2022-2023學(xué)年湖南省益陽市高三年級上冊期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

益陽市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題卷

姓名準考證號

本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名.考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題

卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試題

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷.草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知全集。={-2,—1,0,1,2,3},集合A={-L3},5={0,2,3},則電（Au5）為（）

A.{-2,-1,0,1,2}C.{-2,1}B.{-1,0,2,3}D.{-2}

2.設(shè)復(fù)數(shù)zi=1+2五，則2=（）

A.l+3iB.l-V5iC.iD.--i

3

3.如圖所示的矩形ABCD中，民/滿足3E=￡C，CF=2FD,G為防的中點，若AG=九45+〃AO,

則的值為（）

4.在一次勞動技術(shù)課上，某12人的小組中的同學(xué)們利用圖（一）的棱長為8cm的正方體膠泥作為原料，每人

制作一個圖（二）的冰激淋膠泥模型（上部分為一個半球，下部分為一個以半球的大圓面為底的圓錐），則制

作完成后剩下的膠泥約為（）（忽略制作過程中的損耗，乃。3.14）

A.8.7cm3C.10.6cm3B.9.6cm3D.12.4cm3

rx0

5.已知函數(shù)/（尤）e:八，若/（0）+/（。）=0,則出?的值為（）

ln^axj,x<0

,21

A.B.eC.—D.一

ee

6.2022年10月12日“天宮課堂”首次在問天實驗艙中授課，航天員老師們演示和講解的多種實驗，極大地激

發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在一次模仿操作實驗中，學(xué)生們從裝有大小相同的標號分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9種

不同的種子中隨機抽取2種種子進行操作實驗，則抽到的兩種不同的種子的標號之和恰為10的概率為()

1154

A.-B.—C.—D.—

9153645

7.已知函數(shù)/(x)=sin?x+e)[0</<6,閘

應(yīng)的值為()

A.4,—B.3,—C.2,—D.1,—

3636

8.已知函數(shù)〃x)=]nTY，若方程產(chǎn)(x)+(l—m)/(x)-，"=0有3個不等的實根，則實數(shù)機的取值范圍為()

八?0B.gl,

D1-8,一

C.什

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.如圖為國家統(tǒng)計局于2022年11月15日發(fā)布的社會消費品零售總額同比增速折線圖，則2021年10月至2022

年10月同比增速的()(注：2022年1—2月份合并統(tǒng)計為一個數(shù)據(jù))

A.平均數(shù)大于0B.中位數(shù)為

C.極差為D.第25百分位數(shù)為-3.5

10.已知函數(shù)/(6=/—/一心則()

A./(x)有2個極大值點B"(x)有1個極小值點

C，r(-2)=15D.點(1,/(1))處的切線方程為y=~\

11.已知雙曲線--匕1,則()

43

A.C的離心率為立

2

B.C的漸近線方程為y=±半x

C.直線y=與。有2個公共點

D.過右焦點的直線/與。的交點分別為A,B,當|A用=4時，這樣的直線/有3條

12.已知函數(shù)“X）及其導(dǎo)函數(shù)7'（X）的定義域均為R,記g（x）=（x），若/（x）關(guān)于直線X=2對稱，

g（4+2x）為奇函數(shù)，則（）

A.r（2）=0B.g（2024）=g（-2020）

C.2）=g（18）D.g（4）=2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（x—y）（x+2?的展開式中含項的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

14.已知長方體ABC。—44GA中，AB=A4,=2,4。=3,點￡為棱的中點，則異面直線從民旦。所

成角的余弦值為.

15.已知圓。：/+丁=1,圓C的圓心在x軸上，過點（2,、6），若圓。與圓O外切，則圓C的方程為

16.已知拋物線。：丁=2%的焦點為產(chǎn)，圓O：/+y2=3與。交于M,N兩點，其中點M在第一象限，點P

在直線x=—2上運動，記OP=XOM+〃ON（/l,〃eR）.

①當OP〃。加時，有SFMP=當;

__.3

②當。P_LON時，有4=一萬；

③，PM/V可能是等腰直角三角形；

其中命題中正確的有.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

2

已知數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾“，且q=3,Sn=an+n-1.

（1）求｛6,｝的通項公式；

⑵若＞=上,T.=岫2+瓦瓦++么也用，求7；.

