遼寧撫順新?lián)釁^(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（一）（解析版）

2023—2024學(xué)年度（上）學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測

九年級數(shù)學(xué)試卷（一）

考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分

※注意事項(xiàng)：考生答題時(shí)，必須將答案寫在答題卡上，答案寫在試卷上無效.

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.下列選項(xiàng)中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

A.%2+3%-2=%2B.3x?+2x+4=0C.ax2+bx+c-0D.x2+—=1

x

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的定義：①等號兩邊是整式，②只含有一個(gè)未知數(shù)，③未知數(shù)的最高次數(shù)

為2.根據(jù)定義逐一分析即可得到答案.

【詳解】解：A、^+3%-2=%2,整理得：3x-2=0,不是一元二次方程，不符合題意；

B、3k+2%+4=0是一元二次方程，符合題意;

C、當(dāng)a=0時(shí)，方程ad+bx+°=o不是一兀二次方程，不符合題意;

,1

D、該方程必+―=1是分式方程，不符合題意；

x

故選B.

2.下列是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常見到的圖案，是中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查的是中心對稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是掌握把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)

后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形.根據(jù)定義判斷即可.

【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、是中心對稱圖形，符合題意；

D、不是中心對稱圖形，不符合題意；

故選：C.

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3.若關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0的常數(shù)項(xiàng)為0,則m的值等于().

A.-2B.2C.-2或2D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得加2-4=0,且5-2W0,求解即可.

【詳解】由題意得：蘇-4=0,解得：m=±2.

.*.m=-2.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式是：ax2^c=0(〃，b,。是常

數(shù)且oWO)特別要注意的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn).在一般形式中ad叫二次項(xiàng),

法叫一次項(xiàng)，。是常數(shù)項(xiàng).其中〃，Ac分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng).

4.若4%是一元二次方程爐―2%-4=0的兩個(gè)根，則」一1的值是()

芯?x2

11

A.-2B.——C.2D.4

22

【答案】B

【解析】

【分析】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出答案即可.

【詳解】解：依題意，得X]+々=2,%1,%2=—4，

Xy+x2_2_1

%1-x2-42'

故選：B.

5.把拋物線y=-4必向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為()

A.y=-4(x+2)2-3B.y=-4(x-2)2-3

C.y=-4(x-3^+2D.y=-4(x-3)2-2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律：左加右減，上加下減，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：拋物線y=-4/向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為

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y=-4(x+2『-3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握：左加右減，上加下減.

6.我們在學(xué)習(xí)一元二次方程應(yīng)用時(shí)，課后習(xí)題有這樣一問題，某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)

支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91,求每個(gè)枝干長出多少小分支.設(shè)每個(gè)支

干長出x個(gè)小分支，則下列方程中正確的是()

A.1+爐=91B.(1+4=91

C.1+X+X2=91D.1+(1+X)+(1+X)=91

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)題意可知：支干的數(shù)量為x個(gè)，小分支的數(shù)量為

=個(gè)，然后根據(jù)“主干、支干和小分支的總數(shù)是91”列出方程即可.理解題意、明確主干、支干和小

分支的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：依題意得支干的數(shù)量為X個(gè)，

小分支的數(shù)量為個(gè)，

那么根據(jù)題意可列出方程為：l+x+/=91.

故選：C.

7.如圖，將UABC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ODEC,使得AC,E三點(diǎn)共線，此時(shí)點(diǎn)D恰好在AB

延長線上，若NA=20°，貝INBCD的度數(shù)()

n

A.80°B.90°C.100°D.110°

【答案】C

【解析】

【分析】先判斷出NACD=NECD,AC=CD,從而得出NA=NADC=20。，最后用三角形的內(nèi)角和定

理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???將口43。繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至UDEC,使得AC,E三點(diǎn)共線，

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ZACD=ZECD,AC=CD,

：.ZA=ZADC=20°,

ZACD=140°,

Z.NECD=ZACD=40°,

ZBCD=100°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，判斷出三角形

ACD是等腰三角形是解本題的關(guān)鍵.

8.如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丁和二次函數(shù)y=。必+。的圖象大致為（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的圖象，可以判斷出一次函數(shù)和二次函數(shù)中。、c的正負(fù)情況，即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)

是正確的.

