山東省新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)2023屆高三年級(jí)下冊(cè)3月聯(lián)考數(shù)學(xué) 含解析

山東新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)高三3月聯(lián)考試題

數(shù)學(xué)試卷

考試用時(shí)120分鐘，滿分150分

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

M=—2<x<l)N-(x|2%+leM].、

1.已知集合1I>,'IJ,n則z()

A.MjNB.N口M

C.McN=0D.MuN=(-3,3]

【答案】B

【解析】

【分析】利用條件求出N=(x|-|<xW()卜再利用集合的基本關(guān)系與運(yùn)算即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镸={x|-2<xWl},又2x+leM,

3

所以—2v2x+l〈l,得到一一<xW0,

2

所以N={x|-g<xV0,報(bào)NjM,故A錯(cuò)誤，B正確;

而McN=Nr0,M_N=〃，（—3,3],故CD錯(cuò)誤.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(l-i)(i—z)=3+i,則三()

A.l+3iB.l-3iC.-1-iD.-1+i

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求z,再結(jié)合共物復(fù)數(shù)的概念分析運(yùn)算.

.3+i,(3+i)(l+i).2+4i,.

【詳解]由題意可得：z=i-~；—=1-〉。;=1—=-1-1,

l-i+2

所以z=—l+i.

故選：D.

3.為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅(jiān)持每日測(cè)溫報(bào)告，以下是高三一班，二班各10名同學(xué)的體溫

運(yùn)算

n(AB)

/、P(AB)n(Q)n(AB)357

V)P(A)〃(A)"(A)6513

〃(C)

7

故在代表隊(duì)中既有黨員又有民主黨派人士的條件下，則黨員甲被選中的概率為一.

13

故選：C.

7T

6.已知等腰直角三角形ABC中，A=一,M,N分別是邊A6，BC的中點(diǎn)，若

2

BC=sAN+tCM其中s,f為實(shí)數(shù),則s+/=()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理分析運(yùn)算.

ULUUUUUUDUUUIIUUH]UUUUULTUUITUIIBI1UUUUUU

【詳解】由題意可得：BC^AC-AB,AN^-AB+-AC,CM^AM-AC^-AB-AC,

222

若6C=sAN+/CM，則

uiunuun(iuiBiiuiiu\/1uniuuni\(iiAuun(iAuum

AC-AB=s\-AB+-ACyt\-AB-AC\=\-s+-t\AB^\-s-t\ACy

可得's+!f=-l,故S+7=-2.

22

故選：D.

TT

7.如圖，直三棱柱ABC-A4G中，=pAC=Ad=1,8C=2,點(diǎn)〃是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)

產(chǎn)是線段48上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在平面上移動(dòng)，則尸，。兩點(diǎn)之間距離的最小值為()

A君

3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可證：A5,平面AMG，可得P，。兩點(diǎn)之間距離的最小值為d，利用等體積法求",

即可得結(jié)果.

【詳解】連接AC交AG于點(diǎn)。，連接OM,

分別為AC，8C的中點(diǎn)，貝IJQM48,

且OMu平面4WG，48?平面4"6，

AA}B夕平面AA/G，

則點(diǎn)P到平面AMG的距離相等，設(shè)為"，則p,。兩點(diǎn)之間距離的最小值為d，

即點(diǎn)A到平面AMC}的距離為d，

VAC的中點(diǎn)。在AC1上，則點(diǎn)c到平面的距離為d,

AMC{

由題意可得為AC=CM=C}M=1,AG=A"=MC|=夜，

由匕?-AMG=匕1-"加,則!xdx'x=1xlx」xlx1'解得d=,

322323

故P,。兩點(diǎn)之間距離的最小值為d=上.

3

故選:A.

