信號(hào)與線(xiàn)性系統(tǒng)題解-閻鴻森-第四章

信號(hào)與線(xiàn)性系統(tǒng)題解閻鴻森第四章習(xí)題答案4.1由于復(fù)指數(shù)函數(shù)是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，因此傅里葉分析法在連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析中具有重要價(jià)值。在正文已經(jīng)指出：盡管某些LTI系統(tǒng)可能有另外的特征函數(shù)，但復(fù)指數(shù)函數(shù)是唯一能夠成為一切LTI系統(tǒng)特征函數(shù)的信號(hào)。在本題中，我們將驗(yàn)證這一結(jié)論。(a)對(duì)單位沖激響應(yīng)的LTI系統(tǒng)，指出其特征函數(shù)，并確定相應(yīng)的特征值。(b)如果一個(gè)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，找出一個(gè)信號(hào)，該信號(hào)不具有的形式，但卻是該系統(tǒng)的特征函數(shù)，且特征值為1。再找出另外兩個(gè)特征函數(shù)，它們的特征值分別為1/2和2，但不是復(fù)指數(shù)函數(shù)。提示：可以找出滿(mǎn)足這些要求的沖激串。(c)如果一個(gè)穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是實(shí)、偶函數(shù)，證明和實(shí)該系統(tǒng)的特征函數(shù)。(d)對(duì)沖激響應(yīng)為的LTI系統(tǒng)，假如是它的特征函數(shù)，其特征值為，確定應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程，并解出。此題各部分的結(jié)果就驗(yàn)證了正文中指出的結(jié)論。解：(a)的LTI系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)，所以任何函數(shù)都是它的特征函數(shù)，其特征值為1。(b)，。如果是系統(tǒng)的特征函數(shù)，且特征值為1，則應(yīng)有。滿(mǎn)足這一要求的沖激序列為。若要找出特征值為1/2或2的這種特征函數(shù)，則可得：，特征值為1/2。，特征值為2。(c)為實(shí)、偶函數(shù)同理可證。(d)于是求下列信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式。(a)(b)是以2為周期的信號(hào)，且(c)如圖P4.2(a)所示。(d)如圖P4.2(b)所示。(e)如圖P4.2(c)所示。(f)如圖P4.2(d)所示。圖P4.2解：(a)，取，則有(b),則(c)，是奇函數(shù)，(d)，可求得(e)，是偶函數(shù)，(f)，可求得4.3已知某LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為對(duì)下列輸入信號(hào)，求輸出響應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式。(a)(b)(c)(d)如圖P4.3所示。圖P4.3解：設(shè)則其中分別是和的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。(a)其余，其余(b)；(c);(d)由圖P4.3所示可得：4.4(a)證明:以T為周期的信號(hào)如果是偶函數(shù),即,則其三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示式中只含有余弦分量；如果是奇信號(hào)，即，則其三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)中只含有正弦分量。(b)如果以T為周期的信號(hào)同時(shí)滿(mǎn)足則稱(chēng)為偶諧信號(hào)；如果同時(shí)滿(mǎn)足則稱(chēng)為奇諧信號(hào)。證明偶諧信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含偶次諧波；奇諧信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)只包含奇次諧波。(c)如果是周期為2的奇諧信號(hào)，且，畫(huà)出的波形，并求出它的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。解：(a)，若，則若，則(b)若，則當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，只有偶次諧波同理可證奇諧信號(hào)只包含奇次諧波。(c)奇諧信號(hào)，如圖PS4.4所示。