數(shù)列-高考數(shù)學(xué)（理）二輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

5數(shù)列

本專題的主要內(nèi)容是數(shù)列的概念、兩個(gè)基本數(shù)列一一等差數(shù)列、等比數(shù)列.這部分知識(shí)

應(yīng)該是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容.

考察數(shù)列知識(shí)時(shí)往往與其他知識(shí)相聯(lián)系，特別是函數(shù)知識(shí).數(shù)列本身就可以看作特殊(定

義在N*)的函數(shù).因此解決數(shù)列問(wèn)題是常常要用到函數(shù)的知識(shí)，進(jìn)一步涉及到方程與不等式.

本專題的重點(diǎn)還是在兩個(gè)基本數(shù)列一一等差數(shù)列、等比數(shù)列上，包括概念、通項(xiàng)公式、

性質(zhì)、前九項(xiàng)和公式.

§5-1數(shù)列的概念

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.從函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)列，通過(guò)函數(shù)的表示方法，來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)列的表示方法，從而得

到數(shù)列的常用表示方法一一通項(xiàng)公式，即：即=/(〃).

2.對(duì)數(shù)列特有的表示方法一一遞推法有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí).會(huì)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的

前幾項(xiàng)，并由此猜測(cè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

3.明確數(shù)列的通項(xiàng)公式與前"項(xiàng)和公式的關(guān)系：

2H------Ha”；

S[("=1)

此一“(建2)

特別注意對(duì)項(xiàng)數(shù)”的要求，這相當(dāng)于函數(shù)中的定義域.

【復(fù)習(xí)要求】

1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).

2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).

【例題分析】

例1根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

1371531

(1)2,4,8，16,32；

(2)2,-6,18,-54,162；

(3)9,99,999,9999,99999；

(4)1,0,1,0,1,0；

313315791133

iJ，，，，，，，

24681012

315372

(6)—,——，一，—；

52117175

【分析】本題需要觀察每一項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間存在的函數(shù)關(guān)系，猜想出一個(gè)通項(xiàng)公式.這種

通過(guò)特殊的元素得到一般的規(guī)律是解決問(wèn)題的常用方法，但得到的規(guī)律不一定正確，可經(jīng)過(guò)

證明來(lái)驗(yàn)證你的結(jié)論.

2”-11

解：⑴q=;一=1一三；

(2)a“=2X(—3)"一1；

(3)斯=10〃-1；

1〃為奇數(shù)

0〃為偶數(shù)

c,1

(5)an=2〃—14-----；

2n

n+2

⑹an=---r-

3〃+2

【評(píng)析】(1)中分?jǐn)?shù)的考察要把分子、分母分開(kāi)考察，當(dāng)然有時(shí)分子分母之間有關(guān)系；(2)

中正負(fù)相間的情況一定與(一1)的方次有關(guān)；(3)中的情況可以擴(kuò)展為7,77,777,7777,77777

7

=」(10"-1)；(4)中的分段函數(shù)的寫法再一次體現(xiàn)出數(shù)列是特殊的函數(shù)，也可寫成

9

4=1+(二1)’1,但這種寫法要求較高；(5)中的假分?jǐn)?shù)寫成帶分?jǐn)?shù)結(jié)果就很明顯了；(6)中

n2

12341

的變換要求較高，可根據(jù)分子的變化，變換整個(gè)分?jǐn)?shù)，如一=—=?—，根據(jù)分子，把一

24682

變?yōu)槭?，其他類似找到規(guī)律.

8

例2已知：數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和S”，求：數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式即，

3

(1)S"=〃2—2"+2；(2)Sn=(―)"-1.

【分析】已知數(shù)列前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)公式斯的題目一定要考慮"=1與"22兩種情況,

即：a〃=S〃-Si不包含G，實(shí)際上相當(dāng)于函數(shù)中對(duì)定義域的要求.

解：(1)當(dāng)"=1時(shí)，ai=Si=l,

1n=1

當(dāng)時(shí)，fln=S?—S?-i=2/1—3,貝ija“=<

In—3n>2

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，q=S]=g,

當(dāng)w>2時(shí)，4=S〃—S-i=g<(|)"T,此公式也適合w=l時(shí)的情況，

13

則4=5義(5尸

【評(píng)析】分情況求出通項(xiàng)公式如后，應(yīng)考察兩個(gè)式子是否能夠統(tǒng)一在一起，如果能夠

統(tǒng)一還是寫成一個(gè)式子更加簡(jiǎn)潔；如果不能統(tǒng)一就要寫成分段函數(shù)的形式，總之分情況討論

后應(yīng)該有一個(gè)總結(jié)性結(jié)論.

