初中幾何基本知識(shí)匯總

初中幾何基本知識(shí)匯總

一、金口角

1、線段、射線、直線（略）

①過二點(diǎn)有且只有一條直線。

②所有連接二點(diǎn)的線中，線段最短，叫二點(diǎn)間的距離。

2、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（略）

3、互為補(bǔ)角（兩角的和是一個(gè)平角），互為余角（兩角的和為直角）。

①同角或等角的補(bǔ)角相等。

②同角或等角的余角相等。

4、平行線:

①平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

②推論：兩條直線都和弟三條直線平行，則兩直線平行

性質(zhì)

①兩直線平行，同位角相等

②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

判定：

①公理：同位角相等，兩直線平行

②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

5、線段的垂直平分：①定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

②逆定理：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

6、對(duì)稱軸：定理1：關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

定理2:如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

定理3:兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸

上。

二、三角形、四邊形、多邊形

6、三角形的內(nèi)角和、外角、中線、中位線、高

①三角形三個(gè)角平分線交于一點(diǎn)：內(nèi)心（該點(diǎn)到三角形三邊距離相等）

②三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)：外心（該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）

③三角形中線相交于一點(diǎn)：重心（這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍）

④三角形三條高交于一點(diǎn)：垂心

7、三角形兩邊之和大于弟三邊，兩邊之差小于弟三邊

8、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，大于和它不相鄰的恣意內(nèi)角。

9、三角形的判定：①邊角邊（SAS）②角邊角（ASA）③邊邊邊（SSS）④斜邊直角邊

公理（HL）

10、角平分線

定理1:在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

定理2:到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

11.等腰三角形：

⑴性質(zhì)定理：等邊對(duì)等角（兩底角相等）

①推論1:等腰三角形頂角的平分線平分底邊且垂直底邊。

（三線合一