高等數(shù)學-習題及答案 孫忠民 第5章 空間解析幾何及其應用

第5章空間解析幾何及其應用

【能力訓練5.1】

(基礎題)

一、在空間直角坐標系中，指出下列各點的位置：

A(2,2,3);B(-2,3,6);C(5,-2,-4);D(3,4,0);e(0,4,3);F(0,0,5).

答案：略

二'列向量中，哪些是單位向量？

(l)a=i+j+k-,Q)方=二(1,0,-1};(3)c=t，，}.

V2333

答案：略

三'人為何值時，向量a={入，1,5}與向量b={-4,-2,0)平行?

答案：略

四、求點A(2,4,5)與原點、各坐標平面和各坐標軸的距離

J軸：/IT.丫軸：vZ軸：2瓶.

五'設向量a={-1,2,-1},b={-4,-2,0},求a+b,2b-3a

答案：略

六、寫出起點為A(1,1,-2),終點為B(4,5,3)的向量AB的坐標表達式，并求AB.

答案：略

七'設向量AB=4i-4j+7k的終點B的坐標為(2,-1,7).

求(1)A的坐標；(2)向量AB的模；(3)與向量AB方向一致的單位向量.

答案：略

八、求證以A(2,1,9),B(8,T,6),C(0,4,3)為頂點的三角形是一個等腰直角三

角形.

答案：略

九、在空間直角坐標系中，已知a={2,2,0},b={0,2,-2},求:

(1)a?b;(2)|a|;(3)(a,b).

答案：略

十、已知三角形的三個頂點A(4,7,2),B(3,0,7),C(5,1,2),求AABC的面積.

AB=(-12,1,2),AC=(4,3,1),/.SMBC=；陋x畫=l||(-5,20,-40)||-y

(應用題)

一、已知兩力Fl=i+2j-3k,F2=2i-3j+k作用于同一點且方向相同，問要用怎樣的

力才能使它們平衡？

答案：略

二'已知力F={-2,3,1)作用于杠桿上的點A(4,7,0)處，求此力F關于杠桿上另

一點A(3,2,7)的力矩.

BA*F=(-6,-3,-3)

【能力訓練5.21

(基礎題)

一'試寫出各坐標平面和各坐標軸的方程.

坐標平面yOz的方程是x=0,與它平行的平面方程為x=a(aW0),

坐標平面xOy的方程是z=0,與它平行的平面方程為z=b(b/0),

坐標平面xOz的方程是y=0,與它平行的平面方程為y=c(c#0).

二'平面3(x-2)+(y+5)-6(z-1)=0的法向量n=(),經(jīng)過點()

答案：略

三、一直線的方向向量是否唯一?一直線的點向式方程唯一嗎？

不唯一，單位方向向量唯一。

四'方程x2+y2=z2表示什么曲面？它與平面y=0,y=1,z=3的交線分別是什么

曲線。

z=x2+y2是一個圓形拋物面，位于Z軸上方，平行于XOY平面的截面

曲線是圓x2+y2=h(h>0),平行于YOZ平面的截面

曲線是拋物線z=y?+a,平行于XOZ平面的截面

曲線是拋物線z=x2+b

五、下列方程在平面解析幾何和空間解析幾何中分別表示什么圖形?

⑴"1;⑵y=x(3)?+/=1

⑷%贅1；⑸(6)25-9

49ly-2=0;y=3;

答案：略

六、已知兩點A(2.-1,2)和B(8,-7.5),求通過點B且垂直于線段AB的平面.

垂直于AB的平面，即AB為平面法向量：n=AB=(6,-6,3)過點B:(8,-7,5),則由點法

式方程：n：n.(X-B)=06(x-8)-6(y+7)+3(z-5)=02x-2y+z=35

七'求過點(1,3,2)且與平面3x+4y+z=2平行的平面方程.

答案：略

八、求過點(1,2,4)且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行的直線方程.

答案：略

九、求過點(7,2,1),且平行于直線；'…:'"的直線方程.

x+2y-2+1=0

“由?知方技的方向向量$=孫X",,其中“-(h2,-2}.

||?/AI

?12TYp-1?族

|12-1|

市線方程為42=白

十'指出下列方程表示怎樣的曲面.

⑴/+9/］；⑵l+9z;

22

(3)36?+9y2-4z=36;(4)f+：V-T=0.

答案：略

復習題五

一、單項選擇題

1-5CCBBC6-I0ADDBC

二'填空題

1.(-1,-2,-3)

2.(-12,-21,12)

3,略

4.略

5.略

6.2xy3z=0

222

7(x-l)+(y-3)+(z+2)=14

8.圓形圓柱面

9.(2,2,-1)

vn

10.

三'計算題

1.在空間直角坐標系中求點(a,b,c)關于⑴各坐標面；⑵各坐標軸；⑶坐標原點對稱點

的^^示。

(1)關于坐標平面的對稱點的坐標，只需將原坐標中的一個坐標改為相反數(shù)，使得兩對

稱點的連線垂直于該坐標平面.點(a,b,c)關于xOy,yOz,zOx面的對稱點依次是：(a,b,

-c),(-a,b,c),(a,-b,c).

(2)關于各坐標軸的對稱點，可看成連續(xù)對兩個坐標面施行了對稱變換的結果，由(1)

知，這時須將原三個坐標中的兩個改成相反數(shù).點(a,b,c)關于x、y、z軸的對稱點依次是：

(a,-b,-c),(-a,b,-c),(-a,-b,c).

(3)關于原點的對稱點的坐標，則須把原坐標的三個數(shù)都改成相反數(shù)，(a,b,c)關于

原點的對稱點的坐標是(a,-b,-c).

2.設已知兩點M:(2,2,22)和電(1,3,0).計算向量MiM2的模、方向余弦和方向角

解

=(-1,1,-V2),

IMtM*I=\Z(-I)2+I2+(—72)2

=y1+1+2=74=2;

ii41

COSa=-y.COS/n?=y,COS>=一于

a一3'"丁'一彳?

3.己知a與b垂直且|a|二5,|b|=12,計算|a-b|及|a+b|.

蟀

寸_1_『B|=5,JR=12,

引=j（言才）

=\JS+122

=13

余t所述，答案：13

4.求過點(2,0,1)且與直線!’…=一垂直的平面方程

I3x?5y-鍛=I

H

峭郎壇醫(yī)司化如jr二3c+5W—卻■近為通行的方金向?(2?3/)

r*r

卜

又工面比0(2.1.0)于不平五方IS力

2(1-1)+3-了+”7二0

5.求過點A(1,0,1)月通過直繆‘，'的平面方程.

【解析】

在直線上取幾個點，如(1,-2,1)、(4,0,

2)、(-2,-4,0)和A(1,0,1)代入,4X+BY

+CZ+D=0中，解出來應該是E-3Z+2=0

6.求過兩點(1,2,3),(1,-2,5)的直線方程.

答案：略

7.求過點(0,2,4)且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平4艷直線方程

求平面x+2z=1和y-3z=2相交的直線的方向向量：

取z=O,得x=1,y=2

取z=L得x=-1,y=5

方向向量為(23,1)

所以過點(024)且與平面x+2z=1和y-3z=2平行M直線方程為：

-x/2=(y-2)/3=(z-4)

8.求直線「一'''點向式方程和參數(shù)方程

(3x-5y+2;=-1

答案：略

9.求直線「“?與平面x-y-z+1=0的夾角.

|x-y7=0

解直線4|x+y+3z=o的方向向是為

[x-y-z二。

s-0,1,3)za,-L-l)-l1