河北省2023屆新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 立體幾何解答題30題專項(xiàng)提分計(jì)劃含解析

2023屆河北省新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

專題3立體幾何解答題30題專項(xiàng)提分計(jì)劃

1.(2022?河北邯鄲?統(tǒng)考二模)如圖，在三棱錐戶一48。中，為等腰直角三角

形，且A3=AC=2,△45P是正三角形.

(1)若PC=3C,求證：平面/此L平面/8C；

(2)若直線用與平面所成角為:，求二面角P-AB-C的余弦值.

4

【答案】(1)證明過程見解析；

⑵—.

3

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理

進(jìn)行證明即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式,結(jié)合線面角、面面角的定義進(jìn)行求

解即可.

(1)

設(shè)PB的中點(diǎn)為。，連接

因?yàn)镻C=BC,所以

因?yàn)椤髁Ψ钦切?，所以R4=B4，因此

而CDA。=O,A。,CDu平面AC。，所以8P_L平面AC。，

而ACu平面AC￡),所以3P_LAC,

因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且AB=AC=2,

所以AC_LA8,而A8平面460,

所以AC_L平面4必，而ACu平面

所以平面45P1?平面/6G

(2)

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

I

則有尸(1,%,Z0)(%>0,Z0>0),40,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),

因?yàn)椤?力是正三角形，所以該三角形的高為j22-(2xg)2=Q,

于是有%2+Z02=3,設(shè)平面Z18C的法向量為“=(0,0,1),PC=(—1,2—-Z。),

因?yàn)橹本€先與平面/a'所成角為：，

|PC-n|lzI也

所以8叱'止鼎飛+丁而升+Z。=，

解得：%=1，%=&，即尸

設(shè)平面PAB的法向量為m=(%,坨4),

LULU

”=(1,1,偽，AB=(2,0,0)，

.[ml.AP[m-AP=0

所以有<=<=.產(chǎn)i,D,

[mlAB[mAB=0

2.(2023?河北?河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，用一垂直于某條母線的平面截一

4

頂角正弦值為《的圓錐，截口曲線是橢圓，頂點(diǎn)力到平面的距離為3.

(1)求橢圓的離心率;

(2)已知一在橢圓上運(yùn)動且不與長軸兩端點(diǎn)重合，橢圓的兩焦點(diǎn)為耳，工，證明：二面

2

角瓦-AP一-的大小小于60°.

【答案】（l）g

（2）證明見詳解

【分析】（1）根據(jù)圓錐的幾何性質(zhì)借助于軸截面運(yùn)算分析；（2）建系，先求兩平面的法

向量，則可得cos。,；），換元，利用放縮結(jié)合導(dǎo)數(shù)求cos。,*）的取值范圍，即可得結(jié)

果.

【詳解】（1）以橢圓的中心。以及短軸的頂點(diǎn)知層作平行于圓錐底面的截面（截面為

圓OQ,如圖為圓錐的軸截面,

由題意可得：A8=3,BC=4,則橢圓的長軸長2a=4,即4=2,

7T

設(shè)圓錐的頂角為2a,由題意可知0<2a<]

42tana4

Vsin2a=-,則tan2a==——--=-,解得tana=-或tana=-2(舍去)，

5l-tan2a32

..石2石

??sinct=—,cosa=------，

55

在中，可得AD=&-=邁，BD=2,則00=08—8。=,，

cosa222

在RtAOO,￡)中，則cosZ0tD0=cos-a)=sina,sinNO[￡>0=sinf]-a]=cosa,

可得01。=0。cosNQQO=*,00]=ODsinZOtDO=

5

OR

故A。=4。+0]。=-^-,

在RtzXAMQ中，可得A/0I=40]tana,

即截面圓。1的半徑為=竽，則橢圓的短軸線鳥=2《MO；-OO；=2^,

故橢圓的短軸長2匕=26,即則c=jM-%2=i，

橢圓的離心率6=上=彳.

