河南省2023屆高三下學(xué)期階段性測(cè)試（四）數(shù)學(xué)（理）試卷(含答案)

河南省2023屆高三下學(xué)期階段性測(cè)試（四）數(shù)學(xué)（理）試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1、已知集合A={x∣y=4},B={x∣y=In∣x-l∣}?則AB=()

A.{x∣x≥0}B.{x∣x>l}C.{x∣04x<l或x>l}D.{x∣0≤x<l}

2、若I(l+2i)=ll+2i,則z=()

A.3+4iB.3-4iC.4+3iD.4-3i

3、已知函數(shù)/（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,則“/'（%）=O”是是/（x）的極值

點(diǎn)”的（）

A.充分必要條件B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件D.必要不充分條件

4、在平行四邊形ABCO中，點(diǎn)E,尸分別在邊C。，BCh,DE=EC,CF=2BF,

設(shè)AE=τn,AF^n,則AC=()

A.-mH—nB.—mH—nɑ.-inH—n

42245555

5、h+二］(x+2y)6的展開式中∕y4的系數(shù)為()

Iy)

A.192B.240C.432D.256

NI-Cos26CoSe-Sine...Γπ.

6、右Zit-------=----------,W1Jtan—+=()

sin2θCOSe(4)

A.3B.2C.√3D.1

7、已知A為拋物線Uy2=4X上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M（-1,0）,。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若tanNAM。=半，則直線AF斜率的絕對(duì)值為（）

A.述B.2√2e.?D.-

233

8、若棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱的體積為160，且該三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)均在球。的表面

上，則球。的表面積為（）

?28?112CUr112

A.——πB.πC.oπD.-----π

393

9、下表為某外來(lái)生物物種入侵某河流生態(tài)后的前3個(gè)月繁殖數(shù)量M單位：百只）的數(shù)

據(jù)，通過(guò)相關(guān)理論進(jìn)行分析，知可用回歸模型y=e-M(αeR)對(duì)y與，的關(guān)系進(jìn)行擬

合，則根據(jù)該回歸模型，預(yù)測(cè)從第()個(gè)月開始該物種的繁殖數(shù)量超過(guò)5000只(參考數(shù)

據(jù)：e3≈20.09,e4≈54.60).

第t個(gè)月123

繁殖數(shù)量ye1-4e2,2e2,4

A.4B.5C.6D.7—

10、在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為q,b,c,若4=25,則—的取值范

b

圍為()

(712∏(13、

A.(3,4JB.C.3,—D.(2,5]

??3」14J

11、已知雙曲線W=l(α>0,Z?>0)的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B[O,2],直線AB與雙曲

a2b2?2)

線的兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn)，若線段PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn),

則雙曲線的離心率為()

A.√2B.√3C.-D.-

23

12、已知函數(shù)/(x)=Xe*-αlnx+x-x"∣,若/(x)>0在定義域上恒成立，則實(shí)數(shù)”的

取值范圍是()

A.(-∞,e)B.[O,e)C.(-∞,l)D.[0,l)

二、填空題

13、已知隨機(jī)變量X~N(l,b2),且p(x≤T)=2p[x>?∣),則

M≤χ<j----------------------

x-γ+l≤0,

14、已知實(shí)數(shù)X,y滿足約束條件<x+120,則z=3x+y的最大值為.

x-2y+4≥0,

15、已知圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，圓柱的底面在圓錐的底面內(nèi)，當(dāng)圓柱與圓錐體積之

比最大時(shí)，圓柱與圓錐的底面半徑之比為.

16、已知函數(shù)/(x)=2cos?3x-sin23x(0</<4),若當(dāng)x∈(?^,?∣)時(shí)，總

有/(?)>0,則①的最大值為.

三、解答題

17、已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和5.=日產(chǎn).

(I)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)2=I：；'"≤1°,求數(shù)列也｝的前30項(xiàng)和.

