電路課件 一階電路

第六章一階電路零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)重點(diǎn)掌握：階躍響應(yīng)和沖擊響應(yīng)一階電路響應(yīng)的求解：1.經(jīng)典法2.簡(jiǎn)化的經(jīng)典法——三要素方法一階常微分方程的解本章只涉及一階常系數(shù)齊次和非齊次微分方程

方程（1）相應(yīng)的齊次方程為：P為常數(shù)、Q

0：一階常系數(shù)非齊次微分方程P為常數(shù)、Q=0：一階常系數(shù)齊次微分方程1.一階常微分方程的一般形式2.一階常微分方程的解（1）（2）方程（1）的解可寫為：即方程（1）的解由兩個(gè)分量組成，其中，x'為非齊次方程[方程(1)]的特解，x"為對(duì)應(yīng)的齊次方程[方程(2)]的通解。求x"

令x"=Aept,并代入方程（2）得：則有p+P=0（3）方程(3)稱為方程(1)的特征方程，解特征方程得特征根為：p=

P這樣x"=Ae

Pt

求x'

方程(1)的特解x'根據(jù)Q的不同情況有不同的解法。本章一般涉及Q為常數(shù)和正弦函數(shù)兩種情況，可用待定系數(shù)法。方程(1)的解為：

x=x'+Ae

Pt

其中，A為待定的積分常數(shù)，可由方程(1)的初始條件確定。例：

已知

x(0)=2,求如下微分方程的解解：求x"特征方程為2p+3=0特征根為

p=

1.5即

x"=Ae

1.5t

（1）

求特解x'

令x'=C(常數(shù))，并代入方程(1)得3C=9，C=3，即x'=3所以x=x'+x"=3+Ae

1.5t

代入

x(0)=2，有2

=3+A,A=

1

則方程(1)的解為：x=3

e1.5t

§6-1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件1.穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)i）穩(wěn)態(tài)：電路中各支路電壓、電流是與時(shí)間無關(guān)的常量(直流情況)或是隨時(shí)間作周期性變化的量(交流情況)問題：電路的穩(wěn)態(tài)是如何建立起來的？是瞬時(shí)進(jìn)入還是有一個(gè)逐步建立起來的過程？ii）暫態(tài)暫態(tài)：

電路由一個(gè)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)需要經(jīng)歷的過程,稱為過渡過程，相對(duì)于穩(wěn)態(tài)而言，該過程又稱為暫態(tài)。S未動(dòng)作前,電路處于一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，有i=0,uC

=0i

=0,uC=UsS接通電源Us后，電源向電容充電，經(jīng)一段時(shí)間充電畢，電路達(dá)到一個(gè)新的穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)有i+–uCUsCR+–uCUsRCiS(t=0)2.過渡過程產(chǎn)生的原因外因：電源的接通或斷開，電路參數(shù)的變化及聯(lián)接方式的改變等，統(tǒng)稱“換路”。內(nèi)因：

電路中有儲(chǔ)能元件L、C。那么：由WC＝1/2Cuc2和WL＝1/2LiL2若uc和iL突變，則WC和WL突變這說明能量突變需要無窮大功率源，這實(shí)際上不可能。因此具有L、C的電路，一般uc和iL只能逐步變化。由于KCL和KVL的約束，導(dǎo)致電路中發(fā)生暫態(tài)過程。3.動(dòng)態(tài)電路及其方程電路含動(dòng)態(tài)元件L、C

動(dòng)態(tài)電路。描述動(dòng)態(tài)電路的方程是微分方程。i+–uCUsCR例：

由KVL有：代入得：

當(dāng)R、L、C都是線性元件時(shí)，電路的方程為線性常系數(shù)微分方程。用一階微分方程描述的電路稱為“一階電路”。電路的階：電路微分方程的階。i)關(guān)于

t=0+與t=0–4.電路的初始條件初始條件為t=0+時(shí)u，i及其各階導(dǎo)數(shù)的值換路在t=0時(shí)刻進(jìn)行0

–

t=0

的前一瞬間

0+

t=0

的后一瞬間0–0+0tf(t)求解微分方程需利用初始條件確定積分常數(shù)，而初始值一般是給定的或是根據(jù)換路定理分析換路前后的瞬時(shí)電路求得。當(dāng)i()為有限值時(shí)i()d