8.已知a=e003—1，h=lnl.O3,c=tanO.O3,其中e=2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則。，b,c

的大小關(guān)系是（）

A.oa>bB.a>c>b

C.b>c>aD,a>b>c

【答案】B

【解析】

【分析】構(gòu)造“，c的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造/(x)=e'-l-tanx,0<x<：,求導(dǎo)后得到其單調(diào)性，得到

a>c,再構(gòu)造〃(x)=ln(l+x)-x,0<》<5和m(x)=x-tanx,XG］。,?，求導(dǎo)得到其單調(diào)性,

得到如1.03<0.03<tan0.03,即手<c,從而得到

【詳解】?-c=e°03-l-tan0.03.

人“、X.evcosx-cosx-sinx八兀

/(x)=ex-l-tanx=---------------------------,0<x<-,

八)cosx4

令g(x)=e"cosx-cosx-sinx,則/(x)=(e'-1)(cosx-sinx),

當(dāng)0<x<E時(shí)，g'(x)>0,所以g(x)在上單調(diào)遞增，

又g(。)=e°cos0-cos0-sin0=1-1=0,所以g(x)>0,

又cosx>0,所以/(x)>0在0,；上恒成立,

003003

所以/(0.03)=e-1-tan0.03>0,即e-1>tan0,03，即。>c,

八兀

令Zi(x)=ln(l+x)-x,0<x<一，

2

所以“(%)=

1+x1+x

7T

因?yàn)?。所以?x)=W<0,所以A(x)在0,3上單調(diào)遞減,

\2)

所以〃(x)<〃(0)=0,即ln(l+x)<x在(og卜亙成立,

所以In(1+0.03)=In1.03<0.03,

令加(x)=x—tanx,

所以加(x)=l———

cosX

因?yàn)槎?，所以?x)=l-----<0,

I27cos'x

故機(jī)(x)=x-tanx在xe[0,5)上單調(diào)遞減，

所以〃z(x)</%(0)=0,即xctanx在xw[o，Tj恒成立，

當(dāng)x=0.03時(shí)，0.03<tan0.03,

故In1.03<0.03<tan0.03，即)<c,

綜上，a>c>h

故選：B

【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出

函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)隨機(jī)變量g的分布列如下：

12320222023

aa

P?!2。32Q22“2023

則下列說法正確的是()

2

A.當(dāng)｛q｝為等差數(shù)列時(shí)，4+%儂=示而

2022

B.數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式可能為4=2523〃(〃旬

C.當(dāng)數(shù)列｛4｝滿足4=￡(〃=1,2,,2022)時(shí)，生。23=9

2

D.當(dāng)數(shù)列｛4｝滿足P代<k)=kak仕=1,2,,2023)時(shí),0202s=擊

【答案】AC

【解析】

2023

【分析】根據(jù)題意可得Z“2023=1,4,e[0,1],〃=1,2,…,2023.對(duì)A：結(jié)合等數(shù)數(shù)列的性質(zhì)分析運(yùn)算；對(duì)

n=l

B：利用裂項(xiàng)相消法分析運(yùn)算；對(duì)C：根據(jù)等比數(shù)列求和分析運(yùn)算；對(duì)D：取攵=2023,分析運(yùn)算即可.

【詳解】由題意可得：a,+a2+---+a2023=l,且a,,目0』,〃=1,2,…,2023,

對(duì)A：當(dāng)｛??｝為等差數(shù)列時(shí)，貝ij4+q+…+&era=2。到"；+魚)=],

22

a+a

可得4卜生023—2023'成,十/022-i2023~?(p3，A正確；

20222022(1一.)，滿足見w[°，1]，〃=1，2,…,2023,

對(duì)B：若凡=”8/斗、=的?

