2022-2023學(xué)年北京通州區(qū)高二年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

通州區(qū)2022-2023學(xué)年第二學(xué)期高二年級期末質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷2023年7月

本試卷共4頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答

無效?？荚嚱Y(jié)束后，請將答題卡交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一

項。

(1)二項式（x+2F的展開式的第3項為

(A)40x2(B)80x2(O40/(D)801

(2)4名學(xué)生與1名老師站成一排照相，學(xué)生請老師站在正中間，則不同的站法種數(shù)為

(A)12(B)18(C)24(D)48

(3)已知函數(shù)f（x）=ex,則/（x）的導(dǎo)函數(shù)/'（x）=

(A)-eT(B)-er(C)e-x(D)ex

(4)已知函數(shù)/（x）=xlnx,則/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為

(A)(-00,—)(B)(0,-)(C)(0,+oo)(D)(一,+oo)

eee

已知離散型隨機變量X的分布列為P（X=，）qg，2,3,4）

(5),則尸(XW2)=

13

(A)-(B)-(C)一(D)1

424

(6)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲4次，恰好出現(xiàn)3次正面朝上的概率為

1、11

(A)—(B)—(C)-(D)-

161284

(7)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2,〃），且P（0<X<2）=0.2,則P（X>4）=

(A)0.3(B)0.4(C)0.6(D)0.8

高二數(shù)學(xué)試卷第1頁（共4頁）

(8)籃球運動員在比賽中每次罰球得分的規(guī)則是：命中得1分，不命中得()分.已知某籃球運動員罰

球命中的概率為0.8,設(shè)其罰球一次的得分為X,則

(A)E(X)=0.5,Z)(X)=0.20(B)E(X)=0.5,D(X)=0.25

(C)E(X)=0.8,D(X)=0.12(D)E(X)=0.8,D(X)=0.16

(9)已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)圖象如圖所示，給出下列四個結(jié)論:

①/(x)在區(qū)間(-?),-3)上單調(diào)遞增;

②/(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減；

③/(x)在x=0處取得最大值；

④/(為在x=2處取得極小值.

則其中結(jié)論一定正確的個數(shù)是

(A)1(B)2

(10)已知函數(shù)/(x)=-V+x—Hnx為其定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)”的取值范圍為

(A)［：,+oo)(B)［：,+8)(C)己,+8)(D)［：,+oo)

o4o2

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)在2道代數(shù)題和3道幾何題中，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回，設(shè)4="第一

次抽到代數(shù)題"，8="第二次抽到幾何題”，則P(AB)=；P(B|A)=.

(12)二項式(x-')8的展開式中常數(shù)項為.

X

(13)已知函數(shù)〃x)=*，則/(X)的零點是；極值點是.

(14)已知一個三位數(shù)，如果滿足個位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都大于十位上的數(shù)字，那么我們稱該

三位數(shù)為“凹數(shù)"，則沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”的個數(shù)為.(用數(shù)字作答)

高二數(shù)學(xué)試卷第2頁(共4頁)

x2ev,x<l

(15)已知函數(shù)/(力=F，給出下列四個結(jié)論：

一■，工21

lx

①函數(shù)/(x)存在4個極值點；

513

②/\-)>/*(-)>/'(-);

③若點尸(西,乂)(玉<1)，。*2,必)(々21)為函數(shù)/(?圖象上的兩點，則

4e—e2

f(x})-f(x2)<―--；

④若關(guān)于X的方程"(x)］2-2如(X)=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是

住高喏

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(16)(本小題12分)

已知函數(shù)f=—%3+—x~—2.x+1.

(I)求/(X)的單調(diào)區(qū)間及極值；

(II)求/(X)在區(qū)間［-3,0］上的最大值和最小值.

(17)(本小題12分)

袋中有4個白球、2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取1個球.

(I)若每次抽取后不放回，求連續(xù)抽取3次至少取到1個黑球的概率；

(II)若每次抽取后放回，求連續(xù)抽取3次恰好取到1個黑球的概率.

高二數(shù)學(xué)試卷第3頁(共4頁)

(18)(本小題14分)

某學(xué)校為了解高一新生的體質(zhì)健康狀況，對學(xué)生的體質(zhì)進行了測試，現(xiàn)從男、女生中各隨機抽取

20人作為樣本，把他們的測試數(shù)據(jù)整理如下表，規(guī)定：數(shù)據(jù)60,體質(zhì)健康為合格.

等級數(shù)據(jù)范圍男生人數(shù)女生人數(shù)

優(yōu)秀[90,100]46

良好[80,90)66

及格[60,80)76

不及格60以下32

(I)估計該校高一年級學(xué)生體質(zhì)健康等級為合格的概率；

(II)從樣本等級為優(yōu)秀的學(xué)生中隨機抽取3人進行再測試，設(shè)抽到的女生數(shù)為X,求X的分布列和

數(shù)學(xué)期望；

(III)從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人健康等級

是優(yōu)秀的概率.