a2

3

(2)如圖，以橢圓的中心。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則

A(0,_2,3)，6(0,T,0)，E(0,l,0),

設(shè)P(石cose,2sina0)(cos"0),平面耳AP的法向量為〃=(x,〉,z),

UUUUUU1._\n-AF=y-3z=0

???AE=(O,l,-3),耳尸=(指cos6,2sin6+l,0),則，{

〃?耳尸=>/5xcose+(2sine+l)y=0

令y=3cos。,則x=—G(2sine+l),z=cos9,Bpz?=^-5/3(2sin/9+l),3cos0,cos^j,

同理可得：平面84尸的法向量為m=卜(2§也。-1),6<：00夕,石(：0§夕)，

則

/1>/3(4sin20-1)+4^cos203G

22222

、，'pp|^3(2sin6?-l)+10cos0^(28106?-1)+6cos6?^(sin^+S)-55/-2(sin6?+l)+9

令1=sin9+1e(0,2),貝！J

/r、3733>/3

'/J(2r+8，+3)(—2/+9)V-4r4-16?+12?+72Z+27，

當(dāng)時，則83-32/>0,

43

-4Z4-16'+12產(chǎn)+72/+27<-4z4-16/3+12產(chǎn)+72/+27+83-32^=-4??+12〃+72r+—

333

構(gòu)建=一與/+12/+72f+竽，

則r(f)=8(-2尸一10/+3/+9)=_8?-1乂2及+6/+9),

當(dāng)時，則2/+6f+9>0,

令人)>0,則o<tvl,

則/(。在(0,1)上單調(diào)遞增，在1,；上單調(diào)遞減，故/⑺4〃1)=108；

當(dāng)《<f<2時，令g(f)=_16/+12/+72f+27,則g'(。=-16/—48r+24r+72,

令°(f)=g'(f),則d⑺=—24(/+4/-1)<0當(dāng):<f<2時恒成立，

故9⑺在2)上單調(diào)遞減，則s(f)<m=-?<0,

.?.g。)在2)上單調(diào)遞減，則g(f)<g停卜等<108；

4

綜上所述：-4r4-l6P+12/+72/+27<108當(dāng)，e（0,2）時恒成立,

.?.8S（\調(diào)/＞V1矍08=12

設(shè)二面角片-AP-K的平面角為尸，由題意可得夕

3.（2022秋?河北石家莊?高三石家莊精英中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，三棱柱

ABC-AB.C,,底面ABC是邊長為2的正三角形，^=^8,平面ABC1平面A4C0.

（1）證明：A。，平面43C；

（2）若BC與平面AA3所成角的正弦值為母‘求平面羽‘與平面85CC夾角的余弦

值.

【答案】（1）證明過程見解析

嗚

【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，得到BDL\C,

再證明出46,AC,從而得到AC，平面A8C；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解面面角的余弦值.

5

【詳解】（1）取的中點(diǎn)從的中點(diǎn)〃，連接物，A、N,CN,

因?yàn)榈酌鍭BC是邊長為2的正三角形，AA=AB,

所以AN_LA8,BDYAC,CN1AB,

因?yàn)槠矫鍭BC1平面441GC,交線為4C,8。u平面ABC,

因?yàn)樽鯦UC,

所以切J_平面AAC,

因?yàn)锳Cu平面AAC,

所以初_LAC,

因?yàn)锳NNC=N,AN,NCu平面ANC,

所以4員L平面ANC,

因?yàn)锳Cu平面ANC,

所以小J.AC,

因?yàn)锳BBD=B,A8,8Ou平面A5C,

所以AC，平面45a

（2）過點(diǎn)C作CF"AB,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，CM所在直線為x軸，〃'所在直線為y軸，CA所在直線為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，

則C（O,O,O）,B（后1,0），4君,-1,0），4（0,0,旭）,4（0,2,加）6卜百[加）,m>o,

AA,=[-y/3A,n^,AB=（0,2,0）,BC=（->/3,-1,0）,CB,=（0,2,2）,

設(shè)平面4AB的法向量為，=（x,y,z）,

6

t=(x,y,z)-^-A/3,1,n?j=->/3x-i-y+mz=O

、[r-AB=(x^,z)(O,2,O)=2y=O

解得：y=o,設(shè)x=l,則2=且，

m

因?yàn)榧樱?,解得：m=2,

故”卜,0,”

\?