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【詳解】解：A.一次函數(shù)丁=。％+。中a>0,c>0,二次函數(shù)y=。%2+c中c>0,故選項(xiàng)A不

符合題意;

B.一次函數(shù)V=ax+c中a<0,c>0,二次函數(shù)y=ax?+c中a<0,c>0,故選項(xiàng)B符合題意；

C.一次函數(shù)丁=ax+c中a<0,c<0,二次函數(shù)y=+c中a>0,c<0,故選項(xiàng)C不符合題意；

D.一次函數(shù)V=ax+c中”0,c>0,二次函數(shù)y=ax?+c中a>0,c<0,故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的性

質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

9.我們剛剛學(xué)完的第二十三章旋轉(zhuǎn)是我們初中幾何重要的圖形變換之一，其中把某個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)一個(gè)特殊角

是解決某類幾何問題的重要手段，受這種解題思想的啟發(fā).如下圖，在等腰RtZkABC中，AB=AC,。、

E是斜邊上兩點(diǎn)，且/D4E=45°,若BD=6,CE=8,則△48。與△AEC的面積之和為（）

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識

點(diǎn).將△460繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到從而可得8D=CE=6,

ZEAF=45°=ZEAD,求得DE=EF7CE?+CF?=10,BC=24,AG=^BC=12,據(jù)此求解

即可得.

【詳解】解：如圖，作AGL8C于G,將△48。繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△43,

則AE=AD,ZDAF=90°,BD=CF=6,NACF=NB=45。,/BAD=NCAF,

：.ZEAF=ZCAE+NCAF=ZCAE+ZBAD=90°—45°=45°=ZEAD,

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AF=AD

在XEAF和□￡>!￡>中，<ZEAF=ZEAD,

AE=AE

:DEAF印EAD（SAS）,

DE=EF,

???ZECA+ZACF=9Q°,

DE=EF=VC￡2+CF2=10，

BC=BD+DE+CE=24,

?在等腰RtZkABC中，AB=AC,AGLBC,

：.AG=-BC=12,

2

：.△48。與△AEC的面積之和為g（BD+CE）xAG=；（6+8）xl2=84,

故選：A.

10.如圖，二次函數(shù)丁=奴2+法+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)4-3,0）,其對稱軸為直線x=—1,有下列結(jié)論：①

abc<0：@b2-4ac>0;③a-b-2c>0；④關(guān)于x的方程ax?+（。一機(jī)）x+c=機(jī)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根；⑤（a+c）2</；⑥若P（—5,%）,Q（m,力）是拋物線上兩點(diǎn)，且％〉內(nèi)，則實(shí)數(shù)，"的取值范圍是

-5<m<3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況，一元二次方程根的

判別式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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由題意知，由二次函數(shù)丁=。必+法+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(—3,0),其對稱軸為直線x=-1,可解得

b=2a,c=-3a,可判斷①的正誤；由圖象可知方程+6%+C=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可判斷②

的正誤；由"。-2。=<2-2<2-2*(-3。)=5?！?,可判斷③的正誤；由

A=(b-m)"—4a(c-機(jī))=(2a-ni)’+12a2>0,可判斷④的正誤；由(a+c『=4/=/,可判斷⑤

的正誤；由題意知，尸(-5,%)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(3,%),實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是-5〈根<3,

可判斷⑥的正誤.

【詳解】解：由題意知，a>0,

..?二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(—3,0),其對稱軸為直線x=-l,

b

9a—3b+c=0,——1,

2a

??Z?—2〃，c——3〃，

abc=-6a3<0,①正確，故符合要求；

；方程ax2+bx+c^0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

〃—4ac〉0，②正確，故符合要求；

a—b—2c—ci—2a—2x(—3a)=5a〉0,

...③正確，故符合要求；

ax~+(b-m)x+c=m,

ax~+(b-m)x+c-m=0,

/.A=(b-m)~-4tz(c-m)=b2-4bm+m2-4ac+4am=(2a-機(jī)+12a2>0,

該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，④正確，故符合要求；

(a+c)~=4a2=b1,

.?.⑤錯(cuò)誤，故不符合要求；

由題意知，P(-5,%)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(3,%),

%〉當(dāng)，

由函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，實(shí)數(shù)相的取值范圍是-5<加<3,⑥正確，故符合要求；

故選：D.

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二、填空題（每小題3分，共15分）

11.已知點(diǎn)A（a,l）與點(diǎn)A（5,。）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則.

【答案】-6

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得答案.