(19)(本小題15分)

已知函數(shù)/。)=/一如一1,g(x)=xlnx-l.

(I)若/(x)在區(qū)間(-2,1)上恰有一個極值點，求實數(shù)機的取值范圍；

(II)求g(x)的零點個數(shù);

(III)若加=1,求證：對于任意XG(O,+8),恒有/(x)2g(x).

(20)(本小題16分)

已知函數(shù)/(x)="lnx+Z?x,a,beR.

(I)當(dāng)a=l,人=1時，求曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程；

(H)當(dāng)。＞(),。=一2時，求/(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值；

(III)當(dāng)。=1時，設(shè)g(x)=/(x)+sinx,判斷g(x)在xe(0,K］上是否存在極值.若存在，指出是

極大值還是極小值；若不存在，說明理由.

高二數(shù)學(xué)試卷第4頁(共4頁)

(21)(本小題16分)

為了拓展學(xué)生的知識面，提高學(xué)生對航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織

學(xué)生參加航空航天科普知識答題競賽，每位參賽學(xué)生可答題若干次，答題賦分方法如下：第一次答題，

答對得2分，答錯得1分；從第二次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得1分.學(xué)生

甲參加這次答題競賽，每次答對的概率為7,且每次答題結(jié)果互不影響.

4

(I)求學(xué)生甲前三次答題得分之和為4分的概率；

(II)設(shè)學(xué)生甲第，?次答題所得分數(shù)X,(ieN*)的數(shù)學(xué)期望為E(X,).

(i)求七(XJ,E(X2),E(X3)；

(ii)寫出E(X,T)與E(XJ(i22)滿足的等量關(guān)系式(直接寫出結(jié)果，不必證明)；

(iii)若E(XJ>10,求i的最小值.

高二數(shù)學(xué)試卷第5頁(共4頁)

通州區(qū)2022-2023學(xué)年第二學(xué)期高二年級期末質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2023年7月

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

題號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

答案CCABBDADBA

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

33

(11)—；-(12)70(13)x=l；x=2(14)240(15)①③④

104

三、解答題(共6小題，共85分)

(16)(本小題12分)

解：(I)因為/(X)=；d+gx2-2x+],定義域為(-00,+8),

所以f'(x)=x2+x-2.

令/'(x)=O,解得了=—2,或x=l.

當(dāng)了變化時，/'(x),/(x)的變化情況如下表所示.

Xy,-2)-2(-2,1)1(1,+8)

r(x)+0—0+

13

單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

~3~6

所以，當(dāng)x=-2時，f(x)有極大值，且極大值為/(一2)=§；

當(dāng)％=1時，/(x)有極小值，且極小值為/(1)=—8分

6

(H)由(I)知，/(x)在區(qū)間［-3,0］上有極大值為/(—2)=了.

因為/(—3)=|,/(0)=1.

高二數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第1頁(共6頁)

所以/(x)在區(qū)間［-3,0］上的最大值為石，最小值為1...............12分

(17)(本小題12分)

解：(I)設(shè)抽取3次，黑球的個數(shù)為X,

因為每次抽取后不放回，結(jié)果不獨立，所以X服從超幾何分布.

所以連續(xù)抽取3次至少取到1個黑球的概率為

P(X2D=P(X=1)+P(X=2)

C2c'C'C2314

-----1----.---1--................................6分

C：C555

(ID設(shè)抽取3次，黑球的個數(shù)為y,

因為每次抽取后放回，結(jié)果獨立，所以y服從二項分布.

因為袋中有4個白球、2個黑球，

21

所以每次抽取后放回，連續(xù)抽取3次每次抽取黑球的概率為一=

63

所以連續(xù)抽取3次恰好取到1個黑球的概率為

P(y=l)=C；x(l)x(l-1)2=^...............12分

(18)(本小題14分)

解：(I)由表可知，樣本中合格的學(xué)生數(shù)為：4+6+7+6+6+6=35,樣本總數(shù)為：20+20=40,

357

所以估計該校高一年級學(xué)生體質(zhì)健康等級為合格的概率P=—=-...............3分

408

(II)依題意X的可能取值為0,1,2,3.

C31C2cl3

所以P(x=o)=番F(xiàn)P（X=\\=^^=—

、C10

P（X=2）=等=gP（X=3）=*3

jo乙jo°

所以X的分布列為:

X0123

13￡

P

301026

13119

所以E（X）=0x-+lx—+2x-+3x-=-.................................9分

3010265

高二數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第2頁(共6頁)

(Ill)設(shè)“該校高一年級男生體質(zhì)健康等級是優(yōu)秀”為事件A,“該校高一年級女生體質(zhì)健康等級是優(yōu)

秀”為事件B,

所以P(A)=3=L,=—

2052010

1137

所以隨機抽取的3人中，2人健康等級是優(yōu)秀的為男生的概率為一x—x(l-二)=——

5510250

隨機抽取的3人中，2人健康等級是優(yōu)秀的為1個男生1個女生的概率為

113L1312

—x(l——)x---1-(1——)x—X—=-----.

