2022-2023學(xué)年北京三中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題

卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右

上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息

點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)

域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和

涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)X,）'滿足,+與=2,且不等式x有解，則實(shí)數(shù)，〃的

Xy4x

取值范圍是（）

A.（—1,2）B.（——2）C.（—2,1）

D.（-oo,-l）U（2+oo）

2.在數(shù)列二公中，L:句"net貝1=

C.2D.6

3.某市舉行“精英杯”數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)賽，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成績(jī)大于

90分的具有復(fù)賽資格，某校所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間（30,150］內(nèi)，其頻率分布直方圖

如圖所示，該校有130名學(xué)生獲得了復(fù)賽資格，則該校參加初賽的人數(shù)約為（）

A.200B.400C.2000D.4000

4.向量匕，=(-4,5)/=(%1),若(〃_/?)//力，則2的值是（)

__544

A.B.----C.--D.-2

~435

5.已知變量X與）'正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)7=3,歹=3.5,則由該觀

測(cè)的數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()

A.y=0.4x+2.3B.y=2x-2.4

C.y=—2%+9.5D.y=-O.3x+4.4

6.下列各角中，與角丁終邊相同的角是()

O

13萬(wàn)11〃11419〃

A.--------B.--------C.—D.——

6666

’1

-1

7.已知數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為s”,且=4+，若對(duì)任意WGN*，都有

、2)

"〃(5,—4")<3成立，貝按數(shù)/，的取值范圍是()

「91「9、

A.(2,3)B.[2,3]C,2,-D.2,-

8.(x+<p)為偶函數(shù)的“()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

9.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a/,c,已知a：力：c=2:3:4,則A4BC

最大角的余弦值是()

10.已知A5=(3,l),向量AC=(-4,-3),則向量BC=()

A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,-2)D.(1,2)

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.已知一組數(shù)據(jù)7、9、8、11、1()、9,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.

12.圓臺(tái)兩底面半徑分別為2cm和5cm,母線長(zhǎng)為3VlUcm,則它的軸截面

的面積是cm2.

13.若過(guò)點(diǎn)P(2,3)作圓加：/一2%+)；2=0的切線/,則直線/的方程為

14.若方程產(chǎn)+產(chǎn)+2"1r-4)，+2*+3=0表示圓，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

,_、二但tan20+tan40+tan120

15.計(jì)算：-----------------------=.

tan20tan40

16.一個(gè)三角形的三條邊成等比數(shù)列，那么，公比g的取值范圍是.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟。

17.如圖1,已知菱形AECD的對(duì)角線4CDE交于點(diǎn)尸，點(diǎn)E為線段A3的中點(diǎn)，

A6=2,ZMD=60°,將三角形沿線段OE折起到的位置，PC=—?

2

如圖2所示.

(I)證明：平面PBCJ_平面PCV；

(II)求三棱錐E—的體積.

18.已知函數(shù)/(x)=2五5由(5：+夕)(0<0<|^同<|^的圖象過(guò)點(diǎn)4(0,回，

Q

c(-,0).

3

(1)求。，。的值；

(2)若/(6)=^且eel-m，1"),求/(。一1)的值；

(3)若/(》)—機(jī)<0在xe-4,1上恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

19.已知awl且aeR,比較——與1+a的大小.

1-a

20.設(shè)｛““｝和也｝是兩個(gè)等差數(shù)列，記c“=max｛q-白〃-奶，…

("=1,2,3…)，其中maxH，天,…4｝表示％,x2,-工這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù).已知S.

為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，?！啊?，瘋="-

(1)求數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式；

(2)若a=巴9,求q,C2,，3的值，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(3)求數(shù)列,前〃項(xiàng)和7；.

21.已知S“是等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和，且4=5,?16=31.

(1)求通項(xiàng)公式；

(2)若耳=4一求正整數(shù)Z的值.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1、D

【解析】

2

利用基本不等式求得無(wú)+二的最小值，根據(jù)不等式存在性問(wèn)題，解一元二次不等式求

4x

得加的取值范圍.

