重難點(diǎn)一：集合與常用邏輯用語-【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（解析版）

重難點(diǎn)01集合與常用邏輯用語（9種解題模型）

?［目錄］

一、數(shù)軸法解集合問題

二、由元素集合關(guān)系求參數(shù)范圍

三、Venn圖法解集合問題

四、集合交、并、補(bǔ)全的運(yùn)算

五、元素、子集、集合個(gè)數(shù)

六、推出法解充分必要條件

七、集合法解充分必要條件

八、充分、必要條件的應(yīng)用

九、量詞命題及其否定

口一、真題多維細(xì)目表

考題考點(diǎn)考向

2022新高考1,第1題集合的基本運(yùn)算交集運(yùn)算

2022新高考2,第1題集合的基本運(yùn)算交集運(yùn)算

2021新高考1,第1題集合的基本運(yùn)算交集運(yùn)算

2021新高考2,第2題集合的基本運(yùn)算交集，補(bǔ)集運(yùn)算

u二、命題規(guī)律與備考策略

本專題是高考必考內(nèi)容，難度小，分值5分，重點(diǎn)考察集合的基本運(yùn)算，，常與不等式結(jié)合，考察集合的交、

并、補(bǔ)運(yùn)算，復(fù)習(xí)時(shí)以基礎(chǔ)知識為主。

Q三、題型解題技巧

一、數(shù)軸法解集合問題

1.數(shù)形結(jié)合是解決高中數(shù)學(xué)問題的常用手段，其優(yōu)點(diǎn)在于通過圖形能夠直觀的觀察到某些結(jié)果，與

代數(shù)的精確性結(jié)合，能夠快速解決一些較麻煩的問題。在集合的運(yùn)算中，涉及到單變量的取值范圍，

數(shù)軸就是一個(gè)非常好用的工具，本文將以一些題目為例，來介紹如何使用數(shù)軸快速的進(jìn)行集合的交

并運(yùn)算。

2.問題處理時(shí)的方法與技巧：

(1)涉及到單變量的范圍問題，均可考慮利用數(shù)軸來進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，尤其是對于含有參數(shù)的問題時(shí)，

由于數(shù)軸左邊小于右邊，所以能夠以此建立含參數(shù)的不等關(guān)系

(2)在同一數(shù)軸上作多個(gè)集合表示的區(qū)間時(shí)，可用不同顏色或不同高度來區(qū)分各個(gè)集合的區(qū)域。

(3)涉及到多個(gè)集合交并運(yùn)算時(shí)，數(shù)軸也是得力的工具，從圖上可清楚的看出公共部分和集合包含

區(qū)域。交集即為公共部分，而并集為覆蓋的所有區(qū)域

(4)在解決含參數(shù)問題時(shí)，作圖可先從常系數(shù)的集合(或表達(dá)式)入手，然后根據(jù)條件放置參數(shù)即

可

3、作圖時(shí)要注意的問題：

(1)在數(shù)軸上作圖時(shí)，若邊界點(diǎn)不能取到，則用空心點(diǎn)表示；若邊界點(diǎn)能夠取到，則用實(shí)心點(diǎn)進(jìn)行

表示，這些細(xì)節(jié)要在數(shù)軸上體現(xiàn)出來以便于觀察

(2)處理含參數(shù)的問題時(shí)?，要檢驗(yàn)參數(shù)與邊界點(diǎn)重合時(shí)是否符合題意。

二、由元素集合關(guān)系求參數(shù)范圍

1、集合包含關(guān)系的考查常常出現(xiàn)探索性問題，解決這類問題時(shí)，首要要分清集合的代表元素，進(jìn)而

將集合語言轉(zhuǎn)化為我們習(xí)慣的語言形式，從而求解。

2、結(jié)合自己的多年高中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我總結(jié)出“根據(jù)不等式解集之間的關(guān)系求參數(shù)范圍”的步驟：

(1)化簡所給集合；

(2)利用數(shù)軸表示所給集合；

(3)列出不等式解集端點(diǎn)之間的關(guān)系：

(4)解不等式。

3、此類問題常常用到兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想：一是數(shù)形結(jié)合思想；二是分類討論的數(shù)學(xué)思想。

三、Venn圖法解集合問題

用平面上一條封閉曲線的內(nèi)部來代表集合，這個(gè)圖形就叫做論"。圖(韋恩圖).集合中圖形語言具有直觀形

象的特點(diǎn)，將集合問題圖形化，利用論而圖的直觀性，可以深刻理解集合的有關(guān)概念、運(yùn)算公式，而且有

助于顯示集合間的關(guān)系.

