分數(shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法研究的開題報告

分數(shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法研究的開題報告開題報告一、研究背景近年來，隨著分數(shù)階微積分及其應(yīng)用的不斷深入，分數(shù)階微積分的數(shù)學理論已初步形成，分數(shù)階偏微分方程的研究也越來越引起人們的關(guān)注。目前分數(shù)階偏微分方程數(shù)值解法研究中，比較成熟的算法有非經(jīng)典的有限差分法、有限元法，以及基于譜方法的譜元法等。然而，這些方法主要是針對標準的二階偏微分方程或偏微分方程組進行研究，對于分數(shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法研究還比較薄弱。二、研究目的本文旨在研究分數(shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法，具體研究內(nèi)容如下：1.分析現(xiàn)有的數(shù)值算法中存在的問題，以及其在高維情況下的適用性問題；2.研究分數(shù)階偏微分方程的誤差估計及數(shù)值誤差分析，針對現(xiàn)有算法中服務(wù)的光滑度條件進行優(yōu)化研究；3.提出新的高階數(shù)值算法，分別基于有限差分法、有限元法以及譜元法進行研究，探討新的高階技術(shù)在實際應(yīng)用中的性能表現(xiàn)，驗證算法的正確性以及穩(wěn)定性。三、研究內(nèi)容本文的主要研究內(nèi)容如下：1.綜述目前分數(shù)階偏微分方程的數(shù)值解法研究現(xiàn)狀以及常用的數(shù)學理論；2.分析現(xiàn)有分數(shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法存在的問題，考慮現(xiàn)有算法的適用條件，提出針對性的改進方案；3.提出針對分數(shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法，并進行算法正確性和穩(wěn)定性的證明；4.數(shù)值實驗部分，對比分析新算法與現(xiàn)有算法在不同應(yīng)用場景中的性能表現(xiàn)。四、研究方法本文所采用的研究方法如下：1.經(jīng)過文獻調(diào)研，綜述目前分數(shù)階微積分及其應(yīng)用研究現(xiàn)狀，分析現(xiàn)有分數(shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法存在的問題；2.基于現(xiàn)有的數(shù)值算法研究平臺，完善代碼的功能以及改進；3.針對編寫的新算法，使用MATLAB、Python等數(shù)學軟件進行算法正確性的驗證以及穩(wěn)定性分析，定量驗證算法的有效性；4.應(yīng)用理論模型，對新算法進行數(shù)值實驗，比較新算法與現(xiàn)有算法的性能差異。五、預(yù)期成果1.提出針對分數(shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法，并進行算法正確性和穩(wěn)定性的證明；2.數(shù)值實驗部分，對比分析新算法與現(xiàn)有算法在不同應(yīng)用場景中的性能表現(xiàn)，并提出改進方案；3.發(fā)表科研論文，提高自己的學術(shù)水平，提高科學研究的能力。六、進度安排時間節(jié)點完成內(nèi)容第1-2個月綜述分數(shù)階微積分及其應(yīng)用研究現(xiàn)狀第3-4個月分析現(xiàn)有算法所存在的問題，提出改進方案第5-7個月提出針對分數(shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法，并進行算法正確性和穩(wěn)定性的證明第8-9個月數(shù)值實驗部分，對比分析新算法與現(xiàn)有算法的性能表現(xiàn)，并提出改進方案第10-11個月完善論文撰寫及回答指導(dǎo)教師提出的問題第12個月完成畢業(yè)論文并答辯七、參考文獻1.李之才.分數(shù)階微積分與分數(shù)階微積分方程[M].北京:科學出版社,2016.2.劉莉,曹勇.分數(shù)階微積分學及其應(yīng)用[M].科學出版社,2014.3.左洪超,李鋒.分數(shù)階微積分基礎(chǔ)[M].科學出版社,2015.4.許建勛,吳彥輝.數(shù)學物理方法基礎(chǔ)（第