基本不等式的實際應用講義-2024屆高三數(shù)學一輪復習

基本不等式的實際應用(講+練)含答案

一、知識梳理

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的條件；a>0,/?o.

(2)等號成立的條件：當且僅當a=b時,等號成立.

(3)其中竽叫做正數(shù)”，6的算術(shù)平均數(shù)，標叫做正數(shù)小〃的幾何平均數(shù).

2.幾個重要的不等式

(1)『+扶22ab(a,Z?￡R).

(2)§+注2(a,b同號).

(a+b\

(3)ab^I—^―I(a,b^R).

a2+b2^(a+b^

⑷丁》曰OCR).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.利用基本不等式求最值：和定積大，積定和小

(1)已知x,y都是正數(shù)，如果積個等于定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值2".

(2)已知x,y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，積盯有最大值導

注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

二、思路整理

利用不等式解決實際問題利用一元一次不等式解決實際問題的基本步驟與利用一元一次方程解決實際

問題的基本步驟類似，即：

第一步：審，認真審題，分清已知量、未知量之間的關(guān)系，找出符合題目全部意義的不等關(guān)系，要抓

住題目中的關(guān)鍵字眼，如：“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等；

第二步：設(shè)，設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)，一般是直接設(shè)未知數(shù)，也可根據(jù)題目實際間接設(shè)未知數(shù)；

第三步：歹U,根據(jù)找出的不等關(guān)系，列出不等式；

第四步：解，解出所列的不等式；第五步：答檢驗答案是否符合題意，并寫出答案。

在以上步驟中，審題是基礎(chǔ)，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式是關(guān)鍵，而根據(jù)題意找出不等關(guān)系是解題難點。

三、習題精練

基礎(chǔ)達標練

1.如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度沒有限制)的矩形菜園，設(shè)菜園的長為XW,寬為V九

⑴若菜園面積為72,"，則x，y為何值時，可使所用籬笆總長最小;

12

(2)若使用的籬笆總長度為30〃?，求一+一的最小值.

xy

2.第三屆進口博覽會將于11月5日至10日在上海青浦國家會展中心舉行，某參展企業(yè)為了制作一份精美的

宣傳畫冊，要求紙張的形狀為矩形，面積為625cm2,如圖所示：其中上邊，下邊和左邊各留寬為2cm的

空白，右邊留寬為7cm的空白，中間陰影部分為文字宣傳區(qū)域；設(shè)矩形畫冊的長為acm,寬為bcm,文

字宣傳區(qū)域面積為Sen?.

⑴用a,，表示S；

(2)當”，6各為多少時，文字宣傳區(qū)域面積最大？最大面積是多少？

3.某單位建造一間背面靠墻的小房，地面是面積為12加2的矩形，房高為3機因地理位置的限制，房屋側(cè)

面的寬度x不得超過5米，房屋正面的造價為400元/??？，房屋側(cè)面的造價為150元/加2,屋頂和地面的造

價費用合計為5800元，不計房屋背面的費用，設(shè)房屋的總造價為y元.

⑴求y用x表示的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當x為多少時，總造價最低？最低總造價是多少？

4.2020年5月5日18時0分我國長征五號B運載火箭在海南文昌發(fā)射中心成功發(fā)射，它標志著我國的空間

站工程建設(shè)進入實質(zhì)階段.長征五號B運載火箭的設(shè)計生產(chǎn)采用了很多新技術(shù)新產(chǎn)品，甲工廠承擔了某種

產(chǎn)品的生產(chǎn)，并以x千克/時的速度勻速生產(chǎn)時(為保證質(zhì)量要求啜皿10),每小時可消耗A材料收?+9千

克，已知每小時生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時，消耗A材料10千克，消耗A材料總重量為y千克，那么要使生產(chǎn)1000

千克該產(chǎn)品消耗A材料最少，工廠應選取何種生產(chǎn)速度？并求消耗的A材料最少為多少？

5.如圖所示，某人準備在一塊占地面積為1800平方米的矩形地塊中間建三個矩形溫室大棚，大棚周圍均是

寬為1米的小路，大棚占地面積為S平方米，其中。2=1:2.

