【高中數(shù)學(xué)】2023-2024學(xué)年人教A版必修第一冊 同角三角函數(shù)的基本 作業(yè)

5.2.2同角三角函數(shù)的基本

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知角a是第四象限角，cosa=!|,貝!Jsina=

A.5R5c.-D--V

131312

2.已知a6(],多,且tcma=V2,那么sina=()

V3Dx/6c.四V3

A.-------------LJ.--------D.

3333

3.化簡Vl—sin2160。的結(jié)果是()

A.cosl60°B.±|cosl60°|C.±cosl60°D.—cosl60°

-v-sina+cosa1.|.o

4.右二------=一,則msina-sinacosa—3ocosa=()x

sina-cosa2

93

ABC.D.

-^102

5.化簡/sin：+也如三的結(jié)果為（）

Vl-cos23cos4

A.-3B.-1C.1D.3

6.已知tcma=m,a是第二、三象限角，則sina的值等于（）

mVl+m2mVl+m2CmVl+m2

A.B.土D.±m(xù)y/m2+1

1+m2l+m2(l+m2)

二、多選題

7.若sina=%且a為銳角，則下列選項中正確的有()

4

A.tana=-BC.cosa=一3

35

C.sma+cosa=-nD.si.na—cosa=——1

5

8.下列結(jié)論中成立的是()

A.sina=!且cosa=-B.tana=2-且沔=\

22sina3

C.tana=1且cosa=+—D.sina=1.且cosa=0

-2

9.下列計算或化簡結(jié)果正確的是（）

A2tanacosa

A.——：----=2

sina

B.若sina=—，則tana=2

5

C.若sin0?cos6=3則tan0+^4=2

2sin0

D.若tan/?=；,則246=t

廣2cos/?-sin0

三、填空題

5sin6-cos0

10.已矢口tan6=2,則

sin8+cos8

________1__________

11.若3sina+cosa=0,貝！Jtana=

cos2a+2sinacosa

12.已知sin。=-cosO=--（m*0）,則?n=,tanO—.

13.設(shè)sina+cosa=a6（0,兀），則sinacosa=；cosa—sina=.

14.定義運算F[=ad-尻,若產(chǎn)嗎4=0,則哭空駕的值是__.

IealICOS0313sm0-cos0

15.如圖是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個邊長為1的大正方形,

若直角三角形中較小的內(nèi)角為仇小正方形的邊長為貝Ijsi/。-cos2。=

16.已知tana,二一是關(guān)于x的方程/—kx+1—3=0的兩個實根，且3兀<a<],

tana2

貝ijtana=，sina-cosa=.

四、解答題

17.（本小題12.0分）

（1）已知cos0=1,求simp,tan（p.

（2）已知sin%=2cos%,求角》的三個三角函數(shù)值.

18.（本小題12.0分）

求證?COSX1+sinx

1-sinxcosx

19.(本小題12.0分)

已知/(a)=叵｝—近還，其中a為第二象限角.

71-sina'1+sina

(1)化簡/(a)；

(2)若/(a)=-4,求sin2a—sinacosa+3的值.

20.（本小題12.0分）

張明做作業(yè)時，遇到了這樣的一道題：”已知角8終邊上一點P(x,3)(x00),且cosJ=

叵x，能否求出sin。，cos。的值?若能，求出其值;若不能，請說明理由他對此題百思不

10

得其解，你能幫張明求解嗎？

21.(本小題12.0分)

l-cos4a-sin4a

(1)化簡:

l-cos6a-sin6a

l-2sin2xcos2x_1,一tan2x

(2)求證:

cos22x-sin22x1+tan2x

22.(本小題12.0分)

ll-sina,.1-cosa

已知aE(O.])，且/(a)=cosa-——：---1-sina-

1+sina1+cosa

(1)化簡/(a)；

(2)若/(a)=￡求i的值.

2sinacosa+cos2a

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)的同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)符號的判斷，屬于基礎(chǔ)題，

由a為第四象限角，得正弦值為負，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式求得sina=—V1—cos2a.

【解答】

解：由a為第四象限角，cosa=g,

得sina=—Vl-cos2a=—Jl——

故選B.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查的知識要點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進行轉(zhuǎn)換求出結(jié)果.

【解答】

解：已知aG,且tcma=V2>

故aG（n,|兀）,

故sina<0,

根據(jù)sir^a+cos2a=1,tana—

cosa

可得sin2a+^sin2a=1,

解得sbia———.

3

故選:B.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可化簡.

【解答】

解：由于cosl60°<0,

故Vl-sin2160°=Vcos2160°

=|cosl60°|=-cosl60°.

故選D.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本公式，屬于基礎(chǔ)題.

