安徽省六安市省示范高中2023屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2023年安徽省六安市省示范高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（數(shù)學(xué)）一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.全集，集合，則（）A.B.C.D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知中，O為BC的中點(diǎn)，且，，，則向量在向量上的投影向量為（）A.B.C.D.4.已知圓，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為A?B，則切線段的最小值為（）A.1B.2C.D.35.2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予在量子領(lǐng)域做出貢獻(xiàn)的法國(guó)?美國(guó)?奧地利科學(xué)家，我國(guó)于2021年成功研制出目前國(guó)際上超導(dǎo)量子比特?cái)?shù)量最多的量子計(jì)算原型機(jī)“祖沖之號(hào)”，操控的超導(dǎo)量子比特為66個(gè).已知1個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“，”2種疊加態(tài)，2個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“，，，”4種疊加態(tài)，3個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“，，，，，，，”8種疊加態(tài)，…，只要增加1個(gè)超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng).設(shè)66個(gè)超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，則是一個(gè)（）位的數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）A.19B.20C.66D.676.已知函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則該函數(shù)解析式可能是（）A.B.C.D.7.已知中，a?b?c為角A?B?C的對(duì)邊，，若與的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)I，的外接圓半徑為，則面積的最大值為（）A.B.C.D.8.已知，，.則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法不正確的是（）A.已知命題，都有，則，使B.數(shù)列前n項(xiàng)和為，則，，成等比數(shù)列是數(shù)列成等比數(shù)列的充要條件C.是直線與直線平行的充要條件D.直線l的斜率為k，則為直線l的方向向量10.橢圓的上下頂點(diǎn)分別A?B，焦點(diǎn)為?，為橢圓上異于A?B的一動(dòng)點(diǎn)，離心率為e，則（）A.的周長(zhǎng)為B.離心率e越接近1，則橢圓C越扁平C.直線PA?PB的斜率之積為定值D.存在點(diǎn)P使得，則11.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若函數(shù)的最小正周期為，則B.存在，使得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镈.若在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則12.已知長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)是四邊形內(nèi)（包含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成的角為，若，則（）A.點(diǎn)的軌跡為一條拋物線B.線段長(zhǎng)的最小值為3C.直線與直線所成角的最大值為D.三棱錐體積的最大值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.拋物線的準(zhǔn)線方程為__________.14.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和是__________.15.正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，M為AB的中點(diǎn)，且，則三棱錐外接球的表面積為______.16.已知函數(shù)，，若，，則的最大值為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明?證明過程和演算步驟.17.（本題滿分10分）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，且滿足__________.（1）求角的大?。海?）若的面積為，點(diǎn)D在邊AB上，且，求CD的最小值.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分.）18.（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，，，，平面，，為線段上一點(diǎn)且.（1）證明：平面；（2）若，二面角的正弦值為，求PD的長(zhǎng).19.（本題滿分12分）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，是的前項(xiàng)和，證明：.20.（本題滿分12分）隨?六安市經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要，工業(yè)園區(qū)越來越受到重視，成為推動(dòng)地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要工具，工業(yè)園區(qū)可以有效創(chuàng)造和聚集力量，共享資源，克服外部負(fù)面影響，帶動(dòng)相關(guān)產(chǎn)業(yè)發(fā)展，從而有效促進(jìn)產(chǎn)業(yè)集群的形成.已知工業(yè)園區(qū)內(nèi)某工廠要設(shè)計(jì)一個(gè)部件（如圖陰影部分所示），要求從圓形鐵片上進(jìn)行裁剪，部件由三個(gè)全等的矩形和一個(gè)等邊三角形構(gòu)成.設(shè)矩形的兩邊長(zhǎng)分別為，（單位：），要求，部件的面積是.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出定義域；（2）為了節(jié)省材料，請(qǐng)問x取何值時(shí)，所用到的圓形鐵片面積最小，并求出最小值.21.（本題滿分12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）函數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22.（本題滿分12分）已知兩點(diǎn)?，動(dòng)點(diǎn)M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為3.，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)作直線交曲線C于P?Q兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)均在y軸的右側(cè)，直線AP?BQ的斜率分別為?.