[2%o，〃〉lO,

18、某超市為改善某產(chǎn)品的銷售狀況并制訂銷售策略，統(tǒng)計(jì)了過(guò)去100天該產(chǎn)品的日

銷售收入(單位：萬(wàn)元)并分成六組制成如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率閹距

2.0

1.5

8

0.2

0.0

0.30.40.50.60.70.80.9月銷售收入行元

(1)求α的值并估計(jì)過(guò)去100天該產(chǎn)品的日銷售收入的平均值X；(同一區(qū)間數(shù)據(jù)以中點(diǎn)

值作代表)

⑵該超市過(guò)去100天中有30天將該商品降價(jià)銷售，在該商品降價(jià)的30天中有18天該

產(chǎn)品的日銷售收入不低于0.6萬(wàn)元，判斷能否有97.5%的把握認(rèn)為該商品的日銷售收入

不低于0.6萬(wàn)元與該日是否降價(jià)有關(guān).

2

附：K=---------〃(ad-bc)-------,其中〃=α+∕7+c+Q

(a+b)(c+d)(a+C)(b+d)

2

P(K≥k0)0.0500.0250.010

K3.8415.0246.635

19、如圖所示，四棱臺(tái)ABCD-ABC。的上、下底面均為正方形，且。底面

ABCD.

(1)證明：AC±BDl;

⑵若AD=DR=2AR=2,求二面角A-BB1-C的正弦值.

20、已知函數(shù)/(x)=InX?cosx.

⑴設(shè)X。是/。)的最小零點(diǎn)，求曲線y=F(X)在點(diǎn)(％J(χ°))處的切線方程;

(2)證明：當(dāng)x∈(0,π］時(shí)，/(x)<-.

e

21、已知橢圓Uj+∕=l(α>8>0)的離心率為|,且S,率為C上一點(diǎn).

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)A,B分別為C的左、右頂點(diǎn)，M,N為C上異于A,8的兩點(diǎn)，直線MN不與坐

標(biāo)軸平行且不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為M'若直線41，與直線

BN相交于點(diǎn)P,直線OP與直線MN相交于點(diǎn)Q,證明：點(diǎn)。位于定直線上.

22、［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

4t

X=五S',、,會(huì)物、|、J正廣而占c%

在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線C的參數(shù)方程為<,。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為

8-2r

y=k

極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為QCoSe+Qsin6=4.

(1)求曲線C的普通方程；

⑵若P為C上一動(dòng)點(diǎn)，求P到/的距離的取值范圍.

23、［選修4-5：不等式選講］

已知函數(shù)f(x)=2x+g+2x-g

⑴求不等式/(x)<3的解集;

⑵設(shè)了⑴的最小值為若正實(shí)數(shù)。，滿足急+急=〃,證明：

M'8α+,≥∣.

參考答案

1、答案：C

解析：由題意，A={Λ∣x>0},B={x?x≠l},所以4B={x∣0≤x<l或x>l}.

故選：C.

2、答案：A

到*-ll+2i(ll+2i)(l-2i)15-2Oi?..Q小

解析：Z=-------=-----------------=---------=3-41,則rilllz=3+4ι.

l+2i(l+2i)(l-2i)5

3、答案:D

解析：由極值點(diǎn)的定義，若/為/(x)的極值點(diǎn)，則有/'(ΛO)=O,而由/'(Xo)=O不一

定推得/為/(%)的極值點(diǎn)，例如/(X)=Y,故"/，(％)=()，”是“%是f(x)的極值

點(diǎn)”的必要不充分條件.

4、答案：D

解析：由題意，AE^AD+DEAB+AD,AF^AB+-AD,設(shè)

23

xAE+yAF=5+yjAB+[x+]^AD=AD-^AB=AC9由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等

??_[_4

XH=1,X=—,

3543

<.?JΛAC=-W+—n.

X355

I”j1"1

5、答案：C

.?.l+2](x+2y)6的展開式中尤2y4項(xiàng)為

解析：原式即(1+盯T)(X+2y)6,

Iyj

CH孫τ)?x?(2y)5+C"2g)4=432X2/,系數(shù)為432.

