數(shù)學-2024屆山東省棗莊市高三上學期1月期末考試試題和答案

第1頁/共5頁2023—2024學年第一學期高三質量檢測高三數(shù)學2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.x2.若z是方程x2+x+1=0的一個虛數(shù)根，則z2-z=()3.已知‘ABC的兩個頂點A,B的坐標分別是(-1,0),(1,0)，且AC,BC所在直線的斜率之積等于A.當m<0時，頂點C的軌跡是焦點在x軸上的橢圓，并除去(-1,0),(1,0)兩點B.當m<0時，頂點C的軌跡是焦點在y軸上的橢圓，并除去(-1,0),(1,0)兩點C.當m>0時，頂點C的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線，并除去(-1,0),(1,0)兩點D.當m>0時，頂點C的軌跡是焦點在y軸上的雙曲線，并除去(-1,0),(1,0)兩點2:x2+y2-4x-4y-1=0，則兩圓的公切線條數(shù)為()A.1B.2C.3D.45.已知f(x)=2cos2x+sin2x,xe(0,2π)，則f(x)的零點之和為()第2頁/共5頁A.πB.πC.πD.10π6.翼云機場將于2025年通航，初期將開通向北至沈陽、哈爾濱；向南至昆明、深圳；向西至蘭州、銀川的六航班.則不同的體驗方案有()A56種B.72種C.96種D.144種.7.已知正四棱臺的上下底面邊長分別為1和3，高為2.用一個平行于底面的截面截棱臺，若截得的兩部分幾何體體積相等，則截面與上底面的距離為()AB.C.D.8.斜率為-的直線l分別與x軸，y軸交于M,N兩點，且與橢圓+=1(a>b>0)，在第一象限交于A,B兩點，且MA=NB，則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.9.一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,,x10滿足xi-xi-1=2(2<i<10)，若去掉x1,x10后組成一組新數(shù)據(jù).則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比()A.極差變小B.平均數(shù)變大C.方差變小D.第25百分位數(shù)變小B.D.在上的投影向量為2m11.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=4,D是棱CC1上任一點，則()第3頁/共5頁B.三棱錐A1-ABD的體積為D.三棱錐A1-ABD外接球的表面積最小值為12.已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當x>時，f,(x)>f(x)，則()>f(-ln1.1)13.曲線y=在點(1,y0)處的切線方程為.15.已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O,AB為底面直徑，經(jīng)APB=120。，點C為底面圓周上的一個動點，當ΔPAC的面積取得最大值時，sin經(jīng)AOC=.16.O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C:x2=8y的焦點，過C上的動點M（不為原點）作C的切線l，作ON」l于點N，直線MF與ON交于點A，點B(,0)，則AB的取值范圍是.2an+12an.（1）求an；第4頁/共5頁n18.如圖，直四棱柱ABCD一A1B1C1D1的底面為平行四邊形，M,N分別為AB,DD1的中點.（1）證明：DM平面A1BN；5（2）若底面ABCD為矩形，AB=2AD=4，異面直線DM與A1N所成角的余弦值為5面A1BN的距離.19.現(xiàn)有甲，乙兩個訓練場地可供某滑雪運動員選擇使用.已知該運動員選擇甲，乙場地的規(guī)律是：第一次隨機選擇一個場地進行訓練.若前一次選擇甲場地，那么下次選擇甲場地的概率為；若前一次選擇乙場地，那么下次選擇甲場地的概率為.（1）設該運動員前兩次訓練選擇甲場地次數(shù)為X，求E(X)；（2）若該運動員第二次訓練選了甲場地，試分析該運動員第一次去哪個場地的可能性更大，并說明理由.20.在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若2a+bcosA一c=btanBsinA.（1）求B；（2）若ABC為銳角三角形，求的取值范圍.21.已知函數(shù)f(x)=x2一ax+alnx,aER.（1）若f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若f(x)有兩個極值點x1,x2，且f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.22.已知雙曲線C的漸近線方程為x土y=0，過右焦點F(2,0)且斜率為k的直線l與C相交于A,B兩點.（1）求C的方程；第5頁/共5頁（2）①若B點關于x軸的對稱點為E，求證直線AE恒過定點M，并求出點M的坐標；②若k>3，求ΔAEF面積的最大值.第1頁/共26頁2023—2024學年第一學期高三質量檢測高三數(shù)學2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.x【答案】B【解析】【分析】分別求解兩個集合，再根據(jù)補集和并集的定義，即可求解.xx>-1}，RB故選：B2.