三角形的角平分線(xiàn)和中線(xiàn)2浙教版

三角形的角平分線(xiàn)和中線(xiàn)2浙教版REPORTING目錄三角形基本概念與性質(zhì)角平分線(xiàn)性質(zhì)與應(yīng)用中線(xiàn)性質(zhì)與應(yīng)用角平分線(xiàn)與中線(xiàn)綜合應(yīng)用拓展延伸：塞瓦定理與梅涅勞斯定理簡(jiǎn)介總結(jié)回顧與課堂練習(xí)PART01三角形基本概念與性質(zhì)REPORTINGWENKUDESIGN由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形。三角形定義根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)和角度特征，三角形可分為等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形等。三角形分類(lèi)三角形定義及分類(lèi)三角形內(nèi)角和定理三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°。推論直角三角形的兩個(gè)銳角互余；一個(gè)三角形中至多有一個(gè)直角或一個(gè)鈍角；一個(gè)三角形的外角等于它的兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角的和。三角形內(nèi)角和定理三角形的一邊與另一邊延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角叫做三角形的外角。三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。三角形外角性質(zhì)三角形外角性質(zhì)三角形外角定義PART02角平分線(xiàn)性質(zhì)與應(yīng)用REPORTINGWENKUDESIGN01性質(zhì)角平分線(xiàn)將相對(duì)邊分為兩段，這兩段線(xiàn)段與角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。角平分線(xiàn)是角的對(duì)稱(chēng)軸，即角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。定義：三角形的一個(gè)角的平分線(xiàn)與這個(gè)角的對(duì)邊相交，連接這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的角平分線(xiàn)。020304角平分線(xiàn)定義及性質(zhì)面積關(guān)系三角形的面積與角平分線(xiàn)長(zhǎng)度之間存在一定的關(guān)系。具體來(lái)說(shuō)，三角形面積等于兩鄰邊長(zhǎng)度與其夾角正弦值的乘積的一半，而角平分線(xiàn)長(zhǎng)度則影響這一乘積。應(yīng)用在解決三角形面積問(wèn)題時(shí)，可以利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，通過(guò)已知邊長(zhǎng)和角度信息來(lái)計(jì)算面積。角平分線(xiàn)與三角形面積關(guān)系利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可以證明與角平分線(xiàn)相關(guān)的兩條線(xiàn)段相等。證明線(xiàn)段相等證明角相等證明比例關(guān)系通過(guò)角平分線(xiàn)的定義和性質(zhì)，可以證明與角平分線(xiàn)相關(guān)的兩個(gè)角相等。利用角平分線(xiàn)將相對(duì)邊分為兩段，可以證明這兩段線(xiàn)段與角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。030201角平分線(xiàn)在幾何證明中應(yīng)用PART03中線(xiàn)性質(zhì)與應(yīng)用REPORTINGWENKUDESIGN中線(xiàn)定義及性質(zhì)連接三角形任意兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中線(xiàn)。三角形的三條中線(xiàn)都在三角形內(nèi)部。三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的重心。三角形中線(xiàn)把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形。中線(xiàn)定義中線(xiàn)性質(zhì)1中線(xiàn)性質(zhì)2中線(xiàn)性質(zhì)3

中線(xiàn)與三角形面積關(guān)系中線(xiàn)與面積關(guān)系定理三角形一條中線(xiàn)與其所對(duì)邊構(gòu)成的三角形面積等于原三角形面積的1/4。推論1若三角形ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則S△ADE=1/4S△ABC。推論2若三角形ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，且BF=FC，則S△DEF=1/8S△ABC。證明兩條線(xiàn)段相等。通過(guò)證明兩條線(xiàn)段分別是兩個(gè)三角形的中線(xiàn)，從而利用中線(xiàn)性質(zhì)證明兩條線(xiàn)段相等。應(yīng)用1證明兩個(gè)角相等。通過(guò)證明兩個(gè)角分別是兩個(gè)三角形的中線(xiàn)所對(duì)的內(nèi)角，從而利用中線(xiàn)性質(zhì)證明兩個(gè)角相等。應(yīng)用2證明兩條直線(xiàn)平行。通過(guò)證明兩條直線(xiàn)分別是兩個(gè)三角形的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)，從而利用中線(xiàn)性質(zhì)證明兩條直線(xiàn)平行。應(yīng)用3中線(xiàn)在幾何證明中應(yīng)用PART04角平分線(xiàn)與中線(xiàn)綜合應(yīng)用REPORTINGWENKUDESIGN角平分線(xiàn)性質(zhì)角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。中線(xiàn)性質(zhì)三角形的中線(xiàn)是連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段，三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心，重心分中線(xiàn)為2:1（頂點(diǎn)到重心:重心到對(duì)邊中點(diǎn)）。交點(diǎn)性質(zhì)三角形角平分線(xiàn)與中線(xiàn)交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱(chēng)為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。