抽樣技術(shù)課后習(xí)題參考答案

抽樣技術(shù)課后習(xí)題一參考答案

第二章習(xí)題

2.1判斷下列抽樣方法是否是等概的：

（1）總體編號(hào)1~64,在0~99中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r,若r=0或r>64則舍

棄重抽。

（2）總體編號(hào)1~64,在0~99中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r,r處以64的余數(shù)作為

抽中的數(shù)，若余數(shù)為0則抽中64.

（3）總體2000CT21000,從1~1000中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r。然后用r+19999

作為被抽選的數(shù)。

解析：等概抽樣屬于概率抽樣，概率抽樣具有一些幾個(gè)特點(diǎn)：第一,

按照一定的概率以隨機(jī)原則抽取樣本。第二，每個(gè)單元被抽中的概率是已

知的，或者是可以計(jì)算的。第三，當(dāng)用樣本對總體目標(biāo)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，要考

慮到該樣本被抽中的概率。因此（1）中只有1~64是可能被抽中的，

故不是等概的。（2）不是等概的

【原因】（3）是等概的。

2.2抽樣理論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中關(guān)于樣本均值y的定義和性質(zhì)有哪些不

同？

2.3為了合理調(diào)配電力資源，某市欲了解50000戶居民的日用電量，

從中簡單隨機(jī)抽取了300戶進(jìn)行，現(xiàn)得到其日用電平均值y?9.5（千瓦時(shí)），

s2?206.試估計(jì)該市居民用電量的95%置信區(qū)間。如果希望相對誤差限不超

過10%,則樣本量至少應(yīng)為多少？

解：由已知可得,N=50000,n=300,?9.5,s2?206

2?)?v(N)?N21?fs2?50000V(Y

n

1?

300

*20671706366666300

v(??41308.19該市居民用電量的95%置信區(qū)間為

[[Ny?z?(y)]=[475000±1.96*41308.19]

2

即為(394035.95,555964.05)由相對誤差公式

u?2v()

W10%

可得1.96*

?n*206?9.5*10%n

即n2862

欲使相對誤差限不超過10%,則樣本量至少應(yīng)為862

2.4某大學(xué)10000名本科生，現(xiàn)欲估計(jì)愛暑假期間參加了各類英語培

訓(xùn)的學(xué)生所占的比例。隨機(jī)抽取了兩百名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到P=0.35,是

估計(jì)該大學(xué)所有本科生中暑假參加培訓(xùn)班的比例的95%置信區(qū)間。

n

解析：由已知得：N?10000n?200p?0.35f??0.02

N??l?f

p(l?p)?0.0012又有：E(p)?E(p)?p?0.35V(p)?

n?l

該大學(xué)所有本科學(xué)生中暑假參加培訓(xùn)班的比例95%的置信區(qū)間為：

[E(P)?Z?V(P)]

2

??

代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：該區(qū)間為[0.2843,0.4157]

2.5研究某小區(qū)家庭用于文化方面(報(bào)刊、電視、網(wǎng)絡(luò)、書籍等)的

支出，N=200,現(xiàn)抽取一個(gè)容量為20的樣本，調(diào)查結(jié)果列于下表：

編號(hào)12345678

文化支出200150170150160130140100

編號(hào)1112131415161718

文化支出150160180130100180100180

9101102401920170120

估計(jì)該小區(qū)平均的文化支出Y,并給出置信水平95%的置信區(qū)間。解析:

由已知得：N?200n?20

120

根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得：y??yi?144.5

20i?l

2120

s?y?y?827.06842?i

20?li?l

2

??

v(y)?

?該小區(qū)平均文化支出Y

[132.544,156.456]

In

(l?)s2?37.21808(y)?6.10015nN

2

的95%置信區(qū)間為：[y?z?(y)]即是：

故估計(jì)該小區(qū)平均的文化支出Y=144.5,置信水平95%的置信區(qū)間為

[132.544,156.456]o

2.6某地區(qū)350個(gè)鄉(xiāng)為了獲得糧食總產(chǎn)量的估計(jì)，調(diào)查了50個(gè)鄉(xiāng)當(dāng)年

的糧食產(chǎn)量，得到y(tǒng)=1120(噸)，S2725600,據(jù)此估計(jì)該地區(qū)今年的糧食

總產(chǎn)量，并給出置信水平95%的置信區(qū)間。解析：由題意知：y=1120f?

n50

??0.1429S2?25600?s?160N350

置信水平95%的置信區(qū)間為：[y?z?