2023〃(〃+1)2023\

2022(11111>2022<1、1011,

貝11卬+4+.一+。2023-++?,,+—1—wl,

?2320232024J202312024J1012

2022

故數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式不可能為4,=2023/i(n+l),B錯(cuò)聯(lián)；

對(duì)C：當(dāng)數(shù)列｛a/滿足4=g(〃=1,2,..,2022)時(shí)，滿足a“且0,1],〃=1,2,…,2022,

則1114一⑸1

、」a]+a2+???+〃2023=5+/+???+^r+a2O23+々2023=1-22022+。2023=1

G

可得。2023=)2022[03]，C正確；

2

對(duì)D：當(dāng)數(shù)列｛an｝滿足?(J<k)=kak(k=1,2,,2023)時(shí)，則P(J<2O23)=2O232%O23=1，

可得“2023=上3，口錯(cuò)誤;

202320232

故選：AC.

10.已知圓錐頂點(diǎn)為S,高為1,底面圓。的直徑長為20.若。為底面圓周上不同于A5的任意

一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）

A.圓錐SO的側(cè)面積為60兀

3

B.4c面積的最大值為一

2

C.圓錐SO的外接球的表面積為9兀

D.若AC=8C,E為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則SE+8E的最小值為g+40

【答案】BCD

【解析】

【分析】對(duì)A：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式分析運(yùn)算；對(duì)B：根據(jù)題意結(jié)合三角形的面積公式分析運(yùn)算；對(duì)

C：根據(jù)題意可得圓鏈SO的外接球即為△S43的外接圓，利用正弦定理求三角形的外接圓半徑，即可

得結(jié)果；對(duì)D：將平面ABC與平面S4C展開為一個(gè)平面，當(dāng)S,E,B三點(diǎn)共線時(shí)，SE+BE取到最小

值，結(jié)合余弦定理分析運(yùn)算.

【詳解】對(duì)A：由題意可知：OA=OB=五,SO=1,SA=SB=SC7so2+OB'=百，

故圓錐SO的側(cè)面積為兀X&X&=J^I，A錯(cuò)誤;

11o

對(duì)B：SAC面積S=-SASC-sinZASC=—x^/3x73xsinZASC="s^n^SC,

SAC2

一八zxcnSA2-^-SB2-AB23+3-81八

在△SAB中，cosZASB=--------------------=產(chǎn)—尸=—<0,故N/458鈍角,

2SASB2xV3xV33

由題意可得：0<NASC<NAS3,

兀33

故當(dāng)NASC=一時(shí)，S4c面積的最大值為一sin/ASC=—,B正確;

222

=Vl-cos2ASAB=^-

對(duì)C：由選項(xiàng)B可得：cosZASB=--,NS45為鈍角，可得sin/SAB

3

由題意可得：圓錐SO的外接球半徑即為ASAB的外接圓半徑，設(shè)其半徑為R,

AB272

r、2R33

則sinZASB-2^,即R=_

2

3

故圓錐SO的外接球的表面積為47rx9兀，C正確;

對(duì)D：將平面ABC與平面的C展開為一個(gè)平面，如圖所示,

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，SE+BE取到最小值,

,JI

此時(shí)AC=BC=2,ZACB=-

2

+0x-..-nAC~+SC~—AS~4+3—3>/3/n./人-u4匕四身

在二SAC,cosZACS=---------------------=---------T=——>0,則NACS為銳角,

2ACSC2x2x63

則sinNACS=J1-cos?/ACS=旦，

3

在△SBC,則cosNSCB=cos(ZSCA+ZACB)cos[Z.SCA+—-sinZACS=

I2)3

由余弦定理可得SB2=SC2+BC2-2SC-BC-cosNSCB=3+4—2x百x2x=7+4&,

則SB=g+40，故SE+BE的最小值為77+472，D正確?

