北京市一零一中學(xué)2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷

北京一零一中2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試

高一數(shù)學(xué)

(本試卷滿分120分，考試時(shí)間100分鐘)

命題：高一數(shù)學(xué)組

一'選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng)。

1.sin(-150。)的值為()

()

(A)(B)y(C)-孝D孚

2.已知tana=

(A)|(B)|(C)I(D)1

3.已知向量。=(1,一2),8=(%,4),且絞〃4則|a—等于()

(A)573(B)3V5(C)2<5(D)272

4.下列函數(shù)中：①f(x)=cosx-sinx;②/(x)=cosx+sinx;③/(%)=:；④/(x)=2sin2x.

最小正周期為兀的是()

(A)①②(B)②④(C)①③④(D)①②④

5.如圖所示，在正方形ABC。中，E為AB的中點(diǎn)，尸為CE

的中點(diǎn)，則布=()

(A)^AB+^AD(B)^AB+^AD(C)--AB+AD(D)^AB+^-AD

6.在“BC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,A,c,若。=20cosC,則&4BC一定是()

(A)正三角形(B)直角三角形

(C)等腰或直角三角形(D)等腰三角形

7.已知角。的終邊上有一點(diǎn)尸(1,3)，貝)sin(7t-①的值為()

sin(^+a)

(A)3(B)-3(C)l(D)-l

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8.已知實(shí)數(shù)%￡.“a+￡=2婦i,teZ”是'①11（0+￡）=5泣0+5m6'的（）

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

9.石景山游樂(lè)園“夢(mèng)想之星”摩天輪采用國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的橫梁

中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡(jiǎn)約.“夢(mèng)想之星”摩天輪直徑約為

86米,總高約100米,勻速旋轉(zhuǎn)一周時(shí)間為18分鐘,配有

42個(gè)球形全透視360度全景座艙.如果不考慮座艙高度

等其它因素,該摩天輪的示意圖如圖所示,游客從離地面

最近的位置進(jìn)入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲、乙兩名同學(xué)

通過(guò)即時(shí)交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進(jìn)入各自座艙的時(shí)間

相差6分鐘.這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過(guò)程中，他們-----------

所在的高度之和的最大值約為（）

（A）79米（B）157米（C）113米（D）189米

10.已知對(duì)于任意角a,￡均有公式sin2a+sin2/5=2sin(a+/3)cos(a~/3),設(shè)^ABC的內(nèi)角A,

3,C滿足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+y,面積S滿足1WSW3,記a,8,c

為角A,B,C所對(duì)的邊.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①sinAsinBsinC=看；②4W=70「<46;

8sinA+sinB+smC

③8(abcW16V2;④ab(a+Z?)>8.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

(A)②③(B)①②④(C)①③④(D)①②③④

二'填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.已知向量a=（1,V5）,向量b=（-4,坐）,則向量。與向量力的夾角為.

12.在MBC中，8=4,c=2,cosA=4,則a=,/\ABC的面積

S"BC=?

13.若a€（0,今）,cos（a+與）=—?jiǎng)tsinct—.

14.已知函數(shù)/（x）=sin（2x+⑺（M＜參）,那么函數(shù)/（%）的最小正周期是;若函

數(shù)f（x）在吟,普］上具有單調(diào)性,且/管）=-/（普）,則屮=.

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15.已知^ABC的外心是0,其外接圓半徑為1,設(shè)殖=XOB+nOC,則下列論述正確的

是.

①若/I=—=0,則4ABC為直角三角形；

②若4=〃=—1,則△ABC為正三角形；

③若4=一1,〃=一爽，則AABC為頂角為30。的等腰三角形；

④若4=_/,〃=—2,則討?礪+礪?反+玩.涙=_,

三、解答題共5小題，共55分。解答應(yīng)寫(xiě)岀文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程。

16.(本小題10分)

已知函數(shù)f(x)=2sin(x-y).

(1)某同學(xué)利用五點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)/(x)在區(qū)間［號(hào),4］上的圖象他列出表格,并填入了部分

數(shù)據(jù),請(qǐng)你幫他把表格填寫(xiě)完整,并在坐標(biāo)系中畫(huà)出圖象；

(2)已知函數(shù)g(x)=f(cax)(OJ>0).