①證明：為定值；②若點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)成點(diǎn)H，探究：是否存在直線l，使得的面積為，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本題考查集合的補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.先求出集合，結(jié)合補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)求解.【解答】解：由題意可得，所以.故選C.2.【答案】A【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了復(fù)數(shù)相等的條件等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.設(shè)，則，利用復(fù)數(shù)相等的知識(shí)求得的值，進(jìn)而求解.【解答】解：設(shè)，則，由題意得，所以，解得，所以，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，所以在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選：A.3.【答案】C【解析】【分析】本題考查投影向量的求法，屬于中檔題.根據(jù)題意得出為直角三角形，從而求出向量在向量上的投影向量.【解答】解：，則，得，，又，所以，故選.4.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查的是直線與圓的位置關(guān)系中的最值問題，點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題.根據(jù)，可知當(dāng)時(shí)，最小，最小，即可求解.【解答】解：依題意，圓心，半徑為1，由于為圓的切線，則，當(dāng)時(shí)，最小，則最小，的最小值為點(diǎn)到的距離為，所以，故選.5.【答案】B【解析】【分析】本題考查指數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查了知識(shí)的遷移與應(yīng)用，屬于中檔題.根據(jù)個(gè)超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，得到，然后兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，由此進(jìn)行分析求解即可.【解答】解：由題意，設(shè)個(gè)超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，所以66個(gè)超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，則，所以，因?yàn)?，故是一個(gè)20位數(shù).故選：B.6.【答案】D【解析】【分析】本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)值符號(hào)的分析，屬于中檔題.根據(jù)題意，用排除法分析：利用函數(shù)的奇偶性排除，再根據(jù)時(shí)，的符號(hào)排除，根據(jù)圖象與軸的交點(diǎn)排除，即可得答案.【解答】解：圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，所以錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，與圖像不符，所以排除選項(xiàng)；對(duì)于選項(xiàng)，函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且各交點(diǎn)間距離相等，與圖像不符合，所以排除選項(xiàng)；所以選D.7.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查三角恒等變換，正弦定理以及正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，屬于較難題.利用正弦定理以及三角恒等變換化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合，可求的值，由已知利用正弦定理得，由題意可求，設(shè)，則，可得，由正弦定理，三角恒等變換可求的面積為，可求，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最大值.【解答】解：，由正弦定理可得，，，，又在三角形中，，又，.的外接圓半徑為，由正弦定理知，，，由于與的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，及，則，設(shè)，則，且，在中，由正弦定理得，，的面積為，由于，則，所以當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值，最大值為，故面積的最大值為.8.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)比較大小，屬于較難題.構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并比較大小即可.【解答】解：令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.則當(dāng)時(shí)，，即.故選B.9.【答案】BC【解析】【分析】本題主要考查的是命題的真假與否定，等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，直線間位置關(guān)系的判定，直線的方向向量，屬于中檔題.根據(jù)相關(guān)概念逐項(xiàng)檢查即可.【解答】解：選項(xiàng)，根據(jù)命題的否定可知該命題為真命題；選項(xiàng)中，當(dāng)為偶數(shù)，時(shí)，，等比數(shù)列的項(xiàng)不可為0，所以該命題為假命題；選項(xiàng)中當(dāng)時(shí)，兩條直線重合，所以該命題為假命題；選項(xiàng)，，則為直線的方向向量，命題為真命題，故選BC.10.【答案】ABD【解析】【分析】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.根據(jù)條件及橢圓的幾何性質(zhì)?直線與橢圓的位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【解答】解：的周長(zhǎng)為，而，所以周長(zhǎng)是選項(xiàng)正確.，當(dāng)越接近的值越小，所以橢圓越扁平，選項(xiàng)正確.，設(shè)，則，將代入可得：選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)最大，若存在點(diǎn)使得，則點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)，所以，有，故選項(xiàng)正確，故選ABD.11.【答案】BD【解析】【分析】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查正弦（型）函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題.依題意，在分別對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，討論其正確性即可得到答案.【解答】解：由倍角公式降冪可得：.對(duì)于選項(xiàng)，可知：，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，將圖象向右平移得到，該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，所以，當(dāng)時(shí)，滿足題意，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，則的值域?yàn)?