隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與檢驗(yàn)

關(guān)于隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與檢驗(yàn)1第一節(jié)概論1.意義：由于在統(tǒng)計(jì)學(xué)的不同技術(shù)中需要使用隨機(jī)數(shù)，比如從統(tǒng)計(jì)總體中隨機(jī)抽取樣本時(shí)，或者在將實(shí)驗(yàn)動(dòng)物隨機(jī)分配到不同的試驗(yàn)組的過(guò)程中，或者在進(jìn)行蒙特卡羅模擬法計(jì)算的時(shí)候等等，所以。。。2.定義：設(shè)隨機(jī)變量X~F(x),則稱(chēng)隨機(jī)變量X的抽樣序列{Xi}為分布F(x)的隨機(jī)數(shù)。（一）基本概念和定理2第2頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理定理1.1：設(shè)是連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)上升的分布函數(shù)，它的反函數(shù)存在，且記為，即2、若隨機(jī)變量，則的分布函數(shù)為1、若隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則3第3頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明：設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以設(shè)的分布函數(shù)為，則因?yàn)椋瑢?duì)任意有。所以的分布函數(shù)為4第4頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1.1說(shuō)明了任意分布的隨機(jī)數(shù)均可由均勻分布的隨機(jī)數(shù)變換得到。常簡(jiǎn)稱(chēng)的隨機(jī)數(shù)為均勻分布隨機(jī)數(shù)。5第5頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天手工方法：抽簽、擲骰子、搖號(hào)等；隨機(jī)數(shù)表法：占用內(nèi)存大，目前已很少使用；物理方法：放射性衰變、電子設(shè)備的熱噪音、宇宙射線(xiàn)的觸發(fā)時(shí)間等等；不能重復(fù)計(jì)算；數(shù)學(xué)方法：使用最廣。（二）產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一般方法：6第6頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天（三）偽隨機(jī)數(shù)偽隨機(jī)數(shù)：在計(jì)算機(jī)上用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)是指按照一定的計(jì)算方法而產(chǎn)生的數(shù)列，它們具有類(lèi)似于均勻隨機(jī)變量的獨(dú)立抽樣序列的性質(zhì)，這些數(shù)既然是依照確定算法產(chǎn)生的，便不可能是真正的隨機(jī)數(shù)，因此常把用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)稱(chēng)為偽隨機(jī)數(shù)。偽隨機(jī)數(shù)不可能真隨機(jī)；需要對(duì)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行各種檢驗(yàn)保證其符合獨(dú)立性條件且分布為要求的分布；7第7頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天8第8頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：主要有線(xiàn)性同余法（LCG），組合同余法，反饋位移寄存器方法等

第二節(jié)均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生9第9頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天同余性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)性：a≡b(modM)，則b≡a(modM).傳遞性:若a≡b(modM)，b≡c(modM)，則a≡c(modM).

（一）同余與線(xiàn)性同余法10第10頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)4：例如：已知12≡60(mod16)，M=16，取C=6，a=2，b=10，因?yàn)?M,C)=2，則有2≡10(mod8)，其中M/(M,C)=16/2=8?；蛘撸=12，M=16，因?yàn)?M,C)=4，則有1≡5(mod4)，其中M/(M,C)=16/4=4。11第11頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天求余運(yùn)算求余運(yùn)算的式子A(modM)定義為：其中表示求的整數(shù)部分。12第12頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天線(xiàn)性同余法（LinearCongruenceGenerator，LCG）的遞推公式為：13第13頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天線(xiàn)性同余法的周期：14第14頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天線(xiàn)性同余法產(chǎn)生的序列一定會(huì)重復(fù)，因?yàn)橹芷谧疃嘀挥蠱個(gè)可能取值。15第15頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天說(shuō)明：滿(mǎn)周期是T=M時(shí)。16滿(mǎn)周期第16頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)c≠0時(shí)，下式稱(chēng)為混合同余發(fā)生器，當(dāng)c=0時(shí)，稱(chēng)為乘同余發(fā)生器，此時(shí)當(dāng)模為素?cái)?shù)時(shí)，稱(chēng)它為素?cái)?shù)模乘同余發(fā)生器。

17補(bǔ)充1：混合同余發(fā)生器與素?cái)?shù)模乘同余發(fā)生器第17頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天兩個(gè)常用的混合同余發(fā)生器：18第18頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天常用的素?cái)?shù)模乘同余發(fā)生器：19第19頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天常用的素?cái)?shù)模乘同余發(fā)生器：20第20頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天思想：

先用一個(gè)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)列為基礎(chǔ)，再用另一個(gè)發(fā)生器對(duì)隨機(jī)數(shù)列進(jìn)行重新排列得到的新數(shù)列作為實(shí)際使用的隨機(jī)數(shù)。這種把多個(gè)獨(dú)立的發(fā)生器以某種方式組合在一起作為實(shí)際使用的隨機(jī)數(shù)，希望能夠比任何一個(gè)單獨(dú)的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器得到周期長(zhǎng)、統(tǒng)計(jì)性質(zhì)更優(yōu)的隨機(jī)數(shù)，即組合發(fā)生器。