對sma+cosa=工進行化簡,求得tana=—3,利用siMa+cos2a=1對siMa-sinacosa—

sina-cosa2

3cos2a進行變形，然后弦化成切，代入求值即可.

【解答】

解：由史巴上吧=15T知cosa羊0,

sina-cosa2

sina+cosa_tana+1I，解得tana=—3,

sina-cosatana-1

又sin2a-sinacosa—3cos2a

sin2a—sinacosa—3cos2a

sin2a+cos2a

tan2a—tana—3

tan2a+1

_9+3-3_9

-9+1-10*

故選c.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系及三角函數(shù)值在各象限的符號，難度較易.

因為3弧度的角在第二象限，4弧度的角在第三象限，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系及三角函數(shù)值

在各象限的符號即可求得.

【解答】

用牛._____________卜__________=_________卜：______：

?x/1-cos23cos4|sin3|cos4

2sin3.-cos40dd

sm3cos4

故選：c.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本題重點考查同角基本關(guān)系，屬于中檔題.

2

先求得sin2a=，三，再對a進行分類討論即可.

1+m2

【解答】

sin2a+cos2al+tan2a1+m2

2

|sina|=|m|Vl+m

1+m2

當Q是第二象限角，tana=m<0,sina>0

my/l+m2

sina=

1+m2

當a是第三象限角，tana=m>0,sina<0,

sina=—

1+m2

7nVl+m2

綜上所述，sina=

1+m2

故選A.

7.【答案】AB

【解析】

【分析】

本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

由sina求出cosa、tana,即可得出結(jié)論.

【解答】

解：sina=且a為銳角，

[Z----y-

???cosa=VI—sin'a=34tana=S-i-n-a--=4

5cosa3

???sina+,cosa=7si.na—cosa=1

故選45.

8.【答案】CD

【解析】

【分析】

此題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行求解即可.

【解答】解：對于4,因為sina=：,則cosa=±/1—sin2a=士:,故A錯誤;

對于B,因為tana=2,則當吧=7^—=:，故3錯誤；

對于C,因為tana=1,則cosa=sina,

又cos2a+sin2a=1,則有cosa=+3，故C正確；

一2

對于。，因為sina=1,又cos2a+sin2a=1,貝！Jcosa=0,故￡)正確；

故選CD

9.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，對選項逐一判斷即可得出結(jié)果.

【解答】

2tanacosa

解:=2,故A正確;

sina

va范圍不確定，.??tana的符號不確定，故6不正確.

八.cosOsin。,cosO1

???tan3H------=-------1------=----------2,故C正確;

sin。cosOsin。sinOcosO

L2

2PR故。不正確;

???cosT/?-sinp=T1-7tan^p='

故選AC.

10.【答案】3

【解析】

【分析】

此題考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，化簡求值，是一道基礎(chǔ)題.

把分子分母都除以cos。，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可得到關(guān)于tan。的式子,把tern。

的值代入即可求出值.

【解答】

解：「tern。=2,

.SsinO-cosOStand-15x2-1_3

sin6+cos8tan8+l2+1

故答案為3.

11.【答案】三

10

T

【解析】

【分析】

本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.

由題意變形已知式子可得tana=-；,然后把2:-----分子變?yōu)閟in2a+cos2a,分子分

3cosAa+2sinacosa

母同除以cos2a,代入tana=—1計算可得答案.

【解答】

解：??,3sina+cosa=0,

i

???tana=——,

3

.______1________cos2a+sin2a_1+tan2a_l+(f_10

cos2a+2sinacosacos2a+2sinacosa1+2tanai+2x(-g)3

故答案為一3y

12.【答案】8

5

12

【解析】

【分析】

本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求（黑產(chǎn)+（黑產(chǎn)=1,進而整理即可解得m=8,

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tan。的值.

【解答】

解:vsin20+cos20=1,

二箭+等整=1,解得時。（舍），或時8,

?八5八12

???sinO=——，cosd=---,

1313

故答案為8；-

13.【答案】一：

V17

__3"

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)化簡求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.

將已知等式平方得到sinacosa,再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.

【解答】

解：vsina+cosa=a6（O,TT）,

平方得1+2sinacosa=g,

即sinacosa=一￡

sina>0,cosa<0,

所以cosa-sina=-J^cosa-sina)2=-y/1—2sinacosa=———，

故答案為一也一子.

14.【答案】4

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)的求值問題.

由條件可以得到tan。=：再把嚶警等弦化切即可求值.

33sin0-cos6

【解答】

解:因為產(chǎn)"4=0,

ICOS031

2

所以3sin8—2cos0=0,即有tan。=

2

3sin6+2cos03tan6+2_3X§+2

所以

3sin0-cos63tan0-l3x--l

3

故答案為4.