故選：BCD.

k(x-P

y2222

由*\2J可得，F(xiàn)x-p(k+2)x+-kp=0,

4

y2=2px

p伏2+2)

x}+x2

12

^2=~P

uunimm]

=x,x22

OA'OB2y1y2=-p+kX'~2X2~2

一半0.濘與攵無關(guān),

=；/+k2x]x2-

4224

3tunuuuritiruuir333

同理。COO=—己〃2,故04-OB+0C-0O=—二“2=—二，即QA-OB+OC-OD=——

4222

故D正確；

故選：ACD;

(、fev(x<0)

12.已知函數(shù)3,2,〉二，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，記

4x—6x+1(x20)

M尤)=[/⑺了-/(x)+a,g(x)=/(/(x))-3,則()

A.g(x)有唯一零點(diǎn)

B.方程/(x)=x有兩個(gè)不相等的根

C.當(dāng)〃(x)有且只有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，ae[-2,0)

D.a=0時(shí),從x)有4個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】

【分析】先對(duì)/(x)=41-6/+1(x20)求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，畫出了(X)的簡圖，對(duì)于選項(xiàng)A,

通過令/(x)=r,從而將函數(shù)g(x)=/(/(x))-3的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成/(x)=f,./'⑺=3的根來求解，利用圖

像可得出結(jié)果；對(duì)于選項(xiàng)B,通過構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖像的交點(diǎn)來解決，從而判斷出選項(xiàng)B的正

誤；選項(xiàng)C,通過令F(X)=M,從而得到加2—根+。=0，〃(x)有且只有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，方程

加2一〃2+a=0有兩等根根0，且加0G(0,1),或兩不等根仍，加2，-1<g<0,加2>1,從而求出。的范

圍；對(duì)于選項(xiàng)D,直接求出"X)的值，再利用/(*)的圖像即可判斷結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(%)=4尤3-6X2+1(%>0),

所以/'(X)=12/-12x=12x(x-l)(x>0),

所以xe(0,l)時(shí)，/'(x)<0,xe(l,+oo)時(shí)，，f'(x)>()

x(x<0)

所以/(x)=<e:、<的圖像如下圖，

4x-6x+1(x>0)

選項(xiàng)A,因?yàn)間(x)=/(/(x))—3,令/(x)=f,由g(x)=0,得到/?)=3,

由圖像知，存在唯一的f0＞l,使得了⑺=3,所以/(無)=4＞1,

由f(x)的圖像知，存在唯一%,使/(%)=",

即g(x)=/(/(x))-3只有唯一零點(diǎn),所以選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B,令g(x)=x,如圖，易知8(%)=》與尸/(幻有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程"》)=%有兩個(gè)不相等的

根，所以選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C因?yàn)椤?x)=[/(x)]-/(x)+a,令/(x)=/n,由/i(x)=0,

得到〃，-〃z+a=0,

當(dāng)力(可有且只有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，由/(x)的圖像知,

方程〃，-m+a=0有兩等根機(jī)o，且/e(0,1),或兩不等根班，/〃2，T＜叫＜0,"%＞1，或

m,=1(舍棄，不滿足韋達(dá)定理),

1

A=l-4tz>0a<—

4

/(0)<011、

所以八=1-4。=0或，:n即a或a<0所以。=一或一2＜。＜0,

/(-I)>044

-2<a

,/(1)<0

a<0

當(dāng)。=‘時(shí)，，”=■!■,滿足條件，所以選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

42

選項(xiàng)D,當(dāng)a=0時(shí)，由力(x)=0,得到f(x)=0或/(x)=l,由/(x)的圖像知，當(dāng)/(x)=0時(shí)，有2個(gè)

解，當(dāng)f(x)=l時(shí)，有2個(gè)解，所以選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知]工一3)(〃eN+，3W〃416)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則”的一個(gè)可能取值是.

【答案】4、8、12、16(任選一個(gè)為答案)

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開上述式子，找到滿足題意的關(guān)于〃的取值規(guī)律，即可求出答案.

詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開可得尸"=(_1)仁：產(chǎn)4「，

因?yàn)檎归_式中含有常數(shù)項(xiàng)，所以4r=0=〃=4r,

由此可得當(dāng)〃為4的倍數(shù)時(shí)，即可滿足題意，又因3W〃W16,故〃可取4、8、12、16.