【詳解】解：由題意，得：

a——5，b=-1.

a+b=—5+（-1）=-6,

故答案為：-6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對稱，熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對稱的特征是解題的關(guān)鍵.

12.拋物線丁=/—2尤+3頂點(diǎn)坐標(biāo)是一.

【答案】（L2）

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的一般式與頂點(diǎn)式，將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式可直接得到頂

點(diǎn)坐標(biāo).能夠熟練的將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式是本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：拋物線y=2x+3=（x-iy+2,

頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,2）.

故答案為：（1,2）.

13.若關(guān)于x的一元二次方程丘2-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是.

【答案】上>-1且原0

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式列不等式即可求得上的取值范圍.

【詳解】???關(guān)于X的一元二次方程區(qū)2-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

△=b~-4ac=（-2）2+4k>0,且ZwO,

解得：k>-1且際0,

故答案為：%>-1且#0

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式.對于一元二次方程依2+"+。=0（。彳0）,根的

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判別式△=〃_4ac，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△<()時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；要注意。力0這個(gè)隱含條件，避免漏解.

14.如圖，在口ABC中，ZABC=90°,把DABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到日D3E,b是ED的中點(diǎn),

若AB=4,BC=6,則線段b的長為—.

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判斷和性質(zhì)及勾股定理，過點(diǎn)/作引0，3E于V,FN上BD于

N,易證明四邊形BMPN是矩形，得到BN=FM,由FM〃8D,NF//BE,得到

nEMF^UEBD,UDNF-DBE,又由歹是ED的中點(diǎn)，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可得

FM=-BD=2,NF=-BE=3,進(jìn)而得到CN=BC—BN=4,由勾股定理可求得CF的長，構(gòu)造

22

出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)/作于"，F(xiàn)NLBD千N,

則ZBME=ZBNE=NCNE=90。，F(xiàn)M//BD,NF//BE,

由旋轉(zhuǎn)可得，NDBE=ZABC=9U。,BD=AB=4,BE=BC=6,

四邊形是矩形，

BN=FM,

'：FM//BD,

：.ZEFM=ZEDB,ZEMF=NEBD,

???□EMF—EBD,

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.FMEM

???尸是屈。的中點(diǎn)，

FMi

?u?一,

BD2

FM=-BD=2,

2

同理可得行=工5￡=3,

2

CN=BC-BN=4,

CF=ylcN?”鏟收+號=5>

故答案為：5.

15.如圖，在DABC中，NB4c=90。，AB=AC,3c=100,。為邊A3上一動(dòng)點(diǎn)（8點(diǎn)除外），連

接CD,將線段OC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段。E,連接BE,則面積的最大值為一.

【答案】—

2

【解析】

【分析】過點(diǎn)E作ENLA3交A4的延長線于N,根據(jù)AAS證得口瓦爾結(jié)。CA,得出EN=DA,根據(jù)

三角形三邊關(guān)系可得AB=10,設(shè)8O=x,則EN=D4=10-x,根據(jù)三角形面積公式得到

1925

saBDE=--^-5y+—,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作ENLAB交氏4的延長線于N,

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E

：.ZEDN+ZDEN=90°,

由旋轉(zhuǎn)可知，NEDC=90。,DE=DC,

：.ZEDN+ZCDA=9Q°,

：.ADEN=NCDA,

：.DEDN^DDCA(AAS),

：.EN=DA,

在口ABC中，ABAC=90°,AB=AC,BC=1072,

Ji

???AB=AC=-BC=10^

2

?BD-x,則EN=DA=10—%

SUBOE=g3D,EN=gx(10-x)=-g(x-5)2+m，

25

當(dāng)BD=5時(shí)，S叢BDE有最大值為，

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)

等，得到三角形的面積關(guān)于尤的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

三、（第16題8分，第17題8分，共計(jì)16分）

16.如圖，方格中每個(gè)小正方形的邊長都是單位1,DABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖.

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yk

（1）畫出DABC關(guān)于y軸對稱的△A^iG；

（2）畫出口48。繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的△人與6,并寫出C2的坐標(biāo)；

（3）判斷和△A與C?是不是成軸對稱?如果是，請?jiān)趫D中作出它們的對稱軸.

【答案】⑴見解析（2）C2（3,-3）,圖見解析

（3）是，圖見解析

【解析】

【分析】此題主要考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換以及作圖-軸對稱變換，解答本題的關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵

點(diǎn)的對稱點(diǎn)的位置.