例3完成下列各題：

(1)數(shù)歹!]｛%｝中，ai^2an+1=an+ta(l+-),則。3=()

n

A.2+ln3B.2+21n3C.2+31n3D.4

⑵已知數(shù)列｛a“｝對(duì)任意的p,q^N*滿足他+^=他+他，且。2=—6,那么aio等于()

A.-165B.—33C.-30D.-21

2f

⑶數(shù)列｛aa｝中，??=4?--1,fl1+?2H----l-an=an+bn,n^N,其中a,6為常數(shù),

則ab—.

【分析】本題中三個(gè)小題都涉及數(shù)列的遞推關(guān)系，這類問(wèn)題，最好的辦法是給"賦值,

通過(guò)特殊的項(xiàng)找到一般的規(guī)律.

解：(1);an+i=an+ta(l+—)=%+ln------=an+ln(/z+1)-Inn,

nn

a±=a\+ln(l+1)—Ini=2+ln2,

6Z3—?2+ln(2+l)—In2=2+ln3,選A.

(2)?Clp-\-qClpIClqt??Cl?~+——6—CLy——3,

??。3=。2+1="2+〃i=-6-3=-9,

恁=〃3+2=。3+。2=-9-6=-15,

〃10=〃5+5=〃5+〃5=-30.C.

[ax-a+b

(3);的+。2H-----\-a=arr-\-bn,s,

n%+%=4〃+2b

--a+ba=2

52

an=4An--??ab=一1.

3114C7

—H—=4〃+2Z?

122

【評(píng)析】這種通過(guò)特殊的項(xiàng)解決數(shù)列問(wèn)題的方法今后經(jīng)常用到，希望大家掌握.

例4已知：函數(shù)----/(0),且數(shù)列｛〃〃｝滿足11)=

層斯(〃￡N*),求：數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng).

【分析】首先要應(yīng)用人0)與人1)這兩個(gè)條件，由題可看出可能與必與斯關(guān)系有關(guān).

解：由題知：/(0)=%=g,汽1)=。1+〃2H----^4/2=/〃〃，

2

即：Sn=nany則S〃—i=(〃一1)26—1(心2),

=2)2〃〃_1(〃2

anSn—Sn-i—n%一(九一12),

(n2—1)卬=(〃-1)2斯_](〃22),即：=----(">2)，

un-in+1

,aa,包生生兒一1n—2n-3321.

?方」n一x—=------x--------x--------x---x—x—x—(n>2),

an-lan-2H+lYlYl~\543

即務(wù)=2x,x2("22),

4n+1nn(n+l)

*.*當(dāng)n=1時(shí)，4=」一二—上式也成立，

11x22

1*

aM-----------(〃￡N).

n(n+l)

【評(píng)析】本題中，題目給出函數(shù)的條件，而10)與11)的運(yùn)用就完全轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，

S〃與斯的關(guān)系應(yīng)該是要求掌握的，尤其是在九一1出現(xiàn)時(shí)，要注意"22的限制，這相當(dāng)于

函數(shù)中的定義域.而疊乘的方法是求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法之一.

練習(xí)5—1

一、選擇題:

數(shù)列二

1.話…的通項(xiàng)公式為（)

471013

3n—13n—13n—2

A.(-1嚴(yán)B.(-l)nC.(-l)n

3n+l3n+l3n—1

2.若數(shù)列的前四項(xiàng)是3,12,30,60,則此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）

,2+D("+方B.5,-6〃+4C.3+^^D.-"+12

222

3.數(shù)列｛斯｝中，若的=1,。2=1，an+2—an+i+an,則。7=()

A.11B.12C.13D.14

4.數(shù)列"｝的前"項(xiàng)和為%,若S〃=2(斯一1),則念=()

A.-2B.1C.2D.4

二、填空題：

5.數(shù)列2,5,2,5,…的一個(gè)通項(xiàng)公式.

6.數(shù)列｛斯｝的前”項(xiàng)和5“=層，數(shù)列｛斯｝的前4項(xiàng)是,斯=

7.若數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和S“=2"2—3"+l,則它的通項(xiàng)公式是.

8.若數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)積為"2,則侑+"5=.

三、解答題：

9.己知:數(shù)列｛斯｝中，若q=一,弓+a2H-----ha?=nan'

求：數(shù)列｛斯｝前4項(xiàng)，并猜想數(shù)列｛斯｝的一個(gè)通項(xiàng)公式.

10.已知：數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5-,

求：數(shù)列的第50項(xiàng).

