重慶市新高考數(shù)學(xué)大題限時練4（含解析）

專題04大題限時練四

1.AJBC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,h,c,已知8為銳角，且b=csin8+acosC.

(1)求C；

(2)若48=4,點。滿足麗=3戸，當(dāng)AASC的面積最大時，求CD和cosN/CD的值.

【答案】(1)C=-\(2)CD=6cosZACD=^-

210

【詳解】(1)依題意b=csin8+acosC.

由正弦定理得sin5=sinCsin8+sin力cosC,

sin(J+C)=sinCsin8+sin/cosC,

sinAcosC+cos/sinC=sinCsin8+sinAcosC,

cosJsinC=sinCsinB,

由于所以sinC>0,

依題意8是銳角，即0<8<工，0<--5<-,

222

cosJ>0?/為銳角，且cos4=sin8=cos(生一6),

7171

所以力=工一臺,Z+8=-,C

222

222

(2)依題意得乙4C8=E，c=4fa+b=c=16t

2

22

SMBC=；ab,,1a+b116

-x---------—x—=4,

2222

當(dāng)且僅當(dāng)—0時取等號，此時三角形,是等腰三角形，7,

由于麗=3刀，所以力。=1,BD=3,

8+1-2x272x1x2^=75,

在三角形4CD中，由余弦定理有CD=

8+5-13V10

cosZACD

2x272x7510

2.在正項等比數(shù)列｛a“｝中，4=1,a4=a｝+2a2.

(I)求數(shù)列｛a,J的通項公式；

(II)設(shè)數(shù)歹U也｝滿足“=『%'〃為求數(shù)列也!的前2n項和S2?.

[/宏2?！ǎ盀榕紨?shù).1A.

【答案】（I）q,=2"T；（IDS,n=Tn+R?=2n+—-^^

"-nnn9922"i

【詳解】（I）設(shè)公比為加＞0）,由題修：,,

[a]q=a、q+2q9

解得g=2或q=-l（舍），

所以%=2"T；

為奇數(shù)，2”,〃為奇數(shù)，

(ID因為4=＞所以a=

%,〃為偶數(shù),N-1,〃為偶數(shù),

2〃為奇數(shù)，

%,則

令C.

召為偶數(shù)，

冊

所以$20=4+。2+C3+…+C2.T+C2“=(q+C3+…+。2”-|)+(02+C,+…+C?a)，

令1=G+q+.-+C2,i,R?=C2+C4+---+C2n,

則看=C|+Q+…+40-1=2”，

?132M-1

R“=c2+c4+---+c2?=初+戸+…+三丁，

則4R“=++4+…+全工

ii12H-I丁a-2〃-1106w+5

作差可得：3/??=2+2(y+^---+^7T)-^7T-=2+2---------j------

1-----

4

所以此號6〃+5

9-22,,~]

所以邑.=7；+區(qū),=2〃+卜”

3.如圖1,矩形尸45c中，PC=34，PA=＞/6,。為PC上一點且CO=2OP.現(xiàn)將沿著力。折起,

使得PDVBD,得到的圖形如圖2.

（I）證明：尸4丄平面PB。:

（II）求二面角P-AB-D的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）正

7

【詳解】（/）證明：???四邊形尸48c為矩形，PC=373,PA=娓且CD=2DP,

AL

BD1=BC2+CD2=PA2+-PC2=18,即8。=；

9

AD-=PA2+PD2=PA2+-PC2=9,即AD=3-,

9

又AB=PC=34i,BD2+AD2=AB2,BDVAD,

又PD丄BD,PD^AD=D,PD,/￡)u平面尸NO,r.8。丄平面P/O,

?/PAu平面PAD,:.PA丄BD；

PALPD,PD^BD=D,PD,BDu平面PBO,PA1PBD.

(〃)解：過尸作尸E丄NO,交.AD于E,???PD=幣,PA=46,..PE=絲絲=應(yīng)，

AD

：.DEyJPD2-PE2=1,

由(/)知8。丄平面產(chǎn)”。，BDu平面厶BD,r.平面丄平面P/D,

又PE丄AD,PEu平面尸40,丄平面N8O,

故以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

.?.0(0,0,0),4(0,3,0),8(30,0,0),尸(0,1,&),

AB=(3近，-3,0),萬=(0,-2,偽，

由(/)平面48。的一個法向量為所=(0,0,1),

設(shè)平面R48的一個法向量為萬=(x,y,z),

.n-AB=3\/2x-3y=0r-r-

則M<，令A(yù)x=l,y=v2,z=2,.,.”=(1,近,2),

n?AP=-2y+V2z=0

__2277

二.cos<n,m>=—j==-----.

幣7

?.?二面角尸為銳二面角，，二面角的余弦值為厶巨.

7

4.近兩年因為疫情的原因，同學(xué)們對于居家上網(wǎng)課的情景越來越熟悉了.相較于在學(xué)校教室里線下課程而

言，上網(wǎng)課因為少了課堂氛圍，難于與老師和同學(xué)互動，聽課學(xué)生很容易走神.為了提升同學(xué)們的聽課效

率，授課教師可以選擇在授課過程中進(jìn)行專注度監(jiān)測，即要求同學(xué)們在10秒鐘內(nèi)在軟件平臺上按鈕簽到，

若同學(xué)們能夠在10秒鐘內(nèi)完成簽到，則說明該同學(xué)在認(rèn)真聽課，否則就可以認(rèn)為該同學(xué)目前走神了.經(jīng)過

一個月對全體同學(xué)上課情況的觀察統(tǒng)計，平均每次專注度監(jiān)測有90%的同學(xué)能夠正常完成簽到.為了能夠

進(jìn)一步研究同學(xué)們上課的專注度情況，我們做如下兩個約定：

①假設(shè)每名同學(xué)在專注度監(jiān)測中出現(xiàn)走神情況的概率均相等；

②約定每次專注度監(jiān)測中，每名同學(xué)完成簽到加2分，未完成簽到加1分.

