2022年山西省高考數(shù)學試卷理科真題及參考答案

2022年山西省高考數(shù)學理科真題及參考答案

注意事項

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.設集合。={1,234,5},集合M滿足6；〃={,3},則（）

A.2eMB.3GMD.5任人1

2.若z=l-2i,且z+a5+6=0,其中Q,b為實數(shù)，則（）

A.a=1,b=—2B.Q=—l,b=2c.a=l,b=2o,a=—l,h=—2

3.已知向量2,方滿足=1,口=3,a-2B=3,則2?方=（）

A.—2B.—1C.1D.2

4.嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人

造行星.為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列色,卜々=i+_L,

a\

%=1+—，-,%=1+----------，----……，以此類推，其中%eN*S=i,2…）.

%+或％+---r

%+----

-%

則（）

A.b.<b<B.b、<bC.b,<b,D.b,<b

IJ3osoZ41/

5.設下為拋物線C:/=以的焦點，點〃在0上，點8（3,o）,若卜尸=笆日，則卜回=

)

A.2B.2的C.3D.3/

6.執(zhí)行右圖的程序框圖，輸出的〃=()

(^3

?

A.3B.4/融入a=[.b="=]/

C.5D.6

7.在正方體NBC。—44GG,E,F分別為4B,卜=~川

8c的中點，貝I()

A.平面B[EFJ_平面BDD]

B.平面4ER,平面480

C.平面與上產(chǎn)〃平面4/C

D.平面與￡尸〃平面4G。

8.已知I等比數(shù)列上“｝的前3項和為168,生一如=42,則4=()

A.14B.12C.6D.3

9.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點均在球。的球面上，則當該四

棱錐的體積最大時，其高為()

1106

A.父B.RC，X_D.J

II丁丁

10.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、

丙比賽獲勝的概率分別為。1，。2，。3,且P3>22>“>°.記該棋手連勝兩盤的概率為

P,則()

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關B.該棋手在第二盤與甲比賽，P最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

11.雙曲線。的兩個焦點月，F(xiàn)2,以。的實軸為直徑的圓記為。，過片作。的切線與。交

3

于M,N兩點，且cos/ENA=5,則C的離心率為()

12.己知函數(shù)/(x),g(r)的定義域為&,且/(x)+g(2—x)=5,g(r)—-4)=7.若

22

y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱，g(2)=4,則Z/?)=()

*=i

A.-21B.-22C.-23D.-24

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為

14.過四點（0,0）,（4,0）,（4,2）中的三點的一個圓的方程為.

15.記函數(shù)f（x）=cos（cox+（pXo>0,0<（p<兀）的最小正周期為7.若/（7）=2^_,x=

為/6）的零點，則3的最小值為.

16.已知x=/和x=%分別是函數(shù)/6）=2ax-ex2（a>0且q豐1）的極小值點和極大值

點.若不<4，則a的取值范圍是.

三、解答題：共70分，解答應寫出文字證明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、/2題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分，

17.（12分）記A46c的內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,己知

sinCsin（/4-B）=sin5sin（C-A）.

25

（1）證明：2M=〃+。2；（2）若。=5，cos/=3j.，求A46c的周長?

18.（12分）如圖，四面體/8C。中，AD1CD,AD=CD,NADB=NBDC,

E為ZC的中點.

（1）證明：平面BE。J?平面4c。；

（2）設48=80=2,NZC8=60°,點尸在8。上，當A4/7。的面積最小時，求CF與

平面/8D所成的角的正弦值.

B

19.（12分）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木

的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積

量（單位：n?）,得到如下數(shù)據(jù)：

12345678910總和

樣本號i

根部橫截面0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

積X：

0.250.400.220.540.510340.360.460.420.403.9

材積量乂

101010

并計算得=0,038>工匕？=16158,￡巧匕=0.2474.

1=1/=1/=1

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一顆的根部橫截面積與平均一顆的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積

總和為186Of.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這

種樹木的總材積量的估計值.

附：相關系數(shù)廠,Jl.896HL377.

20.（12分）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、歹軸，且過/0,-2）,8仁,-1

兩點

（1）求E的方程;

（2）設過點尸（1,-2）的直線交E于〃，N兩點，過"且平行于x軸的直線與線段Z8交

于點T,點〃滿足后=用.證明：直線4N過定點.

21.（12分）己知函數(shù)/G）=inG+x）+oxeT.

（1）當a=i時，求曲線y=/G）在點（o,/（o））處的切線方程;

（2）若/G）在區(qū)間（-1,0）,（0,+00）各恰有一個零點，求a的取值范圍.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一題計分.