運(yùn)算公式：card(AUB)=card(A)+card(8)-card(AC8)的推廣形式：

card(AUBUC)=card(A)+card(8)+card(C)-card(ACB)-card(BCC)-card(AAC)+card(A

ABAC),

或利用論nn圖解決.公式不易記住，用論nn圖來解決比較簡潔、直觀、明了.

【解題方法點(diǎn)撥】在解題時(shí)，弄清元素與集合的隸屬關(guān)系以及集合之間的包含關(guān)系，結(jié)合題目應(yīng)很好地使用

論nn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，利用直觀圖示幫助我們理解抽象概念.論""圖解題，就必須能正確理解題

目中的集合之間的運(yùn)算及關(guān)系并用圖形準(zhǔn)確表示出來.

【命題方向】一般情況涉及Venn圖的交集、并集、補(bǔ)集的簡單運(yùn)算，也可以與信息遷移，應(yīng)用性開放問題.也

可以聯(lián)系實(shí)際命題.

四、集合交、并、補(bǔ)全的運(yùn)算

集合交換律ADB=Br}A,AUB=BUA.

集合結(jié)合律(AA8)CC=An(BOC),(AU8)UC=AU(BUC).

集合分配律AH(BUC)=(408)U(ACC),AU(BCC)=(>4UB)A(AUG.

集合的摩根律Cu(AC8)^CuAUCuB,Cu(AU8)^CuAHCuB.

集合吸收律AU(ACB)=A,API(4US)=A.

集合求補(bǔ)律AUCuA=U,ACCuA=<l\

【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答.

【命題方向】理解交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，每年高考一般都是單獨(dú)命題，一道選擇題或填空題，屬于

基礎(chǔ)題.

五、元素、子集、集合個(gè)數(shù)

對于含有0個(gè)(“不等于0)元素的集合而言，它的子集就有2"個(gè)；真子集就有2。-1.但空集屬特殊情況，

它只有一個(gè)子集，沒有真子集.

六、推出法解充分必要條件

判定時(shí)一是必須明確哪是條件，哪是結(jié)論；條件推結(jié)論，再由結(jié)論推條件，最后下結(jié)論.

若p=>q，則p是q的充分條件，g是p的必要條件

p是q的充分不必要條件p=q且q4p

p是夕的必要不充分條件p今"且g=p

p是q的充要條件p0q

〃是4的既不充分也不必要條件p今q旦q0p

七、集合法解充分必要條件

設(shè)p,q成立的對象構(gòu)成的集合分別為A,B.

(1)p是q的充分條件<=>AUB,p是q的充分不必要條件oAUB；

(2)p是q的必要條件p是q的必要不充分條件QB。A；

(3)p是4的充要條件=A=8.

八、充分、必要條件的應(yīng)用

九、量詞命題及其否定

全稱命題與特稱命題的否定

全稱命題P一

V4eM,p(x)特稱命題P命

3xoeM,p(x0)

題

的

全稱量詞變對結(jié)論進(jìn)存在量詞變對結(jié)論進(jìn)否

定

to四(存藏地方法行否定為全稱量詞行否定是

全

I-----------------------------1----------------

V4W何,rpG)命

它的否定、Pi3xoeM,''p(xo)它的否定>

題

一、數(shù)軸法解集合問題

一.選擇題(共5小題)

1.(2023?定西模擬)已知集合A={X-2WxW2},fi={x|0<x<2},則()

A.AUBB.BQAC.AUB=RD.4nB=0

【分析】由數(shù)軸法得出集合A,B的包含關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)逐一檢驗(yàn).

【解答】解：???集合A={x|-2WxW2},8={x|0<x<2},

：.B^A,AUB=A,AHB=B,

因此選項(xiàng)8正確，選項(xiàng)A,C,。錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查集合間的關(guān)系，考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2023春?安丘市月考)設(shè)集合"={x|logo.5(x-1)>0),AT={x|2x<4},則()

A.M=NB.M2NC.MCN=0D.MUN=N

【分析】分別利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合M和N,并逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)得出答案.

【解答】解：由題意，logo.5(X-1)>0=log0,51-

即0<x-1<1,解得1<X<2,

集合M={Rlogo.5(x-1)>0}={x|l<x<2},

集合N={x|2'<4}={川2工<22}={xb<2},

則A/cN,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查集合間的關(guān)系，考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2023?鄭州模擬)已知集合■={(),1,2,3,4},B={x|0WxW2,xWZ},則ACB=()

A.{0,2}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{1,2,4}

【分析】根據(jù)集合交集的運(yùn)算求解.

【解答】解:集合A={0,1,2,3,4},B={x|0<xW2,xGZ}={0,1,2},

則An8={0,1,2],

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查集合的交集，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2022?建水縣校級模擬)已知集合A={x*-5x+6W0},8={)，eZ|y=3sinx,x€R},則AClB=()

A.[2,3]B.(2,3]C.{2,3}D.{3}

【分析】先求出集合A，B,由此能求出AC5.