【詳解】

由于

1'（14Ky2"I

=2,而

匕+刃=5〔2+#+了）

2

不等式X+二〈加2—有解，所以旭2_加〉2,BP(m-2)(/n+l)>0,解得m<一1

4x

或/”>2.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用基本不等式求最小值，考查不等式存在性問(wèn)題的求解，考查一元二

次不等式的解法，屬于中檔題.

2,D

【解析】

將二尸代入遞推公式可得n同理可得出二二和力

【詳解】

一?_RT-

【點(diǎn)睛】

本題用將-的值直接代入遞推公式的方法求某一項(xiàng)，適用于所求項(xiàng)數(shù)低的題目，若求

-I

項(xiàng)數(shù)較高則需要求數(shù)列通項(xiàng)公式。

3、A

【解析】

由頻率和為1,可算得成績(jī)大于90分對(duì)應(yīng)的頻率，然后由頻數(shù)+總數(shù)=頻率，即可得到

本題答案.

【詳解】

由圖，得成績(jī)大于90分對(duì)應(yīng)的頻率=1-(0.0025+0.0075x2)x20=0.65,

130

設(shè)該校參加初賽的人數(shù)為x,則一=0.65,得x=200,

x

所以該校參加初賽的人數(shù)約為200.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查頻率直方圖的相關(guān)計(jì)算，涉及到頻率和為1以及頻數(shù)+總數(shù)=頻率的應(yīng)用.

4、C

【解析】

由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理，列方程求出X的值.

【詳解】

向量”=(-4,5),(,'=()-,1),

則.-，=(-4-34),

又(“-，.)//',

所以-4%軟=0,

解得X=-'.

5

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

試題分析：因?yàn)?:與正相關(guān)，排除選項(xiàng)c、D,又因?yàn)榫€性回歸方程恒過(guò)樣本點(diǎn)的中

心「'：,故排除選項(xiàng)B；故選A.

考點(diǎn)：線性回歸直線.

6、B

【解析】

給出具體角度，可以得到終邊相同角的表達(dá)式.

【詳解】

角J終邊相同的角可以表示為a=?+2%r,(keZ),當(dāng)左=一1時(shí)，“=-乎，所以答案

666

選擇B

【點(diǎn)睛】

判斷兩角是否是終邊相同角，即判斷是否相差2〃整數(shù)倍.

7、B

【解析】

1<p(S〃-4〃)43

對(duì)任意neN*都成立，

當(dāng)〃=1時(shí)，

當(dāng)〃=2時(shí)，2<p<6

4

當(dāng)〃=3時(shí)，一<〃44

3

歸納得：2<p<3

故選3

點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件運(yùn)用分組求和法不難計(jì)算出數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，為求，的

取值范圍則根據(jù)〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論，求得最后的結(jié)果

8、A

【解析】

試題分析：當(dāng).、=-時(shí)，-kW［時(shí)，--是偶函數(shù)，當(dāng);？=；5匕1卜；曲緋是

偶函數(shù)時(shí)，=>-k-.k€Z,所以不能推出是0=；,所以是充分不必要條件，故

選A.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)

9、B

【解析】

由邊之間的比例關(guān)系，設(shè)出三邊長(zhǎng)，利用余弦定理可求.

【詳解】

因?yàn)閍:0:c=2:3:4,所以c邊所對(duì)角最大，設(shè)a=2Z1=3Z,c=4k,由余弦定理

4女2+9/_16攵2

得cosC=故選B.

2-2k-3k4

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理，計(jì)算求解能力，屬于基本題.

10、A

【解析】

由向量減法法則計(jì)算.

【詳解】

BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的減法法則，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11>9

【解析】

利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果.

【詳解】

由題意可知，數(shù)據(jù)7、9、8、11、10、9的平均數(shù)為7+9+8+"+*)+9=9.

