福建省莆田錦江中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級上冊期中考試 數(shù)學(xué)

莆田錦江中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期期中考試

局二數(shù)學(xué)

一、單選題

A=[x\x2-7x<0)B-[x\x>4),?

1.已知集合II),II1,則NU3=()

A.0B.(4,7)C.(0,+e)D.(0,4)

2.已知p:x2-x<0,那么命題。的一個必要不充分條件是（）

121c

A.0<x<1B.—1<xv1C.—<x<—D.一<x<2

232

3.命題“VxNl,sinx—V<1”的否定是(

A.3%<1,sinx-x2>1B.*21,sinx-x：2>1

C.Vx<l,sinx-x2>1D.Vx>l,sinx-x2>1

5.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若f(x)=2/<l)+lnx,則/'⑴=()

A.-1B.1C.-2D.2

6.已知兀卜且3cos2a-4sina=1,則tan2a=()

1

A.一

37

第1頁/共7頁

472

7

7.第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲、乙等4名杭州亞運(yùn)會志愿者到游泳、

射擊、體操三個場地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳

場地，則不同的安排方法共有()

A.12種B.18種C.24種D.36種

8.數(shù)學(xué)來源于生活，約3000年以前，我國人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計(jì)數(shù)方法.十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法就是

中國數(shù)學(xué)史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)1?9的一種

方法.例如：3可表示為“三”，26可表示為“=，”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用

1-9這9個數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，個位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是()

一二三三|，，工

123456789

1517

A.-B.—C.-D.—

312212

二、多選題

1—v

9.關(guān)于函數(shù)/(x)=ln^—,下列選項(xiàng)中正確的有()

A./(X)的定義域?yàn)?―叫―l)U(l,+co)

B./(x)為奇函數(shù)

C./(x)在定義域上是增函數(shù)

D.函數(shù)/(x)與y=皿1一力一皿1+力是同一個函數(shù)

10.已知函數(shù)/(X)的圖象是由函數(shù)y=2sinxcosx的圖象向右平移四個單位得到，貝1|()

6

A./(x)的最小正周期為萬

JTJT

B./(“在區(qū)間上單調(diào)遞增

C.的圖象關(guān)于直線x=g對稱

D./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)［可對稱

11.如圖，在底面為正方形的四棱錐尸—4BC。中，平面48C。，AP=AB=\,則下列說法正確

第2頁/共7頁

的是()

A.異面直線尸8與NC所成的角為60。

B.直線尸。與平面04c所成的角為30°

C.平面PAD與平面尸48的夾角為30°

D.點(diǎn)C到面P8。的距離為

3

12.已知偶函數(shù)/(x)對VxwR,都有/(-x+2)+/(x+2)=0,且xe[0,2)時(shí)，/(x)=x+l,下列

結(jié)論正確的是().

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對稱

B./(x)是周期為4的函數(shù)

C./(-2)=0

三、填空題

13.某工廠月產(chǎn)品的總成本了(單位：萬元)與月長量x(單位：萬件)有如下一組數(shù)據(jù)，從散點(diǎn)圖分析可

知7與x線性相關(guān).如果回歸方程是j=x+3.5,那么表格中數(shù)據(jù)。的值為.

X/萬件1234

力萬件3.85.6a8.2

14.[x+4]的二項(xiàng)展開式中，Y項(xiàng)的系數(shù)為

15若兀＜9＜型且sin8=-。，則tan(d-E.]=

■25I4j

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16.我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量.概率

論中有一個重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量丫?B(〃,P),當(dāng)“充分大

時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量y可以由正態(tài)隨機(jī)變量x來近似，且正態(tài)隨機(jī)變量x的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量y

的期望和方差相同.棣莫弗在1733年證明了尸=’的特殊情形.1812年，拉普拉斯對一般的尸進(jìn)行了證明.

2

現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)不超過60次的概率為

(附：若則尸(〃-<7WX<〃+cr)^0.683,P^-2(y<X<//+2cr)~0.954,

P(X/-3(7<X<〃+3cr)?0.997)

四、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=sin[2x+/]+sin[2x—1]+百cos2x.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

71

(2)當(dāng)xe0,-時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和值域.

18.如圖，尸4,平面45CD,四邊形48c。為矩形，PA=AB=2,40=4,點(diǎn)尸是尸2的中點(diǎn)，點(diǎn)

E在邊BC上移動.