圖PS4.4，（k為奇數(shù)），（k為偶數(shù)）假如圖P4.5所示的信號(hào)和有如下三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示式畫(huà)出信號(hào)圖P4.5解：而設(shè)是一個(gè)周期信號(hào)，其基波周期為，傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為，用表示下列信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。此題證明了表4.2中所列的傅里葉級(jí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。(a)(b)(c)(d),（假設(shè)）(e)(f)（要先確定該信號(hào)的周期）解：(a)(b)(c)(d)為周期信號(hào)(e)因此以T為周期(f)該信號(hào)周期為4.7已知某周期信號(hào)的前四分之一周期的波形如圖P4.7所示。就下列情況畫(huà)出一個(gè)周期（）內(nèi)完整的波形。圖P4.7(a)是偶函數(shù)，只含有偶次諧波。(b)是偶函數(shù)，只含有奇次諧波。(c)是偶函數(shù)，含有奇次和偶次諧波。(d)是奇函數(shù)，只含有偶次諧波。(e)是奇函數(shù)，只含有奇次諧波。(f)是奇函數(shù)，含有偶次和奇次諧波。解：(a)且，如圖PS4.7(a)所示。(b)且，如圖PS4.7(b)所示。(c)，如圖PS4.7(c)所示。(d)且，如圖PS4.7(d)所示。(e)且，如圖PS4.7(e)所示。(f)，如圖PS4.7(f)所示。圖PS4.74.8計(jì)算下列信號(hào)的傅里葉變換：(a)(b)，其中(c)如圖P4.8(a)所示。(d)如圖P4.8(b)所示。(e)(f)如圖P4.8(c)所示。(g)如圖P4.8(d)所示。圖P4.8解：(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)4.9確定下列傅里葉變換所對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)：(a)(b)(c)(d)如圖P4.9(a)所示。(e)如圖P4.9(b)所示。(f)的模和相位如圖P4.9(c)(d)所示。圖P4.9解：(a)設(shè)即(b)故有(c)即(d)(e)(f)由圖P4.9(c)、(d)知，4.10先求出圖P4.10所示各信號(hào)的頻譜，再用表示圖中信號(hào)的頻譜。圖P4.10解：4.11設(shè)是圖P4.11所示信號(hào)的頻譜，不求出而完成下列計(jì)算：求求計(jì)算計(jì)算畫(huà)出Re對(duì)應(yīng)的信號(hào)。圖P4.11解：(a)(b)(c)(d)(e)，如圖PS4.11所示。圖PS4.114.12一個(gè)實(shí)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換為且，如果已知是偶時(shí)間函數(shù)；奇時(shí)間函數(shù)。求。解：(a)即(b)4.13如果圖P4.13所示的實(shí)信號(hào)存在傅里葉變換，試判斷哪些信號(hào)的傅里葉變換滿(mǎn)足下列性質(zhì)之一。(a)Re(b)Im(c)可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得是實(shí)函數(shù)。(d)(e)(f)是周期的。圖P4.13解：(a)Re為奇函數(shù)因而圖P4.13(a),(b)滿(mǎn)足條件。(b)Im為偶函數(shù)因而圖P4.13(d),(f)滿(mǎn)足條件。(c)由已知可得，平移后為偶函數(shù)因而圖P4.13(a),(c),(d),(f)滿(mǎn)足條件。(d)因而圖P4.13(a),(b),(c),(e),(f)滿(mǎn)足條件。(e)因而圖P4.13(c),(d),(e),(f)滿(mǎn)足條件。由條件可知(c)滿(mǎn)足。4.14求圖P4.14所示周期信號(hào)的傅里葉變換。圖P4.14解：4.15假設(shè)周期信號(hào)是某個(gè)LTI系統(tǒng)的輸入，的傅里葉級(jí)數(shù)表示式為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為為了該系統(tǒng)的輸出至少具有在一個(gè)周期內(nèi)平均能量的90％，必須取多大？解：根據(jù)帕斯瓦爾定理，可得信號(hào)的平均能量為：設(shè)的取值使系統(tǒng)能通過(guò)的第次諧波，則系統(tǒng)輸出的平均能量為由題意應(yīng)有即：即：能保證輸出至少具有一個(gè)周期平均能量的90％。本題中，得4.16(a)如果信號(hào)滿(mǎn)足，那么的傅里葉變換具有什么性質(zhì)？(b)如果一個(gè)系統(tǒng)的輸入為，輸出為，且，試用的傅里葉變換表示的傅里葉變換(c)如果和是兩個(gè)任意信號(hào)，其傅里葉變換分別為和，證明帕斯瓦爾定理的一般形式解：(a)設(shè)，由共軛對(duì)稱(chēng)性有由尺度變換性有而，表明是實(shí)函數(shù)。