數(shù)論模塊(教師版)

教師：教師：學生：上課時間：2013年月日:-:上課地點：校區(qū)上課進度：第講數(shù)論模塊綜合復習知識框架知識框架一．質數(shù)與合數(shù)1．根本概念一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質數(shù)(也叫做素數(shù)).一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù).要特別記?。?和1不是質數(shù)，也不是合數(shù).考點：⑴值得注意的是很多題都會以質數(shù)2的特殊性為考點.⑵除了2和5，其余質數(shù)個位數(shù)字只能是1，3，7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注意.；；；；；；；；.3.判斷一個數(shù)是否為質數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個小于p的質數(shù)q(均為整數(shù))，使得q能夠整除p，那么p就不是質數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的p，我們可以先找一個大于且接近p的平方數(shù)，再列出所有不大于K的質數(shù)，用這些質數(shù)去除p，如沒有能夠除盡的那么p就為質數(shù).例如：149很接近，根據(jù)整除的性質149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質數(shù).二、約數(shù)與倍數(shù)1．1求最大公約數(shù)的方法①分解質因數(shù)法：先分解質因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來．例如：，，所以；②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘．例如：，所以；③輾轉相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)．用輾轉相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止．那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)．(如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個數(shù)是互質的)．例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；；；；；所以1515和600的最大公約數(shù)是15．求一組分數(shù)的最大公約數(shù)先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，其他分數(shù)不變；求出各個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個分數(shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求．求最小公倍數(shù)的方法①分解質因數(shù)的方法；例如：，，所以；②短除法求最小公倍數(shù)；例如：，所以；③．先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；求出各個分數(shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個分數(shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求．例如：注意：兩個最簡分數(shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：3.1求任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù)一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴格分解質因數(shù)后，將每個質因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。如:1400嚴格分解質因數(shù)之后為，所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個。(包括1和1400本身)約數(shù)個數(shù)的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應重點講解，公式的推導過程是建立在開篇講過的數(shù)字“唯一分解定理”形式根底之上，結合乘法原理推導出來的，不是很復雜，建議給學生推導并要求其掌握。難點在于公式的逆推，有相當一局部常考的偏難題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴一個數(shù)有多少個約數(shù)，然后再結合其他幾個條件將原數(shù)“復原構造”出來，或者是“構造出可能的最值”。3.2求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴格分解質因數(shù)后，將它的每個質因數(shù)依次從1加至這個質因數(shù)的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：，所以21000所有約數(shù)的和為此公式?jīng)]有第一個公式常用，推導過程相對復雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學生找規(guī)律性的記憶即可。三、余數(shù)問題三大余數(shù)定理：a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4，即兩個余數(shù)的和3+1.當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2.a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23×16除以5的余數(shù)等于3×1=3。當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23×19除以5的余數(shù)等于3×4除以5的余數(shù)，即2.假設兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：a≡b(modm)，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質，我們可以得到一個非常重要的推論：假設兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)m得到的余數(shù)相同，那么a，b的差一定能被m整除用式子表示為：如果有a≡b(modm)，那么一定有a－b＝mk,k是整數(shù)，即m|(a－b)中國剩余定理一個自然數(shù)分別除以3，5，7后，得到三個余數(shù)分別為2，3，2.