挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘(全國(guó)通用)專題04定弦定角(專項(xiàng)訓(xùn)練)(原卷版+解析)

專題04定弦定角（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2023秋?如皋市期中）如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝3．若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為（）A．1.5 B． C． D．22．（2023秋?宜興市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，當(dāng)∠CBP＝∠BAD時(shí)，線段CD的最小值是（）A． B．2 C． D．3．（2023秋?潛山市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣44．（2023?巢湖市二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點(diǎn)E在AB上，＝，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（）A．2﹣2 B． C．4 D．25．（2023?廣西模擬）如圖，AC為邊長(zhǎng)為的菱形ABCD的對(duì)角線，∠ABC＝60°，點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)B，C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC，CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)，連接AM和BN，求△APB面積的最大值是（）A． B． C． D．6．如圖，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為．7．（2023秋?定海區(qū)期中）如圖，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，⊙O為△ACD的外接圓，直線BD交⊙O于P點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)，，則AD的最小值為．8．（2023?柳南區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊△ABC中，動(dòng)點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，且保持AE＝CD，連接BE，AD，相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為．9．（2023秋?灌南縣校級(jí)月考）我們?cè)趯W(xué)習(xí)圓的知識(shí)時(shí)，常常碰到題目中明明沒(méi)有圓，但解決問(wèn)題時(shí)要用到，這就是所謂的“隱圓”問(wèn)題：下面讓我們一起嘗試去解決：（1）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為．（2）如圖，在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從D、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在邊DC、CB上移動(dòng)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E、F的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)．若AD＝2，則線段CP的最小值是．（3）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E、F分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF＝2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為多少？10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，求AB+AC的最大值．11．【問(wèn)題提出】（1）如圖①，點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，且∠EOF＝90°，連接BO，則線段BE，BF，BO之間滿足的等量關(guān)系為；【問(wèn)題探究】（2）如圖②，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在BC下方作等腰Rt△BCD，其中∠BDC＝90°，連接AD，求AD的最大值；【問(wèn)題解決】（3）如圖③，某縣政府為解決農(nóng)業(yè)灌溉問(wèn)題，加強(qiáng)農(nóng)田水利“最后一公里”建設(shè)，改善農(nóng)田灌溉、生態(tài)治理等水利民生工作，計(jì)劃給該縣管轄下的村莊A，B，C修建總揚(yáng)水站D以及支渠AD，BD，CD，其中AB＝AC＝6km，∠BAC＝120°．為了灌溉更多的農(nóng)田，需要三條支渠總長(zhǎng)（AD+BD+CD）盡可能長(zhǎng)．已知預(yù)建的總揚(yáng)水站D及支渠BD，CD滿足∠BDC＝60°．你認(rèn)為該縣政府的想法能否實(shí)現(xiàn)？若能，求出三條支渠總長(zhǎng)的最大值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．專題04定弦定角（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2023秋?如皋市期中）如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝3．若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為（）A．1.5 B． C． D．2【答案】B【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，設(shè)所在圓的圓心為O，當(dāng)O、P、B共線時(shí)，PB長(zhǎng)度最小，設(shè)OB交AC于D，如圖所示：此時(shí)PA＝PC，OB⊥AC，則AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝，BD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故選：B．2．（2023秋?宜興市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，當(dāng)∠CBP＝∠BAD時(shí)，線段CD的最小值是（）A． B．2 C． D．【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠CBP＝90°，∵∠CBP＝∠BAD，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠ADB＝90°，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE，∴DE＝AB＝4，∴OC＝OB＝4，∵CD≥CE﹣DE，∴CD的最小值為4﹣4，故選：D．3．（2023秋?潛山市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，連接OC交⊙O于P，此時(shí)PC最小，∵OC＝＝＝2，∴PC的最小值為2﹣4，故選：C．4．（2023?巢湖市二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點(diǎn)E在AB上，＝，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（）A．2﹣2 B． C．4 D．2【答案】A【解答】解：如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．∵∠BPE＝∠EOB，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OE為半徑的⊙O，∴當(dāng)點(diǎn)P落在線段OD上時(shí)，DP的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AE：EB＝1：2，∴BE＝2，∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，∴OQ＝1，OE＝2，∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，∴四邊形AQOJ是矩形，∴AJ＝OQ＝1，JO＝AQ＝2，∵AD＝5，∴DJ＝AD﹣AJ＝4，∴OD＝＝＝2，∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，故選：A5．（2023?