設(shè)平面BBC?的法向量為""c),

n-CB]=(6F,/?,C)(0,2,2)=2/?+2C=0

川n-BC=卜2,0,c)(―=-6a-b=0

設(shè)b=1,則c=-l〃=一^

3

則〃=一孝

4.（2022?河北滄州?統(tǒng)考二模）如圖，在四棱柱ABC。-AqGR中，底面43C。是

7

平行四邊形，DALDB,側(cè)面4DRA是矩形，A8=2AO=為的中點(diǎn),

D.A1.BM.

(2)點(diǎn)N在線段上，若AG=4AN,求二面角M-的余弦值.

【答案】(1)證明見解析:

⑵半

【分析】(1)由題可得D,A±MD,然后利用線面垂直的判定定理可得。AJ.平面BDM,

進(jìn)而即得；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法即得.

(1)

因?yàn)榫匦蜗?gt;AA中，0AAi=2">,用為M的中點(diǎn)，

所以tanZMDA=tan^AD,D=+,

所以NMZM=/A￡)Q.

因?yàn)?ARO+NRA￡>=',

TT

所以NMDA+ZD.AD=-,

所以

因?yàn)椤?gt;iA_L8M,M￡>cBM=M,

所以〃AJ_平面8DM.

因?yàn)?￡>u平面3DW,

所以RAJ.BZ),又￡>A_L￡>B，AAcDA=A,

8

所以平面AO￡）M.

（2）

由（1）知08,0〃兩兩相互垂直，所以以。為原點(diǎn)，D4,DB,。。所在直線分別為

x，＞，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)锳BuZADuJiAA,,令A(yù)D=1,連接

則￡＞（0,0,0）,.（0,0,夜）,4（1,0,0）,網(wǎng)0,"0）4（-1,百,閭，4（1,0,仞,

所以D3=（O,6O）,￡W=DA+AN=DA+；AG=；《，及?

設(shè)平面8DV的一個法向量為〃=（x,y,z）,

一一島=4

n-DB=0，口」

則］一，得〈1GI—，

幾?DN=0-X+—y+V2z=0

124?

所以y=0,令z=—l,得x=2&，所以〃=（2夜,0,—1）,

由（1）知。A=（l,0,-&）是平面應(yīng)加的一個法向量，

所以8四4加耦二衍禹而r事

故二面角M-DB-N的余弦值為遠(yuǎn).

3

5.（2022?河北石家莊?石家莊二中?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABC。中，PC1

底面ABCO,底面ABC￡＞是直角梯形，ABLAD,AB//CD,AB=2AD=2CD=2,E是

尸8上的點(diǎn).

9

p

⑴若〃平面ACE,求PE:P8的值；

(2)若E是PB的中點(diǎn)，且二面角P-AC-E的余弦值為如，求直線A4與平面E4C所成

3

角的正弦值.

【答案】⑴:

⑵也

3

【分析】(1)連接3D，交AC于點(diǎn)G,由線面平行性質(zhì)可證得PD//EG,又ABMCD,

由平行線分線段成比例可求得結(jié)果；

(2)取A8中點(diǎn)用，可證得四邊形AMCD為矩形，則以C坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐

標(biāo)系，利用線面垂直的判定可證得3c工平面PAC,可知平面PAC的一個法向量為C8；

設(shè)P(O,OM),利用二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得〃；利用線面角的向量求法可求得

結(jié)果.

【詳解】(1)連接80,交AC于點(diǎn)G,連接EG；

平面ACE,PDu平面P8￡),平面1平面ACE=￡G,

PD//EG,:.PE:PB=DG:BD；

QABI/CD,:.DG:GB=CD.AB=\:2,DG:BD=\;3,

:.PE:PB=l:3,即的值為g.