若z是方程x2+x+1=0的一個虛數(shù)根，則z2-z=()【答案】A【解析】【分析】求出方程的虛數(shù)根，再代入計算即得.第2頁/共26頁 +i或z=i，2故選：A3.已知‘ABC的兩個頂點A,B的坐標分別是(一1,0),(1,0)，且AC,BC所在直線的斜率之積等于A.當m<0時，頂點C的軌跡是焦點在B.當m<0時，頂點C的軌跡是焦點在y軸上的橢圓D.當m>0時，頂點C的軌跡是焦點在y軸上的雙曲線，【答案】C【解析】【分析】由題意得x2m>0即可判斷.【分析】由題意得x2m>0即可判斷.【詳解】由題意不妨設C(x,y)，則.=m，即當m=1時，頂點C的軌跡是以原點為圓心的單位圓，并除去(1,0),(1,0)兩點，故AB錯誤；當m>0時，頂點C的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線，并除去(一1,0),(1,0)兩點，故C正確，D錯誤.故選：C.2:x2+y24x4y1=0，則兩圓的公切線條數(shù)為()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】由兩圓的位置關系即可確定公切線的條數(shù).第3頁/共26頁:x2+y24x4y1=0即(x2)2+(y2)2=9是以(2,2)為圓心3為半徑的圓；所以兩圓的公切線條數(shù)為4.故選：D.5.已知f(x)=2cos2x+sin2x,xe(0,2π)，則f(x)的零點之和為()A.πB.πC.πD.10π【答案】C【解析】π7π ππ +2kπ,keZ，結合xe(0,2π)，即可得出答案.【詳解】由f(x)=2cos2x+sin2x=0，故選：C.6.翼云機場將于2025年通航，初期將開通向北至沈陽、哈爾濱；向南至昆明、深圳；向西至蘭州、銀川的六航班.則不同的體驗方案有()A.56種B.72種C.96種D.144種【答案】C【解析】第4頁/共26頁【分析】通過分別分析甲，乙和丙的方案，即可得出總共的不同的體驗方案數(shù)量.【詳解】由題意，共6個城市，3個方向，甲不去沈陽、哈爾濱，有C種方案，乙和丙乘坐同一方向的航班，有CA種方案，剩余3人有A種方案，故選：C.7.已知正四棱臺的上下底面邊長分別為1和3，高為2.用一個平行于底面的截面截棱臺，若截得的兩部分幾何體體積相等，則截面與上底面的距離為()3A.2【答案】D【解析】B. C.2 D.1【分析】延長正四棱臺的棱交于一點P，由三角形相似，求出PO，再由棱臺的體積公式求出截面截得棱臺的上部分幾何體的體積V，設截面與上底面的距離為x，正方形A,B,C,D,的邊長為a，由三33如圖所示，截面A,B,C,D,平行于底面即可求出x.設上底面ABCD的面積為S1，下底面A1B1C1D1的面積為S2，截面A,B,C,D,的面積為S，正四棱臺ABCDA1B1C1D1的體積為V，平行于底面的截面截棱臺，截得的上部分幾何體體積為V1，則V上底面ABCD的中心為O，下底面A1B1C1D1的中心為O1，連結PO1，設截面與上底面的距離為x，正方形A,B,C,D,的邊長為a，S12第5頁/共26頁S.S.S1由‘PAB∽‘PA1B1得，=1=，2由①②得，a故選：D.1，所以截面與上底面的距離為8.斜率為的直線l分別與x軸，y軸交于M,N兩點，且與橢圓+=1(a>b>0)，在第一象限交于A,B兩點，且MA=NB，則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.【答案】A【解析】OE2，再根據(jù)b2=a2c2求解即得.【詳解】設A(x1,y1)，B(x2,y2)，線段AB的中點為E，第6頁/共26頁y2+y1y2+y1x+xy2一y1xb2a2y2一y121x21OEy2+y1 2OE.kABb22a(m)(m)所以 m kOE22（2)22（2)2故選：A,x10后組成一組新數(shù)據(jù).則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比()A.極差變小B.平均數(shù)變大C.方差變小D.第25百分位數(shù)變小【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)極差，平均數(shù)，方差與百分位數(shù)的定義計算出去掉x1,x10前后的相關數(shù)據(jù)，比較后得到答案.故x23第7頁/共26頁去掉x1,x10后的平均數(shù)為 23x+x+ 238 8+9，平均數(shù)不變，B錯誤；8方差變小，C正確；00=2.5，從小到大排列，選第3個數(shù)作為第25百分位數(shù)，即x3，00=2，故從小到大排列，選擇第3個數(shù)作為第25百分位數(shù)，即x4，4，第25百分位數(shù)變大，D錯誤.故選：ACB.D.在上的投影向量為2m【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算計算驗證各選項是否正確.(-2)」，故B正確； BCD11.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=4,D是棱CC1上任一點，則()第8頁/共26頁A.