那么我們首先構造一個數(shù)字，使得這個數(shù)字除以3余1，并且還是5和7的公倍數(shù)。先由，即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2，不符合要求，那么就繼續(xù)看5和7的“下一個”倍數(shù)是否可以，很顯然70除以3余1類似的，我們再構造一個除以5余1，同時又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21可以符合要求。最后再構造除以7余1，同時又是3，5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計算：，其中k是從1開始的自然數(shù)。也就是說滿足上述關系的數(shù)有無窮多，如果根據(jù)實際情況對數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。例如對上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，那么我們可以計算得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”,我們只要對最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。四、位值原理位值原理的定義：同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說，每一個數(shù)字除了有自身的一個值外，還有一個“位置值”。例如“2”,寫在個位上，就表示2個一，寫在百位上，就表示2個百，這種數(shù)字和數(shù)位結合起來表示數(shù)的原那么，稱為寫數(shù)的位值原理。位值原理的表達形式：以六位數(shù)為例：a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。五、數(shù)的進制我們常用的進制為十進制，特點是“逢十進一”。在實際生活中，除了十進制計數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進位制。比方二進制，八進制，十六進制等。二進制：在計算機中，所采用的計數(shù)法是二進制，即“逢二進一”。因此，二進制中只用兩個數(shù)字0和1。二進制的計數(shù)單位分別是1、21、22、23、……，二進制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進制中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。二進制的運算法那么：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：對于任意自然數(shù)n,我們有n0=1。n進制：n進制的運算法那么是“逢n進一，借一當n”，n進制的四那么混合運算和十進制一樣，先乘除，后加減；同級運算，先左后右；有括號時先計算括號內(nèi)的。進制間的轉換：如右圖所示。十進制十進制二進制十六進制八進制六、完全平方數(shù)常用性質1.完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3.完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。，那么p能被整除。1.任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4〔或8〕除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。2.一個完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3.自然數(shù)的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)〔1，5，9〕時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5.完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)〔0，4〕時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6.完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7.凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。3.重點公式回憶：平方差公式：

例題精講例題精講兩個質數(shù)之和為，求這兩個質數(shù)的乘積是多少.因為和為奇數(shù)，所以這兩個數(shù)必為一奇一偶，所以其中一個是，另一個是，乘積為.我們要善于抓住此類題的突破口。如果a，b均為質數(shù)，且，那么______.根據(jù)題意a,b中必然有一個偶質數(shù)2，，當時，，當時不符合題意，所以.【例2】三個質數(shù)的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個質數(shù).設這三個質數(shù)分別是、、，滿足，那么可知、、中必有一個為11，不妨記為，那么，整理得()()，又，對應的、或、或、(舍去)，所以這三個質數(shù)可能是2，11，13或3，7，11.三個質數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7倍，求這三個質數(shù)．設這三個質數(shù)分別是、、，滿足，那么可知、、中必有一個為7，不妨記為，那么，整理得，又，對應的2、9(舍去)或3、5，所以這三個質數(shù)可能是3，5，7現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？只知道三個自然數(shù)的和，不知道三個自然數(shù)具體是幾，似乎無法求最大公約數(shù)．只能從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析．三個數(shù)的和是1111，它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)．因為，它的約數(shù)只能是1，11，101和1111，由于三個自然數(shù)的和是1111，所以三個自然數(shù)都小于1111，1111不可能是三個自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比方取三個數(shù)為101，101和909．所以所求數(shù)是101．10個非零不同自然數(shù)的和是1001，那么它們的最大公約數(shù)的最大值是多少？