(2)取AB中點(diǎn)M,連接CM；

CD//AM,CD=AM,：.四邊形AMCD為平行四邊形，「.AD//CM,

10

又4J_L4),?,.四邊形40CD為矩形，則CMLCD,

則以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，cM,cncp正方向?yàn)閤，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

AD=CM=-AB,ZACB=-,g|JXC1BC-,

22

PCmABCD,5。匚平面488,..尸。_1_3。；

PC,ACu平面「AC,PCr>AC=C,..8C，平面PAC；

設(shè)CP=a(a>0),

則尸(0,0,a),A(l,l,0),C(0,0,0),嗚,一器)，

.,.C4=(1,1,0),CE=(g，-；，?,C8=(l,-1,0),

設(shè)平面E4C的法向量〃=(x,y,z),

CAn=x+y=0

則｛11a，令z=—2,則尤=a,丫=~,=a,-2)；

CEn=—x——y+—z=0

t222

又平面PAC的一個法向量為CB=(1,-LO),

??IJcos<CB,I〃>=i^^=2a,=指一,解得：a=2；

11|CB|-|rt|V2xV2a2+43

?.\PA-A472

n=(2,-2,-2)1|cos<PA,n>|==T,

直線"與平面E4C所成角的正弦值為它.

3

6.(2022?河北石家莊?石家莊二中?？寄M預(yù)測)如圖，三棱柱ABC-A4G中側(cè)棱

與底面垂直，且AB=AC=2,M=4,ABJ.AC,M,N,P,〃分別為CC-BC,A4,

B￡的中點(diǎn).

11

（1）求證：PN〃面ACGA；

（2）求平面AIW與平面ACGA所成銳二面角的余弦值.

【答案】（D證明見解析

⑵6>^3

53

【分析】（1）解法一，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，確定平面ACCM的

一個法向量，計(jì)算PN-A8=0，即可證明；

解法二，證明平面P/W〃平面ACGA,利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，確定平面ACC0的一個法向量，求

出平面的法向量，利用向量的夾角公式求得答案.

【詳解】（1）解法一：

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AC,AA所在直線分別為人只z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,4）,8（2,0,0）,M（0,2,2）,N（l,l,0）,P（l,0,4）.

取向量A8=（2,0,0）為平面4CCA的一個法向量，PN=（O,l,T）,

12

PMTW=OX2+1XO+(T)XO=O,

???PNLAB.

又平面ACCA,

PN〃平面ACGA.

解法二：

,:P,〃分別為4耳，Bg的中點(diǎn)，

PO〃AG，且AG平面ACGA,PE)N平面ACGA，

PD力平面ACGA,

,:D,4分別為BC，比1的中點(diǎn)，

DN//CCt,且CC,u平面ACC,At,ON0平面ACGA，

DN//平面4CC；A,又PDcDN=D,

平面PDN〃平面ACGA,

又：PNu平面PDN,

：.PN〃平面4CGA.

(2)以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，/員AA所在直線分別為小y,軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,0,4）,8（2,0,0）,“（0,2,2）,N（l,l,0）,P（l,0,4）.

PN=（O,l,Y）,PM=（-1,2,-2）,

取向量AB=（2,0,0）為平面ACGA的一個法向量，

設(shè)平面9V的法向量為"=(x,y,z),

13

nPM=0-x+2y-2z=0

則,即

n?PN=Gy-4z=0

令z=l,則x=6,y=4,則〃=(6,4,1),

ABn_2x6+0x4+0xl6753

.?.cos<AB,n>=

網(wǎng).“2V62+42+l253,

由圖示可知平面月價'與平面ACGA的夾角為銳角，

平面丹亞與平面ACCM所成銳二面角的余弦值為2.

53

7.（2022?河北?模擬預(yù)測）如圖，三棱錐A-8C￡>中，AB=AD,AO_L平面8C￡>,

點(diǎn)。在線段8上，且滿足O￡）=2OC=2,8￡>=GO8.

（1）證明：BC1AD；

（2）若二面角C-A3-D的正弦值為偵，求三棱錐A-3CD的體積.

5

【答案】（1）證明見解析；

⑵G或叵

7

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得從而可得8。，利用余弦

定理求得N80D,再利用余弦定理求得BC,再利用勾股定理可得8C_LC0,易證明

平面AC。_L平面BCD,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得8cl平面AC￡）,再根據(jù)線面垂直

的性質(zhì)即可得證；

（2）以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合二面角的正弦值求得。4,再根

據(jù)棱錐的體積公式即可得解.