§5-2等差數(shù)列與等比數(shù)列

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義：

an-斯-1=d（常數(shù)）（〃22）O數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列；

%=4（常數(shù)）522）0數(shù)列｛詼｝是等比數(shù)列；

un-l

由定義知：等差數(shù)列中的項(xiàng)以及公差d均可在R中取值，但等比數(shù)列中的項(xiàng)斯及公比

q均為非零實(shí)數(shù).

應(yīng)該注意到，等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義是解決數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是判斷一個(gè)數(shù)列是

等差數(shù)列、等比數(shù)列的唯一依據(jù).

2.明確等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的概念，并能運(yùn)用之解決數(shù)列問(wèn)題：

b、c成等差數(shù)列，。叫做a、c的等差中項(xiàng)，由此看出：任意兩個(gè)實(shí)

2

數(shù)都有等差中項(xiàng)，且等差中項(xiàng)唯一；

〃=攻0以b、c成等比數(shù)列，6叫做a、c的等比中項(xiàng)，由此看出：只有同號(hào)的兩個(gè)

實(shí)數(shù)才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)不唯一；

3.靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前”項(xiàng)和公式S,：

等差數(shù)列｛an)中，an—am+(n—m)d—ai+(n—1)(Z,

nmni

等比數(shù)列｛斯｝中，an=amq~—aiq~,

幾%(4=1)

S“=包￡2(行1)；

I-

4.函數(shù)與方程的思想運(yùn)用到解決數(shù)列問(wèn)題之中：

等差數(shù)列、等比數(shù)列中，首項(xiàng)?、末項(xiàng)斯、項(xiàng)數(shù)小公差d(公比/、前“項(xiàng)和S”，五

個(gè)量中，已知三個(gè)量，根據(jù)通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和公式，列出方程可得另外兩個(gè)量.

2

等差數(shù)列中，an=dn+ax-d.S,=gn+(a「gn,可看作一次函數(shù)與二次函數(shù)

的形式，利用函數(shù)的性質(zhì)可以解決數(shù)列問(wèn)題.

5.等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)：

等差數(shù)列｛斯｝中，若m+〃=p+g,則而+即=他+他;

等比數(shù)列｛“”｝中,若m+n=p+q,則am,an=ap,aq；

【復(fù)習(xí)要求】

1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.

2.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式.

3.能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相

應(yīng)的問(wèn)題.

4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

【例題分析】

例1完成下列各題：

(1)若等差數(shù)列｛斯｝滿足“2+。4=4,的+。5=10，則它的前10項(xiàng)的和S10=()

A.138B.135C.95D.23

(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛斯｝中必有()

a4a6a4a6a4a6a4a6

A-五(不B.五3團(tuán)C.孤〉《D.qNq

【分析】本題在于考察等差數(shù)列的基本知識(shí)，通項(xiàng)公式及前”項(xiàng)和公式是一切有關(guān)數(shù)列

中考察的重點(diǎn)，注意數(shù)列中項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系.

解：(1)：等差數(shù)列｛。"｝中。2+。4=4,的+。5=10，

.?.〃3=2,。4=5,?、公差d=3,首項(xiàng)的=-4,

??CL\Q=CL\+9d=-4+27=23,

?.510="1丁。x10=95.選C.

(2)等差數(shù)列｛恁｝中〃4+。8=2〃6，

??,等差數(shù)列｛斯｝各項(xiàng)均為正數(shù)，

，由均值不等式a4-as<(丐”y=戊,當(dāng)且僅當(dāng)?4=?8時(shí)等號(hào)成立

即：今〈生，選B.

u6u8

【評(píng)析】本題中涉及到等差數(shù)列中的重要性質(zhì)：若m+”=p+g,則%+斯=他+的，

(1)中可直接應(yīng)用這一性質(zhì)：。2+。4=的+。3=2僅得到結(jié)論，但題中所給的答案可看作這一性

質(zhì)的證明，同時(shí)，等差數(shù)列中通項(xiàng)公式并不一定要用首項(xiàng)表示，可以從任何一項(xiàng)開(kāi)始表示

an,這也是常用的方法，

(2)注意觀察數(shù)列中項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，各項(xiàng)均為正數(shù)的要求恰好給運(yùn)用均值不等式創(chuàng)造了條

件，注意等號(hào)成立的條件.

例2完成下列各題：

(1)等比數(shù)列｛“"｝滿足。1+。2=3,。2+俏=6,則。7=()

A.64B.81C.128D.243

(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為％,若Sio=2,$30=14,則S4o=()

A.80B.30C.26D.16

【分析】本題中各小題是在運(yùn)用等比數(shù)列的基本知識(shí)來(lái)解決，通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式

要熟練運(yùn)用.