(b)設(shè)，(c)4.17在第3章我們指出LTI系統(tǒng)可以由它的單位沖激響應(yīng)完全表征。在本章中我們又指出LTI系統(tǒng)可以由它的頻率響應(yīng)完全表征。但這并不意味著單位沖激響應(yīng)或頻率響應(yīng)不同的LTI系統(tǒng)，對(duì)任何同樣的輸入信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)都一定不同。(a)為了說(shuō)明這一點(diǎn)，可以證明3個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)具有完全相同的輸出響應(yīng)，這3個(gè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)分別為：(b)找出對(duì)也會(huì)產(chǎn)生同樣響應(yīng)的另一個(gè)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解：(a)可見(jiàn)，(b)由(a)可知，只要把(a)中三個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)線(xiàn)性組合起來(lái)，就可以構(gòu)成滿(mǎn)足題意要求的LTI系統(tǒng)。例如：就是滿(mǎn)足要求的另一個(gè)LTI系統(tǒng)。同樣地，等等，都是滿(mǎn)足要求的LTI系統(tǒng)。4.18(1)假定信號(hào)是對(duì)具有如下單位沖激響應(yīng)的LTI系統(tǒng)的輸入，試確定每種情況下的輸出。(a)(b)(c)(2)某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為對(duì)下列輸入信號(hào)，分別求系統(tǒng)的輸出。(a)是圖P4.18(a)所示的周期性方波信號(hào)。(b)是圖P4.18(b)所示的方波信號(hào)。(c)(d)(e)是實(shí)信號(hào)，的模對(duì)如圖P4.18(c)所示，對(duì)有恒定相位。圖P4.18解：(1)(a)(b)，則有，如圖PS4.18-1所示。其中：(c)，則有。如圖PS4.18-2所示。其中：(2)(a)其中為的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，(b)，其中(c)(d)(e)由圖P4.18(C)及相位條件，可得出的一個(gè)周期為：4.19圖P4.19所示4個(gè)LTI系統(tǒng)互聯(lián)，其中：確定，并粗略畫(huà)出其圖形。求整個(gè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。當(dāng)輸入為時(shí)，求系統(tǒng)輸出。圖P4.19解：(a)，如圖PS4.19所示。圖PS4.19(b)而(c)利用(b)的結(jié)果，由可得也就是：4.20對(duì)圖P4.20所示電路，求出系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，欲使該系統(tǒng)不失真?zhèn)鬏斝盘?hào)，試確定和。圖P4.20解：4.21(1)已知的頻譜為，是一個(gè)周期信號(hào)，其傅里葉級(jí)數(shù)表示式為其中，為基波頻率。如果，試問(wèn)的傅里葉變換是什么?(2)如果如圖P4.21(a)所示，對(duì)下列畫(huà)出的頻譜。(a)(b)(c)(d)(e)(f)如圖P4.21(b)所示。圖P4.21解：(1)(2)(a)，如圖PS4.21(a)所示。(b)，如圖PS4.21(b)所示。(c)，如圖PS4.21(c)所示。(d)，如圖PS4.21(d)所示。(e)，如圖PS4.21(e)所示。(f)，如圖PS4.21(f)所示。圖PS4.214.22(a)如果單位沖激響應(yīng)為和的兩個(gè)LTI系統(tǒng)是彼此互逆的，它們的頻率響應(yīng)分別為和，試問(wèn)與之間有什么關(guān)系。(b)逆系統(tǒng)被廣泛用于干擾抵消。假定一個(gè)有回聲的大廳，將其聲學(xué)結(jié)構(gòu)作為一個(gè)LTI系統(tǒng)來(lái)建立其模型。該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)由一系列沖激組成，其中第個(gè)沖激表示第次反射。在此情況下，單位沖激響應(yīng)表示為其中表示第次反射時(shí)的阻尼。為了獲得高質(zhì)量的音響效果，必須對(duì)檢測(cè)到的聲音進(jìn)行處理，借以消除回波的干擾。假定代表LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，該系統(tǒng)被用來(lái)處理檢測(cè)到的音響信號(hào)，試確定，使得回波干擾能完全消除。