0結(jié)論:

換路瞬間，若電容電流保持為有限值,則電容電壓(電荷)換路前后保持不變。q

(0+)=q

(0–)uC

(0+)=uC

(0–)ii)獨(dú)立處始值q(0+)、uc(0+)、

L

(0+)和iL(0+)的計(jì)算對(duì)于電容元件C，有u=q/ca）q(0+)、uc(0+)的計(jì)算令t=0+

及t0

=0

，有

當(dāng)u為有限值時(shí)結(jié)論:換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流(磁鏈)換路前后保持不變。對(duì)于線性電感元件L，有i=Ψ/Lb）

L

(0+)、iL(0+)的計(jì)算令t=0+

及t0

=0

，有

0

L

(0+)=

L

(0–)iL(0+)=iL(0–)；0歸納起來：

換路定律

uC

(0+)=uC

(0–)、q

(0+)=q

(0–)iL(0+)=

iL(0–)、

L

(0+)=

L

(0–)

根據(jù)換路前的穩(wěn)態(tài)電路求出0–

時(shí)刻的uC

(0–)、q

(0–)、iL(0–)及

L

(0–)值，然后由換路定理得到0+時(shí)刻的獨(dú)立初始值uC

(0+)、q

(0+)、iL(0+)及

L

(0+)。獨(dú)立初始值與換路后電路的結(jié)構(gòu)、參數(shù)無關(guān)。iii）非獨(dú)立初始值的計(jì)算

0+等效電路換路后0+時(shí)刻的瞬時(shí)電路，其中電容用電壓為uc(0+)的電壓源替代，電感用電流為iL(0+)的電流源替代，獨(dú)立源取的0+時(shí)刻的值，電阻不變——0+等效電路。先利用換路定理求獨(dú)立的初始值，繼而構(gòu)造0

+

等效電路，然后在0

+

等效電路中用過去學(xué)過的一切方法求解非獨(dú)立的初始值。由此可見：非獨(dú)立的初始值決定于0

+

時(shí)刻的瞬時(shí)電路，是基爾霍夫定律約束的結(jié)果。非獨(dú)立初始值計(jì)算例1:電路如圖,求iC(0+)。(1)由0–電路求uC(0–)+-10V+uC(

0–

)–10k40k0–等效電路(2)由換路定理uC

(0+)=

uC

(0–)=8V0+等效電路+-10ViiC8V10k–+(3)由0+等效電路求

iC(0+)iC(0–)=0

iC(0+)+

10ViiC+uC–S10k40kuC(0–)=例2：電路如圖，t=0時(shí)閉合開關(guān)S,求uL(0+)(b)0+電路uL10V1

4

2A–+作出電路如圖（b）解：iL(0+)=

iL(0–)==2A

由0+等效電路求uL(0+)iL+uL–L10VS1

4

(a)iL+uL–SR+–us+–uRL+–uLR+–uRiL(0+)+–0+電路解：例3：電路如圖,求iL(0+)=

iL(0_)=ISuC(0+)=

uC(0_)=RISuL(0+)=–RIS作出0+電路如圖b

解：例4:如圖所示(a)電路，求iC(0+),

uL(0+)ISRS(t=0)+–uLiLC+–uCLiC(a)uL+–iCRISRIS+–(b)求初始值的步驟1.由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0–)和iL(0–)。2.由換路定理得uC(0+)和iL(0+)。4.由0+等效電路求所需各變量的0+值。3.畫0+等效電路。

電容用電壓源（電壓為uC(0+)）替代

電感用電流源（電流為iL(0+)）替代方向同原假定的電容電壓、電感電流方向?！?-2一階電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)：激勵(lì)(獨(dú)立電源)為零，僅由儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)。1.RC電路的零輸入響應(yīng)

已知：uC

(0–)=U0

求uC和i。iS(t=0)+–uRC+–uCR解：由KVL，有

uC

=uR=Ri特征根RCp+1=0特征方程則代入

，得

代入初始值uC

(0+)=uC(0–)=U0

令

=RC,

稱為一階電路的時(shí)間常數(shù)

tU0uC0I0ti0A=U0所以，有討論：

uc,uR,i都按相同的指數(shù)規(guī)律衰減到零。

令

＝RC，考察量綱[

]＝[RC]=歐姆?法拉＝歐姆庫侖伏特=歐姆安培·秒伏特=秒，故

稱為電路的時(shí)間常數(shù)，僅由換路后電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，是電路的固有特性。a)設(shè)t0為一特定時(shí)刻，考察t＝t0＋