(1)求三棱錐E-P4D的體積；

(2)證明：AFLPE.

19.某地級市受臨近省會城市的影響，近幾年高考生人數(shù)逐年下降，下面是最近五年該市參加高考人數(shù)y

與年份代號x之間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)表.

年份代號X12345

高考人數(shù)了(千人)3533282925

(其中2018年代號為1,2019年代號為2,…2022年代號為5)

(1)求了關(guān)于尤的線性回歸方程；

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（2）根據(jù)（1）的結(jié)果預(yù)測該市2023年參加高考的人數(shù);

（3）試分析該市參加高考人數(shù)逐年減少的原因.

2（玉-%）卜,T__

（參考公式：6=上—------------,a=y-bx）

Z（x,-x）

Z=1

20.如圖，在四棱錐尸—4BCZ）中，P￡>_L平面48CD,底面48CD為菱形，E,尸分別為尸48c的中

點(diǎn).

P

（2）若N4DC=120°,PD=4,4D=2,求直線/廠與平面。斯所成角的正弦值.

21.數(shù)學(xué)奧林匹克競賽是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力競賽項(xiàng)目，旨在通過競賽選拔優(yōu)秀人才，促進(jìn)青少年智力發(fā)展，

很多優(yōu)秀的大學(xué)在強(qiáng)基計(jì)劃中都設(shè)置了對中學(xué)生奧林匹克競賽成績的要求，因此各中學(xué)學(xué)校對此十分重

視.某中學(xué)通過考試一共選拔出15名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)，其中高一學(xué)生有7名、高二學(xué)生有6

名、高三學(xué)生有2名.

（1）若學(xué)校隨機(jī)從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)抽取3人參加一項(xiàng)數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自

高一的概率；

（2）現(xiàn)學(xué)校欲通過考試對數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)成員進(jìn)行考核，考試一共3道題，在測試中.3道題中至少答對

2道題記作合格.現(xiàn)已知張同學(xué)每道試題答對的概率均為;，王同學(xué)每道試題答對的概率均為：，并且每

位同學(xué)回答每道試題之間互不影響，記X為兩名同學(xué)在考試過程中合格的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

22.已知函數(shù)/（%）=》2卜"+機(jī)），機(jī)eR.

（1）當(dāng)，〃=-1時(shí)，求/（x）在點(diǎn)處的切線方程.

（2）若g（x）=/5-欣-1的圖象恒在x軸上方，求實(shí)數(shù)切的取值范圍.

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莆田錦江中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期期中考試

局二數(shù)學(xué)

一、單選題

A=lx\x2-7x<0）B-[x\x>4）.?

1.已知集合IIJ，'?i,則ND8=（）

A.0B.（4,7）C.（0,+°）D.（0,4）

【答案】C

【解析】

【分析】先將集合/化簡，再根據(jù)集合的并集運(yùn)算得解.

【詳解】因?yàn)?=卜,-7x<o}={x[0<x<7）,B=>41,

故NU8=（0,+oo）.

故選：C.

2.已知己：/—x<0,那么命題P的一個必要不充分條件是（）

121°

A.0<x<lB.-1<X<1C.—<x<—D.一<x<2

232

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)必要條件的定義對每個選擇進(jìn)行分析即可求解.

【詳解】p:x2-x<OoO<x<l,

根據(jù)充分條件、必要條件的定義可知：

對于A,0<x<l是。的充要條件,A錯誤；

對于B,-1<X<1是。的必要不充分條件，B正確；

對于C,，<x<2是。的充分不必要條件，C錯誤；

23

對于D,工<x<2是0的既不充分也不必要條件，D錯誤.

2

故選:B.

3.命題“Vx21,sinx-/<1”的否定是（）

A.3x<l,sinx-x2>1B.3%>1,sinx-x2>1

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C.Vx<l,sinx-x2>1D.Vx>1,sinx-x2>1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，

故“VxNl,sinx—d<「'的否定是FxNl,siiu-x2>r\

故選：B.

爐_1

4.函數(shù)/(x)=丁廠的圖象大致為()

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除BC,根據(jù)單調(diào)性可判斷A,即可求解.