6、答案：A

1—(1-2Sin*)

解析：由題意」-------^=I-tan。，即tan6=L

2sinGcosB2

π八

/、tan+tanΘ1÷-

tan∣—+∣=---------------=——?=3.

7、答案：B

解析：設(shè)tan/AMo=BW=烏m=半，解得χ=3或χ=2√L所

［4J?+13

4

以拈⑹或A(2,2√Σ),又尸(1,0),所以*=*於=-2夜或

2^

L==2近,所以k"∣=2λ∕5.

22,—1°

8、答案：D

解析：設(shè)該正三棱柱棱長(zhǎng)為X,底面三角形的外接圓半徑為r,則

；Sin6(T?χ2.χ=i66，.?.x=4,則廠=差.設(shè)三棱柱的外接球。半徑為凡則

內(nèi)=，+值［=3+4=要,S表=4成、4”竺=髻兀.

?2)33&33

9、答案：C

解析：由題意，y=e""兩邊取自然對(duì)數(shù)得Iny=I+〃，令"=Iny,則

_?_I

w=l+ar.w=(lnyl+lny2+lny3)×-=2,Z=(r1+Z2+Z3)×-=2,回歸直線必過(guò)樣本

點(diǎn)的中心，

.?.2=2α+l,得a=g，,"=1+(,則>=e叫.當(dāng)t=4時(shí)，γ=e3≈20.09<50；當(dāng)f=5

3534

時(shí)，γ=e-=√e?e<50；當(dāng)，=6時(shí)，y=e“≈≈54?60>50,.?.從第6個(gè)月開始，該物

種的繁殖數(shù)量超過(guò)5000只.

10、答案：C

解析：A=IB,.,與1124=5由23=251113853且8€(0,三)，

SinC=Sin(A+6)=Sin38=3Sin6—4sir√8,由正弦定理可得

3a-C_3sinA-sinC_6sinBcosB-3sinB+4sin3B

bsinBsinB

=6cosB+4(1-cos23)-3=-4CoS2B+6cosB+l,令COS8=,則

%二￡=_4產(chǎn)+6f+l,由二次函數(shù)性質(zhì)知-4〃+6f+ie13,史］,.?.即二∈∣S,U.

b<4JbI4_

11、答案：B

hh

解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在直線y=2χ上，由題可知A(-α,O),???旗8=2，

a2a

bb

2

:.lAB:y=—x+~,由，得卜=r.?.P(α,b),同理QY,曲，.?.PQ的中

2a2byp=b,<33√

y=一χ,一

a

點(diǎn)為化出，PQ的垂直平分線方程為>一絲=一當(dāng)％一μ，將1y=°‘代入整理得

V33√3b\3J[X=a

—?-=2,貝Ue=Ji+~γ=?/?.

12、答案：B

解析：由/(x)>0得xe*+x>alnx+x"",所以xe*+x+lnx>Mnx+lnx+x"M,構(gòu)造函

數(shù)g(x)=x+e',則不等式轉(zhuǎn)化為g(x+lnx)>g(αlnx+lnx),又易知g(x)在R上單調(diào)

遞增，故不等式等價(jià)于x+lnx>αlnx+lnx,即x-αlnx>0.設(shè)∕z(x)=x-4lnx,若

α<0,則當(dāng)x〉0且x→0時(shí)，h(x)→-∞,不符合題意；若a=0,則當(dāng)x〉0時(shí)，

h(x)>O,符合題意;若a〉0,則/z'(X)=I-為尤)在(OM)上單調(diào)遞減,在(α,+8)上

X

單調(diào)遞增，所以〃(x)min="(。)，要使〃(X)>0恒成立，只需∕z(α)="(lTnα)>0,所以

O<α<e.綜上可知a的取值范圍是[0,e).