6

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】

本題考查平均數(shù)的計(jì)算，考查平均數(shù)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、63

【解析】

首先畫出軸截面，然后結(jié)合圓臺(tái)的性質(zhì)和軸截面整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】

畫出軸截面，

如圖，過(guò)A作AM_LBC于

則BM=5-2=3(cm),

AM=NAB?-BM°=9(cm),

_(4+10)x9

2

所以sHiS?ABC?=----------------------=63(c/n).

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓臺(tái)的空間結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)元素的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力

和計(jì)算求解能力.

13、4x—3y+1=0或％-2=0

【解析】

討論斜率不存在時(shí)是否有切線，當(dāng)斜率存在時(shí)，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離等于半徑求出斜率

【詳解】

圓V:/-2x+y?=0即(x-l)-+;/=1

①當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=2為圓的切線

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y一3=Z(x—2)

即kx—y—2k+?>=G

行‘

4

解得％=§

41

此時(shí)切線方程為一x—y+§=0,即4x-3y+l=0

綜上所述，則直線/的方程為4x-3y+l=0或x-2=0

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了過(guò)圓外一點(diǎn)求切線方程，在求解過(guò)程中先討論斜率不存在的情況，然后

討論斜率存在的情況，利用點(diǎn)到直線距離公式求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)。

14、(-1,1).

【解析】

把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得出表示圓的條件，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，方程f+y+Zax-4y+2/+3=0可化為(x+/n)2+(y-2)2=1-m2,

方程表示圓，貝1J滿足1-加>0，解得-1<機(jī)<1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，其中熟記圓的一般方程與圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程的互化是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ).

15、-V3

【解析】

試題分析：

tan20+tan40+tan120tan60:(l-tan20:tan40s)+tan120s卜

tan20tan40tan20:tan40;

考點(diǎn)：兩角和的正切公式

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和的正切公式變形的運(yùn)用，抓住和角是特殊角，是解題的關(guān)鍵.

Vs—1布+1

1K6>--------<q<--------

22

【解析】

設(shè)三邊按遞增順序排列為a,aq,aq2,其中。>0應(yīng)21.

則即/一.解得

22

由起1知4的取值范圍是1與<上g.

2

設(shè)三邊按遞減順序排列為a,aq,aq-,其中a>0,0<q<1.

則aq2+aq>a,即/+,一1>0.

解得正二

2

綜上所述，萼

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟。

17、（I）見證明；（II）」

8

【解析】

（I）折疊前，AClDEt,從而折疊后，DELPF,DELCF,由此能證明。E_L平面

PCF.

再由DC//AE,DC=AE能得到DC//EB,DC=EB.說(shuō)明四邊形DEBC為平行四邊形.可

得CB//DE.由此能證明平面P8C_L平面PCF.

（II）由題意根據(jù)勾股定理運(yùn)算得到PF_LC「，又由（I）的結(jié)論得到8C_LPF,

可得PF±平面BCDE,再利用等體積轉(zhuǎn)化有VE_PBC=VP_BCE=|xS&BCExPF,計(jì)

算結(jié)果.

【詳解】

（I）折疊前，因?yàn)樗倪呅蜛EC。為菱形，所以AC_LOE；

所以折疊后，DELPF,DEA.CF,又PFcCF=F,PF,CFu平面PCF,

所以平面PCF

因?yàn)樗倪呅蜛EC。為菱形，所以AE//DC,AE=DC.

又點(diǎn)E為線段A3的中點(diǎn)，所以EB//DC,EB=DC.

所以四邊形OE3C為平行四邊形.

所以CB//DE.

又。石，平面PC產(chǎn)，所以平面PCE.

因?yàn)锽Cu平面PBC,所以平面PBCJ"平面PC廣.

(H)圖1中，由已知得Af=C/=@,BC=BE=1,NCBE=60°

2

所以圖2中，PF=CF=B,又PC二旦

22

所以所以PFJ_CF

又8C_L平面PCF,所以8C，PF

又BCcCF=C,BC,CFu平面BCDE,

所以PF_L平面BCDE,

所以Vg-psc=Vp_BCE=LxSABCExPF=—x—xlxlxsin60x^~=—.