廣西模擬）如圖，AC為邊長(zhǎng)為的菱形ABCD的對(duì)角線，∠ABC＝60°，點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)B，C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC，CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)，連接AM和BN，求△APB面積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABM＝60°，∵點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)B，C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC，CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)，∴BM＝CN，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∴∠ABP+∠CBN＝60°，∴∠ABP+∠BAM＝60°，∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，∴點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)＝時(shí)，△PAB的面積最大，最大值＝×2×1＝，故選：D．6．如圖，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為．【答案】9+9【解答】解：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，則BH＝HC，由圓周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，∴OB＝OC＝BC＝3，OH＝BC＝3，當(dāng)BC邊上的高最大時(shí)，△ABC的面積最大，由題意可知，BC邊上的高的最大值為：3+3，∴△ABC面積的最大值為：×6×（3+3）＝9+9，故答案為：9+9．7．（2023秋?定海區(qū)期中）如圖，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，⊙O為△ACD的外接圓，直線BD交⊙O于P點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)，，則AD的最小值為．【答案】1【解答】解：∵＝，∴∠ACB＝∠CDP．∵∠ACB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，∴點(diǎn)D在以BC為弦，∠BDC＝135°的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖，設(shè)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓弧圓心為M，取優(yōu)弧BC上一點(diǎn)N，連接MB，MC，NB，NC，AM，MD，則∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，∴∠BMC＝90°，∵BM＝CM，∴△BMC為等腰直角三角形，∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，∵∠ACB＝45°，∴∠ACM＝90°，∴AM＝＝＝5，∴當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，AD最小，此時(shí)，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．故答案為：1．8．（2023?柳南區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊△ABC中，動(dòng)點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，且保持AE＝CD，連接BE，AD，相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為．【答案】1【解答】解：∵CD＝AE，∴BD＝CE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，∠AOB＝120°，連接CO，∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，∵∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴OC＝AC÷cos30°＝2，OA＝OC＝1，∴OP＝1，∵PC≥OC﹣OP，∴PC≥1，∴PC的最小值為1．9．（2023秋?灌南縣校級(jí)月考）我們?cè)趯W(xué)習(xí)圓的知識(shí)時(shí)，常常碰到題目中明明沒(méi)有圓，但解決問(wèn)題時(shí)要用到，這就是所謂的“隱圓”問(wèn)題：下面讓我們一起嘗試去解決：（1）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為．（2）如圖，在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從D、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在邊DC、CB上移動(dòng)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E、F的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)．若AD＝2，則線段CP的最小值是．（3）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E、F分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF＝2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為多少？【解答】解：（1）如圖1中，∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值為2．故答案為2；（2）如圖2中，∵動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在邊DC，CB上移動(dòng)，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，則OP＝AD＝×2＝1（不變），根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得C、P、O三點(diǎn)共線時(shí)線段CP的值最小，在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案為：﹣1；（3）如圖3中，∵EF＝2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，∴DG＝1，∴G是以D為圓心，以1為半徑的圓弧上的點(diǎn)，作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，交BC于P，交以D為圓心，以1為半徑的圓于G，此時(shí)PA+PG的值最小，最小值為A′G的長(zhǎng)；∵AB＝2，AD＝3，∴AA′＝4，∴A′D＝5，∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，∴PA+PG的最小值為4，10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，求AB+AC的最大值．【解答】解：延長(zhǎng)BA到D，使AD＝AC，連接DC，作△BDC的外接圓⊙O，∴AB+AC＝DB，∵∠BAC＝90°，∴∠D＝45°，∴當(dāng)BD是⊙O直徑時(shí)，BD取得最大值，即AB+AC取得最大值，當(dāng)BD是⊙O直徑，∠D＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝BC＝6，∴AB+AC的最大值為：6．11．【問(wèn)題提出】（1）如圖①，點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，且∠EOF＝90°，連接BO，則線段BE，BF，BO之間滿足的等量關(guān)系為；【問(wèn)題探究】（2）如圖②，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在BC下方作等腰Rt△BCD，其中∠BDC＝90°，連接AD，求AD的最大值；【問(wèn)題解決】（3）如圖③，某縣政府為解決農(nóng)業(yè)灌溉問(wèn)題，加強(qiáng)農(nóng)田水利“最后一公里”建設(shè)，改善農(nóng)田灌溉、生態(tài)治理等水利民生工作，計(jì)劃給該縣管轄下的村莊A，B，C修建總揚(yáng)水站D以及支渠AD，BD，CD，其中AB＝AC＝6km，∠BAC＝120°．為了灌溉更多的農(nóng)田，需要三條支渠總長(zhǎng)（AD+BD+CD）盡可能長(zhǎng)．已知預(yù)建的總揚(yáng)水站D及支渠BD，CD滿足∠BDC＝60°．你認(rèn)為該縣政府的想法能否實(shí)現(xiàn)？若能，求出三條支渠總長(zhǎng)的最大值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖1，連接OC，∵四邊形ABCD是正方形，O是對(duì)稱中心，∴∠BOC＝90°，OB＝OC，∠EBO＝