【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】（10分）

X、心cos2t

22.在直角坐標系xQy中，曲線。的參數(shù)方程為<黑為參數(shù)）?以坐標原點為

y

極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線/的極坐標方程為psin0+孑

+加-0.

（1）寫出/的直角坐標方程；

（2）若/與。有公共點，求機的取值范圍.

【選修4-5：不等式選講】（10分）

333

23.已知。，①。均為正數(shù)，且+6?=1,證明:

1

（1）abc<9；

ab1

(2)i---+----+____<———.

b+ca+ca+b2^abc

2022年山西省高考數(shù)學理科真題及參考答案

一、選擇題：

1.A解析：由題知〃=@,4,5},所以選A.

2.A解析：=且Z+Q5+6=0,

/、/、/、[1+。+6=0

?**(1-2z)+Q(1+2i)+6=(1+Q+6)+(2Q—2)=0,{00仆?>?ci—\^b-—2.

I乙Q—Z=U

3.C解析：由題得a-2b=j￡_2g)=之-4可.g+452=Jl-%.g+4x3=3,

兩邊平方的：13-4屋力=9,解得Zd=l.

35

4.D解析：???4wN*G=l,2…)，.?.可以取%=1，則4=1,尻=工,伍=1，

813213455_

力4=5,仇=-g-，bg—yj,bj--JY,bg—,所以選擇D.

5.B解析：?.?尸為拋物線焦點，.?.網(wǎng),0),...產(chǎn)勺=2

又?.?點/在C上，//|=|8尸|,二/。,2)(力不妨在第一象限)，；.卜用=2.

??./&)是奇函數(shù)，排除BD；當x=l時，/Q)=G—3」}osl>0,排除C.故選A

6.B解析:執(zhí)行第一次循環(huán)，b=b+2a=1+2=3,a=b-a=3-l=2,〃="+1=2.

b2?1

執(zhí)行第二次循環(huán)，b=7,a=5,n=3,-2=—>0.01：

1

執(zhí)行第三次循環(huán)，b=l7,a=12〃=4,苗＜0.01,此時輸出〃=4.

7.A解析：對于A：在正方體488—4452，E,E分別為的中點，易

知EF上BD,從而EF1平面,又EFu平面，.?.平面5,EFJL平面BDD1

對于B：?.?平面48Dn平面=由上述過程易知面與跖_|_面48。不成立.

對于C：由題意知直線44與直線4后比相交，平面8M與平面4/C有公共點，C錯誤.

對于D：連接4C,網(wǎng),B}C,易知平面25c〃平面4G。，又因為平面45C與平

面5瓦'有公共點片，故平面zqc與平面5E尸不平行，.?.D錯誤.

8.D解析：設等比數(shù)列bj首項由，公比q

%(+4+4~)=168

%+。2=1681

由題意,即1/，解得：見=96,q=1.

?廉-4)=42

%—。5-42

■?—ag'-3.

9.C解析：設該四棱錐底面四邊形為四邊形Z6CD,四邊形N8CD所在的小圓半徑為r,

設四邊形力6C。對角線夾角為a,

2

則S詆口=：-AC.BDsina<I..AC.BD<2..2r.2r=2r.

（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）

即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為2rL

當且僅當/=2/?2即力=（時等號成立.

10.D解析：設棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為p甲，在第二盤與乙比賽連贏兩盤

的概率為夕乙，在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為P內(nèi)，

由題意，。甲=乃［>2。一。3）+23（1一月2）］=2/2+夕必一22出2。3

。乙=%區(qū)（1-。3）+。3。-。|）］=20+P2P「2p、p2P3

P丙=2|>i。-2）+。2。-B）］=PR+P2P3-2Plp2P3

；?P丙-。卬=P2（P3-P\）>0,p丙一。乙=PlG?3—P2）>°

p丙最大,選擇D.

ll.C解析：由題意，點N在雙曲線右支.記切點為點4,連接。/,則0/_LMN,p/|=。

又P月卜c,則/國=&2—J=b.過點五2作F［BJ.MN交直線MN于同B,連接

F2N,則8N〃OZ,又點0為“我2中點,則/24=2|。Z|=24,歸8=2|4周=2人

3.44

tan

由cosNENR=5，得sin/RNB=苫，ZF,NF2=^,

畫J”

tan召怛

故「叫=々6|+|5N|=2b+U，由雙曲線定義，-4卜|心叫=2。,

b3I,b-

則2b-a=2“，即￡=,，?==,+不

12.D解析：若^=86)的圖象關于直線x=2對稱，則g(2—x)=g(2+x),

?.?/(x)+g(2—x)=5,.../Gx)+g(2+x)=5,故/Gx)=/Q),/(r)為偶函數(shù).