【解答】解：集合A={xM-5x+6W0}=[2,3],8={)，eZ|y=3siiu,x€R}={-3,-2,-1,0,1,2,

3}，

則ACB={2,3}.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用.

5.(2022秋?定州市期末)已知集合4={疣即/忘9},B={xeR|f+x-2>0},貝U(CRA)CB=()

A.[-3,-1)U(2,3]B.[-3,-2)U(1,3]

C.(-8,-3)u(3,+8)D.(-8,-i)u(3,+8)

【分析】化簡集合A，8,再根據(jù)補(bǔ)集與交集的定義，求出(CRA)AB.

【解答]解：A={x€R|f<9}={x|-3WxW3},則CRA={X|X>3或x<-3},

B={x€R*+x-2>0}={x|x<-2或x>1},

則(CRA)CB=(-8,-3)u(3,+?>),

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查集合的交集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

二.填空題(共1小題)

6.(2023?上海開學(xué))設(shè)集合S,T,SUN；TUN；S,T中，至少有兩個(gè)元素，且S,7滿足：①對于任意x,

)￡S,若xWy,都有JQWT；②對于任意X,y&T,若x<y,則工￡$?若$有4個(gè)元素，則SUT有」

x

個(gè)元素.

【分析】可根據(jù)題意設(shè)出5={2,4,8,16},T=[8,16,32,64,128},然后進(jìn)行并集的運(yùn)算求出SU

T,從而可得出SUT中的元素個(gè)數(shù).

【解答】解：根據(jù)題意設(shè)S={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128},

；.SUT={2,4,8,16,32,64,128},

；.SUT的元素個(gè)數(shù)為7.

故答案為：7.

【點(diǎn)評】本題考查了子集的定義，列舉法的定義，并集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題(共1小題)

7.(2022秋?湘潭期末)設(shè)全集U=R,集合M={x|/-12x+20W0},N={x\lwc<2ln3),P={x\2a<x<a+5].

(1)求MUN,MH(CuN)；

(2)若PUN,求“的取值范圍.

【分析】(1)分別化簡集合M和集合M根據(jù)交集，并集和補(bǔ)集的定義求解即可；

(2)分集合P=0和尸#0兩種情況，由尸是N的子集，列不等式組，解出。的取值范圍.

【解答】解：(1)集合用={衛(wèi)/-12x+20W0}={x|2WxW10},N={x|/nx<2/n3}={x|0<x<9},

則A/UN={x[0<xW10}；

又QW={x|xWO或x29},則MD(CuN)={x|9WxW10}；

(2)當(dāng)2a>a+5,即a25時(shí)，P=。,符合題意；

當(dāng)2〃Va+5,即a<5時(shí)，若PUN,則12a>°,解得oWaW4,

la+5<9

綜上，a的取值范圍為{a|a25或0W“W4}.

【點(diǎn)評】本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，集合間的關(guān)系，考查了分類討論思想和計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

十、由元素集合關(guān)系求參數(shù)范圍

選擇題(共3小題)

1.(2022秋?桂林期末)下列各式中關(guān)系符號運(yùn)用正確的是()

A.1￡{0,1,2}B.0￡{0,1,2}C.0c(2,0,1}D.{l}G{0,1,2)

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，空集的概念即可求解.

【解答】解：對A,Vle{0,1,2},...A錯(cuò)誤；

對B,些[0,1,2},錯(cuò)誤；

對C,V0￡{2,0,I),...C正確;

對Q,?.?{]戌{0,1,2),二。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，空集的概念，屬基礎(chǔ)題.

2.(2023?香坊區(qū)校級一模)已知集合4={x，+乂遼2},8={1,a],若2三4,則實(shí)數(shù)a的取值集合為()

A.{-2,-1,0}B.{x|-2WxWl}C.{M-2Wx〈l}D.{-2,-1,0,1}

【分析】解一元二次不等式化簡集合A,由BUA,以及集合8中元素的互異性，得出實(shí)數(shù)。的取值集合.

【解答】解：集合A={x|/+xW2}={x|(x+2)(x-1)W0}={x|-2WxWl},8={1,a},

若2UA,則實(shí)數(shù)a的取值集合為{x|-2WxWl},

又集合元素具有互異性，二。的取值集合為國-2Wx<l}.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查元素與集合的關(guān)系，考查集合元素的互異性，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)

題.

3.（2023?寧德模擬）集合4={x|y={x2+x_6}，B={x|X~a_2<0}>若A。B={x|2WxW3},則“的值

x—a

為（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】集合4需求函數(shù)y的定義域，集合B轉(zhuǎn)化成一元二次不等式，將解集表示出來，根據(jù)AQB=

{x|2WxW3},可得〃的值.