（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)可得出三頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，順次連接

得到答案.

（2）先畫出三角形各頂點(diǎn)繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的位置，再用線段依次連接各頂點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的三

角形；

（3）根據(jù)軸對稱的定義可得對稱軸.

【小問1詳解】

解：如下圖，△a與a即為所求作三角形；

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C（3,-3）;

【小問3詳解】

△A51G和A&BG是成軸對稱.對稱軸如下圖所示:

17.解方程

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(1)2X2-4X+1=0(配方法);

(2)(2x+3)2—4x—6=0.

【答案】⑴X=1-^^-,x2=1+

1222

31

(2)Xj=——>“2=-5

【解析】

【分析】本題考查了配方法、因式分解法解一元二次方程.熟練掌握配方法、因式分解法解一元二次方程是

解題的關(guān)鍵.

(1)配方法解一元二次方程即可;

(2)因式分解法解一元二次方程即可.

【小問1詳解】

解：2——4x+l=0,

x2-2x+l=--+l,

2

(1)2三，

.14近

??x—1=±----，

2

解得，%,=1-—<%,=1+—；

12-2

【小問2詳解】

解：(2x+3『—4x—6=0,

(2x+3)2-2(2x+3)=0,

(2x+3)(2x+3—2)=0,

2x+3=。或2x+3—2=0,

31

解得，-Vj=——,羽=—.

22

四、(第18題8分，第19題8分，共計(jì)16分)

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18.如圖，用一段長為40m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m.

(1)菜園的面積為192m2,求矩形的長與寬；

(2)矩形的長與寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

【答案】(1)長為16m,寬為12m；

(2)長為18m,寬為11m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為198m

【解析】

40—x

【分析】(1)這個(gè)矩形的長為由，則矩形的寬為-----m,列出方程即可求解；

2

(2)設(shè)菜園面積為S,得出S關(guān)于x的二次函數(shù)解析式，然后求二次函數(shù)的最大值即可求解；此題考查

了一元二次方程與二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、準(zhǔn)確列出一元二次方程與二次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)

鍵.

【小問1詳解】

解：設(shè)平行于墻的矩形邊長為加n,

40X+384=0,

解得石=16,%=24〉18不合題意，舍去，

答:矩形的長為16m,寬為12m；

【小問2詳解】

設(shè)菜園的面積為Sn?,平行于墻的矩形邊長為

40—X1?

則S=x.——=20)-+200,

Vt7=--<0,拋物線開口向下，對稱軸為x=20,當(dāng)XV20時(shí)，S隨尤的增大而增大

2

XV0<x<18,

x=18時(shí)，S有最大值，

答：矩形的長為18m,寬為11m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為198m2.

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19.如圖所示，尸是等邊DABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA,PB,PC,將△R4P繞2點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得△3CQ,

連接尸。，當(dāng)NPQC=90°時(shí)，請猜想出PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】PA2+PB2=PC2，證明見解析

【解析】

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理；可證△5PQ是等邊三角形，從而

可得尸8=尸。，再由PQ2+CQ2=尸。2,即可得證；能根據(jù)性質(zhì)證出=P。是解題的關(guān)鍵.

【詳解】PA2+PB2=PC2;

證明：--ABCQ由ABAP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，

ZPBQ=60°,BP=BQ,PA^CQ,

..口BPQ是等邊三角形，

：.PB=PQ,

在△PQC中，

ZPQC=90°,

PQ2+CQ2=PC2,

???PA=CQ,PB=PQ,

PA2+PB-=PC~~

五、解答題（8分）

20.今年6月16日晚，遼寧省第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式在撫順市國家3A級風(fēng)景區(qū)月牙島生態(tài)公園舉行，創(chuàng)造

了絕美的撫順精彩，留下了深刻的撫順記憶.很多健步走愛好者把月牙島生態(tài)公園作為他們新的運(yùn)動(dòng)打卡

地.他們利用手機(jī)的“微信運(yùn)動(dòng)”來記錄每天在月牙島生態(tài)公園運(yùn)動(dòng)步數(shù)，數(shù)學(xué)楊老師第一天利用“微信

運(yùn)動(dòng)”跟隨動(dòng)感音樂記錄了自己在月牙島走了10000步，假設(shè)平均每步長是0.5米，他第二天通過增加步數(shù)

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和提高平均步長的方式增加運(yùn)動(dòng)量，第二天走了6600米，其中運(yùn)動(dòng)步數(shù)的增長率是平均步長增長率的2倍,

請你幫助計(jì)算一下楊老師平均步長的增長率是多少？

【答案】10%

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)楊老師平均步長增長的百分率為無，根據(jù)等量關(guān)系，列出

方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)楊老師平均步長增長的百分率為尤，

則10000（1+2x）X0.5（1+%）=6600,

x2+1.5x-0.16=0

解得石=0.1=10%,X2=-1.6（不合題意，舍去）.

