人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步壓軸題專題05二次函數(shù)中的線段長度問題（原卷版+解析）

專題05二次函數(shù)中的線段長度問題類型一、單線段長度問題例1．綜合與探究如圖，二次函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是射線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作，并且交軸于點(diǎn)．(1)請直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)平分時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時(shí)，直線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，則線段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，求的最小值；(3)若點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，線段PQ是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)求二次函數(shù)的解析式和直線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段長度的最大值．類型二、雙線段長度問題例1．已知拋物線(a，b，c為常數(shù)，)的頂點(diǎn)，拋物線與x交于點(diǎn)和B，與y軸交于點(diǎn)C．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)E，使的值最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若F為拋物線對稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)，①過點(diǎn)H作y軸的垂線l，若對于拋物線上任意一點(diǎn)都滿足P到直線l的距離與它到定點(diǎn)F的距離相等，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②在①的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使最小，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最小值；若不存在，請說明理由．例2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖像交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，圖像對稱軸交x軸于點(diǎn)D．點(diǎn)P是線段OD上一動點(diǎn)，從O向D運(yùn)動，H是射線BC上一點(diǎn)．(1)則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，線段BC的長為；(2)如圖1，在P點(diǎn)運(yùn)動過程中，若△OPC中有一個(gè)內(nèi)角等于∠HCA，求OP的長；(3)如圖2，點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，在P點(diǎn)開始運(yùn)動的同時(shí)，點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上從D點(diǎn)向上運(yùn)動，Q點(diǎn)運(yùn)動速度是P點(diǎn)運(yùn)動速度的2倍，連接QM，則的最小值為．【變式訓(xùn)練1】已知拋物線(b，c為常數(shù))的圖象與x軸交于，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))．與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．(1)當(dāng)b=2時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，連接BP，當(dāng)PB=PC，OP=2時(shí)，求b的值；(3)若拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是線段DE上一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AB上一點(diǎn)，且AN=2BN，連接NQ，求的最小值．【變式訓(xùn)練2】已知如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A，C兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，此拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接．(1)求a的值；(2)求的最小值．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知拋物線與x軸相交于，兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)若P是直線BC下方拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M．①求線段PM長度的最大值．②在①的條件下，若F為y軸上一動點(diǎn)，求的最小值．【變式訓(xùn)練4】已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)作，垂足為，求證：四邊形為正方形；(3)若點(diǎn)為線段上的一動點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．類型三、周長問題例1．如圖，已知拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過A(2，0)、B(0，﹣6)兩點(diǎn)，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)C．(1)求該拋物線和直線BC的解析式；(2)設(shè)拋物線與直線BC相交于點(diǎn)D，求△ABD的面積；(3)在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB的周長最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)，經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)連接AC、BC，N為拋物線上的點(diǎn)且在第四象限，當(dāng)S△NBC=S△ABC時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在(2)問的條件下，過點(diǎn)C作直線l∥x軸，動點(diǎn)P(m，3)在直線l上，動點(diǎn)Q(m，0)在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當(dāng)m為何值時(shí)，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．