，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，由于，則，因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，所以，解得選項(xiàng)正確.故選BD.12.【答案】BCD【解析】【分析】本題考查了異面直線所成角和棱錐的體積，線面角和二面角，是中檔題.根據(jù)題意找到線面角和二面角，再根據(jù)拋物線定義，異面直線所成角和棱錐的體積逐一判定即可.【解答】解：過點(diǎn)作垂直于底面，垂足為，過作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，則即為二面角的平面角，因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成的角則，，因?yàn)?，所以，可得，過作，垂足點(diǎn)為，連接，可知，點(diǎn)四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，則四邊形為平行四邊形，可得，又，可知四邊形為平行四邊形，則可得，所以到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，而是在四邊形內(nèi)（包含邊界），所以點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分，選項(xiàng)錯(cuò)誤；在平面內(nèi)，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，可知直線方程為，則以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程為，過點(diǎn)，可知點(diǎn)的軌跡方程為，，當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，最小，為1，此時(shí)選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以與所成的角即與所成的角，為，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值1，此時(shí)取得最大值，即直線與直線所成角的最大值為選項(xiàng)正確；，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到距離最大，此時(shí)面積最大，三棱錐體積最大，選項(xiàng)正確.故選BCD.13.【答案】【解析】【分析】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的準(zhǔn)線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.由的準(zhǔn)線方程為，即可求拋物線，即的準(zhǔn)線方程.【解答】解：由的準(zhǔn)線方程為，拋物線，即，則，所以其準(zhǔn)線方程為.故答案為.14.【答案】202【解析】【分析】本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題目條件可求得與，從而可得對(duì)分與討論，即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得，所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以.故答案為202.15.【答案】【解析】【分析】本題考查了球的表面積以及球的切?接問題，是中檔題.易得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，該三棱錐是棱長(zhǎng)為2的正方體的一個(gè)角，所以其外接球與該正方體的外接球相同，得出，可得外接球的表面積.【解答】解：由于正三棱錐中對(duì)邊相互垂直，所以，而平面，所以平面，又平面，故，又該三棱錐為正三棱錐，所以三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以該三棱錐是棱長(zhǎng)為2的正方體的一個(gè)角，所以其外接球即為該正方體的外接球，所以半徑，所以該三棱錐的外接球的表面積為.故答案為.16.【答案】【解析】【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.由題意可得，結(jié)合目標(biāo)式可得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再確定的最大值即可.【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以可知，即，且由，可知，而易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，令，則，令，得，令，得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以.故答案為.17.【答案】解：（1）方案一：選條件①.由，可得，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，故，又，于是，即，因?yàn)?，所?方案二：選條件②.，由正弦定理得，即由余弦定理得.又，所以.（2），又，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為.【解析】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.（1）選條件①，根據(jù)正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得，即可求得；選條件②，根據(jù)正弦定理和余弦定理求得，即可求得；（2）根據(jù)三角形面積公式求得，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，利用基本不等式，即可求出結(jié)果.18.【答案】解：（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，所以，所以，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，平面；（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又以為原點(diǎn)，所在直線為軸，為所在直線軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，，設(shè)平面的法向量為，，即，令，則，易知平面的法向量為，則，設(shè)二面角的平面角為，因?yàn)?，所以，即，又，解得?【解析】本題考查了線面平行的判定以及平面與平面所成角的向量求法，是中檔題.（1）利用線面平行的判定定理可得平面；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，得出平面的法向量和平面的法向量，由空間向量求解即可.19.【答案】解：（1）時(shí)，，時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，.（2）證明：時(shí)，，時(shí)，，，，.【解析】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和的關(guān)系，考查裂項(xiàng)相消法求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.（1）運(yùn)用時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可得到通項(xiàng)；（2）化簡(jiǎn)，寫成差的形式，再由裂項(xiàng)相消法求和，即可得到不等式成立.20.【答案】解：（1）部件的面積，.，即，又，解得.故，定義域?yàn)?（2）設(shè)圓形