正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為488B.三棱錐A1ABD的體積為C.‘A1BD周長的最小值為84D.三棱錐A1ABD外接球的表面積最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A,直接求表面積即可；對于B,利用VA1ABDVDA1AB求解即可；對于C，根據(jù)側面展開圖即可求得最小值；對于D，當點D位于CC1的中點時，外接球表面積最小，求解即可.【詳解】對于A,正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1AB4，所以正三棱柱的表面積為S342242sin488，故A正確；對于B，過點C作CEAB,交AB于E,則E為AB的中點，依題可知平面A1ABB1平面ABC,且平面A1ABB1平面ABCAB,又CE平面ABC，則CE平面A1ABB1，則CE為點C到平面A1ABB1的距離，正三角形ABC中，可求得CE2,第9頁/共26頁又因為D是棱CC1上任一點,且CC1//平面A1ABB1，所以點D到平面A1ABB1的距離等于點C到平面A1ABB1的距離，設點D到平面A1ABB1的距離為h，則h=2，‘A1AB故B正確；對于C，由側面展開圖所示，‘A1BD周長2222所以其最小值為4+4，故C錯誤；對于D,依題知，三棱錐A1-ABD外接球與四棱錐D-A1ABB1重合，半徑設為R,球心設為O,G為AB的中點，則DG=2,且CC1//平面A1ABB1,第10頁/共26頁所以當CC1與球外切時，球的半徑最小，此時，點D位于CC1的中點，如圖所示:OG2+GB2=OB2,2-R22,解得R=，表面積為4πR2=,故D正確，故選:ABD.12.已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當x>時，f,(x)>f(x)，則()0eR,f(x0)<1D.f(e0.1)>f(-ln1.1)【答案】ABD【解析】稱軸，即可求出f(1)；B項，構造函數(shù)g(x)=，通過求導得出當x>時g(x)的單調(diào)性，即可得出結論；C項，求出f(x)的單調(diào)性，即可得出結論；D項，利用導數(shù)證得e0.1與的差大于與-ln1.1的差，結合f(x)的對稱性與單調(diào)性即可得出結論.第11頁/共26頁f所以函數(shù)f(x)關于x=對稱，所以f(1)=f(0)=e，故A正確；因為當x>時f,(x)>f(x)，所以f(2)>e2，B正確；所以f,(x)>f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以當x<時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，則f(x)在x=取得最小值為1，所以不存在x0eR,f(x0)<1，C錯誤；D項，由函數(shù)f(x)關于x=對稱，所以e0.10.1->1.1-=0.6，第12頁/共26頁因為函數(shù)f(x)關于x=對稱，當x>時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，，D正確；故選：ABD.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是由導數(shù)為奇函數(shù)，得到原函數(shù)為偶函數(shù)，從而得解.2x1eex在點(1,y0)處的切線方程為.【答案】exy=0【解析】【分析】通過求導得出在點(1,y0)的切線斜率，即可求出在點(1,y0)處的切線方程.【詳解】由題意，在y=e1中，y,=2xe2xe2x1，1e21，【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質和基本量的計算求值.所以 2 3222222第13頁/共26頁15.已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O,AB為底面直徑，經(jīng)APB=120。，點C為底面圓周上的一個動點，當ΔPAC的面積取得最大值時，sin經(jīng)AOC=.【答案】2##2【解析】【分析】設PA=2，表示ΔPAC面積，易知經(jīng)APC=90O，借助余弦定理計算即可.【詳解】設PA=2，則ΔPAC的面積S=PA.PCsin經(jīng)APC=2sin經(jīng)APC所以AC=2， 2故答案為：.16.O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C:x23=8y的焦點，過C上的動點M（不為原點）作C的切線l，作ON」l于點N，直線MF與ON交于點A，點B(,0)，則AB的取值范圍是.【解析】第14頁/共26頁(m2)y-m28=k(x-m)，聯(lián)立拋物線方程，由根的判別式為0xA=得到4k=m，從而得到直線ON和直線FMxA=2 +的軌跡方程為x2+(y-2)2=4，且xe[-2,0)不(0,2]，數(shù)形結合得到AB的最值，得到取值范圍.