答：楊老師平均步長增長的百分率是10%.

六、解答題（10分）

21.我市某化工材料經(jīng)銷商購進(jìn)一種化工材料若干千克，成本為每千克30元，物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不

低于成本價(jià)且不高于成本價(jià)的2倍，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)

關(guān)系，如圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）若在銷售過程中每天還要支付其他費(fèi)用450元，當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，該公司日獲利最大？最大獲

利是多少元？

口任克）

140......

100........

f.

?*

?■?■

______::一

O3050T（元）

【答案】⑴y=-2x+200（30<x<60）；（2）每千克60元，最大獲利為1950元

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【解析】

【分析】(1)設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為丁=履+優(yōu)左wO),根據(jù)圖像中的兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；

(2)由獲利W=(x—30)(—2x+200)—450,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：

(1)設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為y=-+少(左70)

由圖象可得，當(dāng)x=30時(shí)，y=140；%=50時(shí)，y=100

140=30左+6[k=-2

《，解得,

[100=50k+b[b=200

y與X之間的關(guān)系式為y=-2x+200(30<x<60).

(2)設(shè)該公司日獲利為W元，由題意得

W=(x-30)(-2x+200)-450=-2(x-65)2+2000

a=—2<0；

拋物線開口向下；

:對稱軸x=65；

...當(dāng)x<65時(shí)，W隨著x的增大而增大；

304x460,

...x=60時(shí)，W有最大值；

%大值=-2x(60-65)2+2000=1950.

即，銷售單價(jià)為每千克60元時(shí)，日獲利最大，最大獲利為1950元.

【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的性質(zhì).

七、綜合與實(shí)踐(12分)

22.問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，楊老師提出如下問題：將圖1中的正方形紙片沿對角線剪開，得到兩

個(gè)全等的等腰直角三角形紙片，表示為UABC和口。EE,其中ZACB=NDEF=90°,將UABC和口￡>￡/

按圖2所示方式擺放(點(diǎn)C,B,E三點(diǎn)共線)，其中點(diǎn)2與點(diǎn)。重合(標(biāo)記為點(diǎn)8).連接A尸，取A尸的

中點(diǎn)M,過點(diǎn)尸作NF〃AC交CM的延長線于點(diǎn)N.

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N

圖3

（1）試判斷口CEN的形狀，直接寫出答案.

（2）深入探究：楊老師將圖2中的△3EP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C,B,E三點(diǎn)不在一條直線上

時(shí)，如圖3所示，并讓同學(xué)們提出新的問題并解決新問題.

①“洞察小組”提出問題是（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請你證明，若不成立；請你寫出新的結(jié)

論，并證明；

②“思辨小組”提出問題是：若正方形的邊長是4,把圖2中的△3EF繞點(diǎn)8順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)點(diǎn)

C,B,廠三點(diǎn)共線時(shí)，請你直接寫出口CEN的面積.

【答案】（1）口CEN是等腰直角三角形

（2）①成立，理由見解析；②16±8近

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正方形和等腰直角三角形性質(zhì)可證得UAMC^FMN,推出

AC=FN=EF,CE=EN=2AC,ZCEN=90°,即可證得結(jié)論；

（2）①延長CBNR相較于點(diǎn)"，設(shè)E尸與8〃相較于點(diǎn)。，可證得口40。藥引新，得出NF=AC,

再證得□EBC/0E/W,可得NCE3=ZNEF,CE=EN,即可推出DCEN是等腰直角三角形；

②分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)尸在的延長線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)尸在的延長線上時(shí)，分別運(yùn)用等腰直角三角形性質(zhì)和

勾股定理即可求得答案.

