新人教九下數(shù)第28章《銳角三角函數(shù)》知識點與典型例題

新人教版初三數(shù)學第28章《銳角三角函數(shù)》輔導資料：知識點一：銳角三角函數(shù)的定義：銳角三角函數(shù)定義：在Rt△ABC中，∠C=900,∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，那么∠A的正弦可表示為：sinA=，∠A的余弦可表示為cosA=∠A的正切：tanA=，它們弦稱為∠A的銳角三角函數(shù)【特別提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一個整體，是兩條線段的比，沒有，這些比值只與有關(guān)，與直角三角形的無關(guān)2、取值范圍<sinA<cosA<tanA>】例1．如下圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．第1題圖①＝______， ＝______；②＝______， ＝______；③＝______， ＝______．例2.銳角三角函數(shù)求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，假設a＝9，b＝12，那么c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．例3．：如圖，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R點，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．典型例題：類型一：直角三角形求值1．Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．2．：如圖，⊙O的半徑OA＝16cm，OC⊥AB于C點，求：AB及OC的長．3．：⊙O中，OC⊥AB于C點，AB＝16cm，(1)求⊙O的半徑OA的長及弦心距OC；(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．是銳角，，求，的值對應訓練：3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，假設BC＝1，AB=，那么tanA的值為A．B．C．D．25．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于〔〕.A．B.C.D.類型二.利用角度轉(zhuǎn)化求值：1．：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC邊上一點，DE⊥AB于E點．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．2．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點和點，與x軸的正半軸交于點D，B是y軸右側(cè)圓弧上一點，那么cos∠OBC的值為〔〕A．B．C．D．3.如圖，角的頂點為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上有一點P〔3，4〕，那么．4.如圖，菱形ABCD的邊長為10cm，DE⊥AB，，那么這個菱形的面積=cm2．5.如圖，是的外接圓，是的直徑，假設的半徑為，，那么的值是〔〕A．B．C．D．6.如圖4，沿折疊矩形紙片，使點落在邊的點處．，，AB=8,那么的值為()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7.如圖6，在等腰直角三角形中，，，為上一點，假設，那么的長為()A．B．C．D．8.如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分線AD=求∠B的度數(shù)及邊BC、AB的長.圖6類型三.化斜三角形為直角三角形例1〔2012?安徽〕如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的長．例2．：如圖，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，(1)求AB邊上的高CD；(2)求△ABC的面積S；(3)求tanB．例3．：如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．對應訓練1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形．假設AB=2，求△ABC的周長．〔結(jié)果保存根號〕2．：如圖，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面積等于9，求sinB．3.ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，那么△ABC的面積是A.2cm2 B.4cm2C.6cm2 D.12cm2類型四：利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形例1〔2012?內(nèi)江〕如下圖，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，那么sinA的值為〔〕A．B．C．D．對應練習：1．如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，那么sinA=_______.2．如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)絡線的交點處，假設將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，那么的值為A.B.C. D.3．正方形網(wǎng)格中，如圖放置，那么tan的值是〔〕A．EQ\F(EQ\R(,5),5) B.EQ\F(2EQ\R(,5),5)C.EQ\F(1,2)D.2特殊角的三角函數(shù)值銳角30°45°60°sincostan 當時，正弦和正切值隨著角度的增大而余弦值隨著角度的增大而例1．求以下各式的值．1〕.計算：．2〕計算：.計算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°4．計算：．5．計算：；例2．求適合以下條件的銳角．(1) 2)(3) (4)〔5〕為銳角，且，求的值〔〕在中，假設，都是銳角，求的度數(shù)例3.三角函數(shù)的增減性1．∠A為銳角，且sinA<，那么∠A的取值范圍是A.0°<A<30°B.30°<A＜60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°A為銳角，且，那么〔〕A.0°<A<60°B.30°<A<60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°例4.三角函數(shù)在幾何中的應用1．：如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，求此菱形的周長．2．：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D點，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，點D在BC邊上，DC=AC=6，求tan∠BAD的值．5.〔本小題5分〕如圖，△ABC中，∠A=30°，，．求AB的長.解直角三角形：1．在解直角三角形的過程中，一般要用的主要關(guān)系如下(如下圖)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三邊之間的等量關(guān)系：________________________________．②兩銳角之間的關(guān)系：__________________________________．③邊與角之間的關(guān)系：______；_______；_____；______．④直角三角形中成比例的線段(如下圖)．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．類型一例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．(1)：a＝35，，求∠A、∠B，b；(2)：，，求∠A、∠B，c；(3)：，，求a、b；(4)：求a、c；(5)：∠A＝60°，△ABC的面積求a、b、c及∠B．例2．：如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的長．例3．