故答案為：4、8、12、16(任選一個(gè)為答案)

14.已知點(diǎn)A(—1,1),設(shè)動(dòng)直線x+〃y=0和動(dòng)直線nr—y—4"+2=0(〃eR)交于點(diǎn)p,則|弘|的取值

范圍是.

【答案】[3-6,3+6]

【解析】

【分析】由兩動(dòng)直線解析式可知其互相垂直，且均過定點(diǎn)，則交點(diǎn)P軌跡為圓，繼而可知1PAi的取值范圍.

【詳解】如圖所示，由條件可知兩動(dòng)直線工+盯，=(),nx->-4〃+2=0(〃eR)分別過原點(diǎn)。和E

(4,2),且兩直線互相垂直.

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以。石為直徑的圓上，OE=2加,設(shè)圓心為。，則。(2,1)

顯然當(dāng)A、P、￡>三點(diǎn)共線時(shí)取得最值，故即PAe13-6,3+6]

故答案為：[3-6,3+6]

15.過雙曲線Y—y2=l的左、右焦點(diǎn)作兩條相互平行的弦AB，CD,其中A8在雙曲線的左支上，

AC在*軸上方，則用的最小值為,當(dāng)?shù)膬A斜角為土?xí)r，四邊形A耳心。的面積為

7K

【答案】①.1②.276

【解析】

【分析】根據(jù)題意設(shè)CO:x=my+行，聯(lián)立方程結(jié)合題意可求得04加2<1.空1：根據(jù)題意分析利用韋

達(dá)定理可得|A￡HCg|=1+7口，結(jié)合不等式分析運(yùn)算；空2：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)

算求解.

【詳解】由雙曲線四一k=1可得.=匕=],C=&2+F=夜,則片（_逝,0）,6（0,0）,

設(shè)直線C￡）:x=my+及,C（X，y）,￡）（%,%），

聯(lián)立方程"I',消去X得：（〃，—l）y2+2j^〃2y+l=0,

X-y=1\

則△=（2加m）-4（m2-1）x1=4（〃/+1）>0,%+%=一"，"；,%%=^~~"，

由題意可得X%=」~7<0，解得04m2<1，

m~-I

空1：根據(jù)對(duì)稱性可知：|A用=|。可，

則|必卜|用=|陷.必|=（府刈?（Vi^?lM=（i+叫

【答案】a>—或。<—

ee

【解析】

【分析】利用特殊值法求/(1)=1,/(—1)=1，利用奇偶函數(shù)概念研究了(力的奇偶性，再利用單調(diào)性

化簡不等式，參變分離、構(gòu)造新函數(shù)法，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】令王=々=1，有/(1)=/(1)+/(1)_1，得/(1)=L

令占=々=一1，得/(1)=2/(—1)—1,則=

令玉=x(xe。)，x2=-1,W/(-x)=/(x)+/(-l)-l,得=

又函數(shù)/(x)定義域。為(e,O)U(O,+x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以/(X)是偶函數(shù)，

因?yàn)?(x)在(。,0)上單調(diào)遞減，所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

不等式/(以)—/(lnx)>/⑴T可化為/(ar)>/(lnx),

則有/(網(wǎng))>/(|lnx|),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在(0,+巧上單調(diào)遞增，所以網(wǎng)>|lnx|,

又x>l,所以同x>lnx,即|4>生土，

設(shè)6(x)=W(x>l),則同〉人(%)2，

因?yàn)?(司=匕詈，故當(dāng)xe(l,e)時(shí),h'(x)>0,/i(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xw(e,+8)時(shí)，/z,(x)<0,單調(diào)遞減，

所以7z(x)?Me)=L所以同>^，所以或

故答案為：a>一或。<—.

ee

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：先判斷出函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的性

質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知多面體ABCDEV中，四邊形CDEE是邊長為4的正方形，四邊形A8CD是直角梯形，

ZADC=NDAB=90°,BE=3AB=6,AD=4.