【詳解】（1）證明：因?yàn)锳OL平面BCD,OB,ODu平面8C。，

所以AOJL3O,AOJ_O￡>,

因?yàn)锳B=AD,Q4=Q4,

所以△AOB三八40￡）,所以O(shè)B=O￡）,所以=26，

14

4+4-(2回_1

由余弦定理得—=若靛產(chǎn)

2x2x22

則BC=j4+l-2x2xlxg=G,

/.Z.BOD=ZBOC=-,BO=2,OC=1,

33

因?yàn)锽C2+OC2=O82,所以8CJ_CO,

因?yàn)锳。_L平面BCD,AOu平面AC￡）,

所以面48_1面8。。，X?ACDffiBCD=CD,BCLCD,BCc^BCD,

所以3c人平面ACD,又AOu平面AC。，

所以8CJ.AO；

⑵解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0,0）,8（0,6,0）,0（3,0,0）,

設(shè)AO=a,則A（l,0,a）,故&4=（l,-G,a）,BO=（3,G,0）,C4=（l,0,4），

設(shè)平面ABC,平面48。的法向量分別為4=（玉,％,Z]）,必=（w,z?）,

（、

口tt-BA屋=x+,-\[時3y,+。az.=0，可取4=3。1），同理得—/-2

則

M=?

a=2或a邛

當(dāng)4=2時,VA.BCD=]X2SBCD=]X2x3'3x下＞=C,

獨(dú)2排葉..12714?

芻4=一。7一時，匕-8cz>=§x7SBCD工亞xS叵,

3727

故三棱錐A-BCD的體積為有或殍.

8.（2022?河北?模擬預(yù)測）如圖1所示，在平行四邊形P8C。中，AB±PD,

PA=AD=AB,將.THS沿AB折起，使得二面角的大小為60。，如圖2所

示，點(diǎn)A/為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為棱PC上一動點(diǎn).

15

P

AD

p

圖1圖2

(1)證明：PMLCD；

(2)若四棱錐尸-ABCD的體積為2后，求直線MN與平面PCD所成角的正弦值的最大

值.

【答案】(1)證明見解析

⑵巫

133

【分析】(1)取A。的中點(diǎn)E,連接ME,BD,PE,結(jié)合已知條件先證明ME，8,

再證明尸E_L8,得到C￡)_L平面從而結(jié)論即可得到.

(2)設(shè)AB=AO=PA=a,BC=2a,利用體積求得。，進(jìn)而建立以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

AB,4。為x,＞軸，以過/且平行于PE的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，求平面PC。的一個法向量加，利用向量法可求出最大值.

【詳解】(1)證明：取A。的中點(diǎn)E,連接ME,BD,PE,

點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，在△43。中,

ME//BD,

AB=AP=AD,AB1PD,

二在平行四邊形尸88中

有NDPB=NDCB=45。,NDBC=NBDA=45°,

ZBDC=180°-45°-45°=9()°,

BDA.CD,

，折起后也有BO_LC￡>

所以雌_LC￡),

PAYAB,ADJ.AB,

16

.?.NE4。為二面角產(chǎn)一43-。的平面角，即/皿）=60。,

平面上40,QPEu平面R4Q

:.ABA-PE,

ZPAD=f^P,PA=AD,

.1.孫￡）為正三角形，

J.PELAD,

AB,AD=A,

.?.產(chǎn)后,平面^^⑦，

C￡>u平面43CZ),

：.PE1CD,

MEcPE=E,

\CDA平面PA/E,

加0：平面「"￡',

:.PMLCD.

(2)設(shè)AB=A￡>=%=a,BC=2a,

那么點(diǎn)P到面ABC。的距離就是PE的長，也就是回，

2

c_(。+24)。_3二

^ABCD==2"'

1rnr-132島Ga,0

-VP-ABCD=^SABCDXPE=-jX2aX~2~=~~4~=^^'

解得4=2,

:.AB=AD=AP=PD=2,BC=4,

以1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以48,AO為X,y軸，以過力且平行于心的直線為z軸建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

則M(l,o,0),0(0,2,0),c(2,4,0),P(0,1,73),

17

設(shè)點(diǎn)N(x0,y0,ZQ),

2-x0_4-y(,_0-z?