2

?f

s]代入數(shù)據(jù)得：n

置信水平95%的置信區(qū)間為：[1079.872,1160.872]*350

2.7某次關(guān)于1000個(gè)家庭人均住房面積的調(diào)查中，委托方要求絕對誤

差限為2平方千米，置信水平95%,現(xiàn)根據(jù)以前的調(diào)查結(jié)果，認(rèn)為總體方

差S2?68,是確定簡單隨機(jī)抽樣所需的樣本量。若預(yù)計(jì)有效回答率為70%,

則樣本量最終為多少？

NZ7S2

2

解析：簡單隨機(jī)抽樣所需的樣本量nl?

2

Nd2?Z?S2

2

2

n2?

nl

70%

由題意知：N?1000d?2S?68代入并計(jì)算得：nl?61.3036?61

n2?

2

Z??1.96

2

nl

?87.14278770%

故知：簡單隨機(jī)抽樣所需的樣本量為61,若預(yù)計(jì)有效回答率為70%,

則樣本量最終為87

2.8某地區(qū)對本地100家化肥生產(chǎn)企業(yè)的尿素產(chǎn)量進(jìn)行調(diào)查，一直去

年的總產(chǎn)量為2135噸，抽取10個(gè)企業(yè)調(diào)查今年的產(chǎn)量，得到y(tǒng)?25,這些

企業(yè)去年的平均產(chǎn)量為試估計(jì)今年該地區(qū)化肥總產(chǎn)

x?22o

量。？X2135??21.35N100,?25?解析：由題可知?22,

則，該地區(qū)化肥產(chǎn)量均值的比率估計(jì)量為Y?Xy25?21.35?24.2624x

?100*24.26?2426??NYR該地區(qū)化肥產(chǎn)量總值Y的比率估計(jì)量為

所以，今年該地區(qū)化肥總產(chǎn)量的估計(jì)值為2426噸。

2.9如果在解決習(xí)題2.5的問題時(shí)可以得到這些家庭月總支出，得到如

下表：

置信水平95%的置信區(qū)間，并比較比估計(jì)和簡單估計(jì)的效率。

lnl??xi?2300?1700???1300)?1580ni?120解析：由題可知

?144.5

??r??144.5??0.091R1580

又R?144,5?1600*?146,3291580

In

S?(yi?)2?826.053?n?li?l2

Sxyln??(yi?)(xi?)?3463.158n?li?lln2?(x?)?8831.579?in?li?l

Sx2

故平均文化支出的95%的置信區(qū)間為

[R?Z?2?f2?f2?S?R?2S2),?Z?S?R?2S2)](S?2R(S?2RyxxR?2yxxnn代入數(shù)據(jù)

得(146.329±1.96*1.892)

即為[142.621,150.037]

2.10某養(yǎng)牛場購進(jìn)了120頭肉牛，購進(jìn)時(shí)平均體重100千克。現(xiàn)從中

抽取10頭，記錄重量，3個(gè)月后再次測量，結(jié)果如下：

的結(jié)果進(jìn)行比較。

lnl解：由題可知，？?xi?95???105)?102.6ni?110

lnl??yi?150??170)?163ni?110

lnl2S?(y?)?*1910?212.222?in?li?192

Sxylnl?(y?)(x?)?*1317?146.333?iin?li?19

Sx

2

lnl?(xi?)2?*926.4?106.933?n?li?19

故有?0?

SxySx

2

?

146.333

?1.368

106.933

所以總體均值的回歸估計(jì)量為

lr???0(?)?163?1,368*(100?102.6)?159.443其方差估計(jì)為：

?()?l?f(S2??2S2?2?S)Vlr0x0xy

nlOl?

=(212.222?1.3682*106.933?2*1.368*146.333)

10=1.097l?f2

?()?S而丫

n

17*212.222=

10=19.454

?()?V?()顯然Vlr

所以，回歸估計(jì)的結(jié)果要優(yōu)于簡單估

第三單元習(xí)題答案(僅供參考)1解：(1)不合適(2)不合適(3)

合適(4)不合適

2.將800名同學(xué)平均分成8組，在每一組中抽取一名“幸運(yùn)星二

=20.1

V()=-

=9.7681-0.2962

=9.4719

=3.0777

(2)置信區(qū)間為95%相對誤差為10%,則有

按比例分配的總量：n==185.4407

185=n=56,=92,=37

按內(nèi)曼分配：n=

=175

=33,=99,=43

==0.924根據(jù)各層層權(quán)及抽樣比的結(jié)果，可得

()==0.000396981

=1.99%

估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為1.99%,比例為9.24%

按比例分配：

n=2663

=479,=559,=373,=240,=426,=586內(nèi)曼分配:

n=2565

=536,=520,=417,=304,=396,=392

5.解：由題意，有

==75.79

購買冷凍食品的平均支出為75.79元

又由V()=+又n=

V()

=53.8086=7.3354

的置信區(qū)間為

95%[60.63,90.95]o

7.解：(1)對

(2)錯(cuò)

