期末考試押題卷02（考試范圍：選擇性必修第二冊）（解析版）

期中考試押題卷02高二·數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：選擇性必修第二冊。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若直線與平面平行，則實數(shù)的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為直線的方向向量為，平面的法向量為，若直線與平面平行，則，即，即，解得.故選：C．2．在54張撲克牌中取出13張紅桃，按大小排好，現(xiàn)取出梅花插入紅桃牌中，則15張撲克牌的排法種數(shù)是（

）A．12 B．182 C．210 D．364【答案】C【解析】由題意，15張撲克牌的排法種數(shù)是.故選：C.3．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C．2 D．8【答案】A【解析】，的展開式中含的項為，其系數(shù)為，的展開式中含的項為，其系數(shù)為，的展開式中，的系數(shù)為.故選：A.4．2022年12月4日是第九個“國家憲法日”.某中學開展主題為“學習憲法知識，弘揚憲法精神”的知識競賽活動，甲同學答對第一道題的概率為，連續(xù)答對兩道題的概率為.用事件A表示“甲同學答對第一道題”，事件表示“甲同學答對第二道題”，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，故選：5．為了研究某公司工作人員人數(shù)x（單位：名）和月銷售量y（單位：萬元）的關系，從該公司隨機抽取10名工作人員，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為.已知，，.若該公司工作人員為25名，據(jù)此估計其月銷售量為（

）A．195 B．200 C．205 D．210【答案】C【解析】根據(jù)題意，計算，，；∴，∴，當時，可得，所以估計其月銷售量約為.故選：C．6．設隨機變量服從正態(tài)分布，的分布密度曲線如圖所示，若，則與分別為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，且，則，由正態(tài)曲線得，所以．故選：C．7．一堆蘋果中大果與小果的比例為，現(xiàn)用一臺水果分選機進行篩選．已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為．經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機篩選出來的“大果”里面隨機抽取一個，則這個“大果”是真的大果的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記事件放入水果分選機的蘋果為大果，事件放入水果分選機的蘋果為小果，記事件水果分選機篩選的蘋果為“大果”，則，，，，由全概率公式可得，，因此，.故選：A.8．在直三棱柱中，，，點在線段上運動，E，F(xiàn)分別為，中點，則下列說法正確的是（

）A．平面 B．當為中點時，AP與BC成角最大C．當為中點時，AP與成角最小 D．存在點，使得【答案】C【解析】由題意得，兩兩垂直，不妨令以C為原點，分別以所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系.則選項A：當點P與點B重合時，由為梯形的兩個腰，可得相交，則直線平面位置關系為相交.判斷錯誤；選項B：設AP與BC成角為，,由，可得當時，即兩點重合時，，AP與BC成角為.判斷錯誤；選項C：設AP與成角為，由，可得又，在單調遞減，則當即為中點時，AP與成角最小.判斷正確；選項D：,由，解得（舍），則不存在點，使得.判斷錯誤.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對于A：令，可得，故A錯誤；對于B：令，可得，故B正確；對于C：令，可得，結合選項B，兩式作差，可得，即，故C正確；對于D：令，可得，故D正確.故選：BCD.10．下列說法正確的是（

）A．在回歸分析中，對一組給定的樣本數(shù)據(jù)，，…，而言，若殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好B．若隨機變量，則C．現(xiàn)安排，，三名同學到五個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，若工廠甲必須有同學去，則不同的安排方法有61種D．從10名男生、5名女生中隨機選取4人，則其中至少有一名女生的概率【答案】AC【解析】對于A：由殘差的概念知，殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好，故A正確；對于B：由隨機變量得，則，故B錯誤；對于C：由題可知，所有可能的方法有種，工廠甲沒有同學去的方法有種，所有工廠甲必須有同學去的不同的安排方法有種，故C正確；對于D：從10名男生、5名女生中隨機選取4人，沒有女生的概率為，故至少有一名女生的概率為，又，故D錯誤，故選：AC．11．下列命題中正確是（

