高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測 正、余弦定理的3個基礎(chǔ)點-邊角、形狀和面積 文試題

高考達(dá)標(biāo)檢測（十九）正、余弦定理的3個基礎(chǔ)點一邊角、形狀

和面積

一、選擇題

1.在以中，角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知a=l,b=04=30°,若

8為銳角，則力：8：C=｛）

A.1：1：3B.1：2：3

C.1：3：2D.1：4：1

解析：選B因為a=l,b=yfi94=30°,夕為銳角，

所以由正弦定理可得sin8=3山=坐，則6=60°,

a2

所以090°,則力：8：C=1：2：3.

2.如果將直角三角形三邊增加相同的長度，則新三角形一定是（）

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.根據(jù)增加的長度確定三角形的形狀

解析：選A設(shè)原來直角三角形的三邊長是a,b,c且.=^+乙在原來的三角形三

條邊長的基礎(chǔ)上都加上相同的長度，設(shè)為d,原來的斜邊仍然是最長的邊，故cos4=

a+d；=2bd+2cd+d—2ad

葉”4一—>o所以新三角形中最大的角是一

2。+dc+d2。+dc+d

個銳角，故選A.

3.（2018?太原模擬）在△/優(yōu)中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若〃+1—才

=/兒，且6=/a,則下列關(guān)系一定不成立的是（）

A.a=cB.b=c

C.2a=cD.a+l/=c

解析：選B由余弦定理，得cos』+「=卑￡=半,則4=30°.

2tbeLbc2

又b=y[ia,由正弦定理得sin8=，5sin4=^sin30°

所以460°或120°.

當(dāng)6=60°時，△/1%為直角三角形，且2a=c,可知C、D成立;

當(dāng)6=120°時，0=30°,所以4=C,即4=°,可知A成立，故選B.

4.在直角梯形力靦中，AB//CD,ZABC=90a,AB=2BC=2CD,則cos/。4c=()

V10

A.

10

C亞

L-5。警

解析：選B如圖所示，設(shè).CD=a,則易知力。=m&AD=\[ia,在4

力"中，C^=AI^+AC1-2ADXACXcosZDAC,二，=（*/?+（南3/一

3^10

2X@又乖aXcos/DAC,：.cosZDAC=

10,

5.在△?!回中，內(nèi)角4B,。的對邊分別為&b,c,若△力比的面積為S,且2s=Q

+ti）2—c,則tan。等于（）

34

A-4B-3

43

r-D.

34

解析：選C因為2s=（a+6）“一/=才+斤一1+2瑟,

則由面積公式與余弦定理，得劭sinC=2abcosC+2ab,

即sin0—2cosC=2,所以(sinC—2cosC)'=4,

sin’61-4sinCeosC+4cos'C

BP'=4

sir?C+cos2c

,.tan2f—4tanC+4

所rr以有7+1—=4,

4

解得tanC=一可或tanC=0（舍去）.

6.在△4%中，角A,氏C所對的邊分別為a,b,c,且滿足lj-Vc-a=bc,~AB?~BC>0,

a=晉，則8+c的取值范圍是（）

A.(l,|B.惇胃

1§工3-

D.

c.2922f2

解析：選B在△力比中，lf+c-a=bcf

6+cbe1

由余弦定理可得cos

"=-2bc-=痂=5,

???力是△力叱的內(nèi)角,??"=60°.

，.一也

,a—2

ab

.,?由正弦定理得?=1,

sinAsinBsinCsin120°—B

3

/.b+c=sin5+sin(120°-5)=]sina+^~cosB

=/sin(6+30°).

AB?BC=\AB-BC-cos(n-^)>0,

..COS8<0,6為鈍角,

.*.90°〈以120°,120°<5+30°<150°,

故sin(夕+30°)

.?"+c=4sin(6+30。)e

二、填空題

7.在△力比'中，角4B,。的對邊分別為a,b,a且2ccos5=2a+6,若△/回的面

積S=、/c,則"的最小值為

解析：將2ccos8=2a+力中的邊化為角可得

2sin6bos5=2sinZ+sin5=2sinCeos4+2sin&osC+sinB.

則2sin氏osf+sinB=0,

因為sin肝0,所以cos，=—；，則C=120°,

所以S=5加in120°=c,貝U

由余弦定理可得$力）=3+//—2aAosC^Bab,則日心⑵

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=24時取等號，所以ab的最小值為12.

答案：12

8.(2017?浙江高考)己知AB=AC=4,及M2.點〃為4?延長線上一點，BD=2,

連接徼則△胸的面積是,cosNBDC=.

解析：在比中，AB=AC^4,BC=2,

由余弦定理得cos/械/

42+22-421

―2X4X2=7

貝I]sin/4a'=sinN?=毛一，

所以&眥=；/，〃?陷inNO?=；X2X2x￥=羋.