(c)一個(gè)最初松弛且由下列微分方程描述的LTI系統(tǒng)該系統(tǒng)的逆系統(tǒng)也是最初松弛的，求出描述該逆系統(tǒng)的微分方程。并求出原系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和逆系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解：(a)若和互逆，則有(b)(c)兩邊傅里葉變換逆微分方程：4.23(a)某連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為其中，，求出和相位，并求出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為全通系統(tǒng)。(b)如果對(duì)(a)中所給的系統(tǒng)輸入信號(hào)為當(dāng)時(shí)，輸出是什么？當(dāng)時(shí)，又是什么？比較與，即可看出盡管系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的各個(gè)頻率分量在幅度上一視同仁，但由于系統(tǒng)相位特性的非線(xiàn)性，致使不同頻率的分量產(chǎn)生不同的時(shí)延，從而導(dǎo)致輸出信號(hào)發(fā)生了失真。這種失真即是所謂的相位失真。解：(a)(b)；當(dāng)時(shí)有當(dāng)時(shí)，4.24某LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)為求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。寫(xiě)出描述系統(tǒng)的微分方程，并用直接II型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)。解：(a)(b)(c)其直接II型結(jié)構(gòu)如圖PS4.24所示。4.25某因果LTI系統(tǒng)由下列微分方程描述確定該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)。如果，求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。如果輸入的傅里葉變換分別為：重新求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。解：(a)(b)(c)4.26如果連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是實(shí)、因果函數(shù)，其頻率響應(yīng)可以完全由它的實(shí)部來(lái)確定；如果是實(shí)因果函數(shù)，且在不包含奇異函數(shù)，那么也可以由它的虛部完全確定。本體研究的就是這一特性?？疾榈呐疾?，指出如何由得到，進(jìn)而證明可以完全由它的實(shí)部來(lái)確定。如果因果系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的實(shí)部為，試確定，并進(jìn)而確定。如果在不包含任何奇異函數(shù)，由于是因果的，除了以外，有且上式兩邊的傅里葉變換必然恒等，根據(jù)傅里葉變換的調(diào)制特性，證明：利用上式導(dǎo)出用的虛部表示實(shí)部以及用表示的關(guān)系式。這表明，因果LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是實(shí)信號(hào)時(shí)（這正是工程實(shí)際中應(yīng)用的情況），系統(tǒng)頻率響應(yīng)的實(shí)部和虛部是互相制約的。從而系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性也是相互制約的。由和互相表示的這種約束關(guān)系稱(chēng)為希爾伯特（Hilbert）變換。解：(a)，且為實(shí)函數(shù)。又是因果的，由的實(shí)部可完全確定；由又可完全確定。從而可以完全由它的實(shí)部來(lái)確定。(b)(c)，當(dāng)為因果函數(shù)時(shí)有因此，除了一點(diǎn)外，可以由得到。如果在不包含奇異函數(shù)，而且，則有因而將不會(huì)因?yàn)闉槿魏斡邢拗刀淖儭＿@表明與的值無(wú)關(guān)。由可得于是，由可以確定。再根據(jù)（除外），可由求得。因此可以完全由其虛部確定。由此得(d)令，則有4.27在圖P4.27所示系統(tǒng)中是理想低通濾波器，其截止頻率為，群時(shí)延為常數(shù)，試對(duì)和兩種情況求輸入為時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。圖P4.27解：而因此，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，4.28求圖P4.28所示已調(diào)信號(hào)的頻譜。圖P4.28解：，其中如圖PS4.28所示。