線性代數(shù)模擬試題(兩套)

線性代數(shù)模擬試題(兩套)第一套模擬試題第二套模擬試題答案與解析知識(shí)點(diǎn)回顧目錄CONTENTS01第一套模擬試題題目1：行列式|A|的值為0的必要條件是()A.A中必有兩行（或兩列）成比例B.A中至少有一行（或一列）全為0010203選擇題選擇題C.A中至少有一個(gè)二階子矩陣為002D.A中至少有一個(gè)元素為003題目2：設(shè)向量組α?，α?，α?線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是()0101020304A.α?+α?，α?+α?，α?+α?B.α?+α?，α?+α?，α?-α?C.α?+α?，α?+α?，α?+2α?+α?D.α?+α?，α?+α?，α?-α?+α?選擇題填空題題目1設(shè)向量組α?，α?，...，α?線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)k?，k?，...，k?使得_________。題目2若向量β可由向量組α?，α?，...，α?線性表示，且表示法唯一，則行列式|α?，α?，...，α?|_________。已知矩陣A=[23;12]，求A的逆矩陣A^(-1)。題目1設(shè)向量組α?=[1;2];α?=[4;6];α?=[7;9]，求向量組α?，α?，α?的秩r。題目2計(jì)算題02第二套模擬試題題目：已知矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix}$，則$A^{-1}$等于？答案：$A^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{bmatrix}$解析：根據(jù)矩陣的逆公式，$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdotadj(A)$，其中$\det(A)$是矩陣$A$的行列式，$adj(A)$是矩陣$A$的伴隨矩陣。計(jì)算得$\det(A)=1\times4-2\times3=-2$，$adj(A)=\begin{bmatrix}4&-2\-3&1\end{bmatrix}$，所以$A^{-1}=\frac{1}{-2}\cdot\begin{bmatrix}4&-2\-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{bmatrix}$。第二套模擬試題選擇題第二套模擬試題選擇題題目：設(shè)向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}$的內(nèi)積為$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}=5$，模長(zhǎng)分別為$|\overset{\longrightarrow}{a}|=3$和$|\overset{\longrightarrow}|=4$，則向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}$的夾角為？答案：$\cos<\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow}>=\frac{\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}}{|\overset{\longrightarrow}{a}|\cdot|\overset{\longrightarrow}|}=\frac{5}{3\times4}=\frac{5}{12}$解析：根據(jù)向量夾角的余弦公式，$\cos<\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow}>=\frac{\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}}{|\overset{\longrightarrow}{a}|\cdot|\overset{\longrightarrow}|}$，代入已知條件得$\cos<\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow}>=\frac{5}{3\times4}=\frac{5}{12}$。題目設(shè)矩陣$B=begin{bmatrix}2&00&1end{bmatrix}$，則矩陣$B^{2}$等于？答案$B^{2}=begin{bmatrix}4&00&1end{bmatrix}$解析根據(jù)矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)則，$B^{2}=BtimesB=begin{bmatrix}2&00&1end{bmatrix}timesbegin{bmatrix}2&00&1end{bmatrix}=begin{bmatrix}4&00&1end{bmatrix}$。第二套模擬試題選擇題題目已知行列式$|begin{matrix}a&b&cd&e&fg&h&ij&k&lend{matrix}|=A$，則行列式$|begin{matrix}a&b&cd&e&fg&h&ij&k&l+1end{matrix}|$等于？答案$|begin{matrix}a&b&cd&e&fg&h&i+1j&k&lend{matrix}|=A+l(i+1)$解析根據(jù)行列式的性質(zhì)，行列式中某一列的元素增加或減少一個(gè)常數(shù)倍，其值也增加或減少該常數(shù)的倍數(shù)。因此，新行列式的值等于原行列式的值加上$(l+1)i$。第二套模擬試題選擇題03答案與解析032.C01答案021.B第一套模擬試題答案與解析3.A5.C4.D第一套模擬試題答案與解析1.問(wèn)題行列式$left|begin{matrix}3&-24&1end{matrix}right|$的值是多少？解析這是一個(gè)二階行列式，根據(jù)二階行列式的展開(kāi)法則，其值等于主對(duì)角線上的元素之積減去副對(duì)角線上的元素之積，即$3times1-(-2)times4=11$。故選B。第一套模擬試題答案與解析2.問(wèn)題向量$overset{longrightarrow}{a}=(1,-2)$和$overset{longrightarrow}=(3,4)$的點(diǎn)積為多少？解析根據(jù)向量點(diǎn)積的定義，$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}=a_1b_1+a_2b_2$。將向量的坐標(biāo)代入公式，得到$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}=1times3+(-2)times4=-5$。故選C。3.問(wèn)題矩陣$left[begin{matrix}1&20&3end{matrix}right]$的逆矩陣是？第一套模擬試題答案與解析解析：對(duì)于二階矩陣，其逆矩陣的公式為$\frac{1}{det(A)}adj(A)$，其中$adj(A)$是A的伴隨矩陣。首先求行列式$det(A)=1\times3-0\times2=3$，然后求伴隨矩陣$adj(A)=\left[\begin{matrix}3&0\-2&1\end{matrix}\right]$，最后得到逆矩陣$A^{-1}=\frac{1}{3}\times\left[\begin{matrix}3&0\-2&1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&0\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right]$。故選A。第一套模擬試題答案與解析第一套模擬試題答案與解析問(wèn)題：方程組$\left{\begin{matrix}x+y=5\-x+y=-1\end{matrix}\right.$的解集是？解析：將方程組寫(xiě)成矩陣形式$\left[\begin{matrix}1&1\-1&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}5\-1\end{matrix}\right]$，然后進(jìn)行行變換，得到解集$\left{\begin{matrix}x=2\y=3\end{matrix}\right.$。故選D。問(wèn)題：向量組$\left{\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow},\overset{\longrightarrow}{c}\right}$是線性相關(guān)的還是線性無(wú)關(guān)的？其中$\overset{\longrightarrow}{a}=(1,0,2),\overset{\longrightarrow}=(2,0,4),\overset{\longrightarrow}{c}=(0,1,0)$。解析：對(duì)于三個(gè)向量，如果存在不全為零的標(biāo)量$k_1,k_2,k_3$使得$k_1\overset{\longrightarrow}{a}+k_2\overset{\longrightarrow}+k_3\overset{\longrightarrow}{c}=0$，則向量組線性相關(guān)；否則線性無(wú)關(guān)。代入向量的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)不存在這樣的標(biāo)量，故向量組線性無(wú)關(guān)。故選C。第二套模擬試題答案與解析0102031.C2.A答案第二套模擬試題答案與解析013.D024.B5.B03VS行列式$left|begin{matrix}-5&-3-2&-4end{matrix}right|$的值是多少？解析這是一個(gè)二階行列式，根據(jù)二階行列式的展開(kāi)法則，其值等于主對(duì)角線上的元素之積減去副對(duì)角線上的元素之積，即$-5times-4-(-3)times-2=1.問(wèn)題第二套模擬試題答案與解析04知識(shí)點(diǎn)回顧02030401向量與矩陣的基本運(yùn)算向量的加法、數(shù)乘、向量的模。矩陣的加法、數(shù)乘、乘法。向量與矩陣的轉(zhuǎn)置。向量與矩陣的共軛。行列式與矩陣的逆行列式的定義與性質(zhì)。矩陣的逆的定