【小問1詳解】

□CEN是等腰直角三角形

如圖，口ABC和按是等腰直角三角形，

NACB=NBEF=90°,

AC=BC=BE=FE,

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?.?點(diǎn)C,B,E三點(diǎn)不在一條直線上，ZACB+NBEF=180°,

：.ACUEF,

.??四邊形ACEE是矩形，

ZCAM=NNFM=90°,

?.?點(diǎn)M是A尸的中點(diǎn)，

AM=FM,

在DAMC和口月新中，

ZCAM=ZNFM

<AM=FM,

ZAMC=ZFMN

：,UAMC^3FMN(ASA),

AC=FN=EF,

：.CE=EN=2AC

?：NCEN=90°,

.〔□CEN是等腰直角三角形.

【小問2詳解】

解：①成立，即口CEN是等腰直角三角形，理由如下：

如圖：延長CBNR相較于點(diǎn)區(qū)設(shè)石尸與3〃相較于點(diǎn)。，

?點(diǎn)M是的中點(diǎn)，

AM=FM,

NF//AC,

ZCAF=NNFA；

又：ZAMC=ZFMN,

.7□AMCgFMN(ASA)

Z.NF=AC,

,/AACB和ABEF是腰長相等的等腰直角三角形，

二AC=CB=BE=EF=NF,且ZACB=ZBEF=90°

?：NF//AC,

：.ZACB+ZCHN=18Q°,

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ZCHN=90°.

ZFOB是4BOE和AFOH的外角

，ZFOB=ZOFH+90°=ZOBE+90°

ZOFH=ZOBE,

ZCBE=ZEFN,

：.0CBE^EFN(SAS'),

ZCEB=ZNEF,CE=EN,

ZCEB+ZBEN=NNEF+NBEN=90°,

即NCEN=90°,

???□CEN是等腰直角三角形；

②當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長線上時(shí)，過點(diǎn)E作EKLCR于K,如圖,

?.?正方形的邊長是4,

BC=BE=EF=4,

ABEF是等腰直角三角形，EKLBF,

?*-EK=BK=2后，

CK=4+2血，

由①知口CEN是等腰直角三角形,

22

???SQCEN=|CE=1(C^+EK?)=1[(4+28丁+(2血)216+80;

當(dāng)點(diǎn)尸在的延長線上時(shí)，過點(diǎn)E作EG，5尸于G,如圖，

F*~Z~C--------8

則3G=EG=FG=2>/^，CG=BC-BG=4-2血，

由①知口CEN是等腰直角三角形，

第21頁/共27頁

22222

.?.SUC￡；V=1CE=1(CG+EG)=|[(4-2V2)+(2V2)]=16-8V2;

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)C,B,尸三點(diǎn)共線時(shí)，口CEN的面積為16+80或16-8亞.

【點(diǎn)睛】本題是正方形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，

全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積等，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵.

八、綜合與探究（13分）

23.如圖，直線＞=一％+4與坐標(biāo)軸交于B,C兩點(diǎn)，拋物線y=-爐+6x+c經(jīng)過8,C兩點(diǎn)，與無軸交于

點(diǎn)A.

備用圖

（1）求拋物線的解析式；

（2）M在直線上，線段跖1繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得也），過點(diǎn)。做y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E,

若DE的長是1,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）P在拋物線上，。在直線上，以尸，Q,B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，直接寫出點(diǎn)。的

坐標(biāo).

【答案】（1）y=-x2+3x+4

35

(3)(-1,5),,(-2,6),(10,-6)

252

【解析】

【分析】（1）利用求出點(diǎn)8和點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出答案;

（2）根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況求解即可；

（3）分四種情況分別進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

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解：當(dāng)x=0時(shí)，y=4,當(dāng)y=。時(shí)，％=4,

???直線y=-％+4與x軸交于點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C

把8（4,0）,。（0,4）代入拋物線丁=—/+/?、+（?中，

-16+46+c=0

<

c=4

b=3

解得《/

c=4

拋物線解析式是y=-x2+3x+4

【小問2詳解】

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)E下方時(shí)，如圖，過點(diǎn)M作河于點(diǎn)”，過點(diǎn)。作交”M的延長線于點(diǎn)N,

過點(diǎn)。作。E〃》軸交拋物線于點(diǎn)E,

ZMHA=ZDNM=90°,

ZMAH+ZAMH=90°,

:線段MA繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得MD,

/.ZAMD=90°,MA=MD,

：.NDMN+ZAMH=90°,

ZMAH=NDMN,

又=

0AHM空MND(AAS),

第