情況判斷字母的取值或范圍】【例3】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范圍；(2)當(dāng)k=1時(shí)，用配方法【答案】(1)k>-2(2)x1=3+【分析】（1）根據(jù)題意，可得2k（2）將k=1代入k【詳解】（1）解：依題意得：k≠0解得k>-25（2）解：當(dāng)k=1時(shí)，原方程變?yōu)椋簒則有：x2∴x∴x∴方程的根為x1=3+14【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x+1=0【答案】a【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax∴Δ=解得：a>9故答案為：a>9【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵.【變式3-2】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+cA．－2 B．2 C．－4 D．4【答案】A【分析】由一元二次方程根的情況可得b2【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴Δ∴b2故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2xA．k<13 B．k≤13 C．k<【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可解答．【詳解】解：∵kx∴k≠0∵該一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ=解得k≤∴k≤13故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟知當(dāng)判別式的值大于0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，同時(shí)要滿足二次項(xiàng)的系數(shù)不能是0．【題型4一元二次方程的應(yīng)用之平均增長（下降）率問題】【例4】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．(1)求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；(2)預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長，但增長率不會(huì)超過前兩個(gè)月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？【答案】(1)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為25(2)5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬人【分析】（1）設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬人，根據(jù)題意，列出不等式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x，由題意，得：1.61+解得：x=0.25=25答：這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為25%（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬人，由題意，得：2.125+10y解得：y≤0.1∴5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬人．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程和一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程和不等式，是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）某種產(chǎn)品預(yù)計(jì)兩年內(nèi)成本將下降36％，則年平均下降率為．【答案】20%【分析】可以設(shè)成本為1，降低以后的成本=降低前的成本（1-降低率），設(shè)年平均下降率為x，則降低一次以后的成本是(1-x)，降低二次后的成本是(1-【詳解】設(shè)成本為1，年平均下降率為x，依題意列方程：(1-x)2解得x1=0.2=20%，x2答：年平均下降率為20%．故答案為：20%．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，在題目沒有告訴某個(gè)量的情況下，可以把這個(gè)量設(shè)為1，無單位．本題用增長率（下降率）的模型列方程．【變式4-2】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛圖書的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購買書籍．已知2020年該學(xué)校用于購買圖書的費(fèi)用為5000元，2022年用于購買圖書的費(fèi)用是7200元，求2020-2022年買書資金的平均增長率．【答案】20【分析】設(shè)2020-2022年買書資金的平均增長率為x，根據(jù)2022年買書資金=2020年買書資金×1+【詳解】解：設(shè)2020-2022年買書資金的平均增長率為x，由題意得：50001+解得x=0.2=20%或答：2020-2022年買書資金的平均增長率為20%【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·遼寧沈陽·中考真題）某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬元．假設(shè)該公司2、3、4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同．（1）求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率；（2）請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本．【答案】（1）每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5%；（2）預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元．【分析】（1）設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)2月份、3月份的生產(chǎn)成本，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；（2）由4月份該公司的生產(chǎn)成本=3月份該公司的生產(chǎn)成本×（1﹣下降率），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)題意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合題意，舍去）．答：每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（萬元），答：預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計(jì)算．【題型5一元二次方程的應(yīng)用之幾何圖形的面積問題】【例5】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m

A．5m B．70m C．5m或70【答案】A【分析】設(shè)小路寬為xm，則種植花草部分的面積等于長為100-2xm，寬為50-2xm【詳解】解：設(shè)小路寬為xm，則種植花草部分的面積等于長為100-2xm依題意得：100-2解得：x1=5，∴小路寬為5m故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）為了便于勞動(dòng)課程的開展，學(xué)校打算建一個(gè)矩形生態(tài)園ABCD（如圖），生態(tài)園一面靠墻（墻足夠長），另外三面用18m的籬笆圍成．生態(tài)園的面積能否為40m2

【答案】AB的長為8米或10米【分析】設(shè)AB=x米，則AD=BC=【詳解】解：設(shè)AB=x米，則12解得：x1答：AB的長為8米或10米．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在打印圖片之前，為確定打印區(qū)域，需設(shè)置紙張大小和頁邊距（紙張的邊線到打印區(qū)域的距離），上、下，左、右頁邊距分別為a?cm、b?