設M為這10個非零不同自然數(shù)的最大公約數(shù)，那么這10個不同的自然數(shù)分別可以表示為：，其中那么根據(jù)題意有：因為10個不同非零自然數(shù)的和最小為55，所以M最大可以為13數(shù)360的約數(shù)有多少個?這些約數(shù)的和是多少?360分解質因數(shù):360=2×2×2×3×3×5=××5；360的約數(shù)可以且只能是××,(其中a,b,c均是整數(shù),且a為0～3,6為0～2,c為0～1)．因為a、b、c的取值是相互獨立的,由計數(shù)問題的乘法原理知,約數(shù)的個數(shù)為(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我們先只改動關于質因數(shù)3的約數(shù),可以是l,3,,它們的和為(1+3+),所以所有360約數(shù)的和為(1+3+)××；我們再來確定關于質因數(shù)2的約數(shù),可以是l,2,,,它們的和為(1+2++)，所以所有360約數(shù)的和為(1+3+)×(1+2++)×5w；最后確定關于質因數(shù)5的約數(shù),可以是1,5,它們的和為(1+5),所以所有360的約數(shù)的和為(1+3+)×(1+2++)×(1+5)．于是,我們計算出值:13×15×6=1170．所以,360所有約數(shù)的和為1170．兩個數(shù)都是只含質因數(shù)3和5，它們的最大公約數(shù)是75，有12個約數(shù)，有10個約數(shù)，求與的和．因為，如果設，，那么中較小的數(shù)是1，中較小的數(shù)是2．由于一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)等于它分解質因數(shù)后每個質因數(shù)的次數(shù)加1的乘積．所以，．又，，由于，所以，那么，，得到，．那么，得到，所以，，．一個兩位數(shù)有6個約數(shù)，且這個數(shù)最小的3個約數(shù)之和為10，那么此數(shù)為幾？最小的三個約數(shù)中必然包括約數(shù)1，除去1以外另外兩個約數(shù)之和為9，由于9是奇數(shù)，所以這兩個約數(shù)的奇偶性一定是相反的，其中一定有一個是偶數(shù)，如果一個數(shù)包含偶約數(shù)，那么它一定是2的倍數(shù)，即2是它的約數(shù)。于是2是這個數(shù)第二小的約數(shù)，而第三小的約數(shù)是7，所以這個兩位數(shù)是14的倍數(shù)，由于這個兩位數(shù)的約數(shù)中不含3、4、5、6，所以這個數(shù)只能是14或98，其中有6個約數(shù)的是98．如果你寫出12的所有約數(shù)，1和12除外，你會發(fā)現(xiàn)最大的約數(shù)是最小約數(shù)的3倍．現(xiàn)有一個整數(shù)n，除掉它的約數(shù)1和n外，剩下的約數(shù)中，最大約數(shù)是最小約數(shù)的15倍，那么滿足條件的整數(shù)n有哪些？設整數(shù)n除掉約數(shù)1和n外，最小約數(shù)為a，可得最大約數(shù)為，那么．那么3、5、a都為n的約數(shù)．因為a是n的除掉約數(shù)1外的最小約數(shù)，那么．當時，；當時，．所以滿足條件的整數(shù)n有60和135．在1到100中，恰好有6個約數(shù)的數(shù)有多少個？，故6只能表示為或，所以恰好有6個約數(shù)的數(shù)要么能表示成某個質數(shù)的5次方，要么表示為某個質數(shù)的平方再乘以另一個質數(shù)，100以內(nèi)符合前者的只有32，符合后者的數(shù)枚舉如下：所以符合條件的自然數(shù)一共有個．恰有8個約數(shù)的兩位數(shù)有________個．根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式，先將8進行分解：，所以恰有8個約數(shù)的數(shù)至多有3個不同的質因數(shù)，分解質因數(shù)后的形式可能為，，．其中由于，所以形式的沒有符合條件的兩位數(shù)；形式中，B不能超過3，即可能為2或3，有、、、、，共5個；形式的有、、、、，共5個．所以共有個符合條件的數(shù)．用某自然數(shù)去除，得到商是46，余數(shù)是，求和．因為是的倍還多,得到，得，所以，．【穩(wěn)固】甲、乙兩數(shù)的和是，甲數(shù)除以乙數(shù)商余，求甲、乙兩數(shù)．(法1)因為甲乙，所以甲乙乙乙乙；那么乙，甲乙．(法2)將余數(shù)先去掉變成整除性問題，利用倍數(shù)關系來做：從中減掉以后，就應當是乙數(shù)的倍，所以得到乙數(shù)，甲數(shù)．一個自然數(shù)，除以11時所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時所得到的商是余數(shù)的3倍，這個自然數(shù)是_________.設這個自然數(shù)除以11余，除以9余，那么有，即，只有，，所以這個自然數(shù)為?！纠?】有一個大于1的整數(shù)，除所得的余數(shù)相同，求這個數(shù).這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)．，，，的約數(shù)有，所以這個數(shù)可能為。有一個整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3，求這個數(shù).【解析】(法1)，，，12的約數(shù)是，因為余數(shù)為3要小于除數(shù)，這個數(shù)是；(法2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)．，，，所以這個數(shù)是．【例4】一個三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19后所得到的商與余數(shù)的和．那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？設這個三位數(shù)為，它除以17和19的商分別為和，余數(shù)分別為和，那么．根據(jù)題意可知，所以，即，得．所以是9的倍數(shù)，是8的倍數(shù)．此時，由知．由于為三位數(shù)，最小為100，最大為999，所以，而，所以，，得到，而是9的倍數(shù)，所以最小為9，最大為54．當時，，而，所以，故此時最大為；當時，，由于，所以此時最小為．所以這樣的三位數(shù)中最大的是930，最小的是154．【例5】與的和除以7的余數(shù)是________．找規(guī)律．用7除2，，，，，，…的余數(shù)分別是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的個數(shù)是3的倍數(shù)時，用7除的余數(shù)為1；2的個數(shù)是3的倍數(shù)多1時，用7除的余數(shù)為2；2的個數(shù)是3的倍數(shù)多2時，用7除的余數(shù)為4．