(3)錯(cuò)

(4)錯(cuò)

(5)對

8.解：(1)差錯(cuò)率的估計(jì)值=70%+30%=0.027估計(jì)的方差v()==3.1967

標(biāo)準(zhǔn)差為S()=0.0179o

(2)用事后分層的公式計(jì)算差錯(cuò)率為==0.03估計(jì)的方差為；v()

=-=2.5726

=0.4,(2)用分別比估計(jì)，有=0.65,所以用分別比估計(jì)可計(jì)算得=6.4。

用聯(lián)合比估計(jì)，有

=0.5,=0.625,所以用聯(lián)合比估計(jì)可計(jì)算得=6.5。

第四章習(xí)題

4.1

郵局欲估計(jì)每個(gè)家庭的平均訂報(bào)份數(shù)，該轄區(qū)共有4000戶，劃分為

400個(gè)

解：由題意得到N?400,n?4,M?10,f?

1^??Mnn4??0.01N400?i?lnyi?19?20?16?20?1.875(份)10?4

?M??10?1.875?18.75(份)

??M?N??10?400?7500(份)Y

2sbM?n?l?(i?lni?)2

nl?f21?flv()?sb?nMnM2n?l?(i?li?)2

l?0.01(19?18.75)2???(20?18.75)2

??4?14?102

?0.00391875

?)?N2M2v()?4002?102?0.00391875?62700v(Y

于是由以上的計(jì)算結(jié)果得到平均每戶的訂報(bào)份數(shù)為1.875,估計(jì)量方

差為0.00391875。該轄區(qū)總的訂閱份數(shù)為7500,估計(jì)量方差為62700。

4.2某工業(yè)系統(tǒng)準(zhǔn)備實(shí)行一項(xiàng)改革措施。該系統(tǒng)共有87個(gè)單位，現(xiàn)采

用整群抽

樣，用簡單隨機(jī)抽樣抽取15個(gè)單位做樣本，征求入選單位中每個(gè)工

人對政

(2)在調(diào)查的基礎(chǔ)上對方案作了修改，擬再一次征求意見，要求估

計(jì)比例的允

許誤差不超過8%,則應(yīng)抽取多少個(gè)單位做樣本？

解：題目已知N?87,n?15,f?

1)由已知估計(jì)同意改革的比例nl5?N87

??p?yi?l

n

i?lni?i?M

l?nn646?0.709911?M

i?li?60.733

ll?fln

?)?2?Mi)2?0.008687v(p(yi?pnn?li?l?

此估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為

?)?v(p?)?.008687?0.9321s(p

4.3某集團(tuán)的財(cái)務(wù)處共有48個(gè)抽屜，里面裝有各種費(fèi)用支出的票據(jù)。

財(cái)務(wù)人員

欲估計(jì)辦公費(fèi)用支出的數(shù)額，隨機(jī)抽取了其中的10個(gè)抽屜，經(jīng)過清

點(diǎn)，整

)o

nnnlO解：已知N=48,n=10,f=?,由題意得?yi?736,?Mi?365,N48i?li?l

Nn48?則辦公費(fèi)用的總支出的估計(jì)為Y??yi??736?3532.8(元)

ni?1101nl群總和均值??yi??736?73.6(元)ni?110

?)?N(l?f)?v(Yn2?(yi?lni?)2

n?l

10)(83?73.6)2?(62?73.6)2?...?(80?73.6)248=?109

1=182.4??3590.49

=72765.44482?(1?

)=269.7507v(Y

?的置信度為95%的置信區(qū)間為3532.8?1.96?269.7507,即[3004.089,

則Y

4061.511].

4.4為了便于管理，將某林區(qū)劃分為386個(gè)小區(qū)域?，F(xiàn)采用簡單隨機(jī)

抽樣方法，

估計(jì)整個(gè)林區(qū)樹的平均高度及95%的置信區(qū)間。

解：由已知得N?386,n?20,f?

n20??0.0518N3866180.8

?5.9091046

整體的平均高度?？

?M

i?lni-l

n

?

i

?M

IM?

n

?M

i?l

n

i

?52.3

n

方差估計(jì)值v()?v()?