21補(bǔ)充2：組合發(fā)生器：第21頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天

Maclaren和Marsaglia在1965年提出的著名的組合發(fā)生器是組合同余發(fā)生器,該算法的具體步驟如下：22第22頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.用第二個(gè)LCG產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)整數(shù),要求;3.令，然后再用第一個(gè)LCG產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù),令；置;4.重復(fù)2~3，得隨機(jī)數(shù)列，即為組合同余發(fā)生器產(chǎn)生的數(shù)列。若第一個(gè)LCG的模為，令，則為均勻隨機(jī)數(shù)。1.用第一個(gè)LCG產(chǎn)生個(gè)隨機(jī)數(shù)，一般取。這個(gè)隨機(jī)數(shù)被順序地存放在矢量中。置;23步驟：第23頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天檢驗(yàn)?zāi)康模簷z驗(yàn)均勻偽隨機(jī)數(shù)符合獨(dú)立同均勻分布；兩種檢驗(yàn)方法統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)：對(duì)生成的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)理論檢驗(yàn)：從理論上討論隨機(jī)數(shù)發(fā)生器性質(zhì)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)常用近似正態(tài)統(tǒng)計(jì)量和ⅹ2統(tǒng)計(jì)量以下檢驗(yàn)方法一般假設(shè)用某發(fā)生器生成了均勻分布偽隨機(jī)數(shù)r1，r2，...，rn，來(lái)檢驗(yàn)這些生成的隨機(jī)數(shù)的各種統(tǒng)計(jì)量。24第三節(jié)隨機(jī)數(shù)檢驗(yàn)第24頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天251、特征量檢驗(yàn)（參數(shù)檢驗(yàn)）第25頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天26第26頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天27注：若卡方值過(guò)大，則拒絕原假設(shè)（即分布不是均勻的）：檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)在（0,1）區(qū)間內(nèi)分布時(shí)均勻的（一）卡方檢驗(yàn)法：第27頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天（二）Kolmogorov-SmirnovtestK-S檢驗(yàn)是連續(xù)分布的擬合性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與總體的分布函數(shù)間的差異是否顯著。28第28頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天29注：R軟件檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)是否服從某一分布時(shí)，可采用這種檢驗(yàn)方法。第29頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、獨(dú)立性檢驗(yàn)：自相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)30隨機(jī)數(shù)r1,r2,……,rn中的前后項(xiàng)是否是統(tǒng)計(jì)相關(guān)性是否是顯著的。相關(guān)系數(shù)反映了數(shù)據(jù)間的線(xiàn)性相關(guān)程度，若獨(dú)立，則相關(guān)系數(shù)必為0（反之不一定）。

原假設(shè)H0：第30頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天31第31頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天Rrequiresample(1:100,20)#從1到100中無(wú)重復(fù)抽取20個(gè)數(shù)；runif(n,min=0,max=1)#產(chǎn)生n個(gè)0-1的均勻分布隨機(jī)數(shù)；rnorm(n,mean=0,sd=1)#產(chǎn)生n個(gè)以0為均值，1為方差的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)；rexp：TheExponentialDistribution(wikilink)(指數(shù)分布，獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔)rf：TheFDistribution(wikilink)(F分布，兩個(gè)卡方分布除以各自自由度)rbeta：TheBetaDistribution(wikilink)rbinom：TheBinomialDistribution(wikilink)(二項(xiàng)分布)rcauchy：TheCauchyDistribution(wikilink)(柯西分布，N階矩都不存在的分布...)rchisq：The(non-central)Chi-SquaredDistribution(wikilink)(卡方分布，正態(tài)分布平方的分布)32第32頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天rgamma：TheGammaDistribution(wikilink)(伽瑪分布)rpois：ThePoissonDistribution(wikilink)(泊松分布，單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù))rgeom：TheGeometricDistribution(wikilink)(幾何分布，在第n次伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)k次才得到第一次成功的機(jī)率)rhyper：TheHypergeometricDistribution(wikilink)(超幾何分布)rlnorm：TheLogNormalDistribution(wikilink)(對(duì)數(shù)正態(tài)分布，正態(tài)分布的指數(shù)的分布)rlogis：TheLogisticDistribution(wikilink)(邏輯分布)rmultinom：TheMultinomialDistribution(wikilink)(多變量正態(tài)分布)rnbinom：TheNegativeBinomialDistribution(wikilink)(負(fù)二項(xiàng)分布)

33第33頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天Rks.test分布檢驗(yàn)ks.test(data,"pnorm",mean(data),sd(data))34第34頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天35第35頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天假設(shè)檢驗(yàn)Matlab-require%M-file函數(shù)f的定義：判斷概率函數(shù)functionf=p_judge(A,alpha)%判別所給數(shù)據(jù)源在置信率為0.05時(shí)的概率分布形式。

A=A(:);%數(shù)據(jù)集A的形式為n×1。

randperm(n)%產(chǎn)生1到n的均勻分布隨機(jī)序列a=normrnd(0,1,1,6)%正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)

36第36頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天正態(tài)分布[mu,sigma]=normfit(A);

p1=normcdf(A,mu,sigma);

[H1,s1]=kstest(A,[A,p1],alpha)

n=length(A);ifH1==0

disp('該數(shù)據(jù)源服從正態(tài)分布。')

else

disp('該數(shù)據(jù)源不服從正態(tài)分布。')

end

37第37頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天Gama分布phat=gamfit(A,alpha);

p2=gamcdf(A,phat(1),phat(2));

[H2,s2]=kstest(A,[A,p2],alpha)ifH2==0

disp('該數(shù)據(jù)源服從γ分布。')

else

disp('該數(shù)據(jù)源不服從γ分布。')

end

38第38頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天泊松分布lamda=poissfi