設切線方程為y-=k(x-m)，聯(lián)立C:x2=8y得，則直線ON的斜率為-k=-m,直線ON的方程為y=4-x，m直線FM的方程為y-2=--02x，即y=-x+2，聯(lián)立y=-x與y=-x+2得-x+2=-x， 2mm2 2mm2 8 +將m=-4xAyA代入xA=2m2 + 8mAx=A2 +-xA +2yA-2xA第15頁/共26頁2xAyA22整理可得2yA+2=2，即xAxAyA22點A的軌跡為以Q(0,2)為圓心，半徑為2的圓（去掉(0,0),(0,4)兩個點連接QB，則QB+2為AB的最大值，QB-2為AB的最小值， 且由對稱性可得，(0,0),(0,4)兩點與B的距離等于T,E到B的距離相等，綜上，AB的取值范圍為[1,5].【點睛】方法點睛：求軌跡方程常用的方法：直接法，相關點法，交軌法，定義法，求解過程中要注意一些軌跡問題中包含隱含條件，也就是曲線上的點的坐標的取值范圍，有時還要補充特殊點的坐標.2an+12an.（1）求an；n2=n（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用構造等比數(shù)列的方法求出通項公式作答.（2）由（1）及已知，利用裂項相消法求和即得.第16頁/共26頁【小問1詳解】n2=n.【小問2詳解】故5<18.如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為平行四邊形，M,N分別為AB,DD1的中點.（1）證明：DM平面A1BN；5（2）若底面ABCD為矩形，AB=2AD=4，異面直線DM與A1N所成角的余弦值為5面A1BN的距離.【答案】（1）證明見解析【解析】第17頁/共26頁【分析】（1）通過證明DM平行于面A1BN內(nèi)的一條直線，即可證明DM平面A1BN；（2）建立空間直角坐標系，設出AA1的長并表達出各點坐標，利用異面直線DM與A1N所成角的余弦值,N，求出平面A1BN的一個法向量，即可得出B1到平面A1BN的距離.【小問1詳解】連接AB1，交A1B于點E，連接NE,ME，則E為A1B的中點，因為M為AB的中點，所以MEAA1，且ME=AA1，因為N為DD1的中點，所以DNAA1,DN=AA1，所以MEDN，且ME=DN，所以四邊形EMDN為平行四邊形，所以ENDM，又因為DM平面A1BN,EN平面A1BN，所以DM平面A1BN.【小問2詳解】由題意（1）及幾何知識得，AB,AD,AA1兩兩垂直，以A為坐標原點，分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.第18頁/共26頁---------4 ---------4 210 cosθ=cosDM,A1N-------- 5----------------設異面直線DM與A1N所成角為θ,則DMANDMAN--------DMAN.1--------------------設平面A1BN的一個法向量為=(x,y,z)，B1到平面A1BN的距離為d.即B1到平面A1BN的距離為.19.現(xiàn)有甲，乙兩個訓練場地可供某滑雪運動員選擇使用.已知該運動員選擇甲，乙場地的規(guī)律是：第一次隨機選擇一個場地進行訓練.若前一次選擇甲場地，那么下次選擇甲場地的概率為；若前一次選擇乙場地，那么下次選擇甲場地的概率為1第19頁/共26頁（1）設該運動員前兩次訓練選擇甲場地次數(shù)為X，求E(X)；（2）若該運動員第二次訓練選了甲場地，試分析該運動員第一次去哪個場地的可能性更大，并說明理由. （2）該運動員第一次選擇甲場地的可能性更大，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意可知，X=0,1,2，根據(jù)隨機變量的意義，結合條件概率，求解隨機變量對應的概率，再求期望；【小問1詳解】.5AA2=.5APA2A2PPA2)【小問2詳解】第一次選擇甲場地的概率更大.理由如下：A1A2)AP)=根+根=所以P(A125 根=23,45第20頁/共26頁PAPAPAPA25因為>，所以該運動員第一次選擇甲場地的可能性更大.20.在‘ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若2a+bcosA一c=btanBsinA.（1）求B；（2）若‘ABC為銳角三角形，求sinA+sinB的取值范圍sinC.(+1)(+1)【解析】【分析】（1）利用邊化角及三角恒等變換公式整理計算即可;（2）通過角的轉化，借助三角恒等變換公式，得到sinC2tan2，利用C的范圍，即可求出結果.【小問1詳解】因為2a+bcosAc=btanBsinA，整理得所以2acosBc.cosB=bcosC，【小問2詳解】 π 所以Ce,，第21頁/共26頁所以1+2所以1+2sinCsinC2sinC2 2 =.+22sincos2 =.+tan2， sinCsinC2sinC2 2+=.221+，233222(+1)(+1)21.已知函數(shù)f(x)=x2一ax+alnx（1）若f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若f(x)有兩個極值點x1,x2，且f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.第22頁/共26頁【解析】（2）由f(x)有兩個極值點為x1,x2，可得方程2x2-ax+a=0在(0,+偽)上有兩個不同的根，則2-8a>0，求出a的取值范圍，將題意轉化為λ>恒成立，設h(a)=2ln-a-2(a>8)，對h(a)求導，求出h(a)的最大值即可求出答案.【小問1詳解】