【答案】1【分析】設(shè)頁邊距為xcm【詳解】解：設(shè)頁邊距為x則列方程為：(16-2x解得：x1=1，答：頁邊距為1cm【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程式解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖是一塊矩形菜地ABCD,AB=am,AD

（1）如圖1，若a=5，邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，則b的值是（2）如圖2，若邊AD增加2m，有且只有一個(gè)a的值，使得到的矩形面積為2sm2，則【答案】66+42/【分析】（1）根據(jù)面積的不變性，列式計(jì)算即可．（2）根據(jù)面積，建立分式方程，轉(zhuǎn)化為a一元二次方程，判別式為零計(jì)算即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，起始長方形的面積為s=abm∵a=5，邊AD減少1∴5+1b解得b=6故答案為：6．（2）根據(jù)題意，得，起始長方形的面積為s=abm∴2s=a∴2s∴2s∴2a∵有且只有一個(gè)a的值，∴Δ=∴s2解得s1故答案為：6+42【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的面積變化，一元二次方程的應(yīng)用，正確轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【題型6一元二次方程的應(yīng)用之與漲價(jià)、降價(jià)有關(guān)的商品利潤問題】【例6】（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）為加快新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某公司決定對(duì)近期研發(fā)出的一種電子產(chǎn)品進(jìn)行降價(jià)促銷，使生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能夠及時(shí)售出，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：這種電子產(chǎn)品銷售單價(jià)定為200元時(shí)，每天可售出300個(gè)；若銷售單價(jià)每降低1元，每天可多售出5個(gè)．已知每個(gè)電子產(chǎn)品的固定成本為100元，問這種電子產(chǎn)品降價(jià)后的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，公司每天可獲利32000元？【答案】銷售單價(jià)為180元時(shí)，公司每天可獲利32000元【分析】根據(jù)題意設(shè)降價(jià)后的銷售單價(jià)為x元，由題意得到（x-【詳解】解：設(shè)降價(jià)后的銷售單價(jià)為x元，則降價(jià)后每天可售出[300+5（依題意，得：（x整理，得：x2解得：x1180＜答：這種電子產(chǎn)品降價(jià)后的銷售單價(jià)為180元時(shí)，公司每天可獲利32000元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用.【變式6-1】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）石獅一水果店銷售的蘆柑，每箱進(jìn)價(jià)40元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每箱銷售價(jià)格：售價(jià)為50元時(shí)，平均每天可售出90箱；售價(jià)高于50元時(shí)，每提高1元，平均每天銷售量將減少3箱．(1)若每箱售價(jià)55元，則平均每天該蘆柑的銷售量為______箱；(2)已知當(dāng)?shù)毓ど滩块T規(guī)定：蘆柑的售價(jià)每箱不得高于60元．設(shè)該店提價(jià)x（元），平均每天的銷售利潤為w（元）．①當(dāng)天盈利w為1152元時(shí)，求x的值；②當(dāng)x為何值時(shí)，w取得最大？最大值是多少．【答案】(1)75(2)①當(dāng)提價(jià)6元時(shí)，商店獲得利潤1152元；②當(dāng)x=10時(shí)，w取得最大，最大值為1200【分析】（1）根據(jù)題意，“售價(jià)高于50元時(shí)，每提高1元，平均每天銷售量將減少3箱”，求解即可；（2）①根據(jù)題意，求得提價(jià)x（元）后的利潤，列出方程求解即可；②求得利潤w與x的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：每箱銷售價(jià)55元，銷售量為90-55-50（2）①由已知得，50+x整理得：x解得，x1=14，∵售價(jià)每箱不得高于60元，∴x經(jīng)檢驗(yàn)：x2答：當(dāng)提價(jià)6元時(shí)，商店獲得利潤1152元．②w=∴當(dāng)x=10時(shí)，w有最大值，最大值為1200，且50+10=60答：當(dāng)x=10時(shí)，w取得最大，最大值為1200【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確列出方程和函數(shù)解析式．【變式6-2】（2023·山西·中考真題）山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請(qǐng)回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折【分析】（1）設(shè)每千克核桃降價(jià)x元，利用銷售量×每件利潤=2240元列出方程求解即可；（2）為了讓利于顧客因此應(yīng)下降6元，求出此時(shí)的銷售單價(jià)即可確定幾折．【詳解】解：（1）設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)x元根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240化簡(jiǎn)，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃應(yīng)降價(jià)4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降價(jià)4元或6元.∵要盡可能讓利于顧客，∴每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元此時(shí)，售價(jià)為：60﹣6=54（元），54答：該店應(yīng)按原售價(jià)的九折出售．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程．【變式6-3】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）某服裝店以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件，設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高x元．（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）2元；（2）當(dāng)服裝店將銷售單價(jià)50元時(shí)，得到最大利潤是4000元【分析】（1）根據(jù)題意，通過列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）設(shè)利潤為M元，結(jié)合題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，計(jì)算得利潤最大值對(duì)應(yīng)的x的值，從而得到答案．【詳解】（1）由題意列方程得：（x＋40-30）（300-10x）＝3360解得：x1＝2，x2＝18∵要盡可能減少庫存，∴x2＝18不合題意，故舍去∴T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高2元；（2）設(shè)利潤為M元，由題意可得：M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝-10∴當(dāng)x＝10時(shí)，M最大值＝4000元∴銷售單價(jià)：40＋10＝50元∴當(dāng)服裝店將銷售單價(jià)50元時(shí)，得到最大利潤是4000元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程、二次函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程、二次函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．【題型7中考最熱考法之以開放性試題的形式考查解一元二次方程】【規(guī)律方法】以開放性性的形式考查直接解一元二次方程，解題時(shí)可以根據(jù)題目選擇不同的方法解決問題，有利于培優(yōu)策略性思維?！纠?】（2023·新疆·二模）請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2+2x-1=0；②x2-【答案】①x1=-1+2，x2=-1-2；②x1=0，x2=3；【分析】①③利用配方求解即可；②④利用因式分解法求解即可．【詳解】解：①x2移項(xiàng)得x2配方得x2+2x則x+1=±∴x1=-1+2②x2因式分解得xx則x=0或x解得x1=0，③x2配方得x2-4則x-∴x1=2+22④x2因式分解得x+2則x+2=0或x解得x1=-2，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．【變式7-1】（2023·浙江·中考真題）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的四種解法：因式分解法，開平方法，配方法和公式法．請(qǐng)從以下一元二次方程中任選一個(gè)，并選擇你認(rèn)為適當(dāng)?shù)姆椒ń膺@個(gè)方程．①x2-3x+1=0；②(x-【答案】①x=3±52；②x=1±3；③x【分析】①利用公式法求解即可．②利用直接開平方法求解即可．③利用因式分解法求解即可；④利用配方法求解即可；【詳解】解：①x2∵a=1，b=-3，c=1，∴△=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴x=3±52②(x∴x-1=±∴x1③x2∴x（x-3）=0∴x=0或x=3∴x1=0，④x∴x∴x-∴x∴x【變式7-2】（2023·北京·北京市第五中學(xué)分校校考模擬預(yù)測(cè)）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2+2x-1=0；