⑴試用x,y表示S；

(2)若要使S的值最大，則x,y的值各為多少？

能力提升練

6.某商場預計全年分批購入電視機3600臺，其中每臺價值2000元，每批購入的臺數(shù)相同，且每批均需付

運費400元，儲存購入的電視機全年所付保管費與每批購入的電視機的總價值(不含運費)成正比，比例系

數(shù)為k,若每批購入400臺，則全年需要支付運費和保管費共43600元.

⑴求女的值；

(2)請問如何安排每批進貨的數(shù)量，使支付運費與保管費的和最少？并求出相應最少費用.

7.如圖，將一矩形花壇ABCQ擴建成一個更大的矩形花壇要求點B在AM上，點。在AN上，點

C在MN上,AB=3米，AD=2米.

⑴要使擴建成的花壇面積大于27米2,則AN的長度應在什么范圍內(nèi)？

(H)當AN的長度是多少米時，擴建成的花壇面積最小？并求出最小面積.

8.小王于年初用50萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上

一年增加支出2萬元，假定該車每年的運輸收人均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后，考慮

將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售價格為(25-x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢

年限為10年).

(1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑祝撥囘\輸累計收入超過總支出？

(2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤最大？(利潤=累計收入+銷售收入一總支出)

9.某企業(yè)為響應國家號召，研發(fā)出一款特殊產(chǎn)品，計劃生產(chǎn)投入市場.已知該產(chǎn)品的固定研發(fā)成本為180萬

元，此外，每生產(chǎn)一臺該產(chǎn)品需另投入450元.設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x(O<%,50)萬臺并委托一家銷

售公司全部售完.根據(jù)銷售合同，0<X,2時，銷售公司按零售價支付貨款給企業(yè);2<心50時，銷售公司

按批發(fā)價支付貨款給企業(yè).已知每萬臺產(chǎn)品的銷售收入為/0)萬元，滿足:

2(x—l)e*-2+2,0<%,2

/(x)=30509000

440+,2<%,50

xx2

⑴寫出年利潤尸(x)(單位：萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：萬臺)的函數(shù)關(guān)系式；(利潤=銷售收入-固定研發(fā)成

本-產(chǎn)品生產(chǎn)成本)

(2)當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該企業(yè)的獲利最大?并求出此時的最大利潤.

10.經(jīng)調(diào)查測算，某產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）X萬件與年促銷費用m萬元滿足

x=3-一（一伙為常數(shù)），若不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知2018年生產(chǎn)該產(chǎn)品

m+1

的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品

平均成本的1.5倍（產(chǎn)品生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.

（1）將2018年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用〃?萬元的函數(shù)；

（2）該廠家2018年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

答案和解析

1.【答案】解：(1)由已知可得孫=72,籬笆總長為(x+2y)機

又因為x+2y..2j2孫=24,

當且僅當x=2y,即x=12,y=6時等號成立.

所以當x=12,y=6時，可使所用籬笆總長最小.

(2)由已知得x+2y=30,

122y2x

又因為(一+一)(x+2y)=5+2+一

xyxy

123

所叼+7?而當且僅當戶兒即e。，尸】。時等號成立.

所以一1+2一的最小值是三3?.

xy1()

2.【答案】解：⑴由題設(shè)可得S=(a-4)(A-9)=661-(9。+助)(cm2),

其中。＞4力＞9且制?=625.

(2)由⑴可得S=H-9a-46+36=661-(9a+初，

由基本不等式可得9a+4b..2y/9ax4b=2x6x25=300.

當且僅當。="，。=工時等號成立，

32

故當。=竺，人=0時，Smax=661—300=361(cm2)

IIIMA

、12

3.【答案】解：⑴因為側(cè)面長度為.劭，所以正面長度為一九

X

12

故依題意y=3(2x150+—?400)+5800

x

=900(x+—)+5800(0<%,5)；

X

(2)由⑴得：x+-..2.f^=8,當且僅當x=4時取等號,

xVx

所以，x=4時，ymul=9(X)x8+5800=13000,

所以當側(cè)面寬度為4米時，總造價最低，最低造價為13000元.