根據(jù)PC與NC方向相同得:2-0-4-1-0-6

N(2-2t,4-3f,技)，

DC=(2,2,0),P￡>=(0,1,-73),

設(shè)平面PCD的一個法向量為=(a,6,c),

DC-m=2a+2b=0

PD-m=b-y/3c=0

令c=l,

解得o=-G，b=￡,

..?平面PC￡>的一個法向量為=

MN=(\-2t,4-3r,4),

MNm

cos<MN,m>=

373

116/-28f+17>近

14

當(dāng)時取到等號

16

???直線"N與平面尸8所成角的正弦值的最大值為9叵.

133

【點(diǎn)睛】本題考查方向：

①證明線線，線面，面面平行

②證明線線，線面，面面垂直

③線面角

④異面直線所成角

⑤二面角的大小，二面角大小的正弦、余弦值

⑥已知二面角大小或正弦、余弦值求參數(shù)

解決方法：利用線線，線面，面面平行或垂直的判定定理及性質(zhì)定理；建立空間直角坐

標(biāo)系，利用法向量解決問題.

18

9.（2022?河北唐山?統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面平面A8C￡）,

底面ABC。是梯形，AD〃BC,BDLPC,AD=AB=、BC=y[i.

2

（1）證明：PC平面ABC。；

⑵若P8=PC=20，E為線段AP的中點(diǎn)，求平面/W與平面3￡）E所成銳二面角的

余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵孚

【分析】（1）因?yàn)槠矫鍼5D1平面ABC。，故要證PD_L平面ABC。，需證PD_L8D,

需證平面尸DC,需證8￡>J_0C,而3OLOC不難證明（2）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直

角坐標(biāo)系，用空間向量求解即可

【詳解】（1）證明：取8c中點(diǎn)尸，連接AEDF.

二AD//BC,AD^AB=-BC,

2

???四邊形ABFD為菱形，四邊形AFCD為平行四邊形.

AF±BD,AF//CD,

：.CD±BD.

又：3￡）_LPC,CZ）PC=C,

：.8。人平面PCD.

又；PDu平面PC。，

/.BDLPD.

又；平面尸8E）1?平面ABC。，且平面「3。平面ABC￡）=B￡>,

，PDA.^W\ABCD.

19

(2)PD_L平面ABCD,PB=PC=20,

RjPD瞄Rt_PDC,

：.BD=CD.

又：C￡>J.B￡>,BC=20,

BD=CD=PD=2,

AD-+AB2=BDT,

底面ABC。是直角梯形.

以。氏。C,DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-WZ,則

￡>(0,0,0),8(2,0,0),A(I,-1,0),尸(0,0,2),E(g,-g,1).

DB=(2,0,0),=.

平面。蛆的一個法向量為加=(0,1,0),

設(shè)平面或出的一個法向量為〃=(x,y,z),

r_2x=0

由］np〃八n得h1取〃=(O,21).

DEn=0—x——y+z=0

11227

/.mn226

〃〉=麗=前=可，

...平面PQ與平面3DE所成銳二面角的余弦值為半.

20

10.（2022?河北邯鄲?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四棱錐E-AfiC。，AB=AD=6

CD=CB=\,AC=2,平面E4cl.平面ABC。，平面AfiEc平面C￡）E=/.

⑴若點(diǎn)M為線段4E中點(diǎn)，求證：BM//1；

（2）若NACE=60,CE=\,求直線8c與平面ADE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵彳

【分析】（1）取AC中點(diǎn)F，根據(jù)△ABgAADC、勾股定理可確定NACB=AC￡>=60,

由為正三角形可知防〃8,由線面平行的判定得到8尸〃平面C0E；由M尸〃EC

可得MF〃平面C￡）E；由面面平行判定知平面BMP//平面C￡>E,由面面平行和線面平

行性質(zhì)可證得結(jié)論；

（2）過點(diǎn)E作EH_LAC,由面面垂直性質(zhì)可證得E〃_L平面ABC。，結(jié)合8"_LAC,

則以，為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.

