2023年高考數(shù)學(xué)（全國甲卷理科）真題詳細(xì)解讀及評析

2023年高考真題完全解讀(全國甲卷·理科) 試卷總評高考數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)性學(xué)科，2023年高考數(shù)學(xué)全國卷充分發(fā)揮基礎(chǔ)學(xué)科的作用，突出素養(yǎng)一是重點考查邏輯推理素養(yǎng)。如第7題，以三角函數(shù)為材二是深入考查直觀想象素養(yǎng)。如第15題，要求通過想象與簡單計算，確定球面與正方再用中線的向量公式求OP。情境，加強關(guān)鍵能力的考查。如第21題重視基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵能力的考查，將函數(shù)、導(dǎo)具有現(xiàn)實意義，具備研究價值。如第6題，取材于滑冰和滑且引導(dǎo)考生樹立理想信念，熱愛科學(xué)，為我國社會主義事業(yè)的建設(shè)作出貢獻(xiàn)。如第19題，入理解和靈活掌握，注重考查學(xué)科知識的綜合應(yīng)用能力，落實中國高考評價體系中“四翼”基本方法的深刻理解和融會貫通的應(yīng)用。如第17題，全面考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念三是體現(xiàn)創(chuàng)新性要求。如第10題，將三角函數(shù)的圖像和直線方程相結(jié)合，考查兩者交2023年高考數(shù)學(xué)全國卷全面貫徹黨的二十大報告考情分析考情分析考查點15單選題25單選題復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的代數(shù)乘法運算，復(fù)數(shù)相等5單選題算法與程序框圖5單選題重心的運用，求向量的夾角5單選題等比數(shù)列等比數(shù)列前n項和計算，需注意其中條件“正項”5單選題條件概率的計算，用古典概型來做的話，可以用5單選題常用的邏輯關(guān)系5單選題圓錐曲線用雙曲線的離心率求漸近線，漸近線與圓相交，5單選題合分類加法、分布乘法計數(shù)原理以及特殊條件下的組合問題5單選題5單選題四棱錐，通過三角形全等的方法證明PB=PA,再通過余弦定理計算PA,再計算面積5單選題圓錐曲線可通過橢圓的焦點三角形的面積公式以及等面積法求出P的坐標(biāo)；可用橢圓的定義和余弦定理，求|PF|,|PF|,|PF|2+|PF2,再用中線的向量公式求OP5填空題函數(shù)與三角函數(shù)偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，三角函數(shù)為偶，通過二次函數(shù)一次項為0時是偶函數(shù)得出結(jié)果5填空題線性規(guī)劃函數(shù)的最值5填空題根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱的距離相5填空題根據(jù)余弦定理求出AC,再用等面積法求出AD數(shù)列(1)公式法求通項公式；(2)用錯位相減法求前n項和.(1)通過線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得A,O⊥平面BCC?B?,由勾股定理得O為中點，即可得證；(2)利用直角三角形求出AB,的長及A到面的(1)利用超幾何分布的知識即可求分布列和期(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求的m=23.4,從而列出列聯(lián)表；(ii)根據(jù)獨立性檢驗的方法即可求解；圓錐曲線(1)利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線與(2)設(shè)直線為x=my+n,M(xj,y?),N(x?,y?),再利用MF·NF=0,找到m,n的關(guān)系，求出△MNF的面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(1)求導(dǎo)化簡，通過t=cos2x換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可判斷單調(diào)性；(2)構(gòu)造g(x)=f(x)-sin2x,計算g′(x)的最大值，然后與0比較大小，得出a的分界點，討論即可.(1)根據(jù)直線的幾何意義即可求出；(2)在直角坐標(biāo)系下求出直線的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.(1)分類討論：x≤a或x>a去掉絕對值，即可求解；(2)將絕對值函數(shù)寫成分段函數(shù)，畫草圖，寫出面積表達(dá)式，即可求出.備考指津備考指津真題解讀真題解讀2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題A.{x|x=3k,k∈ZB.{xlx=3k-1,k∈Z}C.{xlx=3k-2,k∈Z}【命題意圖】本題考察對整數(shù)形式的無限集合的理解，求并集【答案】A【詳解】因為整數(shù)集Z={x|x=3k,k∈Z}U{x|x=3k+1,k∈Z}【知識鏈接】A.-1【命題意圖】【詳解】因為(a+i)(1-ai)=a-ai+i+a=2a+(zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+cz2-zi=(c+di)-(a+bi)=(c-az1-z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;3.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的B=()開始開始A=A+BB=A+B結(jié)束否A.21B.34【命題意圖】當(dāng)n=4時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出B=34.名稱功能中任何需要輸入、輸出的位置。賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)明“是”或“Y”;不成立時標(biāo)明“否”或"N"。3、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)【答案】D,,【知識鏈接】1、向量的線性運算向量定義法則(或幾何意義)求兩個向量和的運算ba三角形法則4平行四邊形法則a三角形法則求實數(shù)入與向量a的積的運算,當(dāng)λ>0時λa與a2、向量線性運算常見的結(jié)論(2)在△ABC中，PA+PB+PC=O?P為△ABC的重心.3、平面向量的數(shù)量積(2)向量的夾角A.7B.9C.15【命題意圖】本題考察等比數(shù)列的前n項和的計算，列出關(guān)于9的方程，計算出9,即可求出S?,難度：較易【答案】C所以S?=1+2+4+8=15.【知識鏈接】1、等比數(shù)列的有關(guān)概念2、等比數(shù)列的有關(guān)公式6.