【變式訓(xùn)練2】如圖1，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線與x軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，直線交y軸于點(diǎn)M.P為直線BC上方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交直線BC、BM于點(diǎn)E、F．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P落在拋物線的對稱軸上時(shí)，求△PBC的面積；(3)①若點(diǎn)N為y軸上一動點(diǎn)，當(dāng)四邊形BENF為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②在①的條件下，第四象限內(nèi)有一點(diǎn)Q，滿足，當(dāng)△QNB的周長最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．專題05二次函數(shù)中的線段長度問題類型一、單線段長度問題例1．綜合與探究如圖，二次函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是射線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作，并且交軸于點(diǎn)．(1)請直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)平分時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時(shí)，直線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，則線段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，，；(2)，(3)存在，【解析】(1)解：二次函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．令，則，即．令，則，解得，即，，，，．設(shè)直線的表達(dá)式為，則解得直線的表達(dá)式是：．(2)∵，∴．又∵．∴．∴．由勾股定理，得．分兩種情況．如答圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)．過點(diǎn)作軸，垂足為．，則．∴．∴．解得，．∴．∴點(diǎn)．如答圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)．過點(diǎn)作軸，垂足為．，則．∴．∴．解得，．∴．∴點(diǎn)．(3)如答圖3.過點(diǎn)作軸，并且交直線于點(diǎn),過點(diǎn)作，并且交軸于點(diǎn)．則，．∴．∵，，∴．∴．設(shè)點(diǎn)，．∴．∴．∴．∵，∴有最大值．的最大值為．【變式訓(xùn)練1】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，求的最小值；(3)若點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，線段PQ是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)線段PQ存在最大值，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為【解析】(1)解：把點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線解析式得解得所以拋物線的解析式為．(2)解：如下圖所示，連接MA，設(shè)直線AC與二次函數(shù)的對稱軸交于N．∵、，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于二次函數(shù)的對稱軸對稱，OA=2．∴MA=MB．∴MB+MC=MA+MC．∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值為AC．∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，∴．∴OC=2．∴．∴MB+MC的最小值為．(3)解：如下圖所示，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，交直線AC于E，設(shè)，其中，設(shè)直線AC解析式為y=kx+d．∵OA=2，OC=2，∴OA=OC．∴．∵PD⊥x軸，∴∠ADE=90°．∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°．∴∠QEP=∠DEA=45°．∵PQ⊥AC，∴∠PQE=90°，．∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°．∴∠QPE=∠QEP．∴QE=PQ．∴．∴．∴當(dāng)EP取得最大值時(shí)，PQ取得最大值．把點(diǎn)A和點(diǎn)C坐標(biāo)代入直線AC解析式得解得∴直線AC解析式為．∴．．∴當(dāng)時(shí)，EP取得最大值．∴．∴線段PQ存在最大值，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為．【變式訓(xùn)練2】如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)求二次函數(shù)的解析式和直線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段長度的最大值．【答案】(1)，；(2)線段長度有最大值為【解析】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，將B的坐標(biāo)代入得：∴二次函數(shù)的解析式為：即：，∵點(diǎn)D是二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：設(shè)直線的解析式為：將B的坐標(biāo)代入得：∴直線的解析式為：；(2)解：設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，線段長度有最大值為．類型二、雙線段長度問題例1．已知拋物線(a，b，c為常數(shù)，)的頂點(diǎn)，拋物線與x交于點(diǎn)和B，與y軸交于點(diǎn)C．