?0.02706

l?fn2

?(V

i?l

i

?Mi)2

n?l

標(biāo)準(zhǔn)方差s()?v()?0.02706?0.1644

在置信度95%下，該林區(qū)的樹木的平均高度的置信區(qū)間為

(?t?/2?s())?(5.909?1.96?0.1644)?(5.5868,6.2312)

4.5某高校學(xué)生會(huì)欲對全校女生拍攝過個(gè)人藝術(shù)照的比例進(jìn)行調(diào)查。

全校共有女

生宿舍200間，每間6人。學(xué)生會(huì)的同學(xué)運(yùn)用兩階段抽樣法設(shè)計(jì)了抽

樣方案，從200間宿舍中抽取了10間樣本宿舍，在每間樣本宿舍中抽取3

位同學(xué)進(jìn)

解：題目已知N?200,n?10,M?6,m?3,fl?nl0m??0.05,f2??0.5N200M

??p?yi?lni

nm?9?0.310?3

ll?fl?)?2?v(p?nn?lm?(y

i?lni?p?m)?0.005747

?)?v(p)?0.005747?0.0758s(p

在置信度95%下，p的置信區(qū)間為

??t?/2v(p?))=(0.3?1.96?0.0758)?(0,151432,0.448568)(p

4.6上題中，學(xué)生會(huì)對女生勤工助學(xué)月收入的一項(xiàng)調(diào)查中，根據(jù)以往

同類問題的

調(diào)查，宿舍間的標(biāo)準(zhǔn)差為Sl=326元，宿舍內(nèi)同學(xué)之間的標(biāo)準(zhǔn)差為

S2=188元。以一位同學(xué)進(jìn)行調(diào)查來計(jì)算，調(diào)查每個(gè)宿舍的時(shí)間cl為1分

鐘，為了調(diào)查需要做各方面的準(zhǔn)備及數(shù)據(jù)計(jì)算等工作，所花費(fèi)的時(shí)間為C0

是4小時(shí)，如果總時(shí)間控制在8小時(shí)以內(nèi)，則最優(yōu)的樣本宿舍和樣本學(xué)生

是多少？

解：由已知條件得到以下信息：

S17326（元）S27188（元）cl?10（分鐘）c2?l（分鐘）c0?4?60?240

（分鐘）

由此得到

2S1?1O6276,S2

2735344,S2

u2S235344?Sl??106276??100385.33M6

mopt?S2cl8810?l???1.82Slc23261

因而取最優(yōu)的m?2,進(jìn)一步計(jì)算nopt

由于總時(shí)間的限制C?480,由關(guān)系式

C?c0?cln?c2nm得到480?240?10nopt?2nopt

計(jì)算方程得到nopt?20,因而取n?20

則最優(yōu)的樣本宿舍數(shù)為20間，最優(yōu)樣本學(xué)生數(shù)為2。

4.7某居委會(huì)欲了解居民健身活動(dòng)情況，如果一直該居委會(huì)有500名

居民，居住

在10個(gè)單元中?，F(xiàn)先抽取4個(gè)單元，然后再樣本單元中分別抽出若

干居民，兩個(gè)階段的抽樣都是簡單隨機(jī)抽樣，調(diào)查了樣本居民每天用于健

身鍛煉的時(shí)

（1）簡單估計(jì)量（2）比率估計(jì)量

（3）對兩種估計(jì)方法及結(jié)果進(jìn)行評價(jià)。

解：（1）簡單估計(jì)

??NYunNM??iini?ln?Y?ii?ln

10?(32?3,75?45?3.4?36?4.5?54?4.17)4

=1650,=

?Y1650則u?u??3.3,M0500

ln?l又u??Yi??660?165,ni?14

?)?所以v(Yu

分別計(jì)算N2)??(Y?(l?f)iuli?ln2nn?lN?nMi(l?f2i)s2i?mi?lin22

?(Y??)iu

i?ln2

n?l

5778??192631??[(120?165)2?(153?165)2?(162?165)2?(225?165)2]3

Mi(l?f2i)s2i??mi?lin22322?(l?454)?2.92452?(l?)?2.8362?(l?)?7??454542?(l

?

?

6)?2.2?4628.486

?

22nMi(l?f2i)s2i???mi?i?l??n?)2??(Y?iu2?lN(l?fl)i?lN?v(u)??所以,

M0?nn?ln??

?0.11556?0.046285?0.162

所以標(biāo)準(zhǔn)差s(u)?v(u)?0.402

(2)比率估計(jì)

n

?R?y?Mi?l

n

i?lii?i?M

N232?3.75?45?3.4?36?4.5?54?4.17?3,953232?45?36?54

?R)?v(y)??(Y?(l?f)iu

li?ln2

nn?lNnMi(l?f2i)s2i??ni?lmi22?Y其中R?R?MO?Mi?ln

i?lniii?M

?R)?v(y?)v(YR

M02?0.0715

?R)?(yR)?0.0715?0.2647s(y

?R)?0.2647(3)?簡單估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差s(u)?0.402,比率估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差s(y

?比率估計(jì)更好

第五章不等概抽樣習(xí)題答案

5.1解：

分析題目可知“代碼法”與“拉希里法”都是PPS抽樣(放回的與規(guī)