由g(2)=4,/(0)+g(2)=5,得”0)=1.

由gG)—/々-4)=7,得g(2—x)=/(—x—2)+7,代入/(x)+g(2—x)=5可得

/(x)+/(-x-2)=-2,4)關于點(-L-l)中心對稱，.?./(!)=/Gl)=-1.

由/6)+/(—x-2)=_2,/(-%)=/々)，得/G)+/(X+2)=_2,

Af(x+2)+f(x+4)=-2,故/G+4)=/(x),/(r)周期為4.

由/(0)+/(2)=-2,得/(2)=-3,又/6)=/Jl)=/Q)=T,

/.玄//)=6/(1)+6/(2)+5/(3)+5/(4)=llx(rl)+5xl+6x(-3)=-24.

k=l

二、填空題

3C13

13.方解析：設“甲、乙都入選”為事件/,貝|JP0)=a=nr

22

14.Q-2)2+G-3y=13或々-21+(y-i1=5或卜一可)+卜一=—

(8丫169

或卜一？+3—1)=不

解析：圓過其中三點共有四種情況，求解辦法是兩條中垂線的交點為圓心，圓心到任一點的

距離為半徑.

15.3解析：/(T)=/(0)=cos(p=WI,且0<3<兀，故(p=ZL,

26

=3$00+"=0=彳3+彳=：+EGeZ)=co=3+”GeZ).

又3>0,故CO的最小值為3.

16.（0,_J解析：/'6）=2（/由4一0上少有兩個零點》=/和8=%2，

/"G）=2/Qn“y-2e

（1）若4>1,則/〃（X）在我上單調(diào)遞增，此時若/"Go）=0,

則/'（X）在（78'X。）上單調(diào)遞減，在1%,+00）上單調(diào)遞增，

此時若有X=X|和X=4分別是函數(shù)/6）=2ax-ex2（a>0且。手1）的極小值點和極大

值點，則演>》2不符合題意?

（2）若0<a<l,貝U/"G）在R上單調(diào)遞減，此時若/"Go）=O,

則/'（r）在C00，X。）上單調(diào)遞增，在60,+00）上單調(diào)遞減，且Xo=log“

此時若有X=須和x=%分別是函數(shù)/（x）=2ax-ex-（g>0且a豐1）的極小值點和極大

值點，且則需滿足/心。）〉0,即

e1e-Le1Lic11八<

___>elog_____zz>_=>r>In_____=>___Ina>l-lnHntzY,

Ina“西7匹Ina（人

可解得。>e或0<a<1，由于取交集即得0<a<l?

ee

三、解答題

（一）必考題

17.解：（1）由$皿。5由（/-5）=5由65111（。一4）可化簡為

sinCsinAcos5-sinCcosJsin5=sinBsinCcos4-sin8cosCsinJ,

由正弦定理可得：accosB-becosA=hecosA-abcosC,

即accosB=2bccosA-abcosC,

a2+c2-b2?b-+c2_(72a24-Z72-C2

由余弦定理可得:ac=2bc______ab__

lac2bc2ab

即證2Q2=b2+c2.

222

222.b+c-a2525_,.,

(2)由(1)可知b+c—2a=50,cosA------------=土—=--->；.2bc=31，

2bc2bc31

Vb~+c"+2bc=(^+c)=81,，b+c=9,，q+b+c=14.A/48。的周長為14.

18>：(1)-：AD=CD,ZADB=ZBDC,且BD為公共邊，，M.DB三ACBD

AB=BC

又???￡為NC的中點，且=Z)EJ./C,同理：BEVAC.

又?：DEcBE=E,且OE,BEu平面BE。，；.NCJ,平面8E0.

又???/Cu平面/CO,二平面平面NQ)

(2)連接EE,由(1)知，/。_1平面80),

1

AC_LEF,S&AFC=1/C,EF,

當EEL8。時，ER最小，

即A4/C的面積最小.

\ADB=\CBD,；.AB=CB=2

又；ZACB=60°,

..?A46c是等邊三角形

為NC的中點，

AE=EC=1,BE=y/3,

1

?：ADA.CD,：,DE=^AC=\,

在\DEB中，DE2+BE2=BD2,：.BE1DE.