13、答案：,

6

X>∣)p(x≤∣)=p(x>∣)=ι,≡p(x>∣)=l,所以

解析：由題意可知P+3

?

6-

14、答案：9

解析：根據(jù)不等式組作出可行域如圖中陰影部分所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)表示的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(2,3)時(shí)，z=3x+y取得最大值9.

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為R,圓錐的軸截面為等腰三角形，底邊長(zhǎng)為2R,設(shè)其底角

為a,則圓錐的高為Rtano,圓錐的體積為ENtana.設(shè)圓錐內(nèi)接圓柱的底面半徑為

3

r,高為〃，則二=Rtana即〃=(7?—r)tanα,則圓柱的體積為

RRtana

πr2∕z=πr2(/?-r)tan6κ=π(Rr2-r3)tan6κ,r∈(0,R),圓柱與圓錐體積之比為

[Δ.Δ

3(R2Ri,設(shè)f=C(O<f<l),f(t)=t2-t3,則尸(。=253/=/(2-3。.由

R

2?22

∕,(r)=0,得，=—,當(dāng)0<r<—時(shí)，∕,(r)>0,當(dāng)一<『<1時(shí)，f'(t)<O,所以當(dāng),=—

時(shí)，/⑺取得最大值，即圓柱與圓錐體積之比最大，此時(shí)看=g?

16、答案:—

4

解析：解：/(x)=cos2ωx-sin2ωx+1=V∑cos(269%+—)÷1,

4

ππ

先考慮了(幻>0—<x<—,令2ωx-?--=t

634

ππωππ2師π

當(dāng)X∈時(shí)，z∈+,+

6,3T4~4

由/(χ)>0得及CoSr+l>0，E∣Jcost>一一—

3兀c,ωππ

—+2kπ≤——+—

34

(?∈Z),

2ωππ_3πc,

+—≤---F2kπ

~T44

得一3+6左≤<υ≤?+3左(ZeZ),

又，0<ω<4,

.?.此時(shí)8的最大值為"，

4

若切="，當(dāng)x∈(空,空［時(shí)，f=-X+—∈fβπ--,6π+^^l,V2cos∕+l>0,符合

4(36J24142J

條件，

綜上，。的最大值為

4

故答案為：—.

4

17、答案:(l)αn=n-3

⑵與。=175

解析：⑴q=H=?^?=-2,

當(dāng)〃≥2時(shí)，有臬=日日，S,,7=5T)21("1),

2

兩式相減得an=g[“2-5n-(rt-l)+?(rt-l)?=n-3(n≥2),

當(dāng)"=1時(shí)，q=-2符合上式，

故a“=n-3.

(2)設(shè)數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為J；,

則To=(AI+4+，+4o)+(A]]+d++%)+(%+%+^*^?o),

由題意得A+%+÷Z?o=tz1+6i2÷?+α10=S109

b

u+?++%=2(4+?++/)=2SK),

+

b2]÷?2+?)=2(%+42++%)=2x2S]0=4S∣o,

7

2

???‰=7S,O=-(1O-5O)=175.

18、答案：(l)a=3.0,x=0.537

(2)有97.5%的把握認(rèn)為該商品的日銷售收入不低于0.6萬(wàn)元與該日是否降價(jià)有關(guān)

解析：(1)依題意有(L5+2.5+α+2.O+O.8+O.2)χO.l=l,得α=3.0.

%=0.35×0.15+0.45X0.25+0.55×0.30+0.65X0.20+0.75X0.08+0.85×0.02=0.537.

⑵依題意作2x2列聯(lián)表：

降價(jià)非降價(jià)總計(jì)

不低于0.6萬(wàn)元181230

低于0.6萬(wàn)元125870

總計(jì)3070100

100>(18>58-12x12)2

30×70×70×30

因?yàn)?8.367>5.()24,所以有97.5%的把握認(rèn)為該商品的日銷售收入不低于0.6萬(wàn)元與

該日是否降價(jià)有關(guān).