有60人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為()A.0.8【答案】A【詳解】報名兩個俱樂部的人數(shù)為50+60-70=40,則A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件【命題意圖】本題考察同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，以及充分條件、必要條【答案】B【詳解】當(dāng)sin2α+sin2β=1時，例如,B=0但sina+co/β≠0,即sin2α+sin2β=1推不出sina+cosβ=是sina+cosβ=0成立的必要不充分條件.1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系2、充分條件、必要條件與充要條件的概念8.已知雙曲)的離心率為√5,其中一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=交于A,B兩點，則|AB|F()【命題意圖】本題考察雙曲線的離心率與漸近線的關(guān)系，圓心到直線的距離及圓半徑，求弦長，難度：一般【答案】D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由e=√5,則解得所以雙曲線的一條漸近線不妨【知識鏈接】1、圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)圓心：(a,b),半徑：r3、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)圖形性質(zhì)范圍頂點漸近線離心率軸線段A?A?叫作雙曲線的實軸，它的長|A?A?|=2a;線段B?B?叫作雙曲線的虛軸，它的關(guān)系則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()A.120B.60C.40【命題意圖】【詳解】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e,假設(shè)a連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有A}=12種方法，同理：b,c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有5×12=60種.相同點不同點分類、相加分步、相乘每步依次完成才算完成這件事情(每步中的注意點類類獨立，不重不漏名稱定義排列從n個不同元素并按照一定的順序排成一列，叫作從n的一個排列組合,,,,的交點個數(shù)為()A.1【命題意圖】的部分大致圖【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為,,,,的大小,,時，【知識鏈接】步驟步驟步驟3步驟42的面積為()本題考察再立體幾何中，先在△PAC中利用余弦定理求得PA=√17,從而求得PA·PC=-3,再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于PB,∠BPD的方程組，【答案】C連結(jié)AC,BD交于O,連結(jié)PO,則O為AC,BD的中點，如圖，故又在△PBD中，BD2=PB2+PD2-2PB·PDcos∠BPD,即32=m2+9-6mcosθ,則m2-6mcosO-23=0②,兩式相加得2m2-34=0,故PB=m=√7,故在APBC中，PC=3,PB=√17,BC=4,名稱棱臺圖形ESAEABCDBC互相平行且全等多邊形相交于一點但不一定相等延長線交于一點內(nèi)容a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosB(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2別表示a,b,c邊上的高);而而c.【命題意圖】【答案】B【知識鏈接】圖形by￥C性質(zhì)范圍對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點軸長軸A?A?的長為2a;短軸B?B?的長為2b2、與橢圓的焦點三角形相關(guān)的結(jié)論(含焦半徑公式)橢圓上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形.解決焦點三角形的問題常利用橢圓的定義、正弦定理和余弦定理.大值為bc;(4)焦點三角形的周長為2(a+c).二、填空題13.若為偶函數(shù)，則a=【命題意圖】本題考察函數(shù)的奇偶性判斷，三角函數(shù)的奇偶性，難度：容易【答案】2所以a-2=0→a=2【知識鏈接】1、函數(shù)的奇偶性定義圖象特點如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有關(guān)于y軸如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有關(guān)于原點2、函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論(1)f(x)為奇函數(shù)?fx)的圖象關(guān)于原點對稱；f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇或簡單化.【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2,EF中點為O,取AB,BB?中點G,M,側(cè)面BBCC的中所以球O與棱BB,相切，球面與棱BB;只有1個交點，同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.線，則AD=本題考察利用余弦定理求出AC,再根據(jù)正弦定理求出B,C,即可根據(jù)三角形的特征求出，【答案】2【詳解】由正弦定理可得，,因為1+√3>√6>√2,所以C=45,B=180-60-45=75,又∠BAD=30°,所以∠ADB=75,即AD=AB=2.【知識鏈接】正弦定理、余弦定理內(nèi)容a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosB(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c三、解答題(2)求數(shù)列的前n項和T,.【命題意圖】(1)根據(jù)即可求出；(1)公式法(2)根據(jù)錯位相減法即可解出.難度：一般【詳解】(1)因為2S=na,當(dāng)n=1時，2a?=a,即a?=0;當(dāng)n=3時，2(1+a?)=3a?,即a?=2,(2)因為,即1【知識鏈接】1、數(shù)列{a?}的an與S?的關(guān)系2、已知S?求an的三個步驟3、求數(shù)列的前n項和的方法①公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和公式②公比為q的等比數(shù)列(an}的前n項和公式(2)倒序相加法(3)錯位相減法(4)裂項相消法(5)分組求和法(6)并項求和法18.在三棱柱ABC-ABC中，AA=2,AC⊥底面ABC,∠ACB=90°,A,到平面BCCB的距離為1.(2)若直線AA,與BB;距離為2,求AB,與平面BCCB?