2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）第18講 等腰三角形（練習(xí)）（解析版）

第18講等腰三角形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01等腰三角形的定義題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求角度題型03利用等邊對(duì)等角證明題型04根據(jù)三線(xiàn)合一求解題型05根據(jù)三線(xiàn)合一證明題型06格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形題型07根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形題型08根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等題型09根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)題型10求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)題型11等腰三角形性質(zhì)與判定綜合題型12等腰三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題題型13等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題題型14等腰三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題題型15等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題題型16探究等腰三角形中線(xiàn)段間存在的關(guān)系題型17利用等邊三角形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)題型18手拉手模型題型19等邊三角形的判定題型20等邊三角形與折疊問(wèn)題題型21等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題題型22利用等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題題型23利用垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求解題型24線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定題型01等腰三角形的定義1．（2021·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？级＃┮阎獂，y滿(mǎn)足，則以，的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對(duì)【答案】B【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出，的值，利用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題即可．【詳解】解：，又，，，，當(dāng)?shù)妊切蔚倪呴L(zhǎng)為4，4，8時(shí)，不符合三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，8，4時(shí)，周長(zhǎng)為20，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的概念、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．2．（2019·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知等腰三角形的一個(gè)外角等于，則它的頂角是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】已知條件中的外角可能是頂角的外角，也可能是底角的外角，需要分情況進(jìn)行討論，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和為，即可求出頂角的度數(shù)．【詳解】解：①當(dāng)頂角的外角等于時(shí)，則該頂角為：；②當(dāng)?shù)捉堑耐饨堑扔跁r(shí)，則該底角為，又由于是等腰三角形，故此時(shí)頂角為：．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角為或．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，難度不大，解題的關(guān)鍵是注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，以免漏解．3．（2023·四川廣安·統(tǒng)考二模）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)滿(mǎn)足，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為．【答案】10【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和平方的非負(fù)性求得，分情況討論，求解即可．【詳解】解：∵，∴，，解得，當(dāng)腰長(zhǎng)為2，底邊為4時(shí)：，不滿(mǎn)足三角形三邊條件，不符合題意；當(dāng)腰長(zhǎng)為4，底邊為2時(shí)：，，滿(mǎn)足三角形三邊條件，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證是解題的關(guān)鍵．題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求角度1．（2023·廣東東莞·三模）如圖，正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)，相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)正方形的性質(zhì)得到線(xiàn)段相等和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：四邊形是正方形．，，，，，故答案為：2．（2021·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考二模）中，，的平分線(xiàn)與邊所夾的銳角為，則．【答案】或【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分兩種情況分別求得等腰三角形的頂角是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的定義得到，當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，即可求得；當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，即可求得．【詳解】解：設(shè)的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，如圖1，，，，，，；當(dāng)時(shí)，如圖2，，，，，，，綜上所述，的度數(shù)為或．故答案為：或．3．（2022·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，且，．若，則的度數(shù)為．

【答案】/35度【分析】首先根據(jù)證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：，，在和中，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法以及性質(zhì)．題型03利用等邊對(duì)等角證明1．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模）在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，若的面積為，且滿(mǎn)足，則．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)于，設(shè)，，證明，得出，證明，得出，證明，根據(jù)的面積為，得出，求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)于，設(shè)，，∴，∵，∴，，，，∴，∴，∵，∴，在和中，，，∴，的面積為，∴，即，∴，負(fù)值舍去．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，證明．2．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，中，，，于D，E是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，若，則．【答案】12【分析】由直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得，即，則，，證明，則，由，可得，解得，，設(shè)，則，，，，則，即，計(jì)算求解的值，進(jìn)而可求的值．【詳解】解：由題意知，，∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得，，設(shè)，則，，，，∴，即，解得，∴，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查正切，直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半，等邊對(duì)等角，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，是的弦，交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，若，，，則的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】由垂直定義得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由得，根據(jù)對(duì)頂角相等得，所以，而，所以，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得到，然后解方程即可．【詳解】解：連接，如圖所示：∵，∴，∴，∵，∴，而，∴，∵，∴，∴，∴為直角三角形，設(shè)，則，在中，，，∵，∴，解得：，即的長(zhǎng)為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，垂線(xiàn)定義理解，正確應(yīng)用勾股定理求出的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．4．（2023·天津西青·統(tǒng)考一模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，均落在格點(diǎn)上，連接，．（1）線(xiàn)段的長(zhǎng)等于．（2）以為圓心，為半徑作圓，在上找一點(diǎn)，滿(mǎn)足．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)，作出，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】圖見(jiàn)解析，利用垂徑定理找到點(diǎn)【分析】（1）利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取格點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．【詳解】解：（1）由勾股定理，得：；故答案為：；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取格點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．如圖所示：由圖可知：，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)即為所求．M點(diǎn)是根據(jù)垂徑定理找到的；故答案為：利用垂徑定理找到點(diǎn)M【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理．掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．題型04根據(jù)三線(xiàn)合一求解1．（2022·黑龍江哈爾濱·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，于，點(diǎn)在線(xiàn)段上，，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)題意及各角之間的關(guān)系得出，再由等腰三角形的性質(zhì)得出，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)，∵，∴．中，，∴．中，．∴．∴．∴．∵，∴．∴．中，．中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形兩稅角互余、等角對(duì)等邊、勾股定理、等腰三角形三線(xiàn)合一；靈活運(yùn)用勾股定理求解線(xiàn)段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，已知在中，．以為直徑作半圓O，交于點(diǎn)D．若，則的度數(shù)是度．

【答案】【分析】如圖所示，連接，利用圓周角定理得到，則由三線(xiàn)合一定理可得．【詳解】解：如圖所示，連接，∵為直徑，∴，即，∵，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，三線(xiàn)合一定理，熟知直徑所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．3．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）在中，，的面積為，則的值為．【答案】或【分析】過(guò)點(diǎn)作，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，設(shè)，，利用三角形面積公式和勾股定理得到，再利用代數(shù)式變形得到，，則解得，或，，然后根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，，，設(shè)，，，，，，，，，，，或，，在中，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，在直角三角形中根據(jù)三角形面積和勾股定理求出和的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交的反向延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，若，則的長(zhǎng)為．【答案】3【分析】由是等邊三角形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，得，，根據(jù)，得，得到，在中，求得，即可得答案．【詳解】解：連接，∵是等邊三角形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，即，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用含30度角的直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．題型05根據(jù)三線(xiàn)合一證明1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，中，，是的外接圓，的延長(zhǎng)線(xiàn)交邊于點(diǎn)D．