圖PS4.28：調(diào)制周期為的方波，同：調(diào)制周期為的方波，同，可計(jì)算及。4.29圖P4.29所示系統(tǒng)中，已知輸入信號(hào)的頻譜為，如圖所示。試確定并粗略畫(huà)出的頻譜。圖P4.29解：4.30在4.8節(jié)討論同步解調(diào)時(shí)，我們從頻譜圖直觀地說(shuō)明了調(diào)制器和解調(diào)器所用的載波應(yīng)該同頻。由于通信系統(tǒng)中調(diào)制和解調(diào)常常是在相距很遠(yuǎn)的兩地進(jìn)行的，因此做到這一點(diǎn)比較困難。本題討論兩個(gè)載波不同頻但頻率同步的情況。假定在DSB調(diào)制中，載波頻率為，解調(diào)器的載波頻率為，它們的頻率差為，同時(shí)假定是帶限的，即時(shí)，；同步解調(diào)時(shí)理想低通濾波器的截止頻率滿(mǎn)足下列條件：(a)證明此時(shí)解調(diào)器中理想低通濾波器的輸出正比于如果不隨時(shí)間變化，即和是同步的，我們就可以通過(guò)二次解調(diào)得到。(b)如果的頻譜如圖P4.30所示，請(qǐng)繪出同步解調(diào)器輸出的頻譜。圖P4.30解：設(shè)解調(diào)器輸出為 帶限于，上式第二項(xiàng)的頻譜在頻率范圍即：而，因此頻譜完全在低通濾波器的通帶之外。但的頻譜位于范圍內(nèi)，因此完全在低通濾波器通帶中，由此可得這就證明了：解調(diào)器的輸出正比于。二次解調(diào)有因此，可以得到，即得到。(b)如圖PS4.30所示。4.31在討論幅度調(diào)制時(shí)，調(diào)制和解調(diào)都是由乘法器完成的，但在工程實(shí)際中，由于乘法器往往難以實(shí)現(xiàn)，所以很多實(shí)際系統(tǒng)中都采用非線(xiàn)性器件。圖P4.31給出了這樣一個(gè)幅度調(diào)制系統(tǒng)。假定是帶限的，當(dāng)時(shí)，，試確定帶通濾波器的參量和，使得，并給出和的必要約束條件。圖P4.31解：為了使，就必須使帶通濾波器濾除，且要求參量帶限于，帶限于2。而，其頻譜位于和處；的頻譜位于范圍內(nèi)，因此，帶通濾波器應(yīng)滿(mǎn)足如下要求：欲使這兩個(gè)條件都滿(mǎn)足，對(duì)和應(yīng)有如下約束：4.32圖P4.32所示的調(diào)制解調(diào)系統(tǒng)中，解調(diào)器所用的載波是一個(gè)方波信號(hào)，它與調(diào)制器的載波具有相同的零點(diǎn)，如圖所示。是帶限信號(hào)，其最高頻率，頻譜的實(shí)部和虛部如圖所示。分別畫(huà)出和的傅里葉變換和的實(shí)部與虛部，并加以標(biāo)注。畫(huà)出使的濾波器的，并加以標(biāo)注。圖P4.32解：(a)由圖P4.32可得：如圖PS4.32-1所示。圖PS4.32-1由圖P4.32可求得的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為如圖PS4.32-2所示。如圖PS4.32-3所示。圖PS4.32-3(b)由可以得出：使的濾波器的應(yīng)如圖PS4.32-4所示。4.33在DSB調(diào)制中，已調(diào)信號(hào)的帶寬是原始信號(hào)帶寬的兩倍，我們把高于載頻的部分稱(chēng)為上邊帶，低于載頻的部分稱(chēng)為下邊帶。由于上下邊帶是以載頻對(duì)稱(chēng)的，這在頻帶利用上是不經(jīng)濟(jì)的。為了更充分地利用頻帶，在通信中還采用單邊帶調(diào)制(SSB)技術(shù)。圖P4.33給出了利用移相法產(chǎn)生單邊帶信號(hào)的系統(tǒng)。繪出圖中的頻譜示意圖。繪出的頻譜，說(shuō)明此時(shí)是只保留了下邊帶的信號(hào)；如果，則只保留了上邊帶。從頻域分析單邊帶信號(hào)如何同步解調(diào)，繪出解調(diào)系統(tǒng)及相關(guān)的頻譜圖。圖P4.33解：(a)；各頻譜分別如圖PS4.33(a)-(1)、(2)、(3)所示。(b)如圖PS4.33(b)-(1)、(2)所示。(c)4.34一個(gè)AM調(diào)幅波為其中：；；；。求：該調(diào)幅波的幅度調(diào)制指數(shù)。如果我們對(duì)調(diào)制信號(hào)的各個(gè)諧波分量分別定義調(diào)制指數(shù)，并將其稱(chēng)為部分調(diào)幅指數(shù)，試求該調(diào)幅波的部分調(diào)幅指數(shù)。繪出調(diào)制信號(hào)與已調(diào)信號(hào)的頻譜圖。此調(diào)幅波的帶寬是多少？解：(a)(b);(c)頻譜圖如圖PS4.34所示。帶寬＝圖PS4.344.35圖P4.35是一個(gè)脈沖幅度調(diào)制（PAM）系統(tǒng)，該系統(tǒng)的輸出是PAM信號(hào)。假定是一個(gè)帶限于的信號(hào)，如圖所示，試確定圖中和地頻譜。求出的最大允許值，使得經(jīng)過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)臑V波器后，有。