2)22

【詳解】/(力=^x^的-l定義域是{小W0},關(guān)于原點(diǎn)對稱，=(-X-1x-1=所以

lxlrxllxl

/(x)是偶函數(shù)，排除B,C；

當(dāng)x>0時(shí)，y(x)=三匚=X—L易知/(x)在(0,+。)上是增函數(shù)，排除A.

XX

故選：D

5.已知函數(shù)/⑴的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若/(x)=2礦⑴+向，則/?)=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

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【解析】

【分析】求得/'(x)=2/⑴+L令尤=1,即可求解.

X

【詳解】由函數(shù)+可得/，(x)=2/'(l)+」,

X

令X=l,可得/'(1)=2/'(1)+1,解得/⑴=-L

故選：A.

6.已知。三]"!■，兀J,且3cos2o—4sina=1,貝Utan2a=()

.1R4V2

A.-D.----------

37

「1n4正

C.---L).--------

37

【答案】D

【解析】

【分析】由倍角余弦公式并整理得3sin2a+2sina—1=0,結(jié)合角的范圍得sina=；,進(jìn)而求tana,

應(yīng)用倍角正切公式求值即可.

【詳解】由3cos2a—4sina=3-6sin2a—4sina=1，即

3sin2a+2sina-1=(3sina-l)(sina+1)=0，

所以sina=，或sina=-1,又ae[巴n,71],貝!|sina=，1，

3UJ233

2J21

所以cosa=--------，則tana=------廣,

32V2

2tana4^2

由tan2a=

1-tan2a7

故選：D

7.第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲、乙等4名杭州亞運(yùn)會志愿者到游泳、

射擊、體操三個場地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳

場地，則不同的安排方法共有()

A.12種B.18種C.24種D.36種

【答案】C

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【解析】

【分析】本題只需考慮游泳場有2名志愿者和1名志愿者兩種情況即可.

【詳解】①游泳場地安排2人，則不同的安排方法有C；A；=6種，

②游泳場地只安排1人，則不同的安排方法有C；C；A；=18種，

所以不同的安排方法有6+18=24種.

故選：C

8.數(shù)學(xué)來源于生活，約3000年以前，我國人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計(jì)數(shù)方法.十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法就是

中國數(shù)學(xué)史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)1?9的一種

方法.例如：3可表示為“三”，26可表示為“=J_"，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用

1?9這9個數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，個位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是（）

______二二|，上工

123456789

1517

A.-B.—C."D.—

312212

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意把5根算籌所能表示的兩位數(shù)列舉出來后，求出數(shù)字和為5的兩位數(shù)個數(shù)作答.

【詳解】1根算籌只能表示1,2根算籌可表示2和6,3根算籌可表示3和7,4根算籌可表示4和8,5

根算籌可表示5和9,

因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76,共12個，

其中個位數(shù)與十位數(shù)之和為5的有14,41,23,32,共4個，

41

所以所求概率為

故選：A

二、多選題

1—v

9.關(guān)于函數(shù)/（x）=ln.,下列選項(xiàng)中正確的有（）

A./（x）的定義域?yàn)椋ā小猯）U（l,+co）

B./（X）為奇函數(shù)

C./（x）在定義域上是增函數(shù)

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D.函數(shù)/(x)與y=ln(l—x)-ln(l+x)是同一個函數(shù)

【答案】BD

【解析】

1_

【分析】①求函數(shù)/(X)的定義域，可令——x>0,解出此不等式的解集即可得到所求函數(shù)的定義域；

1+X

②判斷函數(shù)的奇偶性，要用定義法，由函數(shù)解析式研究/(-X)與/(X)的關(guān)系，即可證明出函數(shù)的性質(zhì);

③此函數(shù)是一個減函數(shù)，由定義法證明要先任取否,%且占<%,再兩函數(shù)值作差,判斷差的符號，再由定義得

出結(jié)論.

④判斷函數(shù)事都是同一函數(shù)，首先看定義域，定義域相同，然后看解析式,解析式也相同，即為同一函數(shù).