解：(1)：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，

6+出=%+%q=3“1=1'/

?e?\2，。7=。1?q6=26=64.選A.

%+%=64+=6“=2

(2)方法一：?.,等比數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S?,

Sw=八=2(*),S30==14(**),

"q1-(/

1—

兩式相除：斤二%=7,即：1+?1°+/。=7nd°=2或/°=一3(舍)，

i-q

把d°=2代入(*)中得到：瑪'=—2,

4

S40=j°)=(—2)(1—2,)=30.選B.

1-(/

方法二：+"2+???+。10、"11+〃12+…+。20、〃21+。22+???+。30、。31+的2+一，+。40、...

也構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)新等比數(shù)列的公比為〃

貝U：的+。2H-------1-410=510=2、。11+防2+…+〃20=2〃、421+。22+一?+〃30=2,2

2

VS30=2+2p+2p=14,??山=—3或0=2,

??,等比數(shù)列｛念｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，??山=2,

.??。1+。2+…+〃10=2、〃11+〃12+…+〃20=4、〃21+。22+???+〃30=8、的1+。32+…+。40

=16,???S40=2+4+8+16=30.

【評(píng)析】(2)中方法一仍是解決此類問(wèn)題的基本方法，注意把身看成整體來(lái)求，方法

二的方法在等差數(shù)列及等比數(shù)列中均適用，即：等比數(shù)列中第1個(gè)n項(xiàng)和、第2個(gè)“項(xiàng)和、…

第〃個(gè)"項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列，此時(shí)，你知道這時(shí)的公比與原數(shù)列的么比的關(guān)系嗎？

例3已知：等差數(shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和為S“，且S5=16,SIO=64,求：Si5=?.

【分析】本題是對(duì)等差數(shù)列的知識(shí)加以進(jìn)一步考察，可以用求和公式，也可運(yùn)用等差數(shù)

列的性質(zhì)加以解決.

S=5a,+-~~—d=16a,=

517

解：方法一：由；nf，

S10=10%1H----------d=64d=—

I2〔25

15x14

貝ij：Si5=15%+—d=144；

方法二：等差數(shù)歹!J中：〃1+〃2+〃3+〃4+〃5、恁+為+恁+卷+勾。，

^11+^12+^13+^14+^15這三項(xiàng)也構(gòu)成等差數(shù)列,

即m+42+43+44+05=55=16,

。6+。7+。8+。9+。10=510-55=64-16=48,

〃11+〃12+〃13+〃14+〃15=315-$0=315—64,

???2X48=16+Si5—64，/.SI5=144.

方法三：:Si。-85==64—16=48,?=4+%o=史，???〃i+〃i5=〃6+aio

/5

96

&=4中§xl5=$xl5=144.

1522

【評(píng)析】本題中方法一是直接應(yīng)用前n項(xiàng)和公式，得出首項(xiàng)與公差,再用公式得出所求，

應(yīng)是基本方法，但運(yùn)算較繁鎖；方法二充分注意到等差數(shù)列這一條件，得到的結(jié)論可以擴(kuò)展

為等差數(shù)列中第1個(gè)〃項(xiàng)和、第2個(gè)“項(xiàng)和、……第"個(gè)"項(xiàng)和仍然成等差數(shù)列，你知道這

時(shí)的公差與原數(shù)列的公差的關(guān)系嗎?這一方法希望大家掌握；方法三是前n項(xiàng)和公式與等差

數(shù)列的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，大家可以借鑒.

例4已知：等差數(shù)列｛斯｝中，且,二。1+。2：…+見(jiàn),

(1)求證：數(shù)列｛為｝是等差數(shù)列；

(2)若4=1,*寸2：_."13=2,求數(shù)列｛斯｝｛6“｝的通項(xiàng)公式.

仇+與+…+/2

【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的兩個(gè)公式，兩個(gè)數(shù)列都是等差數(shù)列，所求通項(xiàng)就離不開(kāi)首項(xiàng)和

公差.

解：(1)：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

?a+a+...+a_%+qX”-h+%+???+4

??%十"2十十"八一2x〃,??%—幾一2'

?b-b-"1+""-"1+-%—%--(>2)

2*-2-2-2-2(n)'

二數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列，公差為g；

(2)?.七/+%：-+/,4=#1,

???數(shù)列｛斯｝、伯“｝是等差數(shù)列，

%十%31&

.%+%H_2——xiJ_〃]+陽(yáng)_%_3.ax+6d_3_1

一"+R+…+九一偽+九京―4+九―%一]'?%1—I'，?一§

212

an=l+（?-l）x-=-n+—,b=l+（?-l）—=~n+--

333n666

【評(píng)析】（1）中遇到了證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列，采取的方法只能是運(yùn)用定義，滿足定

義就是，不滿足定義就不是.