(1)求證：；(2)若，時(shí)，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）連接，得到，進(jìn)而得到，利用外接圓的圓心是三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，以及等腰三角形三線(xiàn)合一，即可得證；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，得到，，推出，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）連接，∵，∴，又∵O為的外心，∴垂直平分，又∵，∴，∴；（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則：，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

∵，∴，，∴，，∴，設(shè)，在中：，即：，解得：（負(fù)值已舍掉）；∴，即：的半徑為4．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形的外接圓的圓心是三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在中，，，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，．

(1)尺規(guī)作圖：請(qǐng)利用直尺和圓規(guī)作出的高（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．(2)連接，若，判斷四邊形的形狀并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)四邊形ABED是平行四邊形；理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)的基本作法畫(huà)圖即可；（2）根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，得到，再根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半，得到，推出，證明四邊形是矩形，進(jìn)而即可證明四邊形是平行四邊形．【詳解】（1）解：如圖：AE即為所求；

（2）解：四邊形是平行四邊形，理由如下：，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握特殊平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023·廣東江門(mén)·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，以為直徑作分別交、于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°得到，再由三線(xiàn)合一得到，進(jìn)而得到結(jié)論；（2）連接，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)的面積求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：連接，∵為的直徑，∴，又∵∴，∴；（2）連接，是作的切線(xiàn)，則，∵，，∴，∴∴是的中位線(xiàn)，∴∴，又∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查直徑所對(duì)的圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)，勾股股定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型06格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形1．（2021·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)?？既＃┤鐖D，在的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得是等腰直角三角形，滿(mǎn)足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②A(yíng)B為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有0個(gè)；②A(yíng)B為等腰直角△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有3個(gè)．故共有3個(gè)點(diǎn)，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫(huà)出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．2．（2022·貴州貴陽(yáng)·?？家荒＃┤鐖D，A、B是邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格上的兩個(gè)格點(diǎn)，其余的格點(diǎn)中任意放置點(diǎn)C（不包含點(diǎn)A、點(diǎn)B所在的格點(diǎn)），恰好能使△ABC構(gòu)成等腰三角形的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】除了點(diǎn)A、點(diǎn)B以外，共有23個(gè)點(diǎn)，再在其中找出頂點(diǎn)C使其能構(gòu)成等腰三角形，由概率的定義可求出答案．【詳解】解：如圖所示，一共有23個(gè)符合條件的點(diǎn)，其中能與點(diǎn)A，點(diǎn)B構(gòu)成等腰三角形的頂點(diǎn)C有9個(gè)，所以恰好能使△ABC構(gòu)成等腰三角形的概率為，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定，概率的計(jì)算，理解概率的定義是正確解答的前提，掌握等腰三角形的判定是得出正確答案的關(guān)鍵．3．（2018·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B是格點(diǎn)，以A、B、C為等腰三角形頂點(diǎn)的所有格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（

）

A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【答案】B【詳解】解：如圖所示，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則圓弧經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)C3、C8、C7即為點(diǎn)C的位置；以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則圓弧經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)C1、C2、C6、C4、C5即為點(diǎn)C的位置；作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)沒(méi)有經(jīng)過(guò)格點(diǎn)．故以A、B、C為等腰三角形頂點(diǎn)的所有格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為8個(gè)．