【解答】解：？+x-6）0,，（x+3）Cx-2））0,或x<-3,

則A={4r22或xW-3},

x-a-2wo等價(jià)于（x-a）[x-（a+2）]W0,且xWa,：.a<x^a+2,

x-a

B={x|a<xWa+2},

?.?ACB={x|2?},."+2=3,：.a=l,

此時(shí)8={x|l〈xW3},滿足ACB={x|2WxW3}.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共2小題）

4.（2022秋?邳州市期末）集合A={J+a-2,1-a,2},若4CA,則a=2.

【分析】分類討論A中元素與4的對應(yīng)關(guān)系，得到方程解之，并驗(yàn)證互異性.

【解答】解：若4WA,貝I]a2+a-2=4或1-a—4,

當(dāng)次+“-2=4時(shí)，a^+a-6=0,解得：a=-3或2,

若a=-3,則l-a=4,與互異性矛盾，舍去；

若。=2,則滿足題意：

當(dāng)l-a=4時(shí)，即“=-3,此時(shí)。2+。-2=4,與互異性矛盾，舍去；

綜上4=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查集合中元素的互異性以及元素對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2023?青浦區(qū)二模）已知集合4={》僅=/〃（3-x）},8={萬仇>”},若ACB=0,則實(shí)數(shù)“的取值范圍

為[3,+8）.

【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義域得出集合A,再根據(jù)集合4,B的關(guān)系，得出實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【解答】解：由3-x>0,解得x<3,

則集合A={x|y=/〃(3-x)}={x|x<3},8={x|x>a},

VAnB=0,；.a23,

實(shí)數(shù)。的取值范圍為［3,+8).

故答案為：［3,+°°).

【點(diǎn)評】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查對數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題(共8小題)

6.(2022秋?大豐區(qū)校級期末)設(shè)機(jī)為實(shí)數(shù)，集合4={x|lWx<4},若ANB,求〃?的

取值范圍.

【分析】由集合B為集合A的子集，列出不等式組，可得利的取值范圍.

【解答】解：若A2B,即集合B為集合A的子集，

則，解得lWmW2,

lm+2<4

故，〃的取值范圍是［1,2］.

【點(diǎn)評】本題考查集合間的關(guān)系，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2022秋?西湖區(qū)校級期末)已知集合4={止閨(x+a)(x-3)<0},集合B=卜￡R|」一>1}?

X-1

(I)若。=1,求AC8；

(II)若AG8=0,求〃的取值范圍.

【分析】(I)根據(jù)題意，求出集合也當(dāng)〃=1時(shí)，求出集合A,由交集的定義計(jì)算可得答案；

(II)根據(jù)題意，按。的取值范圍分情況討論，求出集合A,由交集的定義分析。的取值范圍，綜合即

可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，集合B={xER(1，2)，

x-1

(/)若〃=1,集合A={x€R|(x+1)(x-3)<0}=(-1,3),

則An8=(1,2)；

(//)集合A={xeR|(尤+。)(X-3)<0},

若“=-3,則4=0,滿足題意；

若a<-3,則4=(3,-a),顯然ACB=0；

若a>-3,則4=(-a,3),所以-a22,所以-3<〃W-2；

綜上所述：aW-2.

【點(diǎn)評】本題考查集合交集的計(jì)算，(2)中注意討論。的取值范圍.

8.(2022秋?吉水縣校級期末)已知全集1/=凡若集合4={x|-2<x<4},-/?<0}.

(1)若m=3,求AC(CuB)；

(2)若AAB=A,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【分析】(1)由集合B求出CuB,再求出集合A與集合8的補(bǔ)集的交集即可；

(2)由集合A是集合B的子集，求出山的取值范圍.

【解答】解：(1)當(dāng)"?=3時(shí)，8={小<3},

所以CuB={x|x》3},

又集合4={x|-2<x<4},

故AC(CuB)={x|3Wx<4}.

(2)ADB=A,得，AQB,

故實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是母24.

【點(diǎn)評】本題考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，以及由集合間的關(guān)系求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2022秋?湘潭期末)設(shè)全集U=R,集合M={x|，-12r+20W0},N={x\lnx<2ln3},P={x|2a<x<a+5}.

(1)求MUN,MH(CuN)；

(2)若PUN,求a的取值范圍.

【分析】(1)分別化簡集合M和集合N,根據(jù)交集，并集和補(bǔ)集的定義求解即可；

(2)分集合尸=0和尸"0兩種情況，由P是N的子集，列不等式組，解出。的取值范圍.