例5已知：等差數(shù)列｛斯｝中，的=12,5I2>0,Si3<0,

求數(shù)列｛斯｝的公差d的取值范圍；

【分析】按照所給的條件，把兩個(gè)不等的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于公差d的不等式.

解：（I）：?數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，

2q+=%—2d+/+9d>0

,即:V,

"51xi3<0q+43=—2d+/+10d<0

7d>-2a.24

3,即：——<d<-3,

8d<-2%7

【評(píng)析】也可直接運(yùn)用S"="4+心T）a得到關(guān)于ai與d的不等式，再通過(guò)通項(xiàng)公

"F2

式得到與勿的關(guān)系.

例6已知：四個(gè)數(shù)中，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，第一、四個(gè)數(shù)的

和為16,第二、三個(gè)數(shù)的和為12,求這四個(gè)數(shù).

【分析】本題中，方程的思想得到明顯的體現(xiàn)，實(shí)際上數(shù)列問(wèn)題總體上就是解方程的問(wèn)

題，根據(jù)所給的條件，加上通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式列出方程，解未知數(shù)，通過(guò)前面的例題

大家應(yīng)該有所體會(huì)了.

解：方法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)為：a,b,U-b,16-a

2b=a+12-b"=°或<。=15

則根據(jù)題意得，《n

(12-0)2=0(16-a)b=4b=9

則這四個(gè)數(shù)為0、4、8、16或15、9、3、1.

(a+d￥

方法二：設(shè)這四個(gè)數(shù)為：a-d,a,a+d,a

a=4a=9

則根據(jù)題意得《或<

a+a+d—12d=4d=—6

則這四個(gè)數(shù)為：0、4、8、16或15、9、3、1.

【評(píng)析】列方程首先就要設(shè)未知數(shù)，題目中要求四個(gè)數(shù)，但不要就設(shè)四個(gè)未知數(shù)，要知

道，方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)一樣時(shí)才有可能解出，因此在設(shè)未知數(shù)時(shí)就要用到題目中的

條件.方法一是用“和”設(shè)未知數(shù)，用數(shù)列列方程；方法二是用數(shù)列設(shè)未知數(shù)，用“和”列

方程.

例7已知：等差數(shù)列｛斯｝中，-4=10,且。5，06,成等比數(shù)列，

求數(shù)列｛。“｝前20項(xiàng)的和S2o.

【分析】本題最后要求的是等差數(shù)列的前20項(xiàng)和，因此，求首項(xiàng)、公差以及通項(xiàng)公式

就是必不可少的.

解：???數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，

??。5="4+1=l°+d，〃6=々4+21=10+2d,aio=〃4+6d=10+6d,

丁的，〃6，〃10成等比數(shù)列，/.?62=?5,即：(10+2J)2=(10+d)(10+6①

；?d=0或d=—15,

當(dāng)d=0時(shí)，斯=。4=10，S20—200；

當(dāng)d——15時(shí)，an=a^-\-(n—4)-15n+70,

S=a,+?20x20=55+(-230)x2Q=_1750;

2022

【評(píng)析】這種等差、等比數(shù)列綜合運(yùn)用時(shí)，往往出現(xiàn)多解的情況，對(duì)于多個(gè)解都要一一

加以驗(yàn)證，即使不合題意也要說(shuō)明，然后舍去.

例8已知：等差數(shù)列｛斯｝中，an=3n—16,數(shù)列｛為｝中，bn—\an\,求數(shù)列｛與｝的前

n項(xiàng)和Sn-

【分析】由于對(duì)含有絕對(duì)值的問(wèn)題要加以討論，因此所求的前〃項(xiàng)和&應(yīng)該寫成分段

函數(shù)的形式.

解：(1)當(dāng)幾W5時(shí)，恁V0,貝lj：bn=IanI=16—3n,且。i=13,

13+16—3〃29

-H------n

222

1

(2)當(dāng)時(shí)，an>0>貝J：bn=IanI=3n—16,此時(shí)：Ss=35,%=2,

2+3n—163229?

S=35H------------x(n-5)=一優(yōu)----九+70,

n222

3229

——nn(?<5)

22

由(1)(2)知,

-n2-—n+70(n>6)

122

【評(píng)析】當(dāng)〃26時(shí)，前5項(xiàng)和要加在工中是經(jīng)常被忽略的，得到的結(jié)果形式上比較復(fù)

雜,可通過(guò)賦值的方法加以驗(yàn)證.