以E為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz,

則/Q,0,0),與,0)，Z)(o,o,l),/.AD=(-1,0,1),7B=^1，V3,0)

_、[ZS.M=-%4-Z=0

設平面28。的一個法向量為〃=GJ,Z),則《，

取y=則;;=[,/,3)

又???C(T0,0),小,乎高，.?.。尸=「，￥，：，

k)\)

設CE與平面48。所成的角為eV、二.sin0=卜5他,爐：=~T~

C尸與平面Z8D所成的角的正弦值為里.

7

19.解：(1)樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值工=訶=0.06,

_39

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值為y=而=0.39,

據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一顆的根部橫截面積為0.06m\

平均一顆的材積量為0.39m3

0.2474-10x0.06x0.390.01340.0134

22-

^.038_10x0.06)(.6158_10x0.39)v'0.0001896~0.01377

則尸?0.97

(3)設該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為加3-

0.06186v3

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得=解得y=1209加3.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為1209，/.

20.解：⑴設橢圓E的方程為加1+獷=1,過4(0,—2),

4〃二1

11x2y2

則《9?解得加=可，〃;不，.??橢圓E的方程為丁+［一=1.

=1

4

(3、22

(2)4(0,-2),4爹,一1,/.AB:y+2=?即^=彳工一2

I2,2

①若過點尸(1,-2)的直線斜率不存在，直線x=l,代入于+丁=1,

可得”［1,2，］,代入y=；x_2可得7(心+3,寸、

3333

由而=而得到"2心+5,2、：

\7

2.理

則求得“N方程：丁x-2,過點（0，一2）.

3J

②若過點尸（1,—2）的直線斜率存在，設日—夕―傘+2）=0,Mg,%）,N（^2,y2）.

kx-y-(k+2)=0

聯(lián)立《22得6左？+4}2-6左（2+左卜+3左（左+4）=0,

_%_+_y_=ii

34

左)

6k(2+k)_8(2+

為+馬乂+丁2

3k2+4=3kL+4-24k/、

可得《,則《4@+4左—2N)且為乃+=3G+4(*)

―3二+4~~

y=K

聯(lián)立《2r，可得+3,H，"麗+6-%,乂).

N=]X-2/

K一為

可求得此時"N:夕―歹2=Gr)，

3y?+6—%)—X2

將?，-2)代入整理得2冊+X2)-6^-y2)+即%+x2y>-3%九-12=0

將(*)代入，得24人+1242+96+48左一24左一48-48%+24無2-36〃-48=0

顯然成立，綜上，可得直線"V過定點?,-2）.

21.解：（1）/（X）的定義域為Jl,+8）

當a=l時，/（x）=ln（l+x）+±,/（0）=0,??.切點為（0,0）

11_x

/（/）=■）—+二~，/'?）=2,.?.切線斜率為2

1+xe

...曲線歹=/（X）在點（0,/（0））處的切線方程為y=2x.

（。一）工+（工）

(2)/(x)=ln(l+x)+,/(x)=17X9702

1+》+(1+x尸

設g(x)=e*+a1一》2)

1若”>0,當xe(-l,0),g(r)=e*+a?-x?)>0,即/"(x)>0

/G)在J1,0)上單調(diào)遞增，f(x)</(o)=o.

故/6)在(-1,0)上沒有零點，不合題意.

2°若一14。<0,當XG?,+QO),則g'(x)=e*-2ax>0

，g(r)在?,+8)上單調(diào)遞增，，g(x)>g(0)=1+a20,即/”(r)>0

/(r)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，/(x)>/(0)=0,

故/6)在(0,+oo)上沒有零點，不合題意.

3°若。<-1

①當xw?,+oo),則g'(x)=/-2ox>0,g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

g8)=l+”<0,gQ)=e>0

使得gG〃)=0,即/'(〃z)=0

當xe?,加)，/,(x)<0,/(r)單調(diào)遞減；當xel，+oo),f'(x^>0,/(x)單調(diào)遞增.

xe(0,m),/(x)</(0)=0；當x—>+°o時，/(X)—>+oo

/(r)在(機，+00)上有唯一零點.

②當xe(-1,0),g(x)=e*+_/),設A(x)=g'(x)=e'-2ax，則h'(x)=ex-2a>0

...g'G)在(—1,0)上單調(diào)遞增，g'(T)=；+24<0，g'(0)=l>0

3?e(-l,0),使得g'(〃)=0

當g'(r)<0,g(x)單調(diào)遞減

當xe(〃,0),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，g(x)<g0)=1+a