【解答】解：(1)集合用={4/-12x+20W0}={x|2WxW10},N=[x\lnx<2ln3}={x|0<x<9},

則MUN={x[0<xW10}；

又CuN={x|xW0或x29},則MD(CuN)={x|9WxW10}；

(2)當(dāng)2a2a+5,即a25時(shí)，P=0,符合題意；

當(dāng)2〃<a+5,即a<5時(shí)，若PUN,貝,解得0WaW4,

la+5<9

綜上，a的取值范圍為{a|a25或0W“W4}.

【點(diǎn)評】本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，集合間的關(guān)系，考查了分類討論思想和計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

10.(2022秋?懷仁市校級期末)已知集合A={x|(x+2)(x-1)<0},非空集合8={m/<(2-ni)x+w}.

(1)當(dāng)加=1時(shí)，求CR(AUB)；

(2)若“在8"是‘"日”的充分條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【分析】(1)先求出集合A和8,再利用集合的運(yùn)算求解即可.

(2)由在8是xCA的充分條件，得到BUA,再列出不等式組求解.

【解答】解：(1)若加=1,貝IJ3={川2_?<》+1}="|-A={x\(x+2)(x-1)<0}={x|-2<

xVl},

."UB={x|-2<x<l},

/.CR(AU8)={小忘-2或在1}；

(2)CxeB是x6A的充分條件,

由(1)可知A={x|-2VxVl},

由(2-，*)x+m可得(x-1)(x+—)<0,

2

當(dāng)一如<1時(shí)，即膽>-2時(shí)，此時(shí)3={x|-典<x<l},

22

-212-2,解得-2V/MW4,

2

當(dāng)-@=1時(shí)，即機(jī)=-2時(shí)，此時(shí)8=0,滿足題意，

2

當(dāng)一旦>1時(shí)，即/〃<-2時(shí)，此時(shí)8=31cxV-史},不滿足8UA,

22

綜上所述實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-2,4].

【點(diǎn)評】本題考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)，充分條件的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11.(2022秋?淮安期末)設(shè)全集為(/=凡集合A={x|log2(x2-7JV)>3},B={x\a+\<x<2a-3].

(1)當(dāng)〃=6時(shí)，求圖中陰影部分表示的集合C；

(2)在①(CRA)nfi=0：②AC8=B：③AUB=4這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.

【分析】(1)求出集合A,B,利用交集和補(bǔ)集定義能求出結(jié)果;

(2)由已知得BUA,分B=0和B#0兩種情況討論，可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：(1)全集為R,集合A={x|，-7x-8>0}={小<-1或x>8},

a=6時(shí)，B={x\a+\<x<2a-3}={x[7<x<9},

.*.CR8={4rW7或x29},

圖中陰影部分表示的集合C=AnCRB={x[x<-1或x29}.

(2)①(CRA)CB=0；②ACB=8；③AUB=A,

選擇①②③均得到BQA,

當(dāng)8=0時(shí)，2a-3,解得aW4；

當(dāng)BH0時(shí)，卜+l<2a-3或fa+l<2a-3,解得卜>4或卜>4,...啟7,

12a-34-l[a+l>8[a>7

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,4jU[7,+8).

【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集、補(bǔ)集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2022秋?保山期末)已知集合A="|(x-a+1)(x-a-1)<0},8={鄧?3=仁9}.

(/)若a=1,求AUB；

(II)若是xCA的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)〃的值.

【分析】(/)根據(jù)集合運(yùn)算的定義計(jì)算即可；(II)若在8是xCA的必要不充分條件，則集合A些B,由

此可得a的取值.

【解答】解：(/)不等式1W3*TW9等價(jià)于3°W3x“W32,且函數(shù))，=3”在R上單調(diào)遞增，

.,.0WX-1W2,即1WXW3,；.B={x|lWxW3},

若4=1,則4=口卜(%-2)<0}={x[0<xV2},

...AUB={x[0<x<3}；

(II)不等式(x-a+\)Cx-a-1)<0即[x-(a-1)][JC-(a+1)]<0,

a-1<a+l,解得a-l<x〈a+l,

.'.A={x\a-l<x<4?+l}>

由(/)知，B={x|lWxW3},

若xeB是XCA的必要不充分條件，則集合其B,.Ja+1<3,即卜<2,Aa=21

la-l>lIa>2

【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，指數(shù)不等式，充分必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2022秋?射洪市校級期末)已知集合：4={x|考?<()}；集合B={x|(x-M[x-(w+l)]<0}(/?

為常數(shù)).

(1)當(dāng)帆=0時(shí)，求CRAU8；

(2)設(shè)命題p：X6A,命題q：尤68,若0是4成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【分析】(1)通過解不等式，求出集合A、B,從而求出其并集即可；(2)問題轉(zhuǎn)化為集合B是集合A的

真子集，得到關(guān)于。的不等式組，解出即可.