1—Y

【詳解】①由題意令——>0，解得-1<X<1,所以數(shù)的定義域是(-1,1),A錯誤；

1+x

]+Y1y

②由A知函數(shù)的定義域(一1)關(guān)于原點(diǎn)對稱，且/(-%)=Inp—=-In"=-/(x)函數(shù)是奇函數(shù),B正

確；

③此函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，證明如下：任取再屬于(-LD且再<々,

/㈤-/(x2)=ln^-出產(chǎn)二成一叫；；]

\\/]+玉1+x211-x21(1+xJ

由于國,電屬于(-1,1)且再<工2,

1-X］〉1一%2>0l+x2>1+%1>0,

(1一再)(1+%)

可得>1

(1-X2)(1+%i)

所以1<1-可"引>0

所以(7(1+引，

即有/(石)―/(9)>0,即/(占)〉/(%),

故函數(shù)在定義域是減函數(shù),C錯誤；

/\/、1—x>0

④函數(shù)>=ln1-x)-Inl+x定義域：八，即(TD,

l+x>0

\—x

歹=ln(l—x)—ln(l+x)=In=/(x),

1+x

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故函數(shù)/(X)與y=ln(l-x)-ln(l+x)是同一個函數(shù),D正確.

故選BD

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)：定義域、奇偶性、單調(diào)性，只需按照定義判斷即可.

10.已知函數(shù)/(x)的圖象是由函數(shù)y=2sinxcosx的圖象向右平移四個單位得到，貝！]()

6

A./(x)的最小正周期為萬

B./(“在區(qū)間-上單調(diào)遞增

C./(x)的圖象關(guān)于直線x對稱

D./⑺的圖象關(guān)于點(diǎn)go卜稱

【答案】AD

【解析】

【分析】用二倍角公式化簡j=2sinxcosx,向右平移后得/(x)=sin[2x—g],分別代入正弦函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間，對稱軸，對稱中心分別對四個選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因?yàn)?gt;=2sinxcosx=sin2x,向右平移2■個單位得/(x)==sin[2x-g],貝i]

2兀

最小正周期為7=萬=兀，故A選項(xiàng)正確；

jrJrTTyr57r

令——+2H<2x——V—+2左兀，解得----+——+左兀，所以單調(diào)遞增區(qū)間為

2321212

兀571

-------卜kn,---1-ku，左eZ,故B選項(xiàng)錯誤；

1212

TT1T，TTKTT

令2x——=—+E,解得x=—+—,左eZ,故C選項(xiàng)錯誤；

32122

令2x-巴=E,解得x=—+kn,keZ所以函數(shù)/(x)的對稱中心為(四+E,。],左eZ,故D選項(xiàng)正確.

3616)

故選：AD

11.如圖，在底面為正方形的四棱錐尸—4BCD中，尸2,平面48cO,AP=AB=\,則下列說法正確

的是()

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pk

A.異面直線尸2與NC所成的角為60。

B.直線尸。與平面尸4C所成的角為30°

C.平面尸8。與平面尸48的夾角為30°

D.點(diǎn)C到面尸2。的距離為走

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，證明兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線夾角余弦公式進(jìn)行求

解；B選項(xiàng)，證明8。，平面尸/C,故可取而=(-1,1,0)為平面尸/C的法向量，利用線面角的向量求

解公式進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，求出兩平面的法向量，利用相關(guān)公式求出兩平面夾角；D選項(xiàng)，利用點(diǎn)到平面

的距離公式求出答案.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)槭矫?BCD,48,ZDu平面48C。，

所以「/工/8,PALAD,

又四邊形/8C。為正方形，故48,/。,尸2兩兩垂直,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為MN/軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則尸(0,0,1),3(1,0,0),4(0,0,0),c(l,1,0),。(0,1,0),

則麗=(1,0,-。,就=(1,1,0),

\PB-AC\|(1,0,-1)-(1,l,0￡i

設(shè)直線與幺。所成的角大小為。，則cos9=|cos^P5,^|

|網(wǎng)西Vi+ixVi+i2

故6=60°,A正確;

B選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅?BCD為正方形，所以

又尸/,平面48c。，8。U平面48。￡),故尸/LAD,

因?yàn)閆CcP4=N,ZC,尸Zu平面尸4。,

第7頁/共20頁

所以8。，平面尸4C,故可取8。=(—1,1,0)為平面尸4。的法向量,

設(shè)直線PD與平面PAC所成的角大小為a,

則sma-cos/PD而”MM-/—(-單川」

\/閥|?陷Vl+lxVlZl2

故直線尸。與平面尸4C所成的角為30°,B正確；

C選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),

n-BD=(x,y,z)-(-l,l,0)--x+y=0

令y=l得x=z=l,

H-JPZ)=(x,j,z)-(O,l,-l)=j-z=0

故〃=(1,1,1),

平面PAB的法向量為m=(0,1,0),

故cosft外1(04,0)-(1,M)|_V3

故廠同臼一加市一3，

故平面P8。與平面尸48的夾角不為30°,C錯誤；

D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，平面尸8。的法向量為"=(1,1,1),

瓦|1(1,1,1)-(0,-1,0)1V3

故點(diǎn)C到面PBD的距離d=''廠——=—,D正確.