①若函數(shù)g(x)的最小正周期為竽,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

②若函數(shù)g(x)在［0,號(hào)］上無(wú)零點(diǎn),求3的取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)論).

715兀1E771

X

T66~T

371

Y_兀071271

X3T

0200

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17.(本小題10分)

在LABC中,AB=4,AC=4,ABAC=拳尸為4ABe所

在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且/<4=1.

⑴求冋+麗；

(2)求方?斤的取值范圍.

18.(本小題10分)

已知函數(shù)/(%)=cos2a>x+6sin3xcos3%+加(3>0,eR).再?gòu)臈l件①、條件②、條

件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)/(%)的解析式的兩個(gè)作為已知.

(1)求/(%)的解析式及最小值；

(2)若函數(shù)/(%)在區(qū)間[0,f]Q>0)上有且僅有2條對(duì)稱軸,求t的取值范圍.

條件①：函數(shù)f(x)的最小正周期為兀；

條件②：函數(shù)/(用的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,4)；

條件③：函數(shù)f(x)的最大值為1.

19.(本小題10分)

在"BC中，角A,民C的對(duì)邊分別為a,b,c,5a=

匕(sinC+V3cosC).

(1)求角B的大??；

(2)若A=牛，。為△ABC外一點(diǎn)，如圖，DB=4,CD=2,

求四邊形ABDC面積的最大值.

20.(本小題15分)

給定正整數(shù)”>2,設(shè)M={a|a=(人,灰,…，"),〃€{0,l},k=1,2,???,?)為〃維0-1向

量a的集合.對(duì)于集合M中的任意元素P=(即,％2,…，芻)和V=3,”,…,力),定義它們

的內(nèi)積為PY=%屮+肛力+???+xnyn.

設(shè)4父M且集合A={a,|a,=(為，山，…,￡加),i=1,2,…對(duì)于A中任意元素%叼,若

。廠叼=，〃’l=J,則稱A具有性質(zhì)”(p,q).

、q，i豐j，

(1)當(dāng)〃=3時(shí),判斷集合A={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}是否具有性質(zhì)”(2,0)?說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)〃=4時(shí)，判斷是否存在具有性質(zhì)H(p,q)的集合A,若存在求出p,q,若不存在請(qǐng)證

明；

(3)若集合A具有性質(zhì)”(p,1),證明：tij+t2j+-■■+tnj=p(j=1,2,???,?).

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北京一零一中2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中考試參考答案

1.（2014海淀二模理1）A

2.B

3.B

4.C

5.D

根據(jù)題意得#二十凝+病，又/二瓦+標(biāo),近二扌麗所以療二十函+通+

^-AB）=^AB+:訪故選D.

6.D

7.B

依題意得tan。=、=3,則‘in（兀-°）=sina=_tana?故選B.

x3?！猚osa

sin（^-+a）

8.（2021海淀二模（改編）9）A

9.（2022石景山高一下期末（改編）10）B

10.B

11.李

12.（2022房山高三上期末⑵4;V15.

□3+4,

10

因?yàn)閍€（0,-y）,所以a+號(hào)€（y,1n）.因?yàn)閏os（a+-y）=-y,所以sin（＜r+-）=^|■，所

以sina—sin[（a+號(hào)）—^-]=sin（（z+-5-）cos—cos（a+生）sin生=x—（一■^-）x=

3+46

io,

14.（2021昌平高三上期末14）w;_冬

15.①②③.

北京一零?中2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中考試參考答案第1頁(yè)（共5頁(yè)）

16.（2021海淀高一下期中（改編）18）

（1）表格填寫(xiě)如下：

兀5冗4兀1E7兀

XTTTT

一匹0兀兀3兀2兀

3TT

/（X）020-20

圖象如下:

⑵①由題意,g(x)=f(a)x)=2sin(a>x-y),

T=3=3,即g(x)=2sin(3x—5-).

(t)JJ

令-冷+2?W3x-號(hào)W冷+2kw,解得-奇+警WxW將+孥.

所以以制的單調(diào)遞增區(qū)間為+孥，普+竽］伏Z).

②3的取值范圍為(0,1).

17.(2022石景山高一下期末(改編)20)

(1)|AC+AB\2=(AC+AB)2=AC2+AB2+2ACAB=32.

所以\AC+XB\=4y/2.