【解答】解：(I)解不等式2二3<0,得即4=(-1,3),

x+1

當(dāng)〃z=0時(shí)，由x(x-l)<0,解得0cxe1,即集合8=(0,1),

所以4U8=(-1,3),則CRAUB=(-8,-1JU[3,+0°)；

(2)因?yàn)閜是夕成立的必要不充分條件，

所以集合B是集合A的真子集，

又集合4=(-1,3),B=(m,tn+\),又般4，

則需滿足吃J,-1W加W2,

lm+l43IirfC2

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是L1,2].

【點(diǎn)評】本題考查了解不等式，考查充分必要條件，考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

十一、Venn圖法解集合問題

一.選擇題(共2小題)

1.(2022秋?瀘州期末)設(shè)全集U及集合M與N,則如圖陰影部分所表示的集合為()

A.MONB.MUNC.CuMCND.Cu(MUN)

【分析】根據(jù)集合并集，補(bǔ)集的定義即可判斷.

【解答】解：陰影部分所表示的集合為Cu(MUN).

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查集合并集，補(bǔ)集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2022秋?海淀區(qū)校級期中)已知集合〃=口￡N1W;(^21},集合Ai,A2,A3滿足：①每個(gè)集合都恰有7

個(gè)元素；②4U42U43=M.集合Ai中元素的最大值與最小值之和稱為集合Ai的特征數(shù)，記為Xi(z=

1.2,3),則X1+X2+X3的最大值與最小值的和為()

A.132B.134C.135D.137

【分析】判斷集合4,A2,A3中元素的最小值與最大值的可能情況，然后按照特征數(shù)定義求解即可.

【解答】解：集合4,42,43滿足：①每個(gè)集合都恰有7個(gè)元素；②4U421M3=M,A2,A3一

定各包含7個(gè)不同數(shù)值.

集合Ai,A2,A3中元素的最小值分別是1,2,3,最大值是21,15,9,特征數(shù)的和X1+X2+X3最小，

如：A1={1,16,17,18,19,20,21},特征數(shù)為22：

4={2,10,11,12,13,14,15）,特征數(shù)為17：A3={3,4,5,6,7,8,9},特征數(shù)為12；

則X1+X2+X3最小，最小值為22+17+12=51.

當(dāng)集合Al,A2,A3中元素的最小值分別是1,7,13,最大值是21,20,19時(shí)，特征數(shù)的和X1+X2+X3最

大，

如：Ai={l,2,3,4,5,6,21）,特征數(shù)為22：42={7,8,9,10,1112,20}特征數(shù)為27；

A3={13,14,15,16,17,18,19},特征數(shù)為32；

則X1+X2+X3最大，最大值為22+27+32=81,

故X1+X2+X3的最大值與最小值的和為81+51=132.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查集合的含義，屬于中檔題.

二.多選題（共4小題）

（多選）3.（2022秋?福州期末）已知集合A,B是全集U的兩個(gè)子集，AUB,則（）

A.AUB=BB.AHB=BC.BU（CuA）=UD.BU（CuA）=0

【分析】緊扣集合的定義，可以結(jié)合韋恩圖即可判斷.

【解答】解：A,8是全集U的兩個(gè)子集，AUB,則AUB=8,AC\B=A,BU（CuA）=U,

則A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤，C正確，。錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）4.（2022秋?連云港期中）若某班45名學(xué)生中，有圍棋愛好者22人，足球愛好者28人，則同時(shí)

愛好這兩項(xiàng)的人數(shù)可能有（）

A.22B.21C.5D.4

【分析】由22+28-45=5知同時(shí)愛好這兩項(xiàng)的人數(shù)在5?22人之間，從而判斷.

【解答】解：:22+28-45=5,

同時(shí)愛好這兩項(xiàng)的人數(shù)在5?22人之間，

故22、21>5正確，4錯(cuò)誤；

故選：ABC.

【點(diǎn)評】本題考查了集合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)5.(2022秋?湖北期中)圖中陰影部分用集合符號可以表示為()

A.AD(fiUC)B.AU(BDC)

C.ACCu(fine)D.(ADB)U(ACC)

【分析】利用韋恩圖直接求解.

【解答】解：圖中陰影部分用集合符號可以表示為：

AC(BUC)或(ACB)U(AAC).

故選：AD.

【點(diǎn)評】本題考查交集、并集的運(yùn)算，考查韋恩圖的性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

(多選)6.(2022秋?洛陽期中)設(shè)全集為U,A,B為U的子集，且A匚B,則下列結(jié)論中正確的是()

A.AHB=AB.AUB=BC.(CuA)CB=0D.(CuA)UB=U

【分析】利用Venn圖對四個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可.

【解答】解：由題意作論””圖，

根據(jù)圖象可知，

AUB=B,(CuA)UB=U,

當(dāng)A是B的真子集時(shí)，

（CuA）AB不是空集,

【點(diǎn)評】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ).