這個(gè)適當(dāng)?shù)臑V波器的頻率響應(yīng)應(yīng)該如何確定？并繪出的示意圖。圖P4.35解：(a)，，如圖PS4.35(a)所示。如圖PS4.35(b)所示，當(dāng)時(shí)，如圖PS4.35(c)所示。(b)欲使經(jīng)過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)臑V波器后能恢復(fù)成，就必須保證在范圍內(nèi)有。因此，可以看出必須有，即，從而有。(c)為了使，必須有，于是得時(shí)，而在時(shí)應(yīng)有，如圖PS4.35(d)所示。圖PS4.354.36已知信號(hào)帶限于，帶限于，與相乘之后被理想抽樣。試確定允許的最大抽樣間隔，使抽樣后的信號(hào)能夠通過(guò)理想低通濾波器不失真地恢復(fù)成原始信號(hào)。解：頻帶范圍為若不失真恢復(fù)，則即4.37如果信號(hào)的最高頻率為500Hz，的最高頻率為1500Hz，下列信號(hào)是由和構(gòu)成的，試確定對(duì)每一個(gè)信號(hào)進(jìn)行理想抽樣時(shí)，所允許的最大抽樣間隔。(a)(b)(c)(d)(e)(f)解：(a)(b)(c)(d)(e)(f)4.38在實(shí)際工程中，常常采用零階保持抽樣。它可以等價(jià)為圖P4.38所示的系統(tǒng)，在理想抽樣之后經(jīng)過(guò)一個(gè)零階保持系統(tǒng)。求出零階保持系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。繪出和的波形示意圖。如果是帶限于的信號(hào)，抽樣間隔滿(mǎn)足抽樣定理的要求，為了能從恢復(fù)成，應(yīng)該讓通過(guò)一個(gè)什么樣的系統(tǒng)，確定該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)并繪出其幅頻特性和相頻特性的略圖。圖P4.38零階保持抽樣4.39設(shè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)帶限于，現(xiàn)在以為間隔對(duì)其理想抽樣，然后將各樣點(diǎn)用直線(xiàn)連接起來(lái)構(gòu)成折線(xiàn)信號(hào)。這一過(guò)程可以等效為理想抽樣后，再經(jīng)過(guò)一個(gè)LTI系統(tǒng)。試確定該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。該系統(tǒng)稱(chēng)為一階保持系統(tǒng)。如果要從一階保持系統(tǒng)的輸出恢復(fù)成，還需要級(jí)聯(lián)一個(gè)什么樣的系統(tǒng)，確定該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并繪出略圖。4.40已知連續(xù)時(shí)間信號(hào)被圖P4.40所示的窄脈沖串抽樣，的頻譜為，的頻譜為。證明抽樣后信號(hào)的頻譜為(b)為了能夠從恢復(fù)原信號(hào)，需要滿(mǎn)足哪些條件？圖P4.404.41根據(jù)抽樣定理，如果帶限于，抽樣頻率，且大于2，理想低通濾波器截止頻率，通帶增益為。那么經(jīng)過(guò)理想低通重建的信號(hào)將完全等于。如果不滿(mǎn)足上述要求，即欠抽樣的情況下，則將不等于。但只要有，無(wú)論抽樣間隔等于多少，和在抽樣時(shí)刻總是相等的。即。試證明這一結(jié)論。4.42在正文中我們提到取樣示波器用了欠抽樣的效果，本題對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)一步討論。假定是一個(gè)頻率很高的帶限信號(hào)。我們對(duì)抽樣時(shí)，抽樣間隔為，其中時(shí)信號(hào)得周期，是根據(jù)的帶寬適當(dāng)選擇的間隔增量。如圖P4.42所示。只要將抽樣所得到的沖激串通過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)牡屯▋?nèi)插濾波器，那么恢復(fù)的信號(hào)將正比于，其中。若，求的取值范圍，使圖P4.42中的正比于，其中，并用和確定的值。周期為，當(dāng)時(shí)，圖P4.42解：由可得的頻譜如圖PS4.42所示。要使正比于，，就必須有即由得圖PS4.424.43只要平均抽樣密度為每秒個(gè)樣點(diǎn)，則帶限于的信號(hào)就可以從非均勻抽樣的樣本得到恢復(fù)。圖P4.43就是一個(gè)非均勻間隔抽樣的系統(tǒng)。在圖中假定是帶限于的信號(hào)，即時(shí)，；是如圖所示的非均勻間隔的周期性沖激串；是周期性波形，其周期為。，，是相移器，是理想低通濾波器圖P4.43其中，K為常數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。在此條件下就以下各題：(a