請回答如下兩個問題：

(1)若某班級共有50名學(xué)生，一節(jié)課老師會進(jìn)行三次專注度監(jiān)測，那么全班同學(xué)在三次專注度監(jiān)測中的

總得分的數(shù)學(xué)期望是多少？

(2)計某位同學(xué)在數(shù)次專注度監(jiān)測中累計得分恰為"分的概率為勺(比如：《表示累計得分為1分的概率,

舄表示累計得分為2的概率，〃eN*),試探求：

(I)｛2,「匕｝的通項公式；

(II)｛2｝的通項公式.

【答案】見解析

【詳解】(1)由題意每名同學(xué)在每次專注度監(jiān)測中完成簽到的概率為，

取全班同學(xué)在三次專注度監(jiān)測中完成簽到的總?cè)舜螖?shù)為隨機變量X,

由二項分布的特征可得X服從二項分布5(150,0.9),

取全班同學(xué)在三次專注度監(jiān)測中完成簽到的總分?jǐn)?shù)為隨機變量，，

利用x與y的關(guān)系可得y=2x+ix(i50-x)=i50+x,

￡(y)=150+E(X)=150+150X0.9=285分.

(2)(I)依題意耳=0.1,P2=0.9+0.1x0.1=0.91,匕*2=01E+i+0-9勺，

???P.+2-PN=-0.9(PZ-P.)，

又?.?犬-<=081,..｛匕+1-匕｝為等比數(shù)列,

=0.81x(-0.9)“T=(-0.9嚴(yán)，

n

(II)由題意可得：＜一耳=(-0.9)2,=(-0.9)\……，P?-P?_x=(-0.9),

將上面的這"-1個式子相加可得:

O1

￡,一耳=(-0.9)2+(_09)3+(49)4+…+(-0.9/=—(1-(-0.9)"-'),

Q11AQ1

...P=0.1+——(1-(-0.9),,-1)=-----------(—0.9)1.

“19019190

fv2

5.已知曲線。由G：會+}=1(4＞。＞0,尤.0)和。2：/+/=62(》＜0)兩部分組成，G所在橢圓的離心率

為弓，上、下頂點分別為耳，B2,右焦點為尸，與x軸相交于點四邊形4尸與。的面積為6+1.

(1)求a,b的值;

（2）若直線/與0相交于4,8兩點，|工例=2,點P在。2上，求AP/8面積的最大值.

=2

【答案】（1）r；⑵2

]b=\

c_A/3

a24=2

【詳解】（1）由題意知=>

^(Z)+C)-2Z?=A/3+1b=l

a2=b2+c2

（2）設(shè)必）,B（X2,必），

①當(dāng)力B斜率存在時，設(shè)直線48的方程為^=広+加，

y=kx+m

=>(1+4k2)x2+Sktnx+4/w2-4=0

x2+4/=4

△=64k2m2-4(1+4k2)(4〃/-4)=16(4*-/H2+l)>0,

-Skm八

-------r>°

1+4公

=>〃厶一1或〃?..1,

4加2—40

1+4-…

|1=V1+F?吋4k上*1=2n12F-4療-4k2m2+3=0,

\+4k'

3(4&?+1)

計算可得小

4伏2+1)

故原點。到直線48:y=厶+m的距離d=JTL=回"j13+（4公）1）=],

応戸2（1+公）4（1+二）

當(dāng)3=4^+1時，即后=變，加=-五時取等號，

22

故原點O到直線AB的距離d的最大值為1,則點P到直線AB的距離兒d+L2,

故S”發(fā)訓(xùn)i2,面積最大值2；

②當(dāng)斜率不存在時，/（0,-1）,8（0,1）,止匕時S"“8=；X2X1=1<2.

綜上：厶48面積的最大值為2.

6.已知函數(shù)f（x）=H-l+加x（ae?.

X

（1）討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)8。）=才。）-"2+》有兩個極值點，求實數(shù)0的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)4,0時,函數(shù)，(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,當(dāng)。>0時，函數(shù)f(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減,在

(2a,+8)上單調(diào)遞增；(2)(0,-)

【詳解】(1)由題意得，八燈的定義域為(0,+oo),/(外=丄_4=二￡,

XXX

當(dāng)a.0時，/'(X)>0,函數(shù)/(x)在(O.+oo)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時，令/'(x)=0,解得x=2a,

xw(0,2a)時,f'(x)<0,函數(shù)/(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減，

xe(2a,+8)時，f'(x)>0,函數(shù)/(x)在(2a,+8)上單調(diào)遞增,

綜上所述，當(dāng)a,0時，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)。>0時,函數(shù)/(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減，在(2a,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由題意得g(x)=xf(x)-ax2+x=xlnx-ax2+2a,

求導(dǎo)得g'(x)=/〃x-2ax+l,

設(shè)h(x)=Inx-2ax+1,求導(dǎo)可得h'{x}=--2a,

x

當(dāng)a.0時，h'(x)>0,函數(shù)Mx)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

函數(shù)g(x)至多有一個極值點，不合題意，

當(dāng)a>0時，令h\x)=0,解得x=—,

2Q

xe(0,丄)時，h\x)>0,函數(shù)厶(x)在(0,丄)上單調(diào)遞增,

2a