\n\V33

故選：ABD

12.已知偶函數(shù)/(x)對VxeR,都有/(—x+2)+/(x+2)=0,且xe[0,2)時(shí)，/(x)=x+l,下列

結(jié)論正確的是().

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對稱

B./(x)是周期為4的函數(shù)

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c./(-2)=0

【答案】ACD

【解析】

【分析】由/(—x+2)+/(x+2)=0可推出函數(shù)/(x)的對稱中心即可判斷A項(xiàng)，根據(jù)/(x)為偶函數(shù)及

/(-力+/卜+2)=0可推出函數(shù)/(力的周期可判斷8項(xiàng)，采用賦值法、偶函數(shù)性質(zhì)、周期性即可判斷C

項(xiàng)、D項(xiàng).

【詳解】對于A項(xiàng)，由/(-x+2)+/(x+2)=0得/⑴的圖象關(guān)于(2,0)中心對稱，故A正確；

對于B項(xiàng)，因?yàn)?("為偶函數(shù)，所以/(x—2)=/(-x+2),

又因?yàn)?(—x+2)+/(x+2)=0,所以/(x-2)=-/(x+2),

所以/(x)=-/(x+4),

所以/(x+8)=―/(x+4)=/(x),即/(x)是周期為8的函數(shù)，故B項(xiàng)錯誤；

對于C項(xiàng)，因?yàn)?(-x+2)=-/(x+2),

所以令x=0,則/⑵=一/(2),即/⑵=0,

又因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，所以/(—2)=/(2)=0,故C項(xiàng)正確；

對于D項(xiàng)，因?yàn)閤e[0,2)時(shí)，/(x)=x+l,/(x)的周期為8,7(x)為偶函數(shù)，

所以/=T=故D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.某工廠月產(chǎn)品的總成本了(單位：萬元)與月長量x(單位：萬件)有如下一組數(shù)據(jù)，從散點(diǎn)圖分析可

知》與x線性相關(guān).如果回歸方程是j=x+3.5,那么表格中數(shù)據(jù)。的值為.

X/萬件1234

力萬件3.85.6a8.2

第9頁/共20頁

32

【答案】6.4##y

【解析】

【分析】分別求出工廠總成本和月長量的平均值，代入回歸方程，即可求出表格中數(shù)據(jù)。的值.

【詳解】由題意及表知，

-1+2+3+45—117.6+a

x=------=—y=^(3.8+5.6+a+8.2)=

4

回歸方程是y=x+3.5，

17.6+a

=2.5+3.5

4

??ci—6.4.

故答案為：6.4.

14.1x+4］的二項(xiàng)展開式中，1項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】210

【解析】

【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后令x的次數(shù)為2,求出廠，代入通項(xiàng)公式中可求得結(jié)果.

102r

【詳解】1x+工］的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為＜+1=C；。=C；0-x-,

令10-2廠=2,得廠=4,

所以，項(xiàng)的系數(shù)為C：0=210,

故答案為：210

15.若兀＜6（〈型且sin8=-3,則tan（9—烏］=.

2514）

【答案】—,

【解析】

【分析】先根據(jù)平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系求出cosd,tan。，再利用兩角差的正切公式即可得解.

【詳解】因?yàn)樨＃?。＜型且sin9=-3,所以cos」=一Jl-sin?0=一3,

255

3

所以tan，=—,

4

第10頁/共20頁

兀3

/、tan0—tan——11

則tan=---------------=J"；

【）l+tan^tan—1+-

44

故答案為：—.

7

16.我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量.概率

論中有一個重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量丫?B（〃,P）,當(dāng)〃充分大

時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量y可以由正態(tài)隨機(jī)變量x來近似，且正態(tài)隨機(jī)變量x的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量y

的期望和方差相同.棣莫弗在1733年證明了尸=」的特殊情形.1812年，拉普拉斯對一般的尸進(jìn)行了證明.