18.（本小題滿分12分）

在《ABC中，角A氏C的對邊分別為,且（2-sinA）cos8-l=cosAsinB-2cosBsinC.

（1）求5；

（2）證明:a2+c2?2b2.

19.（本小題滿分12分）

某學(xué)校為推動學(xué)校的大課間運動，開始在部分班級中使用一套新的大課間運動體操（記為A類體操），原來的

大課間運動體操（記為3類體操），為了解學(xué)生對大課間運動的喜愛程度與使用大課間運動體操類別是否有關(guān),

分別對使用A類體操與3類體操的學(xué)生進行了問卷調(diào)查，現(xiàn)分別隨機抽取了100個學(xué)生的問卷調(diào)查情況，得

到如下數(shù)據(jù)：

喜愛不喜愛

A類體操7030

B類體操4060

（1）試根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為喜愛大課間運動程度與4類體操和B類體操有關(guān)？

（2）從樣本的喜愛大課間運動的學(xué)生中，按AB類分層抽取11名學(xué)生參加一個座談會，再從中抽取3名學(xué)

生在學(xué)生大課間運動會上發(fā)言，求參加發(fā)言的學(xué)生既有喜愛A類體操也有喜愛8類體操的概率.

2

2_n(ad-bc)

(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

20.（本小題滿分12分）

如圖所示的正方體ABCD-^C^中，點E,尸分別是棱BBrD?的中點.

（1）證明：平面AEC_L平面3。￡）4；

（2）求平面與平面AEC所成銳二面角的余弦值.

21.（本小題滿分12分）

=l（a>A〉0）的左、右焦點分別為月,工，條件①離心率為;；②點P在C上運動，且

已知橢圓C:

“2b2

|?用+|P段=4；③點［1,|）在C上.從①②③任選兩個條件作為已知，解決下列問題:

（1）求橢圓。的方程；

（2）已知過點工的直線/與橢圓C交于兩點，點Q（4,0）,直線MQNQ的斜率分別記為《心攵皿，

試探討+是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

22.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/(x)=(x-l)exT+l—x.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論函數(shù)尸(尤)=/(%)一《皿+彳一1的零點個數(shù).

益陽市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)參考答案

2.D

3.A

4.B

5.D

6.A

7.C

8.A

二,多選題

9.AC

10.BCD

11.ABD

12.ABC

三、填空題

13.40

14.逅

65

15.(x-3)2+y2=4

16.①②

四、解答題

17.解：(1)因為S.=4“+〃？-1,

所以當幾.2時，-

兩式相減得：/=+2〃-1,即%=2〃-1,

所以4=2〃+1,

且4=3符合,

所以｛4｝的通項公式為為=2〃+1.

,11

（2）由（1）可知2=—~7,

an2〃+1

…77111<11、

■A*+，-2TF1'2I+3-212^+1-2）1+3/

所以。=仄瓦+血++切2+1

=lfl__1丫二〃

2U2n+3j3（2n+3）'

18.解：（1）由（2-sinA）cosB-l=cosAsinB-2cos8sinC,

得2cos3-1=cosAsinB+sinAcosB-2cosBsinC,

即2cosB-l=sinC-2cosBsinC,

2cosB+2cosBsinC=1+sinC?

2（l+sinC）cos5=1+sinC,

因為0<Cv",所以sinC>0,所以l+sinC〉O,

所以2cos5=1,即cosB=—,

2

71

又因為0<5v〃，所以3=一.

3

22

（2）依題要證明/+。22/,即證明巴等2,

b2

由（1）及正弦定理得：幺二二=竺竺吧￡=±（sin2A+sin2。）

b1sin2B3、）

27r47r

又因為A+C=〃—8=——，所以2C=——2A,

33

所以COS2A+COS（^-2A]=cos2A-cos（]-2A）

1CA6.、A/cA萬、

——cos2A------sin2A—cos2AH—>

22I3J

.__,,27r、、7i_.7i57r

因為0<A<—，所以一<2AH—<—，

3333

所以當24+0=%時，cos^2A+yj=-l

A2〃2?「2

此時§-§（cos2A+cos2C）有最大值2,即巴卡J”2,

所以片+次,2口得證.

19.解：（1）零假設(shè)為：%：是否喜愛大課間運動程度與A類體操和B體操無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),

200>(70x60-30x40)2200

得到z2=18.182>10.828,

100x100x110x907T

根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，推斷“。不成立，

即認為是否喜愛大課間運動程度與A類體操和B類體操有關(guān).