的uc(t0＋

):

可見：

是暫態(tài)量衰減到原來數(shù)值的36.8％時(shí)所需要的時(shí)間。顯然

可表征暫態(tài)過程所需時(shí)間的長短。

大過渡過程時(shí)間長

小

過渡過程時(shí)間短

U0tuc0

2

10.368U0U00.368U0

0.135U0

0.05U00.007U0工程上認(rèn)為,經(jīng)過3

-5

,過渡過程結(jié)束。t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

b)

的幾何意義：

U0tuc(t)0uc(t0)

abαt0為指數(shù)曲線上任意點(diǎn)的次切距。可以證明：2.

RL電路的零輸入響應(yīng)

特征方程Lp+R=0,特征根p=由初始值i(0+)=I0定積分常數(shù)AA=i(0+)=I0i

(0+)=i

(0–)=iS(t=0)USL+–uLRR1iL+–uLR開關(guān)S合上后,由KVL,有iI0t0-RI0uLt令

=L/R,

作量綱分析得

的量綱為[秒]稱為一階RL電路的時(shí)間常數(shù)

A=iL

(0+)=

iL(0–)10/10=1A,分析:S打開,電路為一RL電路的零輸入響應(yīng)問題例:t=0時(shí),打開開關(guān)S,現(xiàn)象：電壓表損壞電壓表量程：50ViLS(t=0)+–uVL=4HR=10

RV10k

10VVuV

(0+)=–10000V

V造成損壞。對(duì)于t

0,電感電流iL為:其中,小結(jié)：b.衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)

RC電路

=RC

,RL電路

=L/Rc.同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)。一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。1.一階電路的解方法---------經(jīng)典法

a.求初始值：uc(0+)、iL(0+)

b.列寫電路的方程

c.求方程的通解d.確定積分常數(shù)2.一階電路解的性質(zhì)零狀態(tài)響應(yīng)：儲(chǔ)能元件初始能量為零的電路在輸入激勵(lì)作用下產(chǎn)生的響應(yīng)i)

列寫方程:

t

0，由KVL,有iK(t=0)US+–uRRC+–uCuC

(0–)=0§6-3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

非齊次線性常微分方程ii)求方程的通解:通解的一般形式為1.

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)非齊次方程的特解齊次方程的通解得：u'C=Us,故

這樣：

特征方程:RCp+1=0

特征根p=

1/RC

求特解:令u'C=U(常數(shù)),并代入方程

Us

+A=0

A=

Usiii)確定積分常數(shù)A:

由初始條件,

有tuc-USuC'uC"USuC

和i的波形如圖所示：ti0能量關(guān)系電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存在電容中。電容儲(chǔ)存：電源提供能量：電阻消耗RC+–US給電容充電時(shí)，不論R、C取何值，充電效率只有50％2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)解:i)列寫方程:iLS(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0_)=0,求S合上后的iL(t)由KVL有

特征方程:Lp+R=0

特征根p=

R/L

求特解:令i'L

=I(常數(shù)),并代入方程(1),得i'L

=Us/Rii)求方程(1)的通解:uLUSt0tiL0則

Us

/R+A=0

A=

Us/R

iii)確定積分常數(shù)A:

由初始條件,

有3.正弦交流電源激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)（以RL電路為例）i(0–)=0求：i

(t)

iL(0–)=0iS(t=0)L+–uLRuS(t)+–其中ψu(yù)為電源接入時(shí)的初相角。解：電路方程有：t

uuS接入相位角圖(a)S合上后,電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的電流就是方程(1)的特解i'(t)，可用相量法求解。于是,有由確定積分常數(shù)A,得到討論幾種情況：電路直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，不產(chǎn)生過渡過程。1）合閘時(shí)

u=

±/2，則,無暫態(tài)分量2）

u=

可見，交流暫態(tài)分析中，過渡過程與開關(guān)動(dòng)作的時(shí)刻有關(guān)。iT/2ti0波形如圖所示：若τ很大，i"衰減很慢，則，這是值得注意的問題?！?-4一階電路的全響應(yīng)全響應(yīng)：非零初始狀態(tài)的電路受到激勵(lì)時(shí)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)1.一階電路的全響應(yīng)及其兩種分解方式US+–uRRiS(t=0)C+–uCuC