(1)求證：平面ADF_L平面BCE；

(2)求直線A尸與平面6CF所成角的正弦值.

【答案】(1)證明過程見解析

(2)叵

15

【解析】

【分析】(1)先證明出ABIAE，由勾股逆定理得到AOLDE，證明出AOL平面CQE,從而AD

-LCE,證明出CE，平面ADE及面面垂直；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值.

【小問1詳解】

因?yàn)樗倪呅蜟DEF是邊長為4的正方形，

所以CELOR,ED工DC,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是直角梯形，ZADC=ZDAB=90°,

所以AOLCD，ABLAD,

因?yàn)锳Z)ED=D,A。,EOu平面ADE，

所以CD_L平面ADE,

因?yàn)锳Eu平面ADE，

所以CD_LAE,

因?yàn)锳B//CD,所以A61AE,

因?yàn)锽￡=3A3=6,所以45=2，

由勾股定理得，AETBEJAB。=136-4=4萬

因?yàn)锳D=OE=4,所以AZ^+DE?=.2,由勾股定理逆定理得ADLDE,

因?yàn)锳DLCO，DEcCD=D，。28匚平面。。七，

所以AO,平面COE，

因?yàn)镃Eu平面CDE,所以AOLCE,

因?yàn)锳Z）c￡>E=￡>，4。,￡>/（=平面4。/，

所以CE，平面ADR，

因?yàn)镃Eu平面BCE,

所以平面ADEJ_平面BCE；

【小問2詳解】

由（1）知，ZM,￡>C,￡>E兩兩垂直，故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,￡>C,OE所在直線分別為X，XZ軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，

A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,4,0),F(0,4,4),

m-BC=(x,y,z>(-4,2,0)=-4x+2y=0

設(shè)平面5cF的法向量為加=（x,y,z）,貝卜

m-BF=(x,4,2,4)=—4x+2y+4z=0

解得z=0,令x=l,則>=2,故〃2=(1,2,0),

設(shè)直線AF與平面BCF所成角的大小為6,

|(-4,4,4)-(1,2,0)|

716+16+16x71+4-15'

故直線AF與平面BCP所成角的正弦值為巫

15

18.為加快推動(dòng)旅游業(yè)復(fù)蘇，進(jìn)一步增強(qiáng)居民旅游消費(fèi)意愿，山東省人民政府規(guī)定自2023年1月21日起

至3月31日在全省實(shí)施景區(qū)門票減免，全省國有A級(jí)旅游景區(qū)兔首道門票，鼓勵(lì)非國有A級(jí)旅游景區(qū)首

道門票至少半價(jià)優(yōu)惠.本次門票優(yōu)惠幾乎涵蓋了全省所有知名的重點(diǎn)景區(qū)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，活動(dòng)開展以來游客

至少去過兩個(gè)及以上景區(qū)的人數(shù)占比約為90%.某市旅游局從游客中隨機(jī)抽取100人（其中年齡在50周

歲及以下的有60人）了解他們對(duì)全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動(dòng)的滿意度，并按年齡（50周歲及以下和50

周歲以上）分類統(tǒng)計(jì)得到如下不完整的2x2列聯(lián)表：

不滿意滿意總計(jì)

50周歲及以下55

50周歲以上15

總計(jì)100

(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成以上2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)全省實(shí)

施景區(qū)門票減免活動(dòng)是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián)？

(2)現(xiàn)從本市游客中隨機(jī)抽取3人了解他們的出游情況，設(shè)其中至少去過兩個(gè)及以上景區(qū)的人數(shù)為X，

若以本次活動(dòng)中至少去過兩個(gè)及以上景區(qū)的人數(shù)的頻率為概率.

①求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②求—

參考公式及數(shù)據(jù)：力2=^——：(adjbc)——其中〃=a+8+c+d.