三.填空題（共3小題）

7.（2022秋?楊浦區(qū)校級期中）已知全集為U,則圖中陰影部分表示的集合是（CuA）CB.（用含4,

【分析】根據(jù)Venn圖可知陰影部分表示的元素在集合8中不在集合A中，再利用集合的運(yùn)算表示即可.

【解答】解：由珍〃〃圖可知，陰影部分表示的元素在集合B中不在集合A中，

圖中陰影部分表示的集合是（CuA）DB.

故答案為：（CuA）OB.

【點(diǎn)評】本題考查集合的性”〃圖示法，集合的基本運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

8.（2022春?承德月考）對于一個(gè)古典概型的樣本空間。和事件A,B,其中"（Q）=60,n（A）=30,n

（B）=20,n（ACB）=10,則尸（4UB）-Z.

一3一

【分析】由已知得出〃（AUB）,根據(jù)古典概型的概率公式代入求解.

【解答】解：由題意得"（AUB）=30+20-10=40,

所以P（AUB）嗡

603

故答案為：1.

3

【點(diǎn)評】本題考查古典概型的概率公式，考查韋恩圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）。是有理數(shù)集，集合M={x|x=a+&b,a,b€Q,x。。},在下列集

合中：

①k鼠=旎，t€M)；②{x[x[,t€M}；

③{x|x=Xl+X2,X\&M,X2&M};@{x|x=XIX2,X\&M,X2&M}.

與集合M相等的集合序號是①②④.

【分析】集合相等條件為集合元素相同，根據(jù)此條件分別判斷①②③④四個(gè)集合中元素是否與集合M一

致即可.

【解答】解：對于①.：t&M,設(shè)尸a+&匕，“6Q,beQ,則&/=26+&〃，2beQ,故①的集合與M相

等；

對于②.令t=a+Mj3(a,b€Q,MO),則工=---—=---------+亞(—————)，

2222

taW2ba-2ba-2b

其中.a「bQ,故②的集合與加相等：

2,222

a-o2ba-2b

對于③.當(dāng)xi=a+J^b,X2=-a-“eQ,6eQ時(shí)，x=xi+x2=O,故③的集合與例不相等；

對于④.令xi=ai+J^bi,(ai,Z?iGQ,XIWO),X2=a2+J^b2,(。2,teGQ,X2#O)

x—x\xi—(aia2+2b\b2)+V2(?1bi+b\42)

其中(。1。2+2的歷),(4162+8142)GQ>xWO,故④的集合與M相等;

故答案為：①②④.

【點(diǎn)評】本題考查集合的相等，屬于中檔題.

十二、集合交、并、補(bǔ)全的運(yùn)算

一.選擇題(共6小題)

1.(2023?山西模擬)已知集合4=3,-3xV4},B=(-2,2),則AUB=()

A.(-2,4)B.(-4,2)C.(-2,2)D.(-4,4)

【分析】分別將兩個(gè)集合中的元素表示出來，再求并集.

【解答]解：A={x|?-3x<4}={x|(x-4)(x+1)<0}={x|-l<x<4},

則AU8=(-2,4).

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2023?安徽二模)若集合A={x|x=4k-3,\N},B={x[(x+3)(x-9)WO},則AAB的元素個(gè)數(shù)為

()

A.2B.3C.4D.5

【分析】分別化簡兩個(gè)集合，可得AC8的元素個(gè)數(shù).

【解答】解：集合8={x|(x+3)(x-9)W0}={x|-30W9},

集合A={Mx=4&-3,依N}={-3,1,5,9,13...},

則ACB={-3,1,5,9},即元素個(gè)數(shù)為4.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2023?海淀區(qū)一模)已知集合4={卻<*<3},B={0,1,2},則ACB=()

A.{2}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

【分析】根據(jù)交集定義，找出兩個(gè)集合的公共元素即可.

【解答】解：集合A={x[l<x<3},B={0,1,2},則aAB={2}.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2023?莆田模擬)設(shè)全集U={x6N|?W2},A={2,3},則CuA=()

A.{0,1}B.{0,4}C.{1,4}D.{0,1,4}

【分析】分別將集合U中的元素表示出來，再求Cu4

【解答】解：集U={x6N|4W2},0WxW4,.,.〃={(),1,2,3,4),

???CuA={0,1,4).

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2023?安徽模擬)已知集合4={x|f-2x-3<0},B={X|2J2>1},則4A(CRB)=()

A.{.r|l<x^2}B.{x|2Wx<3}C.{x|-l<x^2}D.{x|l<x<3}

【分析】分別將兩個(gè)集合中的元素表示出來，再求補(bǔ)集，交集.