②x2-3x【答案】①x1=-1+2，x2=-1-2；②x1=0，x2=3；【分析】根據(jù)方程的系數(shù)特點(diǎn)，選擇配方法、公式法或因式分解法．【詳解】解：①x2移項(xiàng)得x2配方得x2+2x則x+1=±∴x1=-1+2②x2因式分解得xx則x=0或x解得x1=0，③x2配方得x2即x-則x-∴x1=2+22④x2因式分解得x+2則x+2=0或x解得x1=-2，【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法：配方法、公式法和因式分解法是解決本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·北京朝陽·二模）請(qǐng)從以下四個(gè)一元二次方程中任選三個(gè)，并用適當(dāng)?shù)姆椒ń膺@三個(gè)方程．（1）3x2-2x-1=0；（2）(y我選擇第__________小題．【答案】（1）x1=1,x2=-13；（2）y1【分析】此題主要考查了因式分解法以及求根公式法解一元二次方程；根據(jù)題意任選三個(gè)方程求解即可．（1）直接利用一元二次方程的求根公式法解方程即可；（2）利用直接開平方法解一元二次方程即可；（3）直接利用十字相乘法分解因式解一元二次方程即可；（4）直接利用提取公因式法分解因式解一元二次方程即可．【詳解】解：（1）3x∵a=3,b=-2,∴x=解得：x1（2）(y∴y+1∴y+1=±2解得：y1（3）t2∴t-∴t-7=0或解得：t1（4）m(∴mm即m=0或m解得：m【題型8中考最熱考法之以開放性試題的形式考查一元二次方程根的判別式】【例8】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+2【答案】2（答案不唯一）【分析】由于方程有實(shí)數(shù)根，則其根的判別式Δ≥0，由此可以得到關(guān)于a的不等式，解不等式就可以求出a【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴Δ=即16-8a解得：a≤2∴a的值可以是2．故答案為：2（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程ax2+bx+c=0【變式8-1】（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）當(dāng)b=a+2時(shí)，利用根的判別式判斷方程根的情況；（2）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時(shí)方程的根．【答案】（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）b=-2，a=1時(shí)，x1=x2=﹣1．【分析】（1）求出根的判別式Δ=b（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則Δ=b2-4ac【詳解】（1）解：由題意：a≠0∵Δ=∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）答案不唯一，滿足b2-4解：令a=1，b=-2，則原方程為解得：x1【點(diǎn)睛】考查一元二次方程ax2+當(dāng)Δ=b當(dāng)Δ=b當(dāng)Δ=b【變式8-2】（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+4【答案】-2【分析】先根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴Δ=解得c<當(dāng)c=-2故答案為：-2【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握當(dāng)Δ=b2【變式8-3】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)一元二次方程x2+bx+①b=2,c=1；②b=3,c=1；注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】選②，x1=-3+52，x【分析】先根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，再利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：x2+bx①b=2,c=1②b=3,c=1③b=3,c=-1④b=2,c=2因此可選擇②或③．選擇②b=3,x2Δ=x=x1=-選擇③b=3,x2Δ=x=x1=-【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握：對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0【題型9中考最熱考法之以真實(shí)問題情境考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比