(a+0)(c+d)(a+c)(0+4)

a=P（/22人）0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

【答案】(1)補(bǔ)全的2x2列聯(lián)表見解析；有關(guān)；

(2)①分布列見解析；E(X)=2.7；②0.271

【解析】

【分析】(1)由題意，抽取的100人年齡在50周歲及以下的有60人，則年齡在50周歲以上的有40人，

即可補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，再根據(jù)公式計(jì)算72=12.76,即可判斷；

(2)①由題意可知X8(3,().9),根據(jù)二項(xiàng)分布即可求解分布列及數(shù)學(xué)期望；②根據(jù)

P(|X—1區(qū)1)=尸3=0)+尸(*=1)+尸(*=2)=1-尸(*=3)即可計(jì)算.

【小問1詳解】

由題意，抽取的100人年齡在50周歲及以下的有60人，則年齡在50周歲以上的有40人，補(bǔ)全的2x2列

聯(lián)表如下：

不滿意滿意總計(jì)

50周歲及以下5560

50周歲以上152540

總計(jì)2080100

則益潦薩*76>1。.828.

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的情況下認(rèn)為對(duì)全省實(shí)施景區(qū)門票減免活動(dòng)是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián).

【小問2詳解】

①由題意可得，游客至少去過兩個(gè)及以上景區(qū)的概率為0.9,

則X8(3,0.9),X的所有可能取值為0,1,2,3,

尸(X=0)=C；X0.F=0.001,P(X=1)=C；X0.9X0.『=0.027,

P(X=2)=C；x0.92x0.1=0.243,P(X=3)=C；x0.93=0.729,

所以X的分布列如下:

X0123

p0.0010.0270.2430.729

因?yàn)閄5(3,0.9),所以數(shù)學(xué)期望￡(X)=3xO.9=2.7.

②刊X-1歸1)=P(X=O)+P(X=1)+P(X=2)=1-P(X=3)=1-0.729=0.271.

19.已知UWC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為“，b,c,￡=sing+^cosB且

bsinA+<3cosA

(1)求/C的大小;

(2)若/C的平分線交A3于點(diǎn)且C0=26,求。+2b的取值范圍.

【答案】S)y

(2)14亞+6,+oo)

【解析】

【分析1(1)利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換整理得sin2A-^=sin26-2兀，再根據(jù)角

6

A,8的范圍分析運(yùn)算;

22

(2)根據(jù)三角形的面積關(guān)系整理得一+：=1,結(jié)合基本不等式求范圍.

ab

【小問1詳解】

...q=sin8+勺8,由正弦定理可得包W=sinB+fcos8,

bsinA+J3cosAsinBsinA+J3cosA

則sin?A+\/3sinAcosA=sin2B+V3sinBcosB，

1-cos2A6.c人l-cos2BG.

可得---------+—sin2A=-----------+—sinIB，

2222

整理得sin（2A—=sin（28—,

TT7T7rliJT7T7T

注意到0<43<兀，且AwB,則—二V2A—二,23——<—,且2A—二。23—二,

666666

可得（2A-｛|+（2B一｛|=兀或（24一｛|+[28_野=3兀，

解得+8或4+8=型>兀（舍去），

33

7T

故C=7l-（A+5）=3

【小問2詳解】

7T

若/C的平分線交A5于點(diǎn)。，則/A8=N5CO=一,

6

?=SMCD+S4BCD'則

-xACBCsinZACB=-xAC-CD-sinZACD+-xBC-CDsin/BCD,

222

即工=—/?x2V3x—+—<7x25/3x—,整理得2+2=i,

222222ab

則a+2/?=(a+2Z?)[2+1)=竺+寧+6N2^Z^+6=4上+6,

當(dāng)且僅當(dāng)?=年，即。=后=2(&+1)時(shí)，等號(hào)成立，

故。+2)的取值范圍為[40+6,+8).