因為，所以除以7余4．又兩個數(shù)的積除以7的余數(shù)，與兩個數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同．而2003除以7余1，所以除以7余1．故與的和除以7的余數(shù)是．【穩(wěn)固】求的余數(shù)．因為，，，根據(jù)同余定理(三)，的余數(shù)等于的余數(shù)，而，，所以的余數(shù)為5．【例6】被除所得的余數(shù)是多少？31被13除所得的余數(shù)為5，當n取1，2，3，時被13除所得余數(shù)分別是5，12，8，1，5，12，8，1以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除的余數(shù)與被13除的余數(shù)相同，余12，那么除以13的余數(shù)為12；30被13除所得的余數(shù)是4，當n取1，2，3，時，被13除所得的余數(shù)分別是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除所得的余數(shù)等于被13除所得的余數(shù)，即4，故除以13的余數(shù)為4；所以被13除所得的余數(shù)是．【例7】一個大于1的數(shù)去除290，235，200時，得余數(shù)分別為，，，那么這個自然數(shù)是多少？根據(jù)題意可知，這個自然數(shù)去除290，233，195時，得到相同的余數(shù)〔都為〕．既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個數(shù)肯定余0．那么這個自然數(shù)是的約數(shù)，又是的約數(shù)，因此就是57和38的公約數(shù),因為57和38的公約數(shù)只有19和1，而這個數(shù)大于1，所以這個自然數(shù)是19．【例1】某三位數(shù)和它的反序數(shù)的差被99除，商等于______與______的差；此題屬于根底型題型。我們不妨設a＞b＞c。(-〕÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c；與的差被9除，商等于______與______的差；(-〕÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b；【例2】.原式：1111a＋111b＋11c＋d＝1370，所以a＝1，那么111b＋11c＋d＝1370－1111＝259，推知b＝2；進而推知c＝3，d=4所以=1234。一個四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008，那么所有這樣的四位數(shù)之和為多少．設這樣的四位數(shù)為，那么，即，那么或2．⑴假設，那么，得，，；⑵假設，那么，由于，所以，所以，故為9，，那么為偶數(shù)，且，故，由為偶數(shù)知，，；所以，這樣的四位數(shù)有2003和1985兩個，其和為：．【例3】有一個兩位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的前面，那么可得到一個三位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的后面，那么可得到一個三位數(shù)，如果在它前后各加寫一個數(shù)碼3，那么可得到一個四位數(shù)．將這兩個三位數(shù)和一個四位數(shù)相加等于．求原來的兩位數(shù)．設原來的兩位數(shù)是，那么得到的兩個三位數(shù)分別為和，四位數(shù)為，由題知，即，，故．如果把數(shù)碼5加寫在某自然數(shù)的右端，那么該數(shù)增加，這里A表示一個看不清的數(shù)碼，求這個數(shù)和A。設這個數(shù)為x，那么10x+5-x=，化簡得9x=，等號右邊是9的倍數(shù)，試驗可得A=1，x=1234?！纠?】①________；②；③；④________；⑤假設，那么________．①對于這種進位制計算，一般先將其轉化成我們熟悉的十進制，再將結果轉化成相應的進制：；②可轉化成十進制來計算：；如果對進制的知識較熟悉，可直接在二進制下對進行除法計算，只是每次借位都是2，可得；③此題涉及到3個不同的進位制，應統(tǒng)一到一個進制下．統(tǒng)一到十進制比擬適宜：；④十進制中，兩個數(shù)的和是整十整百整千的話，我們稱為“互補數(shù)”，湊出“互補數(shù)”的這種方法叫“湊整法”，在進制中也有“湊整法”，要湊的就是整．原式；⑤假設，那么，經(jīng)試驗可得．將二進制數(shù)(11010.11)2化為十進制數(shù)為多少？根據(jù)二進制與十進制之間的轉化方法，(11010.11)2=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。此處老師在講解的時候可以適當?shù)耐貙?，各種進制之間小數(shù)局部的轉化方法。根據(jù)二進制與八進制之間的轉化方法推導出二八對照表：八進制數(shù)01234567二進制數(shù)000001010011100101110111試求(2-1)除以992的余數(shù)是多少?我們通過左式的短除法，或者直接運用通過2次冪來表達為2進制：(992)=(1111100000)2，(2-1)2=我們知道在2進制中一定能整除 (1111100000)2，于是我們注意到，所以=因為能整除(1111100000)2，所以余數(shù)為(111111)2=2+24+23+22+21+1=63，所以原式的余數(shù)為63。計算除以26的余數(shù)．題中有3的次冪，令人聯(lián)想到將題中的數(shù)轉化成3進制下的數(shù)再進行計算．，而，所以，．由于整除，，所以余．所以除以26的余數(shù)為8．【附加思考題】設是質數(shù)，證明：，，…，被除所得的余數(shù)各不相同．【例1】是的平方．，，原式．下面是一個算式：，這個算式的得數(shù)能否是某個數(shù)的平方？判斷一個數(shù)是否是某個數(shù)的平方，首先要觀察它的個位數(shù)是多少．平方數(shù)的個位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方數(shù)的個位數(shù)．這個算式的前二項之和為3，中間二項之和的個位數(shù)為0，后面二項中每項都有因子2和5，個位數(shù)一定是0，因此，這個0算式得數(shù)的個位數(shù)是3，不可能是某個數(shù)的平方．【例2】1016與正整數(shù)a的乘積是一個完全平方數(shù)，那么a的最小值是________．先將1016分解質因數(shù)：，由于是一個完全平方數(shù)，所以至少為，故a最小為．恰是自然數(shù)b的平方數(shù)，a的最小值是。，要使是某個自然數(shù)的平方，必須使各個不同質因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，