(0-)=U0i)

全解=強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)代入初始條件電路的方程，得A=U0Us，則t

0,電容電壓uc

方程(1)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特解強(qiáng)制分量、穩(wěn)態(tài)分量自由分量、暫態(tài)分量全響應(yīng)=強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)，其變化規(guī)律取決于特征根，與外施激勵(lì)無關(guān)，故稱自由分量。當(dāng)t＝∞時(shí)，自由分量為零，所以自由分量又稱為暫態(tài)分量。u'C(t)：與外施激勵(lì)的變化規(guī)律有關(guān)，稱為強(qiáng)制分量。若外施激勵(lì)為直流量和正弦量時(shí)，強(qiáng)制分量又稱為穩(wěn)態(tài)分量，此時(shí)u'C(t)就是直流和交流電路的穩(wěn)態(tài)解。iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0iS(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0-)=0+uC

(0-)=U0C+–

uCiS(t=0)+–uRRii）全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)將(2)式改寫為：從電路上看，可等效為：1.單位階躍函數(shù)ε(t)i)定義t

(t)01ii)單位階躍函數(shù)的延遲t

(t-t0)t001§6-5

一階電路的階躍響應(yīng)如果階躍的幅值不是1而是A,則稱階躍函數(shù),即

tA(t)0A例21t1f(t)0a.由單位階躍函數(shù)可組成復(fù)雜的信號(hào)例1：1t0tf(t)0

(t)tf(t)10t0-

(t-t0)b.表示電路中的開關(guān)作用CR+–usε(t)iii)單位階躍函數(shù)的作用S(t=0)C+–usR+–uc.用來起始任一個(gè)函數(shù)或表達(dá)一個(gè)全時(shí)域解。注意比較以下曲線及其表達(dá)式，說明ε(t)的使用須謹(jǐn)慎。s1(t)s3(t)s2(t)ts

(t)零狀態(tài)響應(yīng)延遲的零狀態(tài)響應(yīng)

在t0延時(shí)刻起始S1(t)可見：ε(t)、乘以一個(gè)函數(shù)f(t)，有可能改變f(t)在

t

0–時(shí)段中的性狀，并在0－~0＋時(shí)段發(fā)生突變。0uc2tuc1uc(t)U0RC零輸入響應(yīng)兩者在完全相同，而在t

0–則不同。2.單位階躍響應(yīng)

tuc1t0i注意：和的區(qū)別uC

(0-)=0iC+–uCR電路在單位階躍激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)用s(t)表示，由此不難理解用kε(t)作激勵(lì)時(shí)的階躍響應(yīng)為ks(t)。例求圖示電路中電流iC(t)10k10kus+-ic100

FuC(0-)=00.510t(s)us(V)010k10k+-ic100

F10k10k+-ic100

Fuc

(0-)=0+–ic100

F5k等效10k10k+-ic100

F10k10k+-ic100

F分段表示為t(s)iC

(mA)01–0.6320.5波形0.368又§6-7一階電路分析的三要素法(激勵(lì)為直流源、正弦量)代入0+時(shí)刻的x(0+)、x'(0+)，確定時(shí)間常數(shù)A，得到：A=x(0+)

x'(0+)穩(wěn)態(tài)解

時(shí)間常數(shù)

初始值一階電路的三要素由電路求出三要素，通過(2)式直接得到一階電路響應(yīng)的方法——三要素法。三要素的計(jì)算1.初始值的計(jì)算

R：換路后，移去動(dòng)態(tài)元件所得一端口的戴維南等效電阻。x(0+)

獨(dú)立的初始值：uC

(0+)=uC

(0–)；

iL(0+)=

iL(0–)非獨(dú)立的初始值：由0+等效電路方法計(jì)算2.時(shí)間常數(shù)的計(jì)算

=RC；動(dòng)態(tài)元件為電容L/R；動(dòng)態(tài)元件為電感3.穩(wěn)態(tài)解的計(jì)算

激勵(lì)為正弦量：穩(wěn)態(tài)解用相量法計(jì)算。激勵(lì)為直流源：穩(wěn)態(tài)時(shí)電容相當(dāng)于開路，電感相當(dāng)于短路電路，電路等效為一電阻電路的計(jì)算。解：由三要素法tuc2(V)0.6670例1.已知：t=0時(shí)合上開關(guān)求換路后的uC(t)和i(t)。則1A2