模大小

成比例的不等概抽樣)的實(shí)施方法，而此題需要用此兩種方法進(jìn)行不

放回抽樣，故需進(jìn)一步進(jìn)行改進(jìn)：即采用重抽法抽取，如果抽到重復(fù)單元，

則放棄此樣本單元，重新抽取，直到抽到規(guī)定的樣本量且所有樣本黨員不

重復(fù)：(1)代碼法：由Zi=

MiM

?Ni可假設(shè)M0=1000000,則Mi=ZiMO列成數(shù)據(jù)表

MO

?Mi

i?l

隨機(jī)數(shù)為444703,615432,791937,921813,738207,176266,

405706935470,916904,57891按照范圍我們可以知道抽取的PSU9,

PSU16,PSU19,PSU24,PSU18,PSU2,PSU8PSU24PSU23

PSU2,我們看到第2組和24組重復(fù)抽取了，故進(jìn)行重新抽取，抽至U4組和

6組；

綜上所述，抽取的樣本為2,4,6,8,9,16,18,19,23,24組(2)

拉希里法：M?=78216,N=25,在口,25］和口，78216］中分別產(chǎn)生(n,m)：

(13,38678),M13=40654?38678,入樣；

(8,57764),M8=38981<57764,舍棄，重抽；

(23,13365),M23=9066<13365,舍棄，重抽；

(19,38734),M19=69492?38734,入樣；

以此類推，當(dāng)?shù)玫街貜?fù)入樣情況時(shí)，同上重新抽取，得到抽取結(jié)果為：

2,3,5,6,7,12,13,16,19,24組

5.2解：

由數(shù)據(jù)可得：

tl=?ylj=20,t2??y2j?25,t3=38,t4=24,t5=21；

j?lj?lMiM2結(jié)合t值數(shù)據(jù)，我們可以推得Z的值

Zl=M15??0.2,Z2=0.16,Z3=0.32,Z4=0.2,Z5=0.12,M025

由公式?ij?

4ZiZj?l?Zi?Zj?

?l?2Zi??l?2Zj???l??

?

?

Zi

i?ll?2Zi

N

????

5.3解：

設(shè)：MO=1,則有：Mi?Zi,得到下表：

為103,最后在[1,1000]中產(chǎn)生第三個(gè)隨機(jī)數(shù)為982,則它們所對應(yīng)的

第7、1、10號(hào)單元被抽中。5.4解：

利用漢森-赫維茨估計(jì)量對總體總值進(jìn)行估計(jì)：

YHH

?

?

lnyil320120290????[??]?2217.006ni?lZi30.1380.0620.121yi??lln???YHH???

??nn?li?l?Zi

?1?320????[?2217.006???60.138???

2

2

2

2

?

v?YHH?

l?120??290?

???2217.006????2217.006?]???10370.3?79254.7?32287.9?

6?0.062??0.121?

=20318.8

?

??

s?YHH?????

??v?YHH??142.5???

5.5解：由題可知

X0??Xi??Xi=2+9+3+2+l+6=23

i?l

i?l

N

6

由？i?n

Xi

得下表：

X0由上表顯然有Zi<l/2,于是我們可以采用布魯爾方法:

?ij?

4ZiZj?l?Zi?Zj?

N

?Zi

?l?2Zi??

l?2Zj??l???l?2Z

i?li?

?

???

⑴？N

Zi

?0.1053?1.7999?0.1764?0.1053?0.0476?0.5455?2.78

l?2Zi?li

XHH

?

?

n?xilnxi

??XHT??ni?lZii?l?i

?

?

?i?nZi

XHH?XHT

另外：

?

V?XHH?

?

?Xi??l???Z?X??i???ni?l?Zi?

N

2

?

V?XHT?

?

??i?j?

N

N

2

代入數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到：

??V?XHH??????O?V?XHT???

??

IN

Y?6S??Yi?Y

N?li?l

2

??

2

=11.5

所以有：Vy?

?

?

I?f2

S=10.0625n

?Y?yY?Ny

?

P?y

?

R?

?

yx

????V??Y???Vy?10.

0625

??

?

???

V?Y??N2Vy?251.5625??

?

(2)

由定義有：

?1

YR?XR

N2Sx?5.8?

YR?XR

N

??

IN

S?Yi?Y?N?li?l

2

??

2

?11.5

Syx?

1

Yi?YXi?X?32?N?li?l

????

??211?f?2???2????V?R??2S?2RS?RSyxx??n???X?

????

?V?YRi??X2V?R?

??????

???X???V?YV?R?Ri??????N??????

?

?

2

結(jié)合題目已知條件，我們選擇的包含概率與Xi成正

比：？i?Zi?P（第i項(xiàng)被選中）2

7?18.49?5?5,76?3?0?l?36?2?36???N???

?V?Y???Zi?YHH?Y???254.71

18??i?l??