【詳解】（1）取AC中點(diǎn)尸，連接

E

AB=AD=y/3,CD=CB=1,AC=2,

ADCJiAC2=AB2+BC2=AD2+DC2,..ABIBC,ADIDC,

:.ZACB=ACD-6Q,

尸為AC中點(diǎn)，.?.△BFC為正三角形，即/8/C=/A8=6O,.,.用?〃Cr>,

Q3尸Z平面COE,（7。匚平面。后，..3尸〃平面。。。

在ZXACE中，MF為中位線，/.MFIIEC,

又W平面CDE,￡6^平面。。以二河尸〃平面?！辏┕?/p>

21

又BFMF=F,8居M尸u平面8WF,.?.平面創(chuàng)"7/平面CDE,

又BMu平面BMF,BMH平面CDE,

又平面A8EC平面CDE=/,BMu平面4BE,

(2)過點(diǎn)E作E"_LAC,交AC于點(diǎn)H,連接以3.

.平面E4C_L平面ABC。，平面EAC、平面4?C0=AC,平面E4C,

，四，平面ABC。，

又ZACE=60，CE=\,AC=2,AEC直角三角形，且NA￡C=90,

A3i

??.E〃=BAH=-tCH=~；

222

n

又一AEC也一ABC,即8”_L4C,S.BH=EH=±~,

2

則以“為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)

系H-xyz.

貝|9=（；當(dāng)0

設(shè)平面ADE的法向量為n=（x,y,z）,

n-DA=-y=O

；,令解得：y=-&,

則；x=l,z=G，/./?=(1,-V3,V3);

n-EA=—x-----z=0

22

?|COS<.CB>I」〃5_1-療

11

|/；|.|CB|y/l7

即直線BC與平面仞E所成角的正弦值為日

11.（2022?河北張家口?統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐P-A5C。中，四邊形ABC。是等

腰梯形，PA_L平面ABC。，AB//CD,PA=AB=2CD=4fBC=M.

22

p

(1)證明：平面PAC，平面PBD；

(2)若E是PC的中點(diǎn)，求二面角E-3￡)-P的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵—

9

【分析】(1)證明出3。1平面PAC,再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)以點(diǎn)〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，MB、MN、AP的方向分別為x、z軸的正方向建立空

間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角E-處-P的余弦值.

(1)

證明：設(shè)ACBD=H,過，在平面ABCD內(nèi)作AB的垂線分別交A3、C。于M、N,

過點(diǎn)C、。在平面ABC。內(nèi)分別作CO_L4B,DFYAB,垂足分別為點(diǎn)。、F,

在等腰梯形A8C。內(nèi)，AD=BC,NDAF=4CBO,ZAFD=ZBOC,

所以，/\AFD^/\BOC,所以，AF=BO,

CD!/OF,CO±AB,DF^AB,所以，四邊形O8F為矩形，

所以，OF=CD=2,所以，AF=OB=AB^CD=\,

2

所以，DF=OC=\JBC2-OB2=3-同理可得MN=D尸=3,

CD//AB,則也=型=1，所以，MH=-MN=2,NH=-MN=\,

MHAB233

AD=BC,ZABC=BAD,AB=AB,所以，..ABC緣BAD,AC=BD,

「HDf-fmion

QAB//CD,所以，寡=等=胃=:，所以，AH=-AC=：BD=BH,

AHBHAB233

因?yàn)閯t點(diǎn)M為48的中點(diǎn)，同理可知N為。。的中點(diǎn),

23

AH=BH=yjBM2+MH2=2>/2>所以，AH2+BH2=AB2<所以，BD1AC,

E41.平面ABC。，BOu平面ABC。，:.BDLPA,

QPAIAC=A,因it匕，平面P4C.

Q3Qu平面所以，平面PAC_L平面尸BD.