（2）由樣本中的數(shù)據(jù)可知，抽取11名學(xué)生中，

其中喜愛A類體操有7名學(xué)生，喜愛B類體操有4名學(xué)生，

11x10x9

從11名學(xué)生抽取3名學(xué)生的所有情況有C；=-----------=165,

3x2x1

4x37x6

而3名發(fā)言的學(xué)生中既有喜愛A類體操也有喜愛3類體操的情況有C；C：+C；C；=7x--+——x4=126

22x1

種，

所以2=四=".所以參加發(fā)言的學(xué)生既有喜愛A

16555

類體操也有喜愛B類體操的概率為后,

20.證明：（1）因為ABC。-44G；9為正方體，

所以ACJ.8D,

又因為。。_L平面所以。A_L=。,

所以AC,平面BOOM,

又ACu平面AEC，所以平面AEC,平面BOqq.

（2）由條件可知DA,DC,。。兩兩垂直,

所以分別以。A。。,所在直線為％,yz軸建立空間直角坐標系（如圖所示）,

設(shè)正方體的棱長為2。，

則￡）（0,0,0）,A（2a,0,0）,C（0,2a,0）,E（2a,2a.a）,

F（0,a.2a）,

所以AC=(-2。,2a,0),AE=(0,2a,a),AF=(-2a,a,2a),

設(shè)平面AEC的一個法向量為勺=（x,y,z），

/?.?AE=0(%,y,z)?(0,2aM)=0

則〈=><

(x,y,z)?(_2a,2a,0)=0'

in.*AC=0

2y+z=04-

所以《，令x=l,得y=l,z=-2,

所以勺=（1J—2）,

又設(shè)平面A￡F的一個法向量為〃2=(x',y',z'),

f

n2-AE=0y\z)?(0,2a,a)=0

則4,AF=0nj(x'，y',z')?(—2a,a,2a)=0'

所以:，n,令y=2,得x'=-3,

-2x+y+2z=0

z'=4

所以丐=(-3,2,-4),

477174

所以cos（4,n2）=肯尚=（心少了-）

網(wǎng)］叫V6x>/29174

所以平面AEF與平面AEC所成銳二面角的余弦值為Z叵.

174

21.解：（1）選擇①②，

因為|尸耳|+|「居|=2以,

2。=4a=2

c1

聯(lián)立方程組一=二=></?=>/3,

a2

a2=從+（?2c=l

所以橢圓C的方程為：—+^=1.

43

選擇②③，

因為|「制+|「段=2a,

-19,

L后=1『=2

聯(lián)立方程組<2。=4n<b=6,

a2=b2+c2c=1

x2v2

所以橢圓C的方程為：土+2=1.

43

選擇①③，

r2v2

所以橢圓。的方程為：—+^-=1.

43

(2)由(1)知橢圓C的方程為：:+<=1,所以6(1,0),

當直線/的斜率為0時，易知％MQ=￡V2=。，所以”“。+%皿=°，

當直線斜率不為o時，設(shè)直線方程為x=(y+l，

,

r22

-------1--—=1

M(X|，X),N(/M，聯(lián)立方程組J43，

x=ty+\

整理得(3/2+4)/+6)-9=0,

A>0=>rGR.

.6t9

所以,+%=一.，蘆必=一門’

所以右o++

=0,

綜上可知+kNQ為定值o.

22.解：(1)由/(x)=(x—l)e(T+1—X9

得〃力姆日)—],

當％,o時，r(%)=—<o,

當龍>0時，記夕(x)=xe'T—1,(/)(x)=(x+1)

e(T>O,0(x)單調(diào)遞增，又因為夕(1)=0,

所以當xe(0,l)時，/'(x)<0,xe(L+aJ)時,f，(x)>0,

所以8,1),/'(6<0,〃月的單調(diào)遞減區(qū)間是(一叫1),

X?1,+8)J'(x)>O,/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+。).

(2)由題可知尸(6=〃x)-6nx+無一1=(x-1)e*T-Zlax(x>0),且尸(1)=0,

kY2eA-1-k

F'(x)=xe-i--=——

XX

令/i(x)=x2ev-1-k,則〃'(x)=+2x)e*T>0,

所以//(x)在(0,+e)單調(diào)遞增，

當k?0時,F(x)>0,F(x)在(0,