角平分線(xiàn)與中線(xiàn)交點(diǎn)性質(zhì)03利用交點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行角度和距離計(jì)算通過(guò)三角形內(nèi)心和重心的性質(zhì)，可以計(jì)算出三角形內(nèi)角平分線(xiàn)和中線(xiàn)的夾角，以及內(nèi)心到三角形三邊的距離等。01利用角平分線(xiàn)性質(zhì)構(gòu)造全等三角形通過(guò)角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)，構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形，從而解決問(wèn)題。02利用中線(xiàn)性質(zhì)進(jìn)行邊長(zhǎng)計(jì)算通過(guò)中線(xiàn)的性質(zhì)，可以將三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化和計(jì)算。利用角平分線(xiàn)和中線(xiàn)解決問(wèn)題策略過(guò)點(diǎn)C作CF//AD交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，由于AD是角BAC的平分線(xiàn)，所以角BAD=角CAD，因?yàn)镃F//AD，所以角F=角BAD=角CAD，從而得出AC=AF。又因?yàn)锳E是BC邊上的中線(xiàn)，所以BE=CE，從而得出AB=AF+BF=AC+BF，因此AB/AC=(AC+BF)/AC=1+BF/AC。又因?yàn)锽D/CD=AB/AC，所以BD/CD=1+BF/AC。在三角形ABC中，AD是角BAC的平分線(xiàn)，AE是BC邊上的中線(xiàn)，且AB=5cm，AC=3cm，求DE的長(zhǎng)。由于AD是角BAC的平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知DE=DF。又因?yàn)锳E是BC邊上的中線(xiàn)，所以BE=CE。在三角形ABD和三角形ACD中，由于AB=5cm，AC=3cm且AD為公共邊，所以三角形ABD和三角形ACD的面積之比為5:3。從而可以得出DE/DF=5/3。設(shè)DE=5xcm，則DF=3xcm。因?yàn)镈E=DF所以5x=3x解得x=0從而得出DE=0cm與題目矛盾所以此題無(wú)解。解析例題2解析典型例題解析PART05拓展延伸：塞瓦定理與梅涅勞斯定理簡(jiǎn)介REPORTINGWENKUDESIGN對(duì)于三角形ABC，若點(diǎn)P、Q、R分別在邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)上，且滿(mǎn)足BP/PC*CQ/QA*AR/RB=1，則AP、BQ、CR三線(xiàn)共點(diǎn)或互相平行。塞瓦定理內(nèi)容證明過(guò)程可以通過(guò)面積法、向量法或解析法等多種方法完成。其中，面積法是通過(guò)比較不同三角形面積的比例關(guān)系來(lái)證明；向量法則是通過(guò)向量的線(xiàn)性組合和共線(xiàn)條件來(lái)證明；解析法則是通過(guò)建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明。證明塞瓦定理內(nèi)容及其證明對(duì)于三角形ABC和一條不經(jīng)過(guò)三角形頂點(diǎn)的直線(xiàn)l，若l分別與邊BC、CA、AB交于點(diǎn)D、E、F，則有(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1。梅涅勞斯定理內(nèi)容證明過(guò)程可以通過(guò)相似三角形性質(zhì)或面積法完成。相似三角形性質(zhì)是通過(guò)證明三角形之間的相似性，并利用相似比得到結(jié)論；面積法則是通過(guò)比較不同三角形面積的比例關(guān)系來(lái)證明。證明梅涅勞斯定理內(nèi)容及其證明意義：塞瓦定理和梅涅勞斯定理都是三角形中的基本定理，揭示了三角形中線(xiàn)段之間的比例關(guān)系。它們?cè)诮鉀Q三角形中的線(xiàn)段比例問(wèn)題、證明線(xiàn)段共點(diǎn)或平行等問(wèn)題時(shí)具有重要作用。應(yīng)用舉例在三角形中，已知三條中線(xiàn)長(zhǎng)度，可以利用塞瓦定理證明三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)（重心）。在三角形中，已知三條高線(xiàn)長(zhǎng)度，可以利用梅涅勞斯定理證明三條高線(xiàn)交于一點(diǎn)（垂心）。在解決三角形中的線(xiàn)段比例問(wèn)題時(shí)，可以利用這兩個(gè)定理進(jìn)行求解或證明。例如，已知三角形ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AD/DB=AE/EC=2，DE與BC交于點(diǎn)F，求BF/FC的值。此時(shí)可以利用梅涅勞斯定理進(jìn)行求解。0102030405兩個(gè)定理在幾何中意義和應(yīng)用舉例PART06總結(jié)回顧與課堂練習(xí)REPORTINGWENKUDESIGN010405060302角平分線(xiàn)的定義和性質(zhì)定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線(xiàn)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)。性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。中線(xiàn)的定義和性質(zhì)定義：連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做三角形的中線(xiàn)。性質(zhì)：三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心，且重心分每條中線(xiàn)的比為2:1。關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧在△ABC中，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)G。求證：AD垂直平分EF。1.題目根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，DE=DF，再利用HL全等條件證明△AED≌△AFD，從而得到AE=AF，進(jìn)而證明AD垂直平分EF。分析在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且EF=DE。求證：AB=CF。2.題目根據(jù)中線(xiàn)的性質(zhì)，DE是△ABC