）A．中位數(shù)就是第50百分位數(shù)B．已知隨機變量X~，若，則C．已知隨機變量~，且函數(shù)為偶函數(shù)，則D．已知采用分層抽樣得到的高三年級男生、女生各100名學生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為【答案】ACD【解析】對于選項A，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，選項A正確；對選項B，，則，因此，故B錯誤；對選項C，，函數(shù)為偶函數(shù)，則，區(qū)間與關于對稱，故，選項C正確；對選項D，分層抽樣的平均數(shù)，按分成抽樣樣本方差的計算公式，選項D正確.故選：ACD.12．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，平面，垂足為，為上的點，，以為坐標原點，分別以，，為，，軸的正方向，并均以1為單位長度，建立空間直角坐標系，設，則（

）A．B．平面的一個法向量為C．當時，點到平面的距離為D．當時，點到直線的距離的平方為【答案】ABD【解析】對于A項，因為底面，平面，所以，.又，平面，平面，所以，平面.因為平面，所以.因為，則，，，，.因為為上的點，，所以，故A正確；對于B項，因為，，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，故B正確；對于C項，當時，，，所以點到平面的距離，故C錯誤；對于D項，當時，，，所以，，，，所以，點到直線的距離的平方，故D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，，，，五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復使用，也可不使用，符合這些要求的不同著色的方法共有____．（用數(shù)字填寫答案）【答案】540【解析】按照的順序依次著色：當AD同色時，不同著色的方法有；當AD不同色時，不同著色的方法有則符合這些要求的不同著色的方法共有（種）故答案為：54014．“民生”供電公司為了分析“康居”小區(qū)的用電量y（單位）與氣溫x（單位：℃）之間的關系，隨機統(tǒng)計了4天的用電量與當天的氣溫，這兩者之間的對應關系見下表：氣溫x181310用電量y24343864若上表中的數(shù)據(jù)可用回歸方程來預測，則當氣溫為時該小區(qū)相應的用電量約為______．【答案】【解析】，則，解得，所以，當時，，即當氣溫為時該小區(qū)相應的用電量約為．故答案為：.15．已知甲盒中有3個紅球2個白球，乙盒中有4個紅球1個白球，從甲盒中隨機取1球放入乙盒，然后再從乙盒中隨機取2球，記取到紅球的個數(shù)為隨機變量X，則X的期望為______．【答案】/【解析】若從甲盒中隨機取到的為紅球且概率為，則的可能取值為，則，，若從甲盒中隨機取到的為白球且概率為，則的可能取值為，則，，，綜上，，，，故.故答案為：16．直四棱柱的底面為正方形，分別是上底面、下底面的中心，在平面內的射影恰好為的重心，，則________.【答案】【解析】如圖示，以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立坐標系：設，則有，，，則的重心，所以，，由題意可得平面，平面，所以，即有，所以，即有，又因為，得.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）已知二項式的展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為79.(1)求展開式中的常數(shù)項；（結果用數(shù)字表示）(2)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項.（系數(shù)用數(shù)字表示）【解析】（1）由題意可得：，解得或（舍），所以二項式的通項為，令，解得，故展開式中的常數(shù)項為.（2）由（1）可知展開式系數(shù)的絕對值為，設第項系數(shù)的絕對值最大，則，整理得，解得，又因為且，所以，故展開式中系數(shù)絕對值最大的項為.18．（12分）已知向量，向量與的夾角都是，且，試求(1)；(2)．【解析】（1）向量，向量與的夾角都是，且，，；（2）19．（12分）為響應國家使用新能源的號召，促進“碳達峰碳中和”的目標實現(xiàn)，某汽車生產(chǎn)企業(yè)在積極上市四款新能源汽車后，對它們進行了市場調研.該企業(yè)研發(fā)部門從購買這四款車的車主中隨機抽取了50人，讓車主對所購汽車的性能進行評分，每款車的性能都有1分、2分、3分、4分、5分五個等級，各評分及相應人數(shù)的統(tǒng)計結果如下表.