：如圖，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的長．例4．：如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的長．類型二：解直角三角形的實際應用仰角與俯角：例1．如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別是30°、45°，如果此時熱氣球C處的高度CD為100米，點A、D、B在同一直線上，那么AB兩點的距離是〔〕A．200米B．200米C．220米D．100〔〕米例2．：如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當它靠在一側(cè)墻上時，梯子的頂端在B點；當它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在D點．∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．點D到地面的垂直距離，求點B到地面的垂直距離BC．例3〔昌平〕19.如圖，一風力發(fā)電裝置豎立在小山頂上，小山的高BD=30m．從水平面上一點C測得風力發(fā)電裝置的頂端A的仰角∠DCA=60°，測得山頂B的仰角∠DCB=30°，求風力發(fā)電裝置的高AB的長．例4.如圖，小聰用一塊有一個銳角為的直角三角板測量樹高，小聰和樹都與地面垂直，且相距米，小聰身高AB為1.7米，求這棵樹的高度.例5．：如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測得河對岸點C的俯角為30°，測得岸邊點D的俯角為45°，又知河寬CD為50m．現(xiàn)需從山頂A到河對岸點C拉一條筆直的纜繩AC，求山的高度及纜繩AC的長(答案可帶根號)．例5．〔2012?泰安〕如圖，為測量某物體AB的高度，在D點測得A點的仰角為30°，朝物體AB方向前進20米，到達點C，再次測得點A的仰角為60°，那么物體AB的高度為〔〕A．10米B．10米C．20米D．米例6．〔2012?益陽〕超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同學嘗試用自己所學的知識檢測車速．如圖，觀測點設在A處，離益陽大道的距離〔AC〕為30米．這時，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從B處行駛到C處所用的時間為8秒，∠BAC=75°．〔1〕求B、C兩點的距離；〔2〕請判斷此車是否超過了益陽大道60千米/小時的限制速度？〔計算時距離精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，≈1.732，60千米/小時≈16.7米/秒〕類型四.坡度與坡角例．〔2012?廣安〕如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，那么應水坡面AB的長度是〔〕A．100mB．100mC．150mD．50m類型五.方位角1．：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得燈塔M在北偏西30°，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到達B處，測得燈塔M在北偏西45°，問該貨輪繼續(xù)向北航行時，與燈塔M之間的最短距離是多少?(精確到0.1海里，)2．〔2012?恩施州〕新聞鏈接，據(jù)[僑報網(wǎng)訊]外國炮艇在南海追襲中國漁船被中國漁政逼退2012年5月18日，某國3艘炮艇追襲5條中國漁船．剛剛完成黃巖島護漁任務的“中國漁政310”船人船未歇立即追往北緯11度22分、東經(jīng)110度45分附近海域護漁，保護100多名中國漁民免受財產(chǎn)損失和人身傷害．某國炮艇發(fā)現(xiàn)中國目前最先進的漁政船正在疾速馳救中國漁船，立即掉頭離去．〔見圖1〕解決問題如圖2，“中國漁政310”船〔A〕接到陸地指揮中心〔B〕命令時，漁船〔C〕位于陸地指揮中心正南方向，位于“中國漁政310”船西南方向，“中國漁政310”船位于陸地指揮中心南偏東60°方向，AB=海里，“中國漁政310”船最大航速20海里/時．根據(jù)以上信息，請你求出“中國漁政310”船趕往出事地點需要多少時間．綜合題：三角函數(shù)與四邊形：1．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=eq\f(\r(,6),3)．(1)求BD的長；(2)求AD的長．2．如圖，在平行四邊形中，過點A分別作AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．〔1〕求證：∠BAE=∠DAF；〔2〕假設AE=4，AF=，，求CF的長．三角函數(shù)與圓：1．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點和點，與x軸的正半軸交于點D，B是y軸右側(cè)圓弧上一點，那么cos∠OBC的值為〔〕A．B．C．D．2.：在⊙O中,AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點D,求證：∠AOD=2∠C假設AD=8，tanC=，求⊙O的半徑。3.如圖，DE是⊙O的直徑，CE與⊙O相切，E為切點.連接CD交⊙O于點B，在EC上取一個點F，使EF=BF.〔1〕求證:BF是⊙O的切線;〔2〕假設,DE=9，求BF的長．作業(yè)：1．，那么銳角A的度數(shù)是A．B． C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，假設BC＝1，AB=，那么tanA的值為A．B．C．D．23．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于〔〕.A．B.C.D.4.假設，那么銳角＝.5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2，那么tanB的值是A． B． C． D．6．將∠α放置在正方形網(wǎng)格紙中，位置如下圖，那么tanα的值是A．B．2C．D．7.△ABC在正方形網(wǎng)格紙中的位置如下圖，那么的值是A. B. C. D.8．如圖，在直角三角形中，斜邊的長為，，那么直角邊的長是〔〕A． B． C． D．9．如圖，P是射線OB上的任意一點，PM⊥OA于M，且OM:OP=4:5，那么cosα的值等于〔〕A．B．C．D．10．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，假設OB長為10，，那么AB的長是A.20B.16C.12D.811.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，那么tanA的值是A．B．C．D．12．如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ADC=90°，假設sinA=，那么cos∠BCD的值為．計算：計算.計算：．14.如圖，小聰用一塊有一個銳角為的直角三角板測量樹高，小聰和樹都與地面垂直，且相距米，小聰身高AB為1.7米，求這棵樹的高度.15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=，b=.解這個直角三角形16.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分線，tanB=，求的值．17.：在⊙O中,AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點D,求證：∠AOD=2∠C假設AD=8，tanC=，求⊙O的半徑。18．如圖，某同學在樓房的處測得荷塘的一端處的俯角為，荷塘另一端處、在同一條直線上，米，米，求荷塘寬為多少米？〔結(jié)果保存根號〕19如圖，在△ABC中，點O在AB上，以O為圓心的圓經(jīng)過A，C兩點，交AB于點D，2∠A+∠B=〔1〕求證：BC是⊙O的切線；〔2〕假設OA=6，BC=8，求BD的長〔1〕證明：〔2〕解：20．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在AC邊上．假設DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的長和tanA的值．21．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它方案沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處.〔1〕B處距離燈塔P有多遠？〔2〕圓形暗