2

現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)不超過60次的概率為

（附：若則尸（〃-?crWXV〃+<7）20.683,<X</n+2cr）?0.954,

P（/j-3cr<X<〃+3cr）?0.997）

【答案】0.977

【解析】

【分析】利用二項(xiàng)分布的期望和方差的公式以及正態(tài)分布的3。原則求解即可.

【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，設(shè)硬幣正面朝上次數(shù)為X,則X?

故￡（X）=100x；=50,Q（X）=100xgx[l-=25,

由已知得X?且〃=E（X）=50,4=D（X）=25,

因?yàn)槭?0VXW60卜0.954,

所以尸（40<X<60）=1-P（X<40）-P（X>60）=1—2尸（X>60）解得尸（X>60）=0.023,

5

所以尸（X<60）=l-P（X>60）=l-0.023=0,977,

故答案為：0.977.

四、解答題

17.已知函數(shù)/（x）=sin^2x++sin-+V3cos2x.

（1）求函數(shù)/（x）的最小正周期;

第11頁/共20頁

TT

(2)當(dāng)xe0,-時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和值域.

【答案】(1)兀

(2)八幻的減區(qū)間為2，]；函數(shù)Ax)的值域?yàn)椴?,2]

【解析】

【分析】(1)化簡得〃x)=2sin(2x+$,從而利用周期公式即可求解；

2r

(2)令—F2EW2XH—＜----卜2kn,kGZ,求解并結(jié)合xe0,—即可求得單調(diào)減區(qū)間；由于

232L2」

xe0,J,可得2x+'e,再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

L2J3133」

【小問1詳解】

因?yàn)閟in(2x+四)=—sin2x+—cos2x,sin(2x--)=—sin2x--cos2x,

322322

所以/(x)=sin2x+V3cos2x=2sin(2x+y),

2兀

所以/(X)的最小正周期是一=兀;

2

【小問2詳解】

7T7T3冗717冗

令一+2hi＜2x+—＜一+2析#GZ,解得一+左兀＜x＜一+kn.kGZ,

2321212

令左=0,則

1212

TT兀兀

由于xe0,-,所以/(x)的減區(qū)間為

12?2.

,,「八兀I兀兀4兀所以sin(2x+—j€—

因?yàn)?,—,貝!]2x+—￡—,----，

[2」3|_33」44

所以2sin12x+3c卜百,2],即函數(shù)/(x)的值域?yàn)閇-V3,2].

18.如圖，尸4,平面48CD,四邊形48c。為矩形，PA=AB=2,40=4,點(diǎn)尸是尸2的中點(diǎn)，點(diǎn)

E在邊BC上移動.

第12頁/共20頁

p.

F

（1）求三棱錐E-P4D的體積；

（2）證明：AFLPE.

Q

【答案】（1）-

3

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）等體積法解決即可；（2）線面垂直的判定定理，性質(zhì)定理相結(jié)合解決即可.

【小問1詳解】

?.?尸/，平面48。。，四邊形45CD為矩形，

S^EAD=—AD-AB=4,

[8

一/-PAD=—P-EAD=§S^EAD'0"=§?

【小問2詳解】

證明：平面48CD,

PA1BC,

又<PA=AB=2,且點(diǎn)尸是尸3的中點(diǎn)，

AF±PB,

又P4LBC,BC1AB,PAC\AB=A,

8C_L平面尸45,

又4Fu平面尸48,

BCLAF,

由4尸，尸8,AFIBC,PBcBC=B,

AF1平面PBC,

0?￡<=平面?8。，

AF1PE.

19.某地級市受臨近省會城市的影響，近幾年高考生人數(shù)逐年下降，下面是最近五年該市參加高考人數(shù)y

第13頁/共20頁

與年份代號X之間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)表.

年份代號X12345

高考人數(shù)了（千人）3533282925

（其中2018年代號為1,2019年代號為2,…2022年代號為5）

（1）求了關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果預(yù)測該市2023年參加高考的人數(shù)；

（3）試分析該市參加高考人數(shù)逐年減少的原因.

（參考公式：b=,a=y-bx)

【答案】（1）y=-2.4x+37.2

（2）22.8千人（3）答案見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算得A=-2.4,a=37.2即可解決；（2）根據(jù)（1）中回歸方程計(jì)算即可；（3）

言之有理，客觀分析即可.