【解答】解：?-2r-3<0,(%-3)(A-+1)<0,-l<x<3,貝！]A=(-1,3),

2X'2>1,：.X-2>0,：.X>2,B=(2,+8),

CR8=(-8,2],AAPI(CRB)=(7,2]={R-1<XW2}.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2023?古冶區(qū)校級一模)若集合4=國宜340},8={-3,-1,0,3,4),則AQB的元素個(gè)數(shù)為

()

A.2B.3C.4D.5

【分析】先化簡集合A,要注意等號是否取到，再根據(jù)交集的定義計(jì)算即可.

【解答】解：???^■40，（x+3）（x-3）WO,且xW3,，-3Wx<3,

x-3

A=[-3,3）,又8={-3,-1,0,3,4）,

則ACB={-3,-1,0},ACB的元素個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共1小題）

7.（2022秋?朝陽區(qū)期末）已知集合A=3-2Vx<0},集合8={x|0WxWl},則AUB=Lr|-2<xWl]

【分析】由并集及其運(yùn)算求解即可.

【解答】解：己知集合A={x|-2<x<0},集合8={ROWxWl},

則AUB={x|-2<xWl},

故答案為：*|-2VxWl}.

【點(diǎn)評】本題考查了并集及其運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

三.解答題（共5小題）

8.（2022秋?保定期末）集合A={x|，-4W0},集合8={x|2-a<x<2〃+l}.

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求AUB；

（2）若AU8,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【分析】（1）當(dāng)”=1時(shí)，分別化簡集合A,B,根據(jù)集合并集的定義求解；

（2）由AU8,列不等式組，解出〃的取值范圍.

【解答】解：（1）A={x|f-4<0}={x|-2〈xW2},

當(dāng)a=l時(shí)，B={x\l-a<x<2a+1}={x|1<x<3},

AUB={x|-20<3}；

（2）若AUB,

'o_<_o

則Ia、，解得a>4,

2a+l>2

故實(shí)數(shù)”的取值范圍是（4,+8）.

【點(diǎn)評】本題考查集合的并集運(yùn)算，考查集合間的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2022秋?南通期末)已知集合A={x|-2/+7X-3>0},集合8={x|/-法+4<0,hGR].

(1)若(1,3),求?。?/p>

(2)若AUB=8,求&的取值范圍.

【分析】(1)將集合A，B進(jìn)行化簡，利用4cB=(13)建立不等關(guān)系，求實(shí)數(shù)6的值即可；

一f(4")=(4*)2-^t>+440

(2)由AU8=B可得AUB,可得對任意的xe(2,3),/-云+4<0恒成立，即1222,

2

,f(3)=32-3b+4<0

即可求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

【解答】解：(1)A={x|-2f+7x-3>0}=U|(2x-1)(x-3)<0}={X|A<X<3},

2

"：AHB=(1,3),

.'.x=1必為方程/-bx+4=0的根,故在一匕+4=0,解得b=5,

此時(shí)8={4^-5》+4<0,b€R}=(1,4),符合題意，所以b=5；

(2)：.AQB,

.?.原問題等價(jià)于：對任意的正(」,3),/-笈+4Vo恒成立，

2

:.令于(x)=/-bx+4在區(qū)間(山,3)上的最大值不大于0,

2

,f4)=4)24b+4<°初汨

.?<222,解得<13,即，冷

2

,f(3)=32-3b+4<0b>f

所以實(shí)數(shù)匕的取值范圍為[衛(wèi)，+8).

2

【點(diǎn)評】本題主要考查集合關(guān)系的應(yīng)用,先將集合4,8進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵，注意對區(qū)間端點(diǎn)值

等號的取舍問題.

10.(2023春?天心區(qū)校級月考)集合A={8={x|2o?+(2-ab)x-b<0].

X,-3

(1)用區(qū)間表示集合A；

(2)若aVO,b<0,AQB=A,求a,6的取值范圍.

【分析】(1)原不等式化為(x+2)(x-3)20,且xW3；(2)原不等式化為(6+1)(2x-6)<0,且

由已知有AUB,從而可得a,b的取值范圍.

【解答】解：(1)由工〉-1有三2>o,即(x+2)(%-3)20,且x#3,

x-3x-3

解得xW-2或x>3,

."=(-8,-2]U(3,+8).

(2)2ax2+(2-ab)x-b<0,可得(ar+1)(2r-b)<0>

又a<0,b<0,解得x<也■或x>」,

2a

■：AQB=A,：.AQB,：

可。y3,…

0<—<3

a

：.a,6的取值范圍是a￡(-co,-—]，be(-4,0).

3

【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

11.(2022秋邛可勒泰地區(qū)期末)(1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8),

求AC8,AUB,CuA；

(2)已知全集U={4xW4},集合A={x|-2<x<3},B={x