練習(xí)5—2

一、選擇題:

1.若等差數(shù)列的首項(xiàng)是一24,且從第10項(xiàng)開(kāi)始大于零，則公差d的取值范圍是()

8，，。

A.d>—B.J<3C.—?d<3D.-<J<3

333

2.若等差數(shù)列｛斯｝的前20項(xiàng)的和為100,則劭?的4的最大值為()

A.25B.50C.100D.不存在

3.等比數(shù)列｛斯｝中，若〃1+。2=40,的+。4=60,則〃7+〃8=()

A.80B.90C.100D.135

4.等差數(shù)列｛%｝的前2006項(xiàng)的和S2oo6=2OO8,其中所有的偶數(shù)項(xiàng)的和是2,則初03=()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：

5.⑴等差數(shù)列｛%｝中，。6+a7+。8=60,則。3+。11=

⑵等比數(shù)列｛斯｝中,06-aTas=64,則俏511=

(3)等差數(shù)列｛斯｝中,03=9,679=3,則。12=；

(4)等比數(shù)列｛斯｝中，03=9,09=3,則。12=.

6.等比數(shù)列｛?,｝的公比為正數(shù)，若的=1,怒=16,則數(shù)列｛斯｝前7項(xiàng)的和為_(kāi)___

7.等差數(shù)列｛詼｝中，若斯=—2〃+25,則前“項(xiàng)和S”取得最大值時(shí)”=.

8.等比數(shù)列｛。“｝中，a5a6=-512,的+。8=124,若公比為整數(shù)，則aio=.

三、解答題：

9.求前100個(gè)自然數(shù)中，除以7余2的所有數(shù)的和.

10.已知：三個(gè)互不相等的數(shù)成等差數(shù)列，和為6,適當(dāng)排列后這三個(gè)數(shù)也可成等比數(shù)列,

求：這三個(gè)數(shù).

11.已知：等比數(shù)列｛斯｝中，句=2,前"項(xiàng)和為S”數(shù)列｛斯+1｝也是等比數(shù)歹U，

求：數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式斯及前〃項(xiàng)和S”.

§5-3數(shù)列求和

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.數(shù)列求和就是等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和問(wèn)題，還應(yīng)掌握與等差數(shù)列、等比數(shù)列有

關(guān)的一些特殊數(shù)列的求和問(wèn)題，

2.數(shù)列求和時(shí)首先要明確數(shù)列的通項(xiàng)公式,并利用通項(xiàng)公式找到所求數(shù)列與等差數(shù)列、

等比數(shù)列之間的聯(lián)系，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式解決問(wèn)題，

3.三種常見(jiàn)的特殊數(shù)列的求和方法：

(1)直接公式法：解決一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加而成的新數(shù)列的求和問(wèn)

題；

(2)錯(cuò)位相減法：解決一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘而成的新數(shù)列的求和問(wèn)

題；

(3)裂項(xiàng)相消法：解決通項(xiàng)公式是等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)乘積的倒數(shù)的新數(shù)列的求和問(wèn)題.

【復(fù)習(xí)要求】

特殊數(shù)列求和體現(xiàn)出知識(shí)的“轉(zhuǎn)化”思想一一把特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列,

而在求和的過(guò)程中又體現(xiàn)出方程的思想

【例題分析】

例1求和下列各式

1^1/1、

(1)1—I-2—!--??+(nH)；

242"

(2)1X2+2X22+3X234-----1“X2”；

1111

(3)-------1------F+...-------------

1x33x55x7(2〃一1)(2〃+1)

1111

(4)-----------1---------1---------1---------.

1+A/2A/2+y/~3-\[3+V4-\[n++1

【分析】我們遇到的數(shù)列求和的問(wèn)題是一些特殊的數(shù)列，即與等差、等比數(shù)列密切相關(guān)

的數(shù)列，最后還是回到等差、等比數(shù)列求和的問(wèn)題上.

解：(1)1—+2—H----1-(?+—)=(1+2H-----++------1--)

乙I-乙乙乙乙

(1+n)n—吩)1,1、11

=------+-----=-n(n+1)+1----------.

21122"

2

(2)設(shè)：S?=1X2+2X22+3X23H------HX2"

-)25“=1x2?+2x23+...+(“-1)x2"+"x2"+i

23nn+1

-Sn=2+2+2+?--+2-?x2

,,+1

則：Sn=nx2"i—I?！?=(n-1)2+2.

1—2

11

(3)--------1--------H----+…+

1x33x55x7(2〃一1)(2〃+1)

11111

=)+()-----Hz(-----7)]

23352n—l2n+l

11n

22M+12n+1

1111

⑷K-------1--------1---1------

A/Z+-\/3V3+A/?+1

=V2-1+73-72+V4-73H----1-Vn+1—&=<n+\-1.