1()0()

4.【答案】解：由題意，得2+9=10,即2=1,生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品需要的時間是——，

x

10009r-

所以生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗的A材料為尸——(x2+9)=1000(x+1000X279=6000,

xx

9

當且僅當x=3，即x=3時.，等號成立，且

x

故工廠應選取3千克/時的生產(chǎn)速度，消耗的A材料最少，最少為6000千克.

5.【答案】解：⑴由題意知：a+b+3=y,且人=2a,

即a上,旌至二

33

x—3

上面矩形的長為尢-2,下面矩形的寬為上上，

2

ri口/c、?x-3y-3c、2(y—3)(x-3)(y-3)(3x—8)

則S=Q(X-2)+2b?(zx-2)+―--------~----------

⑵因為孫=i8oo,所以

X

而兇C(y-3)(3x-8).4800...14800..

所以S=—----------------=1808---------------3%,1808-2J---------x3x=1568,

當且僅當x=4O時取到等號.此時x=40,y=45.

所以要使S的值最大，x=40米，y=45米.

6.【答案】解：⑴由題意，當每批購入400臺時，全年的運費為400XF=3600(元)，

4070r

每批購入的電視機的總價值為400x2000=800000(元)，所以保管費為h800000(元)

因為全年需要支付運費和保管費共43600元，

所以3600+^800000=43600,解得4=0.05.

小、sza，3+/36001440000

(2)設(shè)每批進貨x臺，則JS費為400x------=------------,

XX

保管費為0.05X2000%=1OOr,

所以支付運費與保管費的和為14空4(X整)(X)+100x，

x

1440000iJ144(X)00…

因為-------+l(X)x.2J-------xl00x=24000

XX

1440()00

當且僅當=100x,即x=120時取到等號，

x

所以每批進貨120臺，支付運費與保管費的和最少，最少費用為24000元.

7.【答案】解：⑴設(shè)AN=x(米)，則x>2.

D?N___D_C

DCNs&AMN,、,,一

ANAM

.x—23…3x

火nii1J--

XAMx—2

3%2

???花壇AMPN的面積AM-AN=——(x>2).

x—2

由S>27,得且一>27,即3(一二二匕18)>0,解得2<%<3或%>6,

x-2x-2

故4汽的長度范圍是2<47<3或3>6(米).

(II)由5=工膽在上曰衛(wèi)

x—2x-2

4

=3[(X—2)+——+4]..24,

x-2

4

當且僅當X—2=——，即X=4(米)時，等號成立.

x-2

??.當AN的長度是4米時，擴建成的花壇AMPN的面積最小，最小值為24平方米.

8.【答案】解：(1)設(shè)大貨車運輸?shù)降趚年年底，該車運輸累計收入與總支出的差為y萬元,

則y=25x—[6x+x(x—1)]—5()=—x2+20x—50(0<x<10,xeN*),

由一一+20尤-50>0，可得10—5血<%<10.

因為2<10-5&<3，

所以大貨車運輸?shù)降?年年底，該車運輸累計收入超過總支出.

(2)因為利潤=累計收入+銷售收入-總支出，

所以二手車出售后，小王的年平均利潤為四"二過=19-。+竺),,19-2后=9,

XX

25

當且僅當x=一，即x=5時，等號成立，

x

所以小王應當在第5年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤最大.

9.【答案】解：⑴當0<q2時，

P(x)=M2(x-i)ex-2+2]-(180+450x)=2x(x-l)ex-2-448x-180；

當2<%,50時，

尸(x)=x/(x)—(180+450x)=440x+3050--180-450x=—lOx—+2870；

XX

2x(x—l)e~—448x—180,0<2,

所以,P(x)=,

-10x-+2870,2<&,50.

x

(2)當0<x,2時，I(x)=2(x-l)ex~2+2,

令，=x—2,則Q(f)=2Q+l)e'+2,

d(f)=2(f+2)e',。⑺在(一2,0)上單調(diào)遞增，在(-8,-2)上單調(diào)遞減，

。⑴的最大值為。(0)=4,

所以當x=2時，/(x)取得最大值4.

此時企業(yè)虧損，所以最大獲利一定在2