故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查了等腰三角形的判斷，解題時(shí)需要通過(guò)尺規(guī)作圖，找出點(diǎn)C的位置．掌握等腰三角形的判定，分情況討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．題型07根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形1．（2018·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足為點(diǎn)D，DE∥AC．求證：△BDE是等腰三角形．【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】直接利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用角平分線(xiàn)的定義結(jié)合互余的性質(zhì)得出，即可得出答案．【詳解】∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的定義，正確得出是解題關(guān)鍵．2．（2021·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，對(duì)角線(xiàn)平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得再由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，由角平分線(xiàn)的定義可得，即可得，由此可得；（2）由勾股定理求得，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可得AF=FH，再由，即可得，由此即可求得．【詳解】（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴∵平分，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，∵平分，，∴AF=FH，∵，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)及定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，矩形，將沿對(duì)角線(xiàn)翻折得到（如圖1），交邊于點(diǎn)，再將沿翻折得到（如圖2），延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．設(shè)、．(1)求證：為等腰三角形；(2)當(dāng)，四邊形為正方形時(shí)，求的值；(3)當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由矩形性質(zhì)及翻折的性質(zhì)，證得，從而證得為等腰三角形．（2）由四邊形為正方形及翻折性質(zhì)，證得與是等腰直角三角形，再由求得CF與BF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得n的值．（3）由四邊形為菱形及矩形，翻折性質(zhì)，證得BD與FH的交點(diǎn)即為G點(diǎn)，再由，求得，從而求得與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）證明：∵矩形，將沿對(duì)角線(xiàn)翻折得到，∴，，∵，∴在與中，，∴，∴，即為等腰三角形．（2）解：∵將沿對(duì)角線(xiàn)翻折得到，將沿翻折得到，∴，∵四邊形為正方形，∴．∵矩形，，∴，，∵，，，∴．∵矩形，，將沿對(duì)角線(xiàn)翻折得到，∴，，∵，∴，∵，∴，即．（3）解：∵四邊形為菱形，∴，∵矩形，∴．∵將沿對(duì)角線(xiàn)翻折得到，將沿翻折得到，∴，∵，∴BD與FH的交點(diǎn)即為G點(diǎn)，∴，∵，∴，∵矩形，沿對(duì)角線(xiàn)翻折得到，∴，在中，，，∴，，由（1）得，BF=FD，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊四邊形的性質(zhì)以及圖形翻折的性質(zhì)及應(yīng)用，掌握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)及翻折性質(zhì)，且熟練掌握解特殊直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學(xué)?？既＃┤鐖D，在矩形中，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使C，交于點(diǎn)G，連接，交于點(diǎn)H．’(1)求證：是等腰三角形；(2)若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)GF//BE證明∠GFC=∠BEC=90°，再根據(jù)HL證明Rt△BFC≌Rt△GBC，得∠FBC=∠BGC，再由GF//BE證出∠HGF=∠GHB，可得∠BGH=∠BHG，從而得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意得出BC=AD=2AB=24，再由勾股定理求出BE=CE=，設(shè)BG=BH=GF=x，由GF//BE證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出x的值，再根據(jù)正切函數(shù)的定義求值即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∵GF//BE，∴∠GFC=∠BEC=90°，∴∠GFC=∠ABC，在Rt△GFC和Rt△GBC中，，∴Rt△GFC≌Rt△GBC（HL）∴∠BGC=∠CGF，BG=FG，∵GF//BE，∴∠FGC=∠BHG，∴∠BHG=∠BGH∴BG=BH，∴是等腰三角形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，∴∴在和中，由勾股定理得：設(shè)則，∵//，∴，∴即解得，∴BG=在Rt△BCG中，【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．題型08根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等1．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為的中位線(xiàn)，且平分交于點(diǎn)F．若，，則．【答案】2【分析】根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得，，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)求出，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵是的中位線(xiàn)，，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，是的中位線(xiàn)，∴，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理，角平分線(xiàn)的定義，平行線(xiàn)的性質(zhì)，以及等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟記性質(zhì)以及定理，求出是解題的關(guān)鍵．2．（2021·湖北咸寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)；再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圈心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)交于點(diǎn)D．則與的數(shù)量關(guān)系是．【答案】【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖可知平分，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的定義可得，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，由此即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，由角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖可知，平分，，，，在中，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖、等腰三角形的定義、含角的直角三角形，熟練掌握角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．3．（2022·江蘇南京·南師附中樹(shù)人學(xué)校校考二模）如圖，在平行四邊形中，，的平分線(xiàn)分別交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，則BE的長(zhǎng)為．（用含a，b的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)E作，，得到，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，推出四邊形與四邊形都是平行四邊形，推出，，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到，，推出，得到，推出，根據(jù)，推出，推出，得到，根據(jù)勾股定理得到．【詳解】過(guò)點(diǎn)E作，，則，，∵中，，∴四邊形與四邊形都是平行四邊形，∴，，∵BE平分，CF平分，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形，角平分線(xiàn)，等腰三角形，勾股定理等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)，熟練掌握平行四邊形性質(zhì)和判定，角平分線(xiàn)定義，等角對(duì)等邊，勾股定理解直角三角形．4．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）我們把寬與長(zhǎng)的比為黃金比（）的矩形稱(chēng)為黃金矩形，如圖，在黃金矩形ABCD中，，BC＝4，的平分線(xiàn)交AD邊于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)黃金矩形的定義求出AB，根據(jù)矩形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠ABE和∠AEB，再根據(jù)等角對(duì)等邊即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是黃金矩形，BC=4，∴，∠ABC=90°，．∴．∵AE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=45°．∴∠AEB=∠EBC=45°．∴∠ABE=∠AEB．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，等角對(duì)等邊，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．5．（2023·浙江寧波·校考一模）如圖，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)交于另一點(diǎn)，，連接，若的面積是50，則．【答案】/【分析】作出如解圖的輔助線(xiàn)，設(shè)，由反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性以及等腰直角三角形的性質(zhì)可知，然后證明得到，，則點(diǎn)K的坐標(biāo)為，然后求出直線(xiàn)BC的解析式，得到J點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為，然后推出得到關(guān)于m、n的方程組，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作軸于M，過(guò)點(diǎn)O作交于K，過(guò)點(diǎn)K作軸于T，設(shè)直線(xiàn)與y軸交于J，連接，設(shè)，則，，∴由反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為，∴，解得，∴直線(xiàn)BC的解析式為，∴J點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴，∴，解得，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)比例系數(shù)，等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合等等，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．題型09根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)1．（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）把兩個(gè)同樣大小含角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，且另外三個(gè)銳角頂點(diǎn)在同一直線(xiàn)上．若，則．【答案】．【分析】如圖，先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于，在中，，，，兩個(gè)同樣大小的含角的三角尺，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，故答案為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是平行四邊形，以點(diǎn)B為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交于E，分別以點(diǎn)C，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，，則．【答案】【分析】利用基本作圖得到，平分，則，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)證明，所以．【詳解】解：由作法得，平分，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定．3．（2023·浙江杭州·?？级＃┮阎鐖D，在矩形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，將沿著翻折得到，交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)G，若，，則．

【答案】//【分析】連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得與是直角三角形，，再根據(jù)即可證明．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，可設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可求的長(zhǎng)，即的長(zhǎng)，再在中，根據(jù)勾股定理可求的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)．．【詳解】解：如圖，連接，

∵四邊形是矩形，∴，，.由折疊的性質(zhì)可得：．∴，．是的中點(diǎn)，，，，，，設(shè)，則，，在中，，即，解得：，即，，，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得，∴=，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)特點(diǎn)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，本題的關(guān)鍵在于通過(guò)矩形性質(zhì)、折疊性質(zhì)、方程思想求出的長(zhǎng)．4．（2021·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考三模）如圖，在矩形中，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，，，將沿翻折，得到，連接，若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)得到，從而得到為的中點(diǎn)，求得、的長(zhǎng)度，勾股定理求得，等面積法求得，勾股定理即可求得．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，如下圖：在矩形中，，，，∴由折疊的性質(zhì)可得：，，∴∴又∵∴∴∴∴，即為的中點(diǎn)在中，由勾股定理得得由勾股定理得由勾股定理得故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·上海徐匯·上海市第四中學(xué)?？家荒＃┰谥校?，M為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合得到，設(shè)邊交邊于點(diǎn)N．若，則．【答案】/【分析】根據(jù)題意畫(huà)圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，推導(dǎo)出相等的角，根據(jù)等角對(duì)等邊可得出于相等，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形如下圖所示，由題意可得：，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，∴，解得：，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，等邊對(duì)等角，直角三角形的中線(xiàn)的性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．題型10求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)1．（2020·福建廈門(mén)·校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（3，2），點(diǎn)P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，則m可取的值最多有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】分三種情況分析：①以點(diǎn)O為頂角頂點(diǎn)，②以A為頂角頂點(diǎn)，③線(xiàn)段AO的垂直平分線(xiàn)，討論點(diǎn)P的個(gè)數(shù).【詳解】由點(diǎn)P（m，0）（m＜6）知點(diǎn)P在x軸上，分三種情況：①當(dāng)A為頂角頂點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)O為圓心OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸于一點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到此點(diǎn)的坐標(biāo)為（6,0），不符合，舍去；②當(dāng)點(diǎn)O為頂角頂點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)均滿(mǎn)足小于6的條件，故此時(shí)有兩個(gè)；③作線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn)，與x軸交于一點(diǎn)，滿(mǎn)足小于6的條件，故此時(shí)有一個(gè)；綜上，共有3個(gè)點(diǎn)P，即m有3個(gè)值，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題時(shí)分三種情況進(jìn)行討論，注意以點(diǎn)A、O為頂角頂點(diǎn)時(shí)應(yīng)以點(diǎn)為圓心畫(huà)弧線(xiàn)，避免有遺漏.2．（2018·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知矩形ABCD,AD＞AB,以矩形ABCD的一邊為邊畫(huà)等腰三角形,使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在矩形ABCD的其他邊上,則可以畫(huà)出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)為.【答案】8【分析】根據(jù)題意作出圖形即可得出答案,【詳解】如圖，AD＞AB，△CDE1，△ABE2，△ABE3，△BCE4，△CDE5，△ABE6，△ADE7，△CDE8，為等腰三角形，故有8個(gè)滿(mǎn)足題意得點(diǎn).【點(diǎn)睛】此題主要考查矩形的對(duì)稱(chēng)性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形.3．（2018·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點(diǎn)P是直線(xiàn)AD上一動(dòng)點(diǎn)，若滿(mǎn)足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則AB的長(zhǎng)為．【答案】4．【詳解】試題分析：如圖，當(dāng)AB=AD時(shí)，滿(mǎn)足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），則AB=AD=4，故答案為4．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；分類(lèi)討論．題型11等腰三角形性質(zhì)與判定綜合1．（2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，AB＝AC，AB＞BC．(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析(3)30°【分析】（1）先證明四邊形ABDC是平行四邊形，再根據(jù)AB＝AC得出結(jié)論；（2）先證出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，得到，等量代換即可得到結(jié)論；（3）在A(yíng)D上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，證得，得到，設(shè)，，則，得到α+β的關(guān)系即可．【詳解】（1）∵，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴，∴，∴，∴四邊形ABDC是平行四邊形，又∵AB＝AC，∴四邊形ABDC是菱形；（2）結(jié)論：．證明：∵，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）在A(yíng)D上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，∴，∵，∴，設(shè)，，則，∵CA＝CD，∴，∴，∴，∴，∵，