?????????

由以上計(jì)算結(jié)果可以看出：V?YR??V?YHH??V?Y?,比估計(jì)在樣本量很

小的情

??????

況下即使是最小的方差也遠(yuǎn)比另外兩種估計(jì)的方差大，而簡單估計(jì)又

比PPS漢森

-赫維茨估計(jì)略好。

5.7解：已知n=2m=5??yij?340設(shè)公司總?cè)藬?shù)為M0

i?lj?ln

m

由于這個(gè)樣本是自加權(quán)的，所以有：MOnmMOY?y??340?34M0

(分鐘)??ijnmi?lj?110?

?y?Y?34(分鐘)MO?

所以該公司職工上班交通平均所需時(shí)間為34分鐘。

21nml2222?????????y?y?y??40?34?10?34?A?60?34?30?34??ijnmi?lj?110??

????1?2440?24410

?sy?y?15.62(分鐘)

5.8說明:y6?2561解:由題可

矢口:YHH??Yilll0yill0??????186yi?495299.4(噸)ni?lZilOi?lZilOi?ln???所以，

全集團(tuán)季度總運(yùn)量為495299.4噸.

???V?YHH?的一個(gè)無偏估計(jì)為:??

????YHH??n???Yi?ll?YHH????nn?lZ?i?l?i?2???110??????186yi?YHH??

95183360?90??i?l??2

因?yàn)閠?/2=2.306所以t?/2=22497.8所以置信度95%的置

信區(qū)間為[472894.6,517890.2]

第6章

第2題

⑴證明：將總體平方和按照全部可能的系統(tǒng)樣本進(jìn)行分解，可以得到

(N?l)S???(yrj?Y)???(yrj?yr)+??(Yr?Y)2222

r?lj?l

kkn_kn_knr?lj?lnr?lj?l

?n?(yr?Y)+??(yrj?yr)22

r?lk_r?lj?l

_nkk2kn

?(yr?Y)+??(yrj?yr)2?kr?lr?lj?l

Ilk2(N?1)S2??(yr?Y)?nkkr?l???(yr?lj?lknrj?yr)2_?

根據(jù)V(ysy)的定義，且nk?N,有

_lk2(N?l)21kn

S?V(ysy)??(yr?Y)?(yrj?yr)2??Nkr?lNr?lj?l

令S2

wsykn_l(yrj?yr)2???k(n?l)r?lj?l

則有V(ysy)?_(N?l)2k(n?l)2S?SwsyNN

⑵證明：在樣本量相同的情況下

(N?l)2k(n?l)21?f2S?Swsy?SV(ysy)?V(ysys)?NNn

(N?l)2N?n2k(n?l)2S?S?Swsy?NNnN

(N?Nn)2k(n?l)2S?Swsy?NN

N?k2k(n?l)2k(n?l)22S?Swsy?(S?Swsy)?NNN

2立即可得到當(dāng)且僅當(dāng)Swsy?S2時(shí)，系統(tǒng)抽樣優(yōu)于簡單隨機(jī)

抽樣。

第3題

?N??40?解:⑴k????????5.7?,k取最接近于5.7而不大于5.7的整數(shù)5,

則將該？n??7?

班同學(xué)編號(hào)1~40,隨機(jī)起點(diǎn)r=5,則該樣本單元序號(hào)為5,10,15,

20,25,30,35o

N?5o(2)N?35,n?7,k?n

Sethi對稱系統(tǒng)抽樣：r?5,入樣單元為：5,6,10,16,15,26,20Singh

對稱系統(tǒng)抽樣：由于n為奇數(shù)，則從兩個(gè)斷點(diǎn)開始分層，最后中間

的半層取中間位置的單元，r?5,入樣單元為：5,31,10,

26,15,21,18

第4題

解：由題，N=360,k=8,貝!Jn=N/k=45

??1第45?r?l??j號(hào)住戶的戶主為漢族

取Yrj??,

??0第45?r?l??j號(hào)住戶的戶主不為漢族

r?l,2,?,8,j?l,2,?,45,

總體均值Y?0.1972

1845

總體方差S?Yrj?Y??N?lr?lj?l

2

??

2

?0.1588

1

?0.1343?0.2101?0.1768?4?0.2?0.1636??0.17698

N?12k(n?l)2

S?S?r?O則：Vysy?NN

451?f2

?0.125,Vysys?S?0.0031運(yùn)用簡單隨機(jī)抽樣：n=45,f?360n

平均樣本內(nèi)方差S?r2?

??

??

顯然：Vysys?Vysy,說明等距樣本的精確度較簡單隨機(jī)樣本的精確度

要高。

????