33228

所以三棱錐E-PBC的體積為1.

o

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基

礎(chǔ)知識(shí)，考查了三棱錐體積的求法，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

18、(1)0==|(2)|；(3)(1+73,+K)

【解析】

Q

(D根據(jù)A(0,、％),C(-,0)兩點(diǎn)可確定①，9的值；

(2)由(1)知，f(x)=2＞/2sin(—xH—),求出sin(—0H—)9cos(—0H—)的值,

434343

然后根據(jù)/(。-1)=2V2[sin(-^+-)cos-+cos(-0+^)sin,求出其值即可；

434434

(3)/(x)-根＜0在xel,自上恒成立，只需相＞/(幻,皿，求出/(x)在xei,

才上的最大值即可.

【詳解】

(1)由./'(。)=遙得：20sin°=\/^,即sinQ=^^,

由時(shí)知，夕=?，

7T

/./(x)=272sin69X+—

3。＜。后,

由/償)=0得：2夜sin8冗

-69+—=0,即+q=

33

即0=^^-?(AwZ),由0<&<、得，0=?,所以/(x)=20sin(7x+。

(2)由/(e)=苧得：2夜sin[?e+?)=苧，即sin(?e+g)=1,

71

“8-1)=20sin

4

八萬(wàn)、冗(乃C7t\.7t

2,2sin一夕+—cos----cos一夕+—sin—

(43)4(43)4

由得:乃八兀2萬(wàn)5萬(wàn)

(3)xw-4,|—0+—&

43行'77

.?.當(dāng)xe-4,-時(shí)，f(x}=2V2sin—=272sin(-+-U1+V3,

3JJ\小12(46J

A實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為(1+6,+oo).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)值的求法，以及在閉區(qū)間上的三角函

數(shù)的值域問(wèn)題的求法，意在考查學(xué)生整體思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用能力.

19、詳見解析

【解析】

[2222

將兩式作差可得」--(1+?)=—,由上一＞0、/二=0和/二＜0可得大小

1—a1—ci1—a1—a1-a

關(guān)系.

【詳解】

2

l-(l+a)(l-a)_l-(l-a)_a

1—ci1—a

當(dāng)。<1且QW()時(shí),

當(dāng)a=0時(shí)，—=0

\-a

當(dāng)a>l時(shí)，-^―<0：.-^—<l+a

\—a\—ci

綜上所述：當(dāng)ae(F,0)(0,1)時(shí)，—>l+a；當(dāng)a=0時(shí)，—=l+a；當(dāng)

ae(l,+oo)時(shí)，<l+a

【點(diǎn)睛】

本題考查作差法比較大小的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)所得的差進(jìn)行分類討論；易錯(cuò)點(diǎn)是忽

略差等于零，即兩式相等的情況.

20、(1)。“=272-1；(2)q=0,c2=-1,c3=-2,cn=1一〃；(3)(=――———

【解析】

(1)根據(jù)題意，化簡(jiǎn)醫(yī)=鋁得s?==’+,癡1，運(yùn)用已知s”求明

公式，即可求解通項(xiàng)公式；

(2)根據(jù)題意，寫出“通項(xiàng)，根據(jù)c“定義，令〃=1,〃=2,”=3,可求解。，c2,c3

的值，再判斷4一〃"單調(diào)遞減，可求數(shù)列｛c,,｝的通項(xiàng)公式；

⑶由(1)⑵的數(shù)列｛凡｝、｛%｝的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列,中，運(yùn)用錯(cuò)位

相減法求和.

【詳解】

(1)?:厄,：.S=。+2%+1,

、2"12J4

當(dāng)〃=1時(shí)，=>+2q+l,化簡(jiǎn)得才-24+1=(),，卬=1,

12；4