北京一零?中2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中考試參考答案第2頁(yè)（共5頁(yè)）

⑵以A為原點(diǎn),A8所在直線為x軸建立平面直角

坐標(biāo)系如圖所示.

B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4).

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(cosa,sina).

所以PB二(4一cosa,-sina),PC=(-cosa,4-

sina).

所以PB?PC=-4sina-4cosa+I=-4V2sin(a+

￡)+L

所以方?正的取值范圍是[-472+1,4^2+1].

18.(2022朝陽(yáng)二模(改編)16)

由題可知,/(x)=cos2cox+V3sincuxcosa>x+m

—sin2,cox+/cos2cux+m+}—sin(2o>x++機(jī)+-y.

選擇①②：

(i)因?yàn)閞=孕^二兀，所以3二1.

又因?yàn)?(0)=1+m=y,所以m=-y.

所以f{x}=sin(2x+

當(dāng)2x+—2攵兀—.，攵eZ,BPx=kit—號(hào),％eZ時(shí),/(x)=-1.

所以函數(shù)/(x)的最小值為-1.

(2)因?yàn)閤e[0,乙所以2x+晉e垮,2t+1],

又因?yàn)?(x)在區(qū)間上[0,力上有且僅有2條對(duì)稱軸，

所以孕(2/+qv冬；

2O2

所以孕("里.

3o

所以tG[等普)

選擇①③：

(1)因?yàn)門(mén)=駛=凡所以3=1.

23

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的最大值為“9=!■，所以，〃=0.

所以f(x)—sin(2x+專)+

當(dāng)2x+1=2An-義，&€Z,即x=/兀一半，&€Z時(shí);

o23

sin(2x+1)=-1,

o

北京?零一中2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中考試參考答案第3頁(yè)（共5頁(yè)）

所以函數(shù)/(X)的最小值為-1+}=

(2)因?yàn)閤€［0,也所以2x+若€.,2t+專］,

又因?yàn)閒(x)在區(qū)間上［0,/］上有且僅有2條對(duì)稱軸，

所以竽W2r+專<苧；

所以孕Wf〈生.

5o

所以/€［爭(zhēng)乎)?

19.(2020吉林高三調(diào)研三理(改編)17)

⑴因?yàn)閂3a=6(sinC+6cosC),由正弦定理得VJsinA=sinB(sinC+6cosC),

V3sin(B+C)=sinBsinC+V3sinBcosC,即V3cosBsinC=sinBsinC.

因?yàn)閟inCrO,所以V3cosB=sinB,即tanB=<3.

因?yàn)锽e(0,w),所以B=手.

(2)在NBCD中，8。=4,CO=2,所以SC?=42+22-2x4x2xcos￡>=20-16cosD.

又A=號(hào),則AABC為等邊三角形,SAABC=yfiC2xsin^=5V3-4V3cosD.

又SGBDC=yXBDxDCXsinD=4sinD,

所以SABDC=5<3+4sinD-4V3cosD=5V3+8sin(D-號(hào))，

所以當(dāng)。=藝時(shí)，四邊形ABDC的面積取最大值,最大值為5<3+8.

O

20.(2023西城一模(改編)21)

(1)因?yàn)?1,1,0)=lxl+lxl+0x0=2,同理(1,0,1)=(0,1,1).(0,1,1)=2.

又(1,1,0)?(1,0,1)=lx1+lxO+Oxl=1,同理(1,1,0)(0,1,1)=(1,0,1)?(0,1,1)=1.

所以集合4={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}不具有性質(zhì)”(2,0).

(2)當(dāng)“=4時(shí)，集合A中的元素個(gè)數(shù)為4.由題意知p>q》O.顯然。黃0,pW4,否則集

合A中的元素個(gè)數(shù)少于4個(gè).

①當(dāng)p=1時(shí),A={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},具有性質(zhì)H(1,0).

③當(dāng)p=2時(shí),4U)(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)).

若q=0,則(1,1,0,0)和(1,0,0,1)至多一個(gè)在A中；(0,1,1,0)和(0,1,0,1)至多一個(gè)在A

中;(1,0,1,0)和(0,0,1,1)至多一個(gè)在A中，故集合A中的元素個(gè)數(shù)小于4.

若q=l,則(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一個(gè)在A中；(1,0,1,0)和(0,1,0,1)至多一個(gè)在A

中;(1,0,0,1)和(0,1,1,0