∴，∴，即∠ADB＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，靈活運(yùn)用知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想，做出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知是等邊三角形，點(diǎn)B，D關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)，連接AD，CD．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)在線(xiàn)段AC上任取一點(diǎn)Р（端點(diǎn)除外），連接PD．將線(xiàn)段PD繞點(diǎn)Р逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)Q處．請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)Р在線(xiàn)段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由．(3)在滿(mǎn)足（2）的條件下，探究線(xiàn)段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)大小不變，理由見(jiàn)解析(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）連接BD，由等邊三角形的性質(zhì)可得AC垂直平分BD，繼而得出，便可證明；（2）連接PB，過(guò)點(diǎn)P作交AB于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F，可證明是等邊三角形，由等腰三角形三線(xiàn)合一證明，，即可求解；（3）由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得AF=FE，QF=BF，即可證明．【詳解】（1）連接BD，是等邊三角形，，點(diǎn)B，D關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)，AC垂直平分BD，，，四邊形ABCD是菱形；（2）當(dāng)點(diǎn)Р在線(xiàn)段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小不發(fā)生變化，始終等于60°，理由如下：將線(xiàn)段PD繞點(diǎn)Р逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)Q處，，是等邊三角形，，連接PB，過(guò)點(diǎn)P作交AB于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F，則，，是等邊三角形，，，，點(diǎn)B，D關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上，PB=PD，∠DPA=∠BPA，PQ=PD，，，∠QPF-∠APF=∠BPF-∠EPF，即∠QPA=∠BPE，∠DPQ=∠DPA-∠QPA=∠BPA-∠BPE=∠APE=60°；（3）AQ=CP，證明如下：AC=AB，AP=AE，AC-AP=AB–AE，即CP=BE，AP=EP，PF⊥AB，AF=FE，PQ=PD，PF⊥AB，QF=BF，QF-AF=BF–EF，即AQ=BE，AQ=CP．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以為直徑的經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，，分別平分和，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接．(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)為等腰直角三角形，詳見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由角平分線(xiàn)的定義、結(jié)合等量代換可得，即；然后再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°即可解答；（2）如圖：連接，，，交于點(diǎn)．先說(shuō)明垂直平分．進(jìn)而求得BD、OD、OB的長(zhǎng)，設(shè)，則．然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程求解即可．【詳解】（1）解：為等腰直角三角形，證明如下：證明：∵平分，平分，∴，．∵，，∴．∴．∵為直徑，∴．∴是等腰直角三角形．（2）解：如圖：連接，，，交于點(diǎn)．∵，∴．∵，∴垂直平分．∵是等腰直角三角形，，∴．∵，∴．設(shè)，則．在和中，．解得，．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線(xiàn)的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、垂直平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·北京西城·統(tǒng)考一模）已知正方形ABCD，將線(xiàn)段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)（），得到線(xiàn)段BE，連接EA，EC．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí)，若BE平分∠ABC，AB=4，則∠AEC=______°，四邊形ABCE的面積為_(kāi)_____；(2)當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的外部時(shí)，①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠AEC的度數(shù)；②作∠EBC的平分線(xiàn)BF交EC于點(diǎn)G，交EA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接CF．用等式表示線(xiàn)段AE，F(xiàn)B，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)135，(2)①作圖見(jiàn)解析，45°；②【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)K，由正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的定義可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形可求出，，繼而可證明，便可求解；（2）①根據(jù)題意作圖即可；由正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)求出，即可求解；②過(guò)點(diǎn)B作垂足為H，由等腰三角形的性質(zhì)得到，再證明即可得到，再推出為等腰直角三角形，即可得到三者之間的關(guān)系．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)K四邊形ABCD是正方形BE平分∠ABC，AB=4，將線(xiàn)段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)（），得到線(xiàn)段BE，，四邊形ABCE的面積為故答案為：135，（2）①作圖如下四邊形ABCD是正方形由旋轉(zhuǎn)可得，②，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)B作垂足為H，∠EBC的平分線(xiàn)BF交EC于點(diǎn)G為等腰直角三角形即【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形和三角形的綜合題目，涉及正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義、等腰三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等，靈活運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，是邊上的一點(diǎn)，以為直角邊作等腰，其中，連接．(1)求證：；(2)若時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，即可根據(jù)證明；（2）勾股定理求得根據(jù)已知條件證明是等腰三角形可得，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：是等腰直角三角形，，，，在與中；，（2）在中，，，,,,,,∴∠ADC=∠ACD，,．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型12等腰三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題1．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）在中，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線(xiàn)折疊得．（1）如圖（1），若為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在線(xiàn)段上時(shí)，則＝；（2）如圖（2），若為直角三角形．，．分別連接、、，若，且，則＝．【答案】48【分析】（1）過(guò)作于，由是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為中點(diǎn)，可得，，，設(shè)，根據(jù)沿直線(xiàn)折疊得，點(diǎn)恰好落在線(xiàn)段上，可得，故，即，解方程即可得到答案；（2）設(shè)，由，有，又，故點(diǎn)在的中線(xiàn)上，由勾股定理得，解得，即知，再由直角三角形面積公式可得答案．【詳解】解：（1）過(guò)作于，如圖：是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為中點(diǎn)，，，，，設(shè)，則，，，沿直線(xiàn)折疊得，點(diǎn)恰好落在線(xiàn)段上，，的等腰直角三角形，，即，解得，；（2）設(shè)，，，，點(diǎn)在的中線(xiàn)上，，，解得，，．故答案為：，48．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．2．（2023·安徽蚌埠·一模）如圖，中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，沿折疊得，點(diǎn)落在的平分線(xiàn)上，垂直平分，為垂足，則的度數(shù)是．【答案】【分析】連接，，延長(zhǎng)交于，設(shè)交于，根據(jù)垂直平分，得，又，平分，可得，故C，從而，即可得，根據(jù)沿折疊得，點(diǎn)落在的平分線(xiàn)上，有，，可得，即得．【詳解】解：連接，，延長(zhǎng)交于，設(shè)交于，如圖：垂直平分，，，平分，，，，，，，，沿折疊得，點(diǎn)落在的平分線(xiàn)上，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形中的翻折問(wèn)題，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．3．（2023·吉林長(zhǎng)春·一模）實(shí)踐與探究

