數(shù)值分析1-2數(shù)值計算的誤差教程教案

數(shù)值分析1-2數(shù)值計算的誤差教程教案匯報人：文小庫2024-01-17CONTENTS緒論誤差的基本概念與性質(zhì)數(shù)值計算的穩(wěn)定性與收斂性減小誤差的方法與技術誤差分析在數(shù)值計算中的應用總結與展望緒論01數(shù)值分析是研究用計算機求解數(shù)學問題的數(shù)值計算方法及其理論的學科，是數(shù)學的一個分支。研究對象數(shù)值分析以計算機為工具，以數(shù)字計算機求解數(shù)學問題的理論和方法為研究對象，以誤差為研究核心。特點數(shù)值分析的研究對象與特點在數(shù)值計算中，誤差主要來源于模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差等。根據(jù)誤差的性質(zhì)和來源，可分為絕對誤差和相對誤差；根據(jù)誤差的表現(xiàn)形式，可分為代數(shù)誤差、系統(tǒng)誤差和隨機誤差等。誤差的來源與分類分類來源為了防止有效數(shù)字的嚴重損失，需要避免兩個相近的數(shù)直接相減。避免兩個相近的數(shù)相減在加減運算中，要防止因有效數(shù)字位數(shù)不夠而造成的精度損失。避免大數(shù)“吃掉”小數(shù)在保證精度的前提下，盡量簡化計算步驟和減少運算次數(shù)，以提高計算效率。簡化計算步驟，減少運算次數(shù)選擇數(shù)值穩(wěn)定的算法可以減小誤差的傳播和積累，提高計算結果的可靠性。采用數(shù)值穩(wěn)定的算法數(shù)值計算的基本原則誤差的基本概念與性質(zhì)02絕對誤差準確值與近似值之差，表示了近似值的精確程度。相對誤差絕對誤差與準確值之比，用于比較不同量級近似數(shù)的精確度。絕對誤差與相對誤差舍入誤差由于計算機采用有限字長進行數(shù)值計算而產(chǎn)生的誤差，表現(xiàn)為最后結果的精度損失。截斷誤差采用近似方法（如泰勒級數(shù)展開、插值法等）代替精確運算而產(chǎn)生的誤差，與算法本身有關。舍入誤差與截斷誤差在數(shù)值計算過程中，前一步的誤差可能會影響到后續(xù)計算步驟的結果，導致誤差的逐步傳遞和放大。誤差傳播隨著計算步驟的增加，每一步產(chǎn)生的誤差會逐漸累積，可能導致最終結果的嚴重失真。為了控制誤差累積，需要采取適當?shù)臄?shù)值穩(wěn)定措施和算法優(yōu)化。誤差累積誤差的傳播與累積數(shù)值計算的穩(wěn)定性與收斂性03穩(wěn)定性的概念與判別方法穩(wěn)定性的概念數(shù)值計算方法的穩(wěn)定性是指當輸入數(shù)據(jù)有微小變化時，計算結果的變化也是微小的，即計算方法是穩(wěn)定的。判別方法通常采用放大因子或增長因子來判斷計算方法的穩(wěn)定性。如果放大因子或增長因子小于等于1，則計算方法是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。數(shù)值計算方法的收斂性是指當?shù)螖?shù)增加時，計算結果逐漸逼近精確解的性質(zhì)。收斂性的概念通常采用殘差或誤差來判斷計算方法的收斂性。如果殘差或誤差隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸減小，并且最終趨于0，則計算方法是收斂的；否則是不收斂的。判別方法收斂性的概念與判別方法穩(wěn)定性是收斂性的必要條件如果數(shù)值計算方法是穩(wěn)定的，那么它一定是收斂的；但是，如果數(shù)值計算方法是收斂的，它不一定是穩(wěn)定的。穩(wěn)定性與收斂性的關系因具體問題而異在某些情況下，穩(wěn)定性與收斂性是一致的，即穩(wěn)定的計算方法也是收斂的；而在另一些情況下，穩(wěn)定性與收斂性可能是矛盾的，即穩(wěn)定的計算方法可能不收斂，或者收斂的計算方法可能不穩(wěn)定。