15.【答案】一《

【解析】

【分析】

本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，根據(jù)題意可知每個直角三角形的長直角邊為cos。，短直

角邊為sin。，小正方形的邊長為cos。-sin。=（,進而求得2cosOsin。的值，求得（cos。+

sin。）？的值，進而求得cos。+sin。的值，利用平方差公式把siM。-cos?。展開后，把cos。+

sinO^cosO—s出。的值代入即可求得答案.

【解答】

解：依題意可知拼圖中的每個直角三角形的長直角邊為cos。，短直角邊為s出。，

小正方形的邊長為cos。一sind,則cos。-sind=

又（cos?！猻inO）2=1-2sin0cos0=

94

???2cosOsin0=—,

25

49

???14-2sin0cos6=—,

25

即（cos。+si九6）2=

???cosO+sind=（,

???sin20—cos20=（cos3+sind^sinO—cos。）=—.

故答案為一看

16.【答案】1

1

2

【解析】

【分析】

本題考查了同角間的三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。

由tana,9一是關(guān)于x的方程/一依+/-3=0的兩個實根，且3兀<a<?,根據(jù)韋達定理

tana2

可得tana=1,再把正余弦化為正切表示可得結(jié)果。

【解答】

解：由題意得tana?=1=1-3,

=+2

一

又??,3TT<a<—,

???tana>0,

???tanaH———=k=2,

tana

：?tana=1，

smacosatana

???sina?cosa

sin2a+cos2atan2a+l

答案為：1;

17.【答案】(l)Tcosa=1>0,.?.9為第一或第四象限角,

當8為第一象限角時，

/----------------JTq,sina?rr-=

sinp=y/1—cos2<p=—>tanw==V15.

當9為第四象限角時，

sing=-71-cos2(p=一經(jīng)，tan(P=TZT=一

(2)解：由于sin%=2cosx,

JEsin2%+cos2%=1,

解得，sinx=—，cosx=—

55

或sin%=——，cosx=——.

55

sinx

tanx=

cosx

則當％在第一象限時，sinx=—cosx=—，tanx=2；

55

當光在第三象限時，sinx=—cosx=——,tanx=2.

55

【解析】本題考查同角的基本關(guān)系式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

運用同角的基本關(guān)系式：平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，即可得到所求的三角函數(shù)值，解題時要注意

對角的范圍進行分類討論.

18.【答案】證法1:由cos%H0,知sin%。-1,所以1+sinxH0,于是

..x,_cosx(l+sinx)_cosx(l+sinx)_cosx(l+sinx)_1+sinx_.,

：

左邊=(1-smx7)7(7l7+~s：inx7)=l：-si7n3zx=cos；zx=cosx=石以.

所以，原式成立.

證法2:因為(1—sinx)(l+sinx)=1—sin2x=cos2%=cosxcosx,

且1—sinxHO,cosxW0,所以

cosx_1+sinx

1—sinxcosx

【解析】本題主要考查了三角函數(shù)的同角三角函數(shù)關(guān)系及其靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

cosx(l+sinx)

證法1先構(gòu)造塔,進而可順利得證.

(1-sinx)(l+sinx)

證法2(1—sinx)(l+sinx)=1—sin2%=cos2%=cosxcosx,再兩邊同時除以(1—sinx)cosx

進而可順利得證.

19.【答案】解：(1)???a為第二象限角，

cosa<0,14-sina>0,1—sina>0,

I—sina

J1+sina

1+sina1—sina

cosacosa

l+sina+1-sina

—2tana；

cosacosa

(2)???/(a)=-4,/.tana=2,

：,sin2a—sinacosa+3

sin2a-sinacosa

=—.,-----2-+3

sin^2a+cos乙a

tan2a-tana2,17

+3=5+3Q=T

tan2a+l

【解析】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

(1)直接利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡即可；

⑵由/(a)=-4求得tcma,再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解.

Y

20.【答案】解：cos0=1=,

Vlo%Vio

VCOS0n=——%，

10方=77%'

,?,％H0,AX=1或％=—1.

當％=1時，點P的坐標為(1,3),角8為第一象限角，

止匕時，sin0=-y==cos0=—;

Vio1010

當％=-1時，點P的坐標為(一1,3),角。為第二象限角,

Vio

此時,,也。=答COS0=

10

???能夠求出sin。，cos。的值,

.八3V10d仍可百廿.3asVio

sm0=-------,cos0=——或smJn=--------,cos0n=-

ioioioio

【解析】本題考查任意角的三角函數(shù)定義的應(yīng)用，難度中等.

根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義可以得到cos。=卷=容，解出X,繼而求出sinJ,cos。的值.

21.【答案】(1)解：分子=1—(cos2a+sin2ay+2cos2asin2a=2cos2asiMa,

分母=1—(cos2a+sin2a)(cos4a+sin4a—cos2asin2a)

=1一(co