因為BD=BC=2,所以/物=^/4比；

IcosZABC+iJTo

則cos/ca?=\-----廠—=+一.

,運迎

口界.24

9.已知a,b,c分別為三個內(nèi)角4B,。的對邊，a=2,且(2+6)(sin力一sin

面=(c一⑸sinC,則面積的最大值為一

解析：因為a=2,且(2+b)(sinJ-sinS)—(c—A)sinC,

所以(a+6)(sinJ—sinB)—(c—6)sinC.

由正弦定理得^+c2—6c=4,

又因為爐+122兒，所以AW4,當(dāng)且僅當(dāng)2>=c=2時取等號，此時三角形為等邊三角

形，

所以5=-^Acsin60°gx4又坐=小，

故△/比"的面積的最大值為

答案：小

三、解答題

10.(2017?天津高考)在△/比1中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asin/

=48sinB,ac—y^(a—l)-c).

(1)求cosA的值;

⑵求sin(26一4的值.

ab

解：⑴由asinQ46sinb,及仁=而下,得a=2b

由四=季(才一萬一冷及余弦定理,

乖

5+1—4—5乖

得cosA—

2beac5,

^sinAyj5

⑵由⑴,可得sin代入asinJ=4Z?sinB,得sinB=

04b5-

,-----2\[5

由⑴知，力為鈍角,所以cos1—sinB=~~.

43

于是sin2為=2sin及os79=r,cos26=1-2sin%=^,

55

故sin（26一4）=sin2&osA-cos28sinA

□\5/o□o

11.在中，角4B,。的對邊分別為ab,c.已知asinB=#bcosA.

(D求角力的大??；

(2)若a=S，6=2,求△力比的面積.

解：(1)因為asin8=y/ibcosA,由正弦定理得sinJsinB=y[3sinSeosA.

又sin/0,從而tan4=木.

JI

由于0〈水n,所以[=下".

(2)法一：由余弦定理，=//+/—2‘ccos及己=巾，b=2,A=—f

o

得7=4+<?-2c,EPc-2c-3=0.

因為c>0,所以c=3.

故的面積S=/csin1=邛^.

法二：由正弦定理,得'=心從而sin片年

sin3

2、萬

又由於b,知A>Bt所以cosB=~~.

JTJIn__3?

故sinC=sin{A+B)=sinlZ?+-l=sinBcos-+cos咫in=

3T14.

所以△力仇?的面積S=^a6sin

12.在中，內(nèi)角4B,。所對的邊分別為a,b,c,sinB,(acos6+AcosA)

=*\/3ccosB.

⑴求8；

(2)若b=2鎘，的面積為24，求△力成的周長.

解：(1)由正弦定理得，

sin夙sinJcos例-sinBcos1)=，5sin6cosB,

sin咫in(4+0=/sinCeosB,

/.sin%inC=，5sinCeosB.

VsinCWO,...sinB=y[^cosB,即tanA木.

V（0,兀），:?B=三.

（2）?.?&M=/csin6=乎數(shù)=2鎘，/.ac=8.

根據(jù)余弦定理得，l/=a~+c—2accosB,

12=a+c~—81即a+c=20,

a+c=y]~a+c_5=yja+2ac+c=6,

???△/!勿的周長為6+2餡.

惟力自選題I

1.在平面五邊形力比加中，己知/心=120。，N8=90°,NC=120°,N"=90°,

48=3,A￡=3,當(dāng)五邊形4砥應(yīng)的面積Se[#,駕3）時，則寬的取值范圍為

解析：因為力43,/￡=3,且N/l=120°,

由余弦定理可得班'="初+而一246?熊?cos4=3#,S.NABE=NAEB=30°.

又ZB=90°,N?=90°,所以NDEB=NEBC=60°.

又/C=120°,所以四邊形應(yīng)場是等腰梯形.

易得三角形/跖的面積為呼

所以四邊形BCDE的面積的取值范圍是卜印,

在等腰梯形式場中，令BC=x,則QH3#—x,且梯形的高為華,

故梯形比如的面積就?(3m+3m—x)?率,

即15W(64—x)x〈24,

解得小Wx<2#或4#<xW5#.

答案：[小，2m)11(4/，5m]

2.如圖，有一直徑為8m的半圓形空地，現(xiàn)計劃種植果樹，但需要有

輔助光照.半圓周上的C處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足果樹生長的需要，該光

源照射范圍是/呼弋，點右/在直徑"上，且N小弋.

(1)若但迎，求46的長；

(2)設(shè)/4四=。，求該空地種植果樹的最大面積.

解：(1)由已知得為直角三角形，

,JI

因為"Q8,/做=飛,

所以N胡C=T",AC=4.

o

在△?(龐中，由余弦定理得，Ce^Ae+Ae-2AC'AEcosA,且底=標(biāo),

所以13=16+4?—44￡,

解得AE=1或AE=3.

,jiJI

(2)因為Z