上海市楊浦區(qū)2022年高一《數(shù)學(xué)》下學(xué)期期中試卷與參考答案

上海市楊浦區(qū)2022年高一《數(shù)學(xué)》下學(xué)期期中試卷與參考答案一、填空題共10小題，每小題4分，滿分40分。1．已知向量，則＝．2．已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)2+i的虛部是1．3．已知tan（x+）＝2，則tanx的值為．4．函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間為[2kπ﹣，2k]，k∈Z．5．已知，則＝．6．將函數(shù)y＝f（x）圖像上的點(diǎn)保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀逗蟮玫胶瘮?shù)y＝f1（x）的圖像，再將y＝f1（x）的圖像向上平移1個單位后得到函數(shù)y＝sinx的圖像，則y＝f（x）的函數(shù)表達(dá)式是y＝sin2x﹣1．7．設(shè)平行四邊形ABCD中，△BCD的重心為H，，則μ3λ＝．8．已知i為虛數(shù)單位，|z|＝1，則＝9．9．設(shè)函數(shù)y＝f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，且，則ω的最小值為．10．設(shè)銳角△ABC的外心為O，且，則tanA+cotA＝8．二、選擇題共4小題，每小題5分，滿分20分。11．①加速度是向量；②若且，則；③若，則直線AB與直線CD平行．上面說法中正確的有（）個A．0 B．1 C．2 D．3答案：B．12．在△ABC中，下列說法中錯誤的是（）A．sinA＞0 B．cosA+cosB＞0 C．sinA+sinB＞sinC D．cos2A+cos2B﹣cos2C＜1，則△ABC為銳角三角形答案：D．13．設(shè)函數(shù)y＝f（x）＝tan3x+x﹣3π，則f（x）在[﹣π，7π]上所有零點(diǎn)的和為（）A．36π B．39π C．72π D．75π答案：D．14．有下面兩個命題：①若y＝f（x）是周期函數(shù)，則y＝f（f（x））是周期函數(shù)；②若y＝f（f（x））是周期函數(shù)，則y＝f（x）是周期函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A．①②都正確 B．①正確②錯誤 C．①錯誤②正確 D．①②都錯誤答案：B．三、解答題共4小題，滿分60分。15．已知向量．（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若可以構(gòu)成平面上的一個基底，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．答案：（1）由已知可得2m﹣4﹣m2+m+2＝0，解得m＝1或2．（2）因?yàn)榭梢詷?gòu)成平面上的一個基底，所以不平行，所以m﹣2≠﹣2m2+2m+4，所以m≠2且，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣）∪（﹣，2）∪（2，+∞）．16．設(shè)m是實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+m2+3m+1＝0有兩根x1，x2．（1）若，求m的取值范圍；（2）若|x1﹣x2|＝2，求m的取值范圍．答案：（1）∵，∴方程有兩實(shí)根或一對虛根，∴Δ≤0，即（m+2）2﹣4（m2+3m+1）＝﹣3m2﹣8m≤0，解得．（2）①若有兩個不等實(shí)根，由Δ＞0，∴﹣＜m＜0，∵|x1﹣x2|＝2，∴﹣4x1?x2＝4，則（m+2）2﹣4（m2+3m+1）＝﹣3m2﹣8m＝4，∴3m2+8m+4＝0，于是或﹣2，②若是兩個虛根，則兩根為，于是，得到3m2+8m﹣4＝0，于是．∴m的取值范圍為{﹣，﹣2，}．17．在工廠實(shí)習(xí)中，小宋拿到的材料是一塊頂角A為的扇形鋁板（足夠大），現(xiàn)在需要將鋁板放在切割機(jī)上，加工成一個內(nèi)角為A的三角形工件△ABC．（1）小宋的師傅拿出了一個工件樣品△ABC，其中，求sinB，sinC的值；（2）師傅在小宋的扇形鋁板的頂角A的角平分線上打了一個點(diǎn)D，且AD＝1，并要求小宋加工的工件△ABC的BC邊經(jīng)過點(diǎn)D，則：①用角B表示工件△ABC的面積S；②求S的最小值，以及取得最小值時角B的大?。鸢福海?）因?yàn)椋郧褺為三角形內(nèi)角，所以或B＝，所以或C＝．所以或sinB＝，．（2）①在△ABD和△ACD中由正弦定理，得＝，＝，所以，于是；②利用二倍角公式和積化和差公式可得：由題意可得．所以當(dāng)即時，S取到最小值．18．已知函數(shù)y＝f（x），x∈D．若存在a＞0使得g（x）＝f（x）+ax是嚴(yán)格增函數(shù)，那么稱f（x）為緩降函數(shù)”．（本題可以利用以下事實(shí)：當(dāng)時，sinx＜x．）（1）判斷以下函數(shù)是否是“緩降函數(shù)”①y＝﹣2x﹣10②y＝﹣x3（無需寫出理由）；（2）求證：y＝g（x）＝cosx是“緩降函數(shù)”；（3）已知m≥0，求證：是“緩降函數(shù)”的充要條件是m＞0．答案：（1）①是“緩降函數(shù)”，②不是“緩降函數(shù)”．（2）證明：當(dāng)時，由題意得，所以再結(jié)合所給事實(shí)可得：當(dāng)x∈（0，+∞）時，sinx＜x．令g（x）＝cosx+ax，再取a≥1，x2＞x1，于是g（x2）﹣g（x1）＝cosx2﹣cosx1+a（x2﹣x1）＝這說明y＝cosx是“緩降函數(shù)”．（3）證明：令充分性：已知m＞0，取，則，于是是嚴(yán)格增函數(shù)，所以是緩降函數(shù)．必要性：用反證法，當(dāng)m