在實際應用中需要綜合考慮在選擇數(shù)值計算方法時，需要綜合考慮其穩(wěn)定性、收斂性以及計算效率等因素，選擇最適合的方法進行計算。穩(wěn)定性與收斂性的關系減小誤差的方法與技術04相近的數(shù)相減會放大相對誤差，應盡量避免這種情況。在運算中，大數(shù)與小數(shù)相加或相減時，小數(shù)可能會被忽略，從而導致誤差。簡化計算步驟可以減少運算次數(shù)，從而減少誤差的積累。避免相近數(shù)相減防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)注意簡化計算步驟避免誤差危害的若干原則不同的算法有不同的誤差特性，應選用適合問題特性和精度要求的算法。通過增加運算次數(shù)，可以降低單次運算的誤差對結果的影響。對于某些特定的運算，可以采用補償技術來減小誤差。選用合適的算法增加運算次數(shù)采用補償技術減小運算誤差的方法高精度算法可以提供更高的計算精度，但通常需要更多的計算資源和時間。數(shù)值穩(wěn)定的方法可以在計算過程中保持誤差的穩(wěn)定性，從而避免誤差的快速增長。通過對計算過程進行誤差分析和控制，可以及時發(fā)現(xiàn)并糾正潛在的誤差問題。采用高精度算法使用數(shù)值穩(wěn)定的方法進行誤差分析和控制提高計算精度的技術誤差分析在數(shù)值計算中的應用05插值法誤差插值法通過已知數(shù)據(jù)點構造多項式或其他函數(shù)，以近似未知數(shù)據(jù)點。誤差主要來源于插值多項式的選擇和數(shù)據(jù)點的分布。通常，增加已知數(shù)據(jù)點可以降低插值誤差。逼近法誤差逼近法通過選擇一組基函數(shù)，將目標函數(shù)表示為基函數(shù)的線性組合。誤差主要來源于基函數(shù)的選擇和系數(shù)的確定。合適的基函數(shù)和精確的系數(shù)可以減小逼近誤差。插值法與逼近法中的誤差分析數(shù)值積分與微分中的誤差分析數(shù)值積分方法（如梯形法、辛普森法等）用于近似計算定積分。誤差主要來源于積分方法的選擇和積分步長的確定。減小步長可以提高數(shù)值積分的精度，但計算量也會相應增加。數(shù)值積分誤差數(shù)值微分方法（如差分法、中心差分法等）用于近似計算函數(shù)的導數(shù)。誤差主要來源于微分方法的選擇和步長的確定。同樣地，減小步長可以提高數(shù)值微分的精度，但也可能增加計算量和對舍入誤差的敏感性。數(shù)值微分誤差VS直接法（如高斯消元法、LU分解法等）用于精確求解線性方程組。然而，由于計算機舍入誤差的存在，直接法求解過程中可能產(chǎn)生累積誤差。合適的算法選擇和實現(xiàn)細節(jié)可以降低直接法的誤差。迭代法誤差迭代法（如雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法等）用于近似求解線性方程組。誤差主要來源于迭代方法的收斂性和初始向量的選擇。合適的迭代方法和初始向量可以加快收斂速度并減小誤差。同時，迭代法的收斂性還與線性方程組的性質(zhì)（如條件數(shù)）密切相關。直接法誤差線性方程組求解中的誤差分析總結與展望06數(shù)值計算基本概念數(shù)值計算方法誤差分析與控制數(shù)值實驗與案例分析課程總結與回顧介紹了數(shù)值計算的基本概念和原理，包括誤差、穩(wěn)定性、收斂性等。重點分析了數(shù)值計算中的誤差來源和控制方法，包括截斷誤差、舍入誤差、算法穩(wěn)定性等。詳細講解了數(shù)值計算中常用的方法，如插值法、擬合法、數(shù)值積分、數(shù)值微分、線性方程組的解法等。通過多個數(shù)值實驗和案例分析，加深了對數(shù)值計算方法和誤差控制的理解和掌握。對未來學習的建議與展望深入學習數(shù)值計算理論建議學生繼續(xù)深入學習數(shù)值計算的理論知識，包括更高級的數(shù)值算法、誤差分析技巧等。掌握常用數(shù)學軟件鼓勵學生熟練掌握MATLAB、Python等常用數(shù)學軟件，