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)E，使的值最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若F為拋物線對稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)，①過點(diǎn)H作y軸的垂線l，若對于拋物線上任意一點(diǎn)都滿足P到直線l的距離與它到定點(diǎn)F的距離相等，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②在①的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使最小，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3；B(3，0)；(2)E(1，)；(3)①；②P(2，3)，最小值為【解析】(1)解：∵拋物線頂點(diǎn)D(1，4)，與x軸交于點(diǎn)A(-1，0)，∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2+4，把A(-1，0)代入，解得a=-1，∴y=-(x-1)2+4，∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+2x+3，令y=0，可得-(x-1)2+4=0，解得x1=-1，x2=3，∴B(3，0)；(2)如圖①，連接BH交對稱軸于點(diǎn)E，連接AE，此時(shí)AE+HE的值最小，設(shè)直線BH解析式為y=kx+b，把B(3，0)，H(0，)代入，解得k=，b=，∴直線BH解析式為，把x=1代入解得y=，∴E(1，)；(3)①如圖②，設(shè)對稱軸上點(diǎn)F(1，t)，過點(diǎn)P作PN⊥l，過點(diǎn)F作FM⊥PN，，，，，，，，∵拋物線上任意一點(diǎn)P(m，n)，，，，，整理可得：，∵任意一點(diǎn)P(m，n)，與n無關(guān).，，，；②：如圖③，∵拋物線上任意一點(diǎn)P(m，n)滿足PF=PN，∴FP+GP=PN+GP.根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)G，P，N共線時(shí)，F(xiàn)P+GP的值最小，最小值為：，∵G(2，0)，∴把x=2代入y=-x2+2x+3.解得y=3.∴當(dāng)P(2，3)此時(shí)FP+GP的值最小，最小值為例2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖像交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，圖像對稱軸交x軸于點(diǎn)D．點(diǎn)P是線段OD上一動點(diǎn)，從O向D運(yùn)動，H是射線BC上一點(diǎn)．(1)則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，線段BC的長為；(2)如圖1，在P點(diǎn)運(yùn)動過程中，若△OPC中有一個(gè)內(nèi)角等于∠HCA，求OP的長；(3)如圖2，點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，在P點(diǎn)開始運(yùn)動的同時(shí)，點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上從D點(diǎn)向上運(yùn)動，Q點(diǎn)運(yùn)動速度是P點(diǎn)運(yùn)動速度的2倍，連接QM，則的最小值為．【答案】(1)(－10，0)；(2，0)；；(2)或3；(3)【解析】(1)二次函數(shù)中，令y=0，得：，解得：，∴A(－10，0)，B(2，0)，二次函數(shù)中，令x=0，得：y=2，∴C(0，2)，∴，故答案為：(－10，0)；(2，0)；；(2)如圖，連接AE，設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b．∵函數(shù)圖像經(jīng)過B(2，0)，C(0，2)則，解得．∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為；∵拋物線的對稱軸為x＝－4∴D(4，0)．延長BC交對稱軸為E，∴E(－4，6)，∴DE＝DB＝6．又∵DE⊥DB，∴∠DEB＝∠DBE＝45°．∵A(－10，0)，AD＝DE＝DB＝6，∴△AEB為等腰直角三角形，．∴，．若∠CPO＝∠HCA，則△CPO∽△ACE，∵在△ACE中，AE：CE＝3：2，∴CO：OP＝3：2∵CO＝2，∴；若∠PCO＝∠HCA，則△CPO∽△CAE，∵在△ACE中，AE：CE＝3：2，∴OP：CO＝3：2∵CO＝2，∴OP＝3；綜上所述，OP長為或3．(3)由題意可知：∵，∠COP＝∠QDO＝90°，∴Rt△COP∽Rt△QDO．∴∴OQ＝2CP．作點(diǎn)M關(guān)于直線x＝－4的對稱點(diǎn)M’，則MQ＝M’Q．∵M(jìn)(－3，)∴M’(－5，)，過點(diǎn)M’作MN⊥x軸于點(diǎn)N，在Rt△M’NO中，．所以QM＋2CP的最小值為．故答案為：【變式訓(xùn)練1】已知拋物線(b，c為常數(shù))的圖象與x軸交于，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))．與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．(1)當(dāng)b=2時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，連接BP，當(dāng)PB=PC，OP=2時(shí)，求b的值；(3)若拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是線段DE上一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AB上一點(diǎn)，且AN=2BN，連接NQ，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，當(dāng)時(shí)，，∴，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)由(1)知，拋物線的解析式為，∵拋物線的對稱軸為直線x=b，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．∵點(diǎn)P在y軸上，OP=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．∵點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，∴或．在Rt△POB中，由勾股定理得．∵PB=PC，即，∴或．解得或或．∵在y軸負(fù)半軸上，∴，解得，∴；(3)如圖，連接AD，過點(diǎn)Q作QF⊥AD于點(diǎn)F，拋物線與x軸交于，∴拋物線的解析式為，∴頂點(diǎn)，，∴，，∴，∴，∴，∵AN=2BN，∴，AN=2，過點(diǎn)N作NG⊥AD于點(diǎn)G，連DN，則QF+NQ的最小值為NG，由面積相等知：，∴，∴，∴的最小值為．【變式訓(xùn)練2】已知如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A，C兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，此拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接．(1)求a的值；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)【解析】(1)解：把點(diǎn)代入得：，解得：；(2)解：連接AB，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)P，由(1)得：二次函數(shù)的解析式為，令y=0，則，解得：，∴點(diǎn)A(-3，0)，C(5，0)，∴拋物線的對稱軸為直線，∴點(diǎn)D(1，0)，∴AD=4，∵點(diǎn)，∴，∴，∴AB=2OA，∵∠AOB=90°，∴∠OBA=30°，∴，∴的最小值為PD+PH=DH的長，∵DH⊥AB，∠OAB=60°，∴∠ADH=30°，∴，∴，∴的最小值為．