【評(píng)析】(1)中數(shù)列可看成一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加而成，直接運(yùn)用前n

項(xiàng)和公式即可；(2)中數(shù)列可看成一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘而成，采用錯(cuò)位

相減的方法，相減以前需要每一項(xiàng)乘以等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減，還是利用等比數(shù)列

的前"項(xiàng)和公式，注意錯(cuò)位后最后一項(xiàng)相減時(shí)出現(xiàn)的負(fù)號(hào)，這是極容易出錯(cuò)的地方；(3)(4)

都是裂項(xiàng)相消，都與等差數(shù)列有關(guān)，(3)中的形式更加常見(jiàn)一些，注意裂項(xiàng)后的結(jié)果要與裂

項(xiàng)前一致，經(jīng)常要乘一個(gè)系數(shù)(這個(gè)系數(shù)恰好是等差數(shù)列的公差的倒數(shù)).

例2求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

(1)1,-5,9,-13,17,-21,…，(一1尸(4〃-3)；

(2)1,,--1---,-1---------，…，----------1----------;

1+21+2+31+2+3+…+”

(3)1,1+2,1+2+22,I+2+22+23,…，l+2+22H------H2"-1；

【分析】對(duì)于一個(gè)數(shù)列來(lái)說(shuō)，最重要的是通項(xiàng)公式，有了通項(xiàng)公式，就可以寫出所有的

項(xiàng)，就可以看出其與等差、等比數(shù)列的關(guān)系，從而利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得出結(jié)論.

解：(1)方法一：

(當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，1+(-5)+9+(-13)+17+(-21)4------卜(一1尸(4〃一3)

=(l+9+17+4n-3)-[5+13+21+(4n-7)]

1+4H-35+4〃一7

)=2H-1.

(當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，l+(-5)+9+(-13)4-17+(-21)4-----F-(-l),,-1(4n-3)

=(l+9+17+4n-7)-[5+13+21+(4n-3)]

1+4〃-7n5+4n-3n.

=-----------x-----------------x—=-2n.

2222

方法二：

(當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，1+(-5)+9+(-13)+17+(-21)4-----卜(一1)"一1(4〃一3)

=(1-5)+(9-13)+(17-21)H----F(4〃-11+4”—7)+(4〃-3)

n—1

=(-4)x—+(4zi-3)=2n-l.

(當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，1+(-5)+9+(-13)+17+(-21)4-----卜(一1)”一1(4〃一3)

=(1-5)+(9-13)+(17-21)H-----F(4n-7+4?-3)

=(-4)x—=-In.

2

⑵此數(shù)列中的第〃項(xiàng)

1+2+3H-----1-n+1)n(n+1)nn+1

2

則1+-----+----------+…+--------------------

1+21+2+31+2+3+…+〃

l-2n

⑵此數(shù)列中的第〃項(xiàng)%=1+2+2?+…+2"T=異半=2"—1

1—2

則1+(1+2)+(1+2+22)+-(1+2+224----F2"-)

=(21-l)+(22-l)+(23-l)+-(2n-l)

=(21+22+23+---+2")-n=2(1~2-n=2n+i-2-n.

1-2

【評(píng)析】(1)中帶有(一1)〃，需要討論最后一項(xiàng)的正負(fù)，方法一是把正、負(fù)項(xiàng)分開(kāi)，看成

兩個(gè)等差數(shù)列，方法二應(yīng)該是多觀察的結(jié)果，當(dāng)都要對(duì)〃加以討論，(2)(3)都要先寫出通項(xiàng)，

然后每一項(xiàng)按照通項(xiàng)的形式寫出，很明顯地看出方法.

例3數(shù)列｛?。校?L斯+1=2詼+2".

(I)設(shè)a=條，求證：數(shù)列2.｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S*

【分析】對(duì)于證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列的問(wèn)題，還是要應(yīng)用定義.

解：⑴證明："〃=堯,?..%=繚,

_4+1_冊(cè)_4+]2%_2__%_]

?,%一%-亍一尹一》一①_［，％一藥

?,?數(shù)列｛兒｝是首項(xiàng)、公差都為1的等差數(shù)列，即：bn=n.

n-1

⑵由(1)中結(jié)果，設(shè)么=用時(shí)，b〃=n,貝!J：an=n-2

.,.S?=1X2°+2X21+3X22+4X23H-----F(n-l)2,,-2+n?2n^1

—)2S〃=1x21+2x2?+3>+?.?+(〃-2)2"<+(〃-l)2"i+〃?2”

-5?=l+2+22+23+---+2^1-n-2n

1-2"

S=n-2"---------=(n-l)-2"+l.