(1)操作一：如圖①，已知三角形紙片，，，將三角形紙片沿過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)折疊，折痕為，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F，且，則______度；(2)操作二：如圖②，將沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G．與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N，則圖②中度數(shù)為的角共有______個(gè)．(3)根據(jù)以上操作所得結(jié)論，解答下列問(wèn)題：①求證：；②若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)45(2)7(3)①見(jiàn)解析②【分析】（1）等邊對(duì)等角，得到，三角形的內(nèi)角和定理，得到，折疊得到，，平行，得到，進(jìn)而求出的度數(shù)，即可得出結(jié)果；（2）由（1）得到，，，推出，根據(jù)折疊得到，即可得出結(jié)論；（3）①推出，得到，利用證明即可；②利用含度的直角形的性質(zhì)，求出各線(xiàn)段的長(zhǎng)度，利用進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵三角形紙片，，，∴，∴，∵折疊，∴，，∵，∴，∴，∴，即：；故答案為：；（2）由（1）知：，，，∴，∵，∴，∵折疊，∴；綜上：圖②中度數(shù)為的角共有個(gè)；故答案為：7；（3）①證明：由（1）（2）知：，，，∴，∴，∴，∵，，∴；②設(shè)，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形．熟練掌握折疊的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，將折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為，連接．求證：四邊形是菱形．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】如圖所示，連接，由折疊的性質(zhì)可得，，再由三線(xiàn)合一定理和等邊對(duì)等角得到，，進(jìn)而證明推出，繼而證明，由此即可證明四邊形是菱形．【詳解】證明：如圖所示，連接，由折疊的性質(zhì)可知，，∵，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，菱形的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型13等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題1．（2021·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）如圖，為等腰直角三角形，，以斜邊為直角邊作等腰直角三角形，再以為直角邊作等腰直角三角形，…，按此規(guī)律作下去，則的長(zhǎng)度為（）A．B．C． D．【答案】C【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長(zhǎng)，依據(jù)規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：∵為等腰直角三角形，，∴；∵為等腰直角三角形，∴；∵為等腰直角三角形，∴……∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理得出是解題關(guān)鍵．2．（2021·河南三門(mén)峽·統(tǒng)考二模）如圖，在單位為1的方格紙上，，，，…，是斜邊在軸上，斜邊長(zhǎng)分別為2，4，6，…，的等腰直角三角形，若的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則依圖中所示規(guī)律，的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先確定變化規(guī)律，利用規(guī)律確定答案即可．【詳解】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的長(zhǎng)度為斜邊的一半，（2，0），A5（4，0），A9（6，0）…，∵2021÷4＝505……1，∴點(diǎn)A2021在x軸正半軸，縱坐標(biāo)是0，橫坐標(biāo)是（2021+3）÷2＝1012，∴A2021的坐標(biāo)為（1012，0）．故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查，根據(jù)2021是奇數(shù)，求出點(diǎn)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)等腰直角三角形，，直角邊在軸上，且．將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到等腰直角三角形，且,再將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到等腰直角三角形，且……，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)題意得出點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)位置，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：是等腰直角三角形，，，，將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到等腰直角三角形，且，再將Rt△繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到等腰三角形，且，依此規(guī)律，每4次循環(huán)一周，，，，，，點(diǎn)與同在一個(gè)象限內(nèi)，點(diǎn)．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．4．（2021·黑龍江·校聯(lián)考三模）如圖，在等腰直角三角形中，，，分別連接，，的中點(diǎn)，得到第1個(gè)等腰直角三角形；分別連接，，的中點(diǎn)，得到第2個(gè)等腰直角三角形……以此規(guī)律作下去，得到等腰直角三角形，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】由題意，先求出，，，然后找出變化的規(guī)律，即可得到答案．【詳解】解：在等腰直角三角形中，，，∴，∵、、是中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴；∴，∴；同理可求：；；……∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是遵循從特殊到一般的探究方法，尋找規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問(wèn)題．5．（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，…都是等腰直角三角形，其直角頂點(diǎn)，，…均在直線(xiàn)上．設(shè)．．的面積分別為，…，依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可求出的值，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出，，，的值，再利用三角形的面積公式即可得出，，，的值，代入即可求出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示．△，△，△，都是等腰直角三角形，，，，，．點(diǎn)的坐標(biāo)為，；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，．點(diǎn)在直線(xiàn)上，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即，．點(diǎn)在直線(xiàn)上，，，．，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形以及規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的變化，找出點(diǎn)縱坐標(biāo)的變化規(guī)律“”是解題的關(guān)鍵．題型14等腰三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）定義：如果四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)把該四邊形分割成兩個(gè)等腰三角形，且這條對(duì)角線(xiàn)是這兩個(gè)等腰三角形的腰，那么我們稱(chēng)這個(gè)四邊形為雙等腰四邊形．