1

3F+-uCi(t)S

求初始值

求時(shí)間常數(shù)

求穩(wěn)態(tài)解例2.如圖所示電路，Us=10V,Is=2A,R=2,L=4H,求S閉合后電路中的電流iL和i。S(

t

=0)+–

UsRiiLLIsab(a)

Req=R=2

,τ=L/Req=2s

iL(0+)=iL(0-)=–

Is=–2A

i'L=Us/R

Is=52

=3A解：由三要素法所以例3.電路已處穩(wěn)態(tài)，求t

0時(shí)的uc(t)。10A4

2

1/2F+

uC+

u1u1/4i'i"S(t=0)解：

uc(0+)=

uc(0-)=0

求u'C，u'C=4i'

–2i"i'+i"=10i'=i"解得i'=i"=5

A

，u'C=4i'

–2i"=10V

求時(shí)間常數(shù)

=ReqC

4

2

+-u+-u1u1/4iu=(i-u1/4)(4+2)=6i

–1.5u1u1=4(i-u1/4)=4i

–

u1

u1=2i

u=6i

–1.5u1=3i

Req=u/i=3

=ReqC

=3/2s

例4.如圖所示電路，已知ω=1000rad/s，R1=150，R2=50，L=0.2H，C=5μF。開關(guān)動(dòng)作前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)閉合S，求開關(guān)動(dòng)作后的iL(t)和uc(t)。+-uC+–

us(t)iLCLSR1R2由t<0電路計(jì)算初始值：解：開關(guān)S閉合后，電路被分為兩個(gè)一階電路。與前面諸題不同的是電源不是直流，而是正弦電壓源。由于是一階電路，仍用三要素法求解最簡(jiǎn)單，只是在求初始值和穩(wěn)態(tài)值時(shí)用相量法來計(jì)算。所以：同理求出：其中：t>0后，由于RC電路部分求的是零輸入響應(yīng)uc(t)，所以

又RL電路部分是求正弦電源激勵(lì)的全響應(yīng)。先用相量法求穩(wěn)態(tài)解i'L(t)：所以：又iL(0+)=iL(0

)=0.4A；則：例5i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3

2

已知：電感無初始儲(chǔ)能

t=0時(shí)合k1,t=0.2s時(shí)合k2

求兩次換路后的電感電流i(t)。解：0<t<0.2st>0.2sit(s)0.25(A)1.262

由于t<0，iL(t)=0，所以iL(0+)=

iL(0-)=0

=5/

(1//5)=6s例6.已知:u(t)如圖所示,iL(0)=0。求iL(t),

并畫出波形。

u(t)12120t(s)V+–u(t)1

5

5HiL

i'L=1A

0<

t

<1+–1V1

5

5HiLiL(t)=1-e-t/6A，0<

t

1s解：

0<t<1siL(t)=2+[0.154–2]e–

(t–

1

)/6=2-1.846e–

(t–

1

)/6AiL(t)=0.437e–(t–

2

)/6Ai'L=0

=6s

i'L=2A

=6siL(1+)=

iL(1–)=1-e–

1/6=0.154A

1<

t

2s+–2V1

5

5HiLiL(2+)=iL(2–)=2–1.846e–

(2–

1

)/6=0.437A

1

5

5HiL

t

>2s

1<

t

2s

t>2s00.1540.43712t(s)iL(t)AiL(t)=0

t<01–

e–t/6A

0<t

12–1.846e–

(t–

1

)/6A

1<t

20.437e–(t–

2

)/6A

t>2這樣有：

例5、6這類問題，分別對(duì)不同的時(shí)間段進(jìn)行求解?！?-6一階電路的沖激響應(yīng)1.脈沖函數(shù)與沖激函數(shù)i)單位脈沖函數(shù)pΔ(t)，單位沖激函數(shù)δ(t)/21/

tpΔ(t)–/2單位脈沖函數(shù)pΔ(t)

單位沖激函數(shù)