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知拋物線與x軸相交于，兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)若P是直線BC下方拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M．①求線段PM長度的最大值．②在①的條件下，若F為y軸上一動點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)y＝x2－2x－3；(2)①；②【解析】(1)解：把，點(diǎn)代入拋物線中得：，解得：，拋物線的解析式為：；(2)解：①如圖，令，即，解得或，，，設(shè)的解析式為：，則，解得：，的解析式為：，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值為；②當(dāng)有最大值，，在軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)，使，過作于，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即的值最小，中，，，，，中，，，，的最小值是．【變式訓(xùn)練4】已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)作，垂足為，求證：四邊形為正方形；(3)若點(diǎn)為線段上的一動點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)見解析；(3)存在，【解析】(1)∵拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，∴設(shè)拋物線解析式為，∵，∴，∵這個(gè)拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線的解析式為：．∵，∴這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)；(2)連接，，由(1)得：，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為菱形，∵，∴四邊形為正方形；(3)存在，理由：如圖，點(diǎn)作與軸夾角為的直線，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，則，的最小值，∵，，∴．∵，∴．∵，∴．∴∴的最小值為．類型三、周長問題例1．如圖，已知拋物線y＝ax2+4x+c經(jīng)過A(2，0)、B(0，﹣6)兩點(diǎn)，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)C．(1)求該拋物線和直線BC的解析式；(2)設(shè)拋物線與直線BC相交于點(diǎn)D，求△ABD的面積；(3)在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+4x﹣6，y＝x﹣6；(2)；(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4，﹣2)【解析】(1)解：將A(2，0)、B(0，﹣6)代入拋物線解析式得：，解得：，故拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣6，其對稱軸為：x＝4，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，0)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得：，解得：，故直線BC的解析式為y＝x﹣6；(2)解：聯(lián)立直線BC與拋物線的解析式：，解得：或，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5，)，則S△ABD＝S△ACD+S△ABC＝AC×D縱+AC×|B縱|＝．(3)解：存在點(diǎn)Q，使得△QAB的周長最??；點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為A'，連接A'B，則A'B與對稱軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)Q的位置：A'坐標(biāo)為(6，0)，B(0，﹣6)，設(shè)直線A'B的解析式為：y＝mx+n，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)可得：，解得：，即直線A'B的解析式為y＝x﹣6，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4，﹣2)．即存在點(diǎn)Q的坐標(biāo)(4，﹣2)時(shí)，使得△QAB的周長最?。咀兪接?xùn)練1】如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)，經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)連接AC、BC，N為拋物線上的點(diǎn)且在第四象限，當(dāng)S△NBC=S△ABC時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在(2)問的條件下，過點(diǎn)C作直線l∥x軸，動點(diǎn)P(m，3)在直線l上，動點(diǎn)Q(m，0)在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當(dāng)m為何值時(shí)，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．【答案】(1)y=-x2+2x+3，頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1，4)；(2)點(diǎn)N坐標(biāo)為(4，-5)；(3)當(dāng)m=時(shí)，PM+PQ+QN有最小值，最小值為3+3．【解析】(1)解：∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，則拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1，4)；(2)解：∵N是拋物線上第四象限的點(diǎn)，∴設(shè)N(t，-t2+2t+3)(t＞3)，又點(diǎn)C(0，3)，設(shè)直線NC的解析式為y=k1x+b1，則，解得：，∴直線NC的解析式為y=(-t+2)x+3，設(shè)直線CN與x軸交于點(diǎn)D，當(dāng)y=0時(shí)，x=，∴D(，0)，BD=3-，∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB?OC，即BD?|yC-yN|=[3-(-1)]×3，即×(3-)[3-(-t2+2t+3)]=6，整理，得：t2-3t-