19、答案：(1)證明見解析

⑵半

解析：(1)?.OA，平面ABCO,4Cu平面ABC￡>,.?.AC1DD,,

如圖，連接BD,四邊形ABCo為正方形，.?.ACLBD,

又-.?DDtBD=D,:.ACJ?平面DIDB,

8?U平面DQ8,.?.AC±BD1.

(2)由題意知直線OA,DC,DDt,兩兩互相垂直，故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系.

由已知可得A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),B1(1,1,2),

4B=(1,1,-2),BC=(-2,0,0),BA=((),-2,0).

設(shè)平面ABlB與平面BBlC的法向量分別為陽(yáng)=(Xl,χ,z∣),n2=(Λ2,^2,Z2).

nl?B1β1=X1÷V1-2z.1=0,.π.

則,I力令4=1,則,I1=(2,0,1),

nl?BA=-2yi=0,

%?=x+V-2z=0,.

{21922772令aZ2=l,則rl%=(0,2,1),

n2?BC=—2X2=0,

/?Wn11

???eos(n,,w?)=12=-F=--j==T，

EIl叫I√5×√55

故二面角A-BB1-C的正弦值為=半.

20、答案：(l)y=(x-l)cosl

(2)證明見解析

TT

解析：(1)令/(x)=0,得x=l,或x=%π+,,Z=O,1,2,

..Λθ-1.

ff(x)=c°s^r-sinx?lnx,/.∕r(l)=cosl,

X

?,.曲線y=f(χ)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y=(X-I)Cosl.

(2)InX在(0,1)上為負(fù)，在。,兀］上為正,cos%在嗚上為正，在］,π上為負(fù),

又/(I)=O，fO,

TT

當(dāng)Ocxvl時(shí)，/(x)<O,當(dāng)∕<x<π時(shí)，/(?)<O,

故只需證］∈［1,/時(shí)，∕*)<L

e

v?11

令TI(X)=一-Inx,則力'(X)=------，易知∕ι'(X)單調(diào)遞增,

eeX

且力'(e)=O,故當(dāng)0<x<e時(shí),"(x)<O,.?.∕z(x)在(O,e)上單調(diào)遞減,

???當(dāng)可后時(shí),h(x)>?(e)=0>即』>InX.

e

π

.?.InX?cosX<—cosx,要證/(x)1<X<一，HMiiExcosx<1l<x<

ee2

π

令g(x)=xcosx,貝∣J，(X)=COSX-XSinX,易矢口g<x)在L上單調(diào)遞減,

.*.g'(x)<?,(1)=Cosl-Sinl<0,.?.g(x)在0上單調(diào)遞減,

.?.g(χ)Vg⑴=COSIV1,故XCOSX<1在回上恒成立.

綜上可得原命題成立.

Y2y2

21、答案：(1)?+2=1

9?

(2)點(diǎn)Q位于定直線X=-3上

解析：⑴設(shè)橢圓。的焦距為2c(c>0),

c_2

^a~3,

cr=9,

由題意得"=L解循

Z>2=5,

a2=b2+c2,

22

???c的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=L

95

⑵由題可知A(-3,0),3(3,0),設(shè)M(AI,χ),N(x2,y2),

則Λf'(-x∣,-χ),設(shè)/“N：X=Zny+”.

X=my+n,

聯(lián)立<χ22消去XW{Srnλ+9)丁+10Tnny+5(/—9)=0,

—+2-=l

[95

-IOznn5(√-9)

???M+%y%=

5m2+95zn2÷9

lBN?y=-^(χ-y)，

1AM??y=(x+3),

Λ,-3X-3

k%2

NBN

X2—3

x↑一3

-L--%=%,+3,

又點(diǎn)P為直線AM'和BN的交點(diǎn)，.?」??

工,—3

-=------yp=xp-3,

%

故可得2Xp=j9+=1%

IyJz2)

〃、

myl+〃-3+Jny2+—3

<X%>

=2加+(〃—3)X+%yp

.