第5題

答：⑴欲估計(jì)漢族所占比例，選擇第⑴種系統(tǒng)抽樣的方法好。按照題

給條件排序，

在戶口冊中每5人中抽1人，且平均每戶有5口人，分布較均勻，且

如此抽樣，每戶人家基本均有1人入樣。

(2)男性所占比例與孩子所占比例。采用簡單隨機(jī)抽樣的方法較合適,

因?yàn)榘?/p>

題條件排序后，采用等距抽樣，若抽得初始單元為1,則男生比例為

1,孩子比例為0,如此，則有較大誤差。

第6題

r"群"第j個(gè)單元具有所研究的特征?1,若總體中第

解：取Yrj=?

r"群"第j個(gè)單元不具有所研究的特征?0,若總體中第

In

則總體比例P的簡單估計(jì)量為P=P=?yrj?ysy,即對總體比例的估計(jì)可

化

nj?l

A

成對總體均值的估計(jì)。

?1,第r"群"第j個(gè)單元為男性

①估計(jì)男性所占比例：則，取Yrj=?

0,其他？

由題意，系統(tǒng)抽樣K=5,n=10,則所有可能樣本如下表：

1510

總體均值Y???Yrj?0.48

Nr?lj?l

1510

總體方差S?(Yrj?Y)2?0,2547,??N?lr?lj?l

2

152

平均群內(nèi)方差S??Srj?0.2489

5j?l

2.r

以行為“系統(tǒng)樣本”的系統(tǒng)抽樣：k=5,n=10

N?12k(n?l)2N?12k(n?l)2

V(ysy)?S?Swsy?S?S.r?0.02559?0.0256

NNNN

簡單隨機(jī)抽樣：n=10,f=20%=0.2_

l?f21?0.2

V(y)?S??0.2547?0.0204?0.0256

nlO

V(ysy)?V(y),說明簡單隨機(jī)抽樣精度較高。

?1,第r"群"第j個(gè)單元為小孩

②估計(jì)孩子所占比例：取Yrj=?

0,其他？

由題意，系統(tǒng)抽樣：k=5,n=10,則所有可能樣本如下表:

5

1

總體均值Y?

N

2

??Y

r?lj?l

10

rj

?0.48

1510

總體方差S?(Yrj?Y)2?0.2547??N?lr?lj?l

152

平均群內(nèi)方差S??Srj?0.2134

5j?l

2.r

以行為“系統(tǒng)樣本”的系統(tǒng)抽樣：k=5,n=10

N?12k(n?l)2N?12k(n?l)2

V(ysy)?S?Swsy?S?S.r?0.0576

NNNN

簡單隨機(jī)抽樣：

n=10,f=20%=0.2_

l?f21?0,2

V(y)?S??0.2547?0.0204?0.0256

nlO

V(ysy)?V(y),說明簡單隨機(jī)抽樣精度較高。

?1,滿足條件

③估計(jì)具體某種職業(yè)的住戶人員的比例：取Yrj=?

?0,不滿足條件

由題意，系統(tǒng)抽樣K=5,n=10,則所有可能樣本如下表:

1510

總體均值Y???Yrj?0.38

Nr?lj?l

1510

總體方差S?(Yrj?Y)2?0.2404??N?lr?lj?l

2

152

平均群內(nèi)方差S??Srj?0.26

5j?l

2.r

以行為“系統(tǒng)樣本”的系統(tǒng)抽樣：k=5,n=10

N?12k(n?l)2N?12k(n?l)2

V(ysy)?S?Swsy?S?S.r?0.0016

NNNN

簡單隨機(jī)抽樣：

n=10,f=20%=0.2_

l?f2

V(y)?S?0.01923?0.0016

n

V(ysy)?V(y),說明系統(tǒng)抽樣精度較高。

第7題

?N?

解：①由題，N=15,n=3,直線等距抽樣k=??=5,則所有可能樣本如下:

?n?

N

1

總體均值Y?

N

2

?Y

i?l

?8

IN

總體方差S?(Yi?Y)2?20?N?li?l

152

平均樣本方差S??Sri?25

5i?l

2.r

則以直線等距抽樣：

N?12k(n?l)2N?12k(n?l)2

V(ysy)?S?Swsy?S?S.r?2

NNNN

n

簡單隨機(jī)抽樣：n=3,f==l/5=0.2

N

l?f2

V(y)?S?5.3334?2

n

V(ysy)?V(y),說明直線等距抽樣的精度較高。

②由題，要求抽樣間距k=4,n=3,nk=12<15ysy

In

??yini?l

llk_lknlkn

yrj???yrj?YE(ysy)??yr()??yr???kknkNr?lj?lr?lr?lr?lj?l

k_

所以樣本均值不是總體均值的無偏估計(jì)。

Iknlkn

當(dāng)時(shí)，

nk=N??yrj???yrj,E(ysy)?Yo

nkr?lj?lNr?lj?l

即當(dāng)nk=N時(shí)，樣本均值為總體均值的無偏估計(jì)。

第8題

解：由題，N=30,k=5,則n=30/5=6

則按照所給順序等距抽樣，可能樣本如下：

由上表數(shù)據(jù)可得：

1562

總體方差S???Yrj?Y

N?lr?lj?l

??