55105510125

71231

所以估計這3人中恰有2人健康等級是優(yōu)秀的概率為P=--+—=--.................................14分

250125250

(19)(本小題15分)

解：(I)因為函數(shù)/(x)=/-皿一1,

m

所以/(X)的對稱軸為X=§.

因為f(x)在區(qū)間(-2,1)上恰有一個極值點，

in

所以—2<—■<1,所以—4<<2.

2

所以實數(shù)〃?的取值范圍是(一4,2)............................4分

(II)因為g(x)=xlnx-l,定義域為(0,+8),

所以g'(x)=lnx+l.

令g'(x)<0,即lnx+l<0,解得x<‘；令g'(x)>0,即lnx+l>0,解得x>,.

ee

所以g(x)在區(qū)間(0,-)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-,+?))上單調(diào)遞增.

ee

當(dāng)0<工<2時，Inxc—l,所以xlnx-lvO.

e

所以g(x)在(0」)上沒有零點.

e

因為g(')=-'-l<0，g(e)=e-l〉O.

ee

所以g(x)在區(qū)間(L+8)上存在1個零點.

e

高二數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第3頁(共6頁)

所以g(x)的零點個數(shù)為1...............10分

(III)因為m=1,所以/(X)=%2-X-1

所以要證/(x)2g(x),即證x2—x—i?xinx—l，只需證x—lNlnx.

設(shè)g(x)=x-l-lnx,%e(0,+oo),

所以g'(x)=l_，=上.

XX

令g'(x)<0,得x<l；令g'(x)>0,得x>l.

所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(L+8)上單調(diào)遞增.

所以g(x)在區(qū)間上的最小值為g(D=0.

所以g(x)2O,即x-124nx.

所以對于任意xw(0，+8),恒有/(x)2g(x)...............15分

(20)(本小題16分)

解：(I)因為a=l,b=l,所以f(x)=lnx+x.

所以/'(x)=’+L

X

所以."1)=1,廣⑴=2.

所以曲線y=/(%)在點(1,/(D)處的切線方程為y—1=2(x—1),即2%-y-1=0.

...............3分

(II)因為6=-2,所以/(x)=alnx-2x,定義域為(0,+8).

所以/0)=3一2=0士^

XX

令/'(x)>0,即一2x+a>0,得尤<4；令/'(x)<0,即一2x+a<0,得尤〉

22

因為a>(),

所以/(x)在區(qū)間(0,9上單調(diào)遞增，在區(qū)間段,+8)上單調(diào)遞減.

①當(dāng)即aW2時，/(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減.

高二數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第4頁(共6頁)

所以/(X)在區(qū)間［1,2］上的最大值/⑴=-2.

②當(dāng)1<@<2,即2<a<4時，/(x)在區(qū)間(1,@)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減.

222

所以f(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值/弓)="11^—a.

③當(dāng)羨》2,即介4時，/(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增.

所以“X)在區(qū)間［1,2］上的最大值/(2)=aln2—4...............9分

(IID因為。=1,g(x)=/(x)+sinx,

所以g(x)=lnx+Z?x+sinx,XG(O,TC］

所以gf(x)=—+/7+cosx.

x

令〃(x)=，+Z?+cosx,所以二一二一sinx.

XX

因為xw(0,7r］,所以〃(X)=--^-sinx<0.

X

所以g'(無)在區(qū)間(0,71］上單調(diào)遞減.

當(dāng)X.0時，g'O)f+8,又g'(7l)=。+工-1.

71

①當(dāng)，(兀)=。+工一120,即。21—L時，gTx)，0,

7171

所以g(X)在X€(0,兀］上單調(diào)遞增，

所以g(X)在X€(0,河上無極值.

②當(dāng)g'(兀)=。+!-1<0,即。<1一工時，g'(X)在xe((),7i)上有唯一零點％.

7171

所以當(dāng)xe(0,%)時，g'(x)〉0；當(dāng)時，g'(x)<0.

g(x)在(0,%)上單調(diào)遞增；在(七,兀)上單調(diào)遞減.

所以x=x。是函數(shù)g(x)的一個極大值點，且無極小值.

綜上所述，當(dāng)a'1-L時，函數(shù)g(x)無極值；

71

當(dāng)時，函數(shù)g(x)有極大值，但無極小值.................16分

兀

(21)(本小題16分)

解：(I)學(xué)生甲前三次答題得分之和為4分的概率，即為學(xué)生甲前三次答題中僅只答對一次的概率.

高二數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第5頁(共6頁)

設(shè)“學(xué)生甲前三次答題得分之和為4分”為事件A,

3

所以「⑷/寧（1-3分

31

⑴學(xué)生甲