性能評分汽車款式12345基礎班基礎版122310基礎版244531豪華版豪華版113541豪華版200353(1)求所抽車主對這四款車性能評分的平均數(shù)和第90百分位數(shù)；(2)當評分不小于4時，認為該款車性能優(yōu)秀，否則認為性能一般.根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為汽車的性能與款式有關？并解釋所得結論的實際含義.汽車性能汽車款式合計基礎班豪華版一般優(yōu)秀合計(3)為提高這四款新車的性能，現(xiàn)從樣本評分不大于2的基礎版車主中，隨機抽取3人征求意見，記X為其中基礎版1車主的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.附：.0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.879【解析】（1）由題意得這四款車性能評分的平均數(shù)為；其第90百分位數(shù)為；（2）由題意得汽車性能汽車款式合計基礎版豪華版一般201232優(yōu)秀51318合計252550零假設為：汽車性能與款式無關，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為汽車性能與款式有關，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05；汽車性能一般中基礎版和豪華版的頻率分別為和，性能優(yōu)秀中基礎版和豪華版的頻率分別為和，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認為性能優(yōu)秀時豪華版的概率大.（3）由題意可得X服從超幾何分布，且，，，由題意知，X的所有可能取值為，則，，，所以X的分布列為X0123P.20．（12分）chatGPT是由OpenAI開發(fā)的一款人工智能機器人程序，一經(jīng)推出就火遍全球，chatGPT的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強化學習）技術，訓練分為以下三個階段.第一階段：訓練監(jiān)督策略模型.對抽取的prompt數(shù)據(jù)，人工進行高質量的回答，獲取<prompl，answer>數(shù)據(jù)對，幫助數(shù)學模型GPT-4更好地理解指令.第二階段：訓練獎勵模型，用上一階段訓練好的數(shù)學模型，生成k個不同的回答，人工標注排名，通過獎勵模型給出不同的數(shù)值，獎勵數(shù)值越高越好.獎勵數(shù)值可以通過最小化下面的交叉損失函數(shù)得到：，，其中，，且.第一階段：實驗與強化模型和算法.通過調整模型的參數(shù)，使模型得到最大獎以符合人工的選擇取向.(1)若已知某單個樣本，共真實分布，共預測近似分布，計算該單個樣本的交叉損失函數(shù)Loss的值；(2)某次測試輸入的問題中出現(xiàn)語法錯誤的概率為5%，如果輸入問題沒有語法錯誤，chatGPT的回答被采納的概率為90%，如果出現(xiàn)語法錯誤，chatGPT的回答被采納的概率為50%.①求chatGPT的回答被采納的概率；②已知chatGPT的回答被采納，求該測試輸入的問題沒有語法錯誤的概率.參考數(shù)據(jù)：.，【解析】（1）由題意，該單個樣本的交叉損失函數(shù)：（2）記事件A：charGPT中輸入的語法無錯誤：事件B：charGPT中輸入的語法有錯誤；事件C：chatGPT的回答被納依題意：，，，.①由全概率公式得，chatGPT的回答被采納的概率為，②依題意，.所以該測試輸入的問題沒有語法錯誤的概率為.21．（12分）如圖，已知AB'C是邊長為2的等邊三角形，D是AB'的中點，DH⊥B′C，如圖，將B'DH沿邊DH翻折至BDH.(1)在線段BC上是否存在點F，使得AF∥平面BDH？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；(2)若平面BHC與平面BDA所成的二面角的余弦值為，求三棱錐B-DCH的體積.【解析】（1）存在點F滿足題意，且，理由如下:在圖甲中，取B′C的中點M，連接AM，如圖所示因為AB'C是等邊三角形，B′C的中點為M，所以,因為DH⊥B′C，所以AM∥DH，在圖乙中，AM∥DH，AM平面BDH，DH平面BDH，所以AM∥平面BDH，且；在線段BC上取點F使，連接MF，F(xiàn)A，如圖所示因為，所以MF∥BH，又因為平面BDH，平面BDH，所以MF∥平面BDH，又因為MFAM=M，MF，AM平面AMF，所以平面AMF//平面BDH，又因為AF平面AMF，所以AF∥平面BDH.（2）在圖中，DH⊥HC，DH⊥HB，HCHB=H，HC，HB平面BHC，HC，HB?平面BHC，所以DH⊥平面BHC，以H為原點建立的空間直角坐標系，如圖所示則H（0，0，0），A（，，0），C（，0，0），D（0，，0），設，則，，，設平面BDA的法向量為則，即，令，則，，所以，易知平面BHC的一個法向量因為平面BHC與平面BDA所成的二面角的余弦值為，所以，化