2

?11,8575本

內(nèi)

方

差

平

S?r2?

均樣

1

?17.4667?7.4667?6.5667?11.4667?18.9667??12.38675

N?12k(n?l)2

S?S?r?1,14則：Vysy?NN

第七章(僅供參考)

1、根據(jù)題中所給表格，可計(jì)算各層的權(quán)重：

85125140''

wl'??0.17w2??0.25w3??0.28

50050050011040''

w4??0.22w5??0.08

500500(1)根據(jù)式(7.1),可得該縣棉花平均種植面積為:

??

'

stD??whh?0.17?

h?l

L

4901806442356074101

?0.25??0.28??0.22??0.08?

172528228

?164.27

該縣共有2000個(gè)村，幫全縣的棉花種植總面積為：

?NstD?2000?164.27?328540(2)根據(jù)式(7.4),Dts的方差估計(jì)為：

11'211L'

v(stD)??(?')whsh?('?)?wh(h?stD)2

nhnNh?lh?lnh

nhlnhl22

由公式sh?(yhj?h)?(?yhj?nh),由表中數(shù)據(jù)可得：？nh?lj?lnh?lj?l

L

sl?90.6544s2?195.7733s3?1335.6773s4?855.5519s5?14334.1429

第一項(xiàng)：

?(

h?lLll'21111?')whsh?(?)?0,172?90.6544?(?)?0.252?195.7733nhn

hl78525125

111111?)?0.282?1335.6773?(?)?0.222?855.5519?(?)?0.082

2814022110840

?14334.1429?14.1864

第二項(xiàng)：?(

HL'('?)?wh(h?stD)2

nNh?l

1149018064423?(?)?[0.17?(?164.27)2?0.25?(?164.27)2?0.28?(?50020001725

28

56074101164.27)2?0.22?(?164.27)2?0.08?(?164.27)2]228

?16760.9705

因此v(stD)?14.1864?16760.9705?16775.1569

該縣種植總面積的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)為

s()?N?s(ystD)?N(ystD)?259037.8883

22、解：本題首先對S12,S2,S2進(jìn)行估計(jì)

由于比例估計(jì)的方差S2?NP(1?P)N?1

故我們可以取S2?P(1?P)進(jìn)行估計(jì)。

根據(jù)題意知：Wl?W2?0.5Pl?0.2P2?0.8cl?0.25c2h?10

故總體比例P?W1P1?W2P2?O,5

從而：S12?Pl(l?Pl)?0.2?0.8?0.16

2S2?P2(l?P2)?0.8?0.2?0.16

S2?P(l?P)?0.5?0.5?0.25

(1)根據(jù)式(7.10)及式(7.7)

?clf?S?hDhL22?c2h(S??WhSh)?h?l?*CT??n?L?cl??c2hWhfhD?

h?l?

*由題意有CT?300(元)

代入上式有flD?0.16?0.25?0,210810?(0.25?0.16)

0.25?0.210810?(0.25?0.16)f2D?0.16?

n??300?12720.25?(10?0.5?0.2108?2)

?nl?flDnl?flDn?Wl?0.2108?1272?0.5?134

?n2?f2Dn2?f2Dn?W2?0.2108?1272?0.5?134

2112LWhShl此時(shí)V(PstD)?⑶S??(?l),依題意？?nNnfhDh?l

n?S20.25n?S2

??,而忽略不計(jì)，故由于亦可忽略不計(jì)NNNNN

2LWhShS21故V(PstD)???(?l)??nnfhDh?l

0.250.5?0.161?[?(?1)]?2127212720.2108

70.000667462

(2)不分層的簡單隨機(jī)抽樣，樣本量為n?268

l?flllNP(l?P)?P(l?P)??0.5?0.5?0.000932835V(P)?nN?ln268

因此二重分層抽樣比不分層的簡單隨機(jī)抽樣效率高。

(3)略

3、解：由題知，??602,由表，計(jì)算？

??0,9994?568.25,?568,5833,R

22sy.027278836.89,sx?256154.86,syx?256262

所以，該地區(qū)年末牛的總頭數(shù)估計(jì)

為：？?N?N??1238?568.25?602?744839.1(頭)YRDRD568,5833

?的方差估計(jì)為：根據(jù)式(7.15),YRD

?)?v(N)?N2v()?N2[ls2?(l?l)