20.在如圖所示的平面四邊形ABCD中，△A5O的面積是△C8D面積的兩倍，又?jǐn)?shù)列｛。/滿足

4=2,當(dāng)〃22時(shí)，BD=(a,,.,+2"-')BA+(??-2")BC,記包啜.

（1）求數(shù)列｛勿｝的通項(xiàng)公式;

1115

⑵求證：層卡區(qū)卡<—

*瓦4

【答案】⑴r=2〃-1

（2）證明見詳解

【解析】

n

an—\+2-'=Q-

【分析】（1）根據(jù)題意分析可得BE=LBA+23c結(jié)合三點(diǎn)共線可得可得

33

bn-bn_.=2,〃22,結(jié)合等差數(shù)列分析運(yùn)算;

(2)根據(jù)題意結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析運(yùn)算.

【小問1詳解】

如圖所示，過A作垂足為M,過C作CNJ.BD,垂足為N,連接AC,交BD于點(diǎn)

E，

由題意可得：SABOMZSCBD，則4W=2OV，

AKAAA

且.AME-CNE,則一=——=2,

CECN

可得：8E=8A+AE=8A+-AC=8A+-(8C-BA)=-8A+-8C,

33、>33

uunuur丸uiruun/.uir.uum

nlz

￡￡0三點(diǎn)共線，則BD=ABE=-BA+—BC=[an_l+2-)朋+(%—2〃)3C,

an-i+2"-'=Q-

可得彳2/，則4一2"=2(q1+22),心2,

整理得：2■—編=2,〃22,即“一勿_1=2,〃22

故數(shù)列｛4｝是以首項(xiàng)告=1，公差為2的等差數(shù)列，

則2=1+2(〃-1)=2〃—1.

11111(11

當(dāng)晨2時(shí)，可得而<-------—-X-7------r—-----------------

(2n-l)--l4nyn—\j4\n-ln

則與+!+L+!=1+U」+LU-W<2.

b-片b；t4(223n-\n)44/i4

1115

綜上所述：記+至++—<—

b；,4-

21.已知曲線￡：1+q=1,直線/:y=x+?及與曲線E交于＞軸右側(cè)不同的兩點(diǎn)AB.

(1)求機(jī)的取值范圍；

(2)已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),試問：△神的內(nèi)心是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出該直線方

程；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)(-3,-73)

(2)△APB的內(nèi)心恒在一條定直線上，該直線為x=2

【解析】

【分析】(1)聯(lián)立方程，根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理列式求解;

(2)根據(jù)(1)中韋達(dá)定理證明勺+&2=0,即可得結(jié)果.

【小問1詳解】

設(shè)4(和%),3(孫必)，

y=x+m

聯(lián)立方程,fyi,消去y得：3x2+4m￥+2m2-6=0?

----F--=1

63

A=(4m)2-4x3x(2/-6)>0

4

由題意可得<%+%2=一§機(jī)>0，解得—3<—G，

故加的取值范圍為卜3,-6).

【小問2詳解】

內(nèi)心恒在一條定直線上，該直線為x=2,

[2

V—+-=l,即點(diǎn)尸(2,1)在橢圓上,

63

若直線/：y=x+m過點(diǎn)(2,-1),則2+加=-1,解得機(jī)=-3史卜3,-6)，

即直線/：y=x+m不過點(diǎn)(2,-1),故直線的斜率存在,

/42,-6

由(1)可得：A(%,y，，^(七,%)，%+/=-§機(jī)，玉工2=--~

.y.-1,y—1

設(shè)直線AP,BP的斜率分別為勺,也,則占=山二弓&=十9三

?X]ZX)乙

k+k=)[TIy2T()11)(/2)+(%一。(內(nèi)2)

玉_2%2_2(尤]_2乂龍2—2)

(X)+m-l)(x2.2)+(%2+加-1)(玉一2)2x1x2+(/n-3)(x1+x2)-4(m-l)

(%-2)(々-2)(元]-2)(/-2)

4根2-12-4/?:2+12加一12根+12