【小問1詳解】

設(shè)回歸方程為V=bx+a,由表中數(shù)據(jù)知，

x=3>J=30.

-2x5+（-l）x3+0x（-2）+lx（-l）+2x（-5）12

所以0=-----------------------=—

4+1+4+15

所以a=y-bx=30-（-2.4）x3=37.2,

所以V關(guān)于x的回歸方程y=—2.4X+37.2.

【小問2詳解】

由（1）得y關(guān)于x的回歸方程P=—2.4X+37.2.

令x=6,y=-2.4x6+37.2=22.8（千人），

所以預(yù)測該市2023年參加高考的人數(shù)為22.8千人.

【小問3詳解】

①該市經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度慢；

②該市人口數(shù)量減少；

第14頁/共20頁

③到省會城市求學(xué)人數(shù)增多.

20.如圖，在四棱錐尸—4BCZ）中，平面48C。，底面45CD為菱形，￡,尸分別為尸48c的中

點(diǎn).

P

（2）若/4。。=120°,尸。=4,4。=2,求直線//與平面。EE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵也

35

【解析】

【分析】（1）取尸。的中點(diǎn)。，連接證明四邊形。尸￡。為平行四邊形，可得CQ//EF,再根據(jù)

線面平行的判定定理即可得證；

（2）先證明小D，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【小問1詳解】

取尸。的中點(diǎn)0,連接

因?yàn)镋為E4的中點(diǎn)，所以。E〃N￡＞且0￡=gz。，

1

因?yàn)榇鯙?C的中點(diǎn)，所以CE〃Z￡＞且CF=-4D,

2

所以QE//CF且QE=CF,

所以四邊形。尸￡0為平行四邊形，所以CQ//EF,

又CQu平面尸CD,￡E＜Z平面尸CD,

所以E尸〃平面PCD；

【小問2詳解】

連接AD,

第15頁/共20頁

在菱形/BCD中，ZADC=120°，則NZ8C=60°,

所以△/加＞和4CBD都是等邊三角形，

因?yàn)榇鯙?C的中點(diǎn)，所以DF：LBC,DF,

因?yàn)锳D/IBC,所以力尸，

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則2(0,2,0),。(0,0,0),￡(0,1,2)，尸(百,0,0),

所以反=(0,1,2),而=(6,0,0),/=(百,一2,0卜

設(shè)平面DE戶的法向量為〃=(x,y,z),

n-DE=y+2z=0一/、

則有｛—..l，可取"=（0,2,-1）,

ii-DF=yJ3x=0

n-AF-44^35

則cos（n,

力—\AF\—V5XV7--35

所以直線AF與平面DEF所成角的正弦值為生竺

35

21.數(shù)學(xué)奧林匹克競賽是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力競賽項(xiàng)目，旨在通過競賽選拔優(yōu)秀人才，促進(jìn)青少年智力發(fā)展，

很多優(yōu)秀的大學(xué)在強(qiáng)基計(jì)劃中都設(shè)置了對中學(xué)生奧林匹克競賽成績的要求，因此各中學(xué)學(xué)校對此十分重

視.某中學(xué)通過考試一共選拔出15名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)，其中高一學(xué)生有7名、高二學(xué)生有6

名、高三學(xué)生有2名.

(1)若學(xué)校隨機(jī)從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)抽取3人參加一項(xiàng)數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自

高一的概率；

(2)現(xiàn)學(xué)校欲通過考試對數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)成員進(jìn)行考核，考試一共3道題，在測試中.3道題中至少答對

2道題記作合格.現(xiàn)已知張同學(xué)每道試題答對的概率均為王同學(xué)每道試題答對的概率均為g,并且每

位同學(xué)回答每道試題之間互不影響，記X為兩名同學(xué)在考試過程中合格的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期

第16頁/共20頁

望.

24

【答案】（1）—

65

（2）分布列見解析，E（X）=一

''54

【解析】

【分析】（1）利用組合數(shù)及古典概型求解；

（2）分別計(jì)算兩位同學(xué)合格的概率，再計(jì)算合格人數(shù)的概率，列出分布列，計(jì)算期望即可.

【小問1詳解】

設(shè)事件A為“抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一”，

C2cl24

則有尸（2）=怖且

65

【小問2詳解】

設(shè)張同學(xué)、王同學(xué)答對的題數(shù)分別