所成角的正弦值.(1)根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得AO⊥平面BC(2)利用直角三角形求出AB,的長及點A到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.難∵AC⊥底面ABC,BCC面ABC,∴AC⊥BC,又BC⊥AC,AC,ACC平面A∴BC⊥平面ACC1A1,又BCC平面BCCB,∴平面ACCA⊥平面BCC?B,過A作AO⊥CC交CC于O,又平面ACCA∩平面BCCB=CC,AOC平面ACCA,∴AO⊥平面BCCB·A到平面BCC?B的距離為1,∴AO=1,∴1+x2+1+(2-x)2=4,解得(2)∵AC=AC,BC⊥AC,BC⊥AC,∴Rt△AC過B作BD⊥AA,交AA,于D,則D為AA中點，由直線AA,與BB,距離為2,所以BD=2∵AD=1,BD=2,∴AB=AB=√5,在Rt△ABC,∴BC=√AB2-AC2=√3,文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與a70山性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線abQ3.距離把它叫作這兩個平行平面間的距離.文字語言圖形語言符號語言判定定理性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一66dd.垂直間的三種轉(zhuǎn)化關(guān)系線線垂直線面垂直面面垂直2.直線與平面垂直的五個結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面.則另一條也垂直于這個平面(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組(不加藥物)和實驗組(加藥物).(2)測得40只小鼠體重如下(單位：g):(已按從小到大排好)對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.4實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)m,并完成下面2×2列聯(lián)表：實驗組(ii)根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.【命題意圖】(1)利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得m=23.4,從而求得列(ii)利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【詳解】(1)依題意，X的可能取值為0,1,2,X012P(2)(i)依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,66所以能有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.(2)超幾何分布中，只要知道M,N,n就可以的分布列.表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).其中n=a+b+c+d為樣本容量.①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表. ③通過比較x與臨界值的大小關(guān)系來作統(tǒng)計推斷.【命題意圖】(1)利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出P;及MNF的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值.【詳解】(1)設(shè)A(x?,y?),B(xg,ya),設(shè)點F到直線MN的距離為d,所圖形)FxyXyX0下X頂點對稱軸焦點離心率準(zhǔn)線范圍結(jié)則.當(dāng)設(shè)佶1.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時分清是對哪個變量求導(dǎo)；③計算結(jié)果盡量簡潔結(jié)論函數(shù)y=f(x)上可導(dǎo)f(x)在(a.b)內(nèi)單調(diào)遞增f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減1.若函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(x)在[a,b]上一定有最值2.若函數(shù)f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù)，則fx22.已知P(2,1),直線1:(t為參數(shù)),α為1的傾斜角，1與x軸，y軸正半(1)根據(jù)t的幾何意義即可解出；(2)求出直線1的普通方程，再根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)互化公式即可解出.【詳解】(1)因為1與x軸，y軸正半軸交于A,B兩點，所以,即.由x=pcosa,y=psina可得直線1的極坐標(biāo)方程為pcosa+psina-3=0.①理解坐標(biāo)系的作用.②了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.③能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點的位置的區(qū)別，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.④能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程.適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.2.參數(shù)方程：①了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.②能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.3.點M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為P;以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的∠xOM叫做點M的極角，記為θ。有序數(shù)對(p,O)叫做點M的極坐標(biāo)，記為M(p,O).4.若p<0,則-P>0,規(guī)定點(-p,O)與點(p,θ)關(guān)于極點對稱，即(-p,θ)與(P,π+O)表如果規(guī)定p>0,0≤θ≤2π,那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)(p②②8.參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x,y的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由這個方程所確定的點M(x,y