"1-2

【評(píng)析】證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列時(shí)，如果可能應(yīng)強(qiáng)調(diào)首項(xiàng)與公差，證明后，往往要

用到整個(gè)數(shù)列，因此證明完后應(yīng)把數(shù)列的通項(xiàng)寫出，便于解決其他問(wèn)題.

例4已知：數(shù)列｛斯｝中，0=2,斯+1=4?！?3〃+1,“GN*,

(1)求證：數(shù)列｛斯一〃｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S”；

(3)證明不等式S.+1W4S”,對(duì)任意"GN*皆成立.

【分析】證明等比數(shù)列是應(yīng)該應(yīng)用定義，比較大小最有效的方法是作差.

(1)證明：由題設(shè)a”+i=4。"一3"+1,得。"+1—(〃+1)=4(?！币弧?("GN*),

.飛―"("+1)=4,

數(shù)歹!)｛為一”｝是首項(xiàng)為1,且公比為4的等比數(shù)列.

(2)解：由(1)可知斯一"=4"r,于是數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為斯=4"-1+".

則數(shù)列｛斯｝的前“項(xiàng)和S"=(4°+1)+(41+2)+…+(4"T+〃)=三匚+“7)-

(3)證明：

azic_4?一1,(〃+1)(〃+2)4fl+1-44H(H+1)

3232

1..八(3n+4)(n—1)_

=——(3n2+n-4)=--------——-<0.

22

不等式S.+1W4S”，對(duì)任意〃dN*皆成立.

練習(xí)5-3

一、選擇題：

1.數(shù)列1工、3工、51、7工、一、(2〃—1)+工的前〃項(xiàng)之和5.=()

248162"

9,,1-7

A.TI+1-----B.2〃一〃+1-----

TT

C.7?2+1-----1--D.TI2-幾+1?----1-

2〃TT

123n

2.若數(shù)列10%10210'…,10元，…它的前幾項(xiàng)的積大于105,則正整數(shù)〃的最小值是()

A.12B.11C.10D.8

3.數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式=7-ly----,若前〃項(xiàng)和a=3,貝!J〃=()

A.3B.4C.15D.16

1

4.數(shù)列｛念｝的前〃項(xiàng)和為當(dāng),則S5等于()

"(〃+1)

511

A.1B.C.一D.——

6630

二、填空題:

11113

5.若3=—十—+一+???+-----------，且s"?S/i=w，則〃

2612n(n+1)

6.若Igx+lgf+lg^H----Flgx/7="2+"，則彳=.

7.數(shù)列1,(1+2),(1+2+22),…，(1+2+221---卜2"-1)的前99項(xiàng)和是______.

8.正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝滿足：4?2,04=1,53=13,若6”=log3飆，則數(shù)列｛々｝的前10項(xiàng)的和

是.

三、解答題：

9.己知：等差數(shù)列｛斯｝的前“項(xiàng)和為S”且$7=7,SI5=75,

求數(shù)列｛手｝的前〃項(xiàng)和

10.已知：等比數(shù)列｛斯｝中，公比qw1,=%十%--卜冊(cè),丁鹿=—?---1----1—.

dya?

_S

(1)用。1、q、幾表不了？■

⑵若-贄、彳、/成等差數(shù)列，求q的值;

11.已知：數(shù)列｛詼｝中，03=2,。5=1，數(shù)列］」一是等差數(shù)歹U，

14+1J

(1)數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=4上，求數(shù)列｛仇｝的前"項(xiàng)和S".

n

§5-4數(shù)學(xué)歸納法

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法.

2.數(shù)學(xué)歸納法證明包含兩個(gè)步驟：

(1)證明"="0時(shí)命題成立("o是第一個(gè)使命題成立的正整數(shù))

⑵假設(shè)"=%(后"0)時(shí)命題成立，由此證明”=4+1時(shí)命題也成立.

注意到，數(shù)學(xué)歸納法是一種自動(dòng)證明的方法，其中(1)是基礎(chǔ)，(2)是一種遞推的結(jié)構(gòu),

在證明n^k+1命題成立時(shí)，必須要用上〃=上成立時(shí)的歸納假設(shè).

【復(fù)習(xí)要求】

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.

【例題分析】

例1求證：+----1-75—="("+1)(“eN*)

1x33x5(2n-l)(2n+l)2(2〃+1)

【分析】等式的證明應(yīng)該是利用數(shù)學(xué)歸納法常見(jiàn)的命題，注意從上到％+