(2)

解：因?yàn)锳flVIAB,尸4_L平面ABC。，

以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MB、MN、AP的方向分別為x、V、z軸的正方向建立如下圖

所示的空間直角坐標(biāo)系,

則3(2,0,0)、C(l,3,0)、0(-1,3,0),6—2,0,4)、

.uuu,53

設(shè)平面5￡>E的法向量為旭=(%，X，Z|),8￡>=(-3,3,0),BE=\--,-,2

m-BD=一3菁+3y=0

則，53，取X=2,可得加=(2,2,1),

m?BE=~~x\+/)1+24=0

設(shè)平面尸8。的法向量為〃=(w,z2),BP=(Y,0,4),

n?BD=-3X+3y2=0

則2取占=1,可得”=(1,1,1),

n?BP=-4X2+4Z2=0

mn55\/3

所以,3＜見…麗=裝？T9，

由圖可知，二面角E—M-P為銳角，因此，二面角的余弦值為強(qiáng).

9

12.(2022?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在圓臺。。|中，上底面圓01的半徑為2,下

底面圓。的半徑為4,過。。?的平面截圓臺得截面為488小，〃是弧A8的中點(diǎn)，MN為

母線，cosZWB=—

4

24

(1)證明：平面AOM；

(2)求二面角〃的正弦值.

【答案】(1)見解析；

⑵典

7

【分析】(1)由COSNNMB=E,可求得圓臺的高，進(jìn)而由坐標(biāo)計(jì)算可證；

4

(2)由坐標(biāo)計(jì)算可得平面加W的法向量為勺=(G,G,D，平面的法向量為

%=(6,0,-1),根據(jù)夾角公式可求得二面角的余弦值，進(jìn)而得到正弦值.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的長度為力

則A(0,-4,0),3(0,4,0),4(。，2,。,Af(4,0,0),N(2,0j),0(0,0,0),

MN=(-2,0,/),MB=(-4,4,0)

/……(-2)x(-4)+0x4+fx0V2「

由題知cos(MMMB)=卜2)、/+4'=彳，解得，=26

M=(0,6,26)，OM=(4,0,0),出=(0,-2,26)，

蝴OM=Ox4+6xO+26x0=0,AB,1OM

明燃=0x0+6x(-2)+2昌20=0,做_LOA

25

又OMnOAt=O,0M,物,在平面AtOM內(nèi)

所以A81_L平面4QM；

（2）設(shè)平面期V的法向量為勺=（x，x，zj,平面例V的法向量為%=（電,%"2），

勺-MB=(-4)M+4y=0

則｛A?,=(73,73,1)

nl-MN=(-2)x,+2y/3zl=0

n2AB=0XX2+8y24-0xz2=0

0,—1)

勺?AN=2X2+4%+2Gz2=0

設(shè)二面角M-N8-A為銳二面角0,

/\i|5/3XV3+>/3XO+1X(-1)2手

...cos6=cos(勺，2)=——//—

、711J3+3+M+0+1

工sin^=-

7

故二面角加-A?-A的正弦值為四.

7

13.（2022?河北?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在幾何體A8C-4與6中，四邊形q8CG是

邊長為2的菱形，43C是等腰直角三角形，ZABC=90°,平面ABC1平面4BCQ,

AC//A[Cl,AC=2AlCl.

（1）證明：平面48G；

（2）若SBC=120°,求平面①耳與平面ABC所成二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵近1

7

【分析】（1）根據(jù)菱形的對角線的性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)定理，再利用線面垂直的判定

定理即可證明；

（2）根據(jù)（1）知結(jié)合已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平

26

面44用與平面ABC的法向量，利用空間向量的夾角公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即

可求解.

(1)

因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?/p>

因?yàn)锳3C是等腰直角三角形，ZABC=90°,所以A313C,

又平面45c上平面用BCG，平面ABCc平面用BCG=BC,ABu平面43C,

所以AB人平面B0CC，耳Cu平面用8CC，所以A81BC.

又A8IBC,=B,所以平面ABC1.

(2)

由(1)可知，河上平面與8CG，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示

由題意可知，四邊形4BCC是邊長為2的菱形，且NqBC=120。，所以ZB出力=30。,

所以8(0,0,0),4(0,-1,右)，C(0,2,0),A(2,0,0),

設(shè)A(x,y,z),則AC〃A￡,AC=2AG，所以AC=2AG，即

(