(1)如圖1，在四邊形中，，連結(jié)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，．①試判斷四邊形是否是雙等腰四邊形，并說(shuō)明理由；②若，求的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)是矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，四邊形是雙等腰四邊形，且．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)．若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①四邊形是雙等腰四邊形，理由見(jiàn)解析；②；(2)或【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得，，且是四邊形的對(duì)角線(xiàn)，即可證明；②解法1：根據(jù)等邊對(duì)等角，可得，，結(jié)合即可求解；解法2：根據(jù)四點(diǎn)共圓的判定和性質(zhì)，結(jié)合，即可求解；（2）分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可得，結(jié)合，即可求得相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度，設(shè)，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可得即，求解即可；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，可得，，設(shè)，，在中，運(yùn)用勾股定理列式，，即，求解即可．【詳解】（1）∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)∴同理，∴，且是四邊形的對(duì)角線(xiàn)∴四邊形是雙等腰四邊形②解法1：∵∴，∵∴∴解法2：∵∴點(diǎn)、、、共圓∵∴∴（2）如圖1，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)

∵∴∴∴∴，，，設(shè)，則，，，∵∴∴∴解得，∴如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

由②可知，∴是等腰直角三角形∵∴∴，設(shè)，則，在中，即解得∴【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)．2．（2023·貴州銅仁·?？家荒＃┒x：在一個(gè)等腰三角形底邊的高線(xiàn)上所有點(diǎn)中，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)等腰三角形的“近點(diǎn)”，“近點(diǎn)”到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和叫做這個(gè)等腰三角形的“最近值”．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在等腰中，，為邊上的高，已知上一點(diǎn)E滿(mǎn)足，，求；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，等邊邊長(zhǎng)為，E為高線(xiàn)上的點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究出等邊的“最近值”；【拓展提高】（3）如圖3，在菱形中，過(guò)的中點(diǎn)E作垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接，已知，，求“最近值”的平方．【答案】（1）；（2）三角形最近值為12；（3）“最近值”的平方為．【分析】（1）利用勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形即可求出答案；（2）由題意易證是等邊三角形，得出．由旋轉(zhuǎn)得出，即可知點(diǎn)E到三角形三頂點(diǎn)的距離之和為的折線(xiàn)長(zhǎng)度，即當(dāng)B、E、F、G共線(xiàn)時(shí)取到最小值．連接，交于點(diǎn)P，則此時(shí)點(diǎn)P即為三角形的近點(diǎn)．再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形即可解答；（3）過(guò)B作，將繞F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，按（2）中經(jīng)驗(yàn)得與的交點(diǎn)P為三角形的近點(diǎn)．作中邊上的高，易證是等腰直角三角形，得出．根據(jù)旋轉(zhuǎn)和所作輔助線(xiàn)結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即得出答案．【詳解】解：（1）在中，，∴．∵，為邊上的高，∴，，∴，∴．故答案為．（2）由題意得，∴是等邊三角形，∴，且由旋轉(zhuǎn)得，∴，∴點(diǎn)E到三角形三頂點(diǎn)的距離之和為的折線(xiàn)長(zhǎng)度，∴當(dāng)B、E、F、G共線(xiàn)時(shí)取到最小值，如圖，連接，交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為三角形的近點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，∴，∵三角形為等邊三角形，∴，∴三角形最近值為；（3）如圖，過(guò)B作，將繞F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，按（2）中經(jīng)驗(yàn)得與的交點(diǎn)P為三角形的近點(diǎn)．作中邊上的高，由題意得，，∴，∴是等腰直角三角形，∴．由作圖可知，且，∴，∴，∴，∴，∴由勾股定理得：．【點(diǎn)睛】本題為旋轉(zhuǎn)綜合題．考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．綜合性強(qiáng)，為壓軸題，題型難度為困難．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．題型15等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．（2023·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為一邊向下作等邊三角形，連接，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】以為對(duì)稱(chēng)軸作等邊，連接并延長(zhǎng)交x軸于F，證明得到，則點(diǎn)C在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最小，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，以為對(duì)稱(chēng)軸作等邊，連接并延長(zhǎng)交x軸于F，

則，，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)C在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最小，∵，，，∴，，∴，即的最小值為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、垂線(xiàn)段最短，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加合適的輔助線(xiàn)構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，進(jìn)而確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是解答的關(guān)鍵．2．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，點(diǎn)P是等腰直角的斜邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），點(diǎn)D在邊上，且，設(shè)，的面積為y，y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，則腰的長(zhǎng)為（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作，設(shè)腰的長(zhǎng)為，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分別用含和的代數(shù)式表示出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)腰的長(zhǎng)為，∵等腰直角，∴，∴，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)P是等腰直角的斜邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，由圖象可知：的最大值為，∴，解得：（負(fù)值已舍掉）；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象．解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解．3．（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)M在邊上，，點(diǎn)是射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線(xiàn)翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)，如果，那么的長(zhǎng)是．

【答案】6【分析】本題主要考查了三角形折疊與解直角三角形，過(guò)M點(diǎn)作，，垂足分別為、、，由，，求出，，，，得出、、三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，進(jìn)而可得，再求出，由解題．【詳解】解：過(guò)M點(diǎn)作，，垂足分別為、、，

設(shè)，∵，∴∵，，∴，解得，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，即與點(diǎn)重合，∴、、三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，∴，由折疊可知：，∴，∵，∴，故答案為6【點(diǎn)睛】本題涉及了解三角形、折疊性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理等，解題關(guān)鍵是通過(guò)計(jì)算點(diǎn)M到的距離等于得出、、三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上．4．（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)分別交軸、軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，線(xiàn)段的長(zhǎng)是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿著折線(xiàn)向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交軸于點(diǎn)．(1)求直線(xiàn)的解析式；(2)連接，設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；(3)在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）解一元二次方程求得點(diǎn)，的坐標(biāo)，采取待定系數(shù)法可求得直線(xiàn)的解析式；（2）分類(lèi)討論當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，先求的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的范圍，再利用相似三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)度；當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，先求的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的范圍，利用等腰三角形性質(zhì)求得的長(zhǎng)度，用三角形面積公式即可；（3）先討論三角形的腰為哪兩條邊，再列出方程進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：解方程，得．，．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線(xiàn)的解析式為，，解得，直線(xiàn)的解析式為．（2）∵，∴由勾股定理，得，．當(dāng)時(shí)，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，．，，是等腰三角形．．．綜上所述，（3）∵，∴直線(xiàn)的解析式為，設(shè)，則，∵，∴，當(dāng)時(shí)，則有解得或（與C重合，舍去），此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，則有解得或，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，則有解得，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述，存在．點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程求解，待定系數(shù)法求一次函數(shù)方程，利用勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)求三角形的面積，明確動(dòng)點(diǎn)的分段運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，注重分類(lèi)討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．題型16探究等腰三角形中線(xiàn)段間存在的關(guān)系1．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1，分別以的邊為斜邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)如圖2，若，=2，=3，求的正切值；(3)如圖3，以的邊為斜邊向外作等腰直角三角形，連接，試探究線(xiàn)段的關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)結(jié)論：且，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可.（2）由，推出，可得結(jié)論．（3）先證出，推出，，由得，,，再得出，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1中，

和是等腰直角三角形，∴，，∵，，即，又∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∴，．（2）解：如圖2中，

，三點(diǎn)共線(xiàn)，∵，，，，，在中，．（3）解：如圖3中，結(jié)論：且．

理由如下：和是等腰直角三角形，∴，，，即，，∴，，由得，，，，，∴且．【點(diǎn)睛】本題屬于相似三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┤鐖D，四邊形是矩形，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)F在邊上，且，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．

(1)求證：是直角三角形；(2)求的值；(3)探究三條線(xiàn)段之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）先證，推出，通過(guò)導(dǎo)角可得；（2）在截取，連接，證明，推出是等腰直角三角形，可得，即可求解；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，則．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，，在和中，，，，，，，是直角三角形；（2）解：如圖，在截取，連接，

由（1）得，，即，在和中，，，，，，，是等腰直角三角形，，，；（3）解：，理由如下：由（2）得是等腰直角三角形，，又，，即．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值等，解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形．3．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）在中，為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．

(1)如圖1，連接，則線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系是_________，位置關(guān)系是________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連接，寫(xiě)出此時(shí)線(xiàn)段之間的等量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在四邊形中，．若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）證明，得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（3）如圖3，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，證明，得到，證明是直角三角形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）在中，，∴，∵，∴，即，在和中，∵，∴，∴，，∵，∴，故答案為，；（2），理由是：如圖2，

∵，∴，在和中，∵，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴；（3）如圖3，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，

則是等腰直角三角形，∴，∵，∴，同理得：，∴，中，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．4．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考一模）（1）問(wèn)題：如圖①，在中，，D為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線(xiàn)段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線(xiàn)段和線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；（2）探索：如圖②，在與中，，，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在邊上，試探索線(xiàn)段，，之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明結(jié)論；（3）應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，．若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1），；（2），理由見(jiàn)解析；（3）8【分析】（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）證明，得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（3）如圖3，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，證明，得到，證明是直角三角形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵線(xiàn)段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，即，又，，∴，∴，，∴，∴；（2）解：；理由如下：連接：，∵，∴，即，又，，∴，∴，，∴，∴，∴；（3）將線(xiàn)段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，則，，∴是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴，即，又，∴，∴，∵，，∴，∴，又，，∴，又，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型17利用等邊三角形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)1．（2022·廣東梅州·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，若BD=CE=2，則△ABP的周長(zhǎng)為．【答案】【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，從而求出BF，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，證明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再證明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，從而求出AP，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，∵CE=BD=2，AB=AC=6，∴AE=4，∴，∴BF=4，∴，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，又∵∠BDP=∠ADB，∴△BDP∽△ADB，∴，∴，∴，∴，∴△ABP的周長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江西·統(tǒng)考二模）如圖，在等邊三角形中，D是的中點(diǎn)，P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)E，連接．若是等腰三角形，則的長(zhǎng)是．【答案】或或．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為G、F，根據(jù)△PDE是等腰三角形，分三種情況討論，利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為G、F，∵AB=8，∠A=60°，D是的中點(diǎn)，∴AG=，，同理，CF=2，，設(shè)BP為x，同理可得，BE=2x，PE=，PG=6-x，EF=6-2x，當(dāng)DP=PE時(shí)，，解得，（舍去），；當(dāng)DP=DE時(shí)，，解得，（舍去），；當(dāng)DE=PE時(shí)，，解得，（舍去），；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等，解題關(guān)鍵是熟練對(duì)等腰三角形分類(lèi)討論，利用勾股定理列出方程．3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，等邊三角形中，P，Q兩點(diǎn)分別在邊上，，D是的中點(diǎn)．若，則的最小值是．【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)Q作軸，設(shè)，則，分別求得，，再求出，從而得出點(diǎn)D在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，最小，據(jù)此求解即可．【詳解】解：建立如圖的直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)Q作軸，設(shè)，則，∵等邊三角形中，，∴∴，∴，∵D是的中點(diǎn)．∴，令∴，即點(diǎn)D在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，最小，此時(shí)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及圖形運(yùn)動(dòng)中的最值問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是會(huì)用建系法解決圖形運(yùn)動(dòng)中的最值問(wèn)題．題型18手拉手模型1．（2022·遼寧丹東·?？家荒＃┤鐖D，等腰中，，點(diǎn)D在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），將與分別沿直線(xiàn)翻折得到與，給出下列結(jié)論：①；②面積的最小值為；③當(dāng)點(diǎn)D在的中點(diǎn)時(shí)，是等邊三角形；④當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】①由折疊直接得到結(jié)論；②由折疊的性質(zhì)求出，再用周角的意義求出；先作出的邊上的高，用三角函數(shù)求出，得到，判斷出面積最小時(shí)，點(diǎn)D的位置，據(jù)此求解即可；③先判斷出是等邊三角形，是等邊三角形，再求出，即可；④當(dāng)D，C，Q共線(xiàn)時(shí)，可以證明，求出此時(shí)的值即可．【詳解】解：①∵將與分別沿直線(xiàn)翻折得到與，∴．故①正確；②∵將與分別沿直線(xiàn)翻折得到與，∴，∴，∴，如圖1中，過(guò)點(diǎn)Q作交延長(zhǎng)線(xiàn)于E，∵，∴，在中，，∴，∵∴，∴最短時(shí)，最小，即：時(shí)，最短，過(guò)點(diǎn)C作，此時(shí)就是最短的，∵，∴，∴，即：最短為2，∴，故②錯(cuò)誤，③∵將與分別沿直線(xiàn)翻折得到與，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，同理：是等邊三角形，∴，∴，∵當(dāng)點(diǎn)D在的中點(diǎn)，∴，∴，∴是等邊三角形．故③正確，④如圖2中，當(dāng)D，C，Q共線(xiàn)時(shí)，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，過(guò)點(diǎn)C作于F，則，∵，∴，∴，故④正確，綜上，①③④正確，故選：B．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，銳角三角函數(shù)，極值的確定，三角形的面積公式，解本題的難點(diǎn)是確定出面積最小時(shí)，點(diǎn)D的位置．2．（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），將△CAD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CAQ，給出下列結(jié)論：①CD＝CP＝CQ；②∠PCQ的大小不變；③△PCQ面積的最小值為；④當(dāng)點(diǎn)D在A(yíng)B的中點(diǎn)時(shí)，△PDQ是等邊三角形；⑤當(dāng)PQ⊥BQ時(shí)，AD的長(zhǎng)為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④⑤【分析】①由折疊性質(zhì)知CP＝CD，CD＝CQ，可以得出結(jié)論①正確；②由折疊的性質(zhì)求出∠ACP+∠BCQ＝∠ACB＝120°，再用周角的意義求出∠PCQ＝120°；③先作出△PCQ的邊PC上的高，用三角函數(shù)求出QE＝，得到S△PCQ＝CD2，求△PCQ面積的最小值轉(zhuǎn)化為求CD的最小值，由垂線(xiàn)段最短知D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，CD取最小值，可解；④先判斷出△APD、△BDQ是等邊三角形，且兩個(gè)三角形全等，再求出∠PDQ＝60°，即可；⑤當(dāng)D，C，Q共線(xiàn)時(shí)，可以證明∠PQB＝90°，求出此時(shí)AD的值即可．【詳解】解：①∵將△CAD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴CP＝CD＝CQ．故①正確；②∵將△CAD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴∠ACP＝∠ACD，∠BCQ＝∠BCD，∴∠ACP+∠BCQ＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝120°，∴∠PCQ＝360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）＝360°﹣（120°+120°）＝120°，∴∠PCQ的大小不變．故②正確；③如圖1中，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥PC交PC延長(zhǎng)線(xiàn)于E，∵∠PCQ＝120°，∴∠QCE＝60°，在Rt△QCE中，sin∠QCE＝，∴QE＝CQ×sin∠QCE＝CQ×sin60°＝，∵CP＝CD＝CQ∴S△PCQ＝CP×QE＝CP×＝CD2，∴CD最短時(shí)，S△PCQ最小，即：CD⊥AB時(shí)，CD最短，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，此時(shí)CF就是最短的CD，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝30°，∴CF＝BC＝2，即：CD最短為2，∴S△PCQ最?。紺D2＝，故③錯(cuò)誤，④∵將△CAD與△CBD分別沿直線(xiàn)CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴AD＝AP，∠DAC＝∠PAC，∵∠DAC＝30°，∴∠PAD＝60°，∴△APD是等邊三角形，∴PD＝AD，∠ADP＝60°，同理：△BDQ是等邊三角形，∴DQ＝BD，∠BDQ＝60°，∴∠PDQ＝60°，∵當(dāng)點(diǎn)D在A(yíng)B的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴PD＝DQ，∴△DPQ是等邊三角形．故④正確，⑤如圖2中，當(dāng)D，C，Q共線(xiàn)時(shí)，∵BQ＝BD，∠QBD＝60°，∴△BDQ是等邊三角形，∴∠QDB＝∠PAD＝60°，∴PA∥DQ，∴∠ACD＝∠PAC＝∠CAD＝30°，∴PA＝AD＝CD＝PC，∴四邊形ADCP是菱形，∴PA＝CD＝CQ，∴四邊形APQC是平行四邊形，∴∠PQC＝∠PAC＝30°，∴∠PQB＝90°，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，則AF＝FB＝BC?cos30°＝，∵∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°，∴BD＝2CD＝2AD，∴AD＝AB＝，故⑤正確，故答案為：①②④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、三角形面積公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行性的判定與性質(zhì)、垂線(xiàn)段性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于綜合型題，有一定難度，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型19等邊三角形的判定1．（2023·上海楊浦·二模）已知：在直角梯形中，，，沿直線(xiàn)翻折，點(diǎn)A恰好落在腰上的點(diǎn)E處．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E是腰的中點(diǎn)時(shí)，求證：是等邊三角形；(2)延長(zhǎng)交線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接，如果，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，通過(guò)折疊、等邊對(duì)等角、平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，從而證明是等邊三角形；（2）過(guò)點(diǎn)D作于H，得到四邊形是矩形，從而，，再由折疊得到角之間的關(guān)系從而證明，得到，；由得到，進(jìn)而，結(jié)合已知條件得到，進(jìn)一步得到，所以四邊形是平行四邊形，又，所以證明得到四邊形是矩形．【詳解】（1）由折疊得：，∵點(diǎn)E是腰的中點(diǎn)∴是的垂直平分線(xiàn)是等邊三角形（2）過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，，，，，∴四邊形是矩形，，，由折疊得：，，，，，，，，，，，，，∴，，，，，，，，∴四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定，矩形的判定．相似三角形的判定與性質(zhì)，圖中角和線(xiàn)段的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．2．（2019·山東·?？家荒＃┤鐖D，已知等邊，于，，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，連接，BF，于，連接．（1）求證：；（2）試說(shuō)明與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2），，理由詳見(jiàn)解析．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，，，，由“”可證，可得；（2）由可得，進(jìn)而可得，由即可證明是等邊三角形，可得，由三角形中位線(xiàn)定理可得，．【詳解】（1）∵是等邊三角形，，，∵，，∴，，∵，，，，且，，，，（2），.理由如下：連接，∵∴，∵，∴，∵，是等邊三角形，∵，，且，，.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理，熟練運(yùn)用三角形中位線(xiàn)定理是本題的關(guān)鍵．3．（2022·安徽馬鞍山·?？家荒＃┤鐖D1，和都是等邊三角形，且A，C，E在同一條直線(xiàn)上，分別連接，．(1)求證：；(2)如圖2，連接，若，，分別為，，的中點(diǎn)，過(guò)作與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，求證：；(3)如圖3，設(shè)與交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，交于，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，試判斷的形狀．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)是等邊三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）證明，從而得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得：，進(jìn)而推出，進(jìn)一步得出結(jié)論；（3）作于，作于，可證得，從而，故平分，又可求得，從而，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）∵和都是等邊三角形，，，，，，∴，；（2）如圖1，連接，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，，，由（1）知：，，，，，，，，，，；（3）如圖2，作于，作于，，由（1）得，，，，∴，，平分，，，，，，∵，，∴是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定，三角形中位線(xiàn)定理等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，構(gòu)造三角形的中位線(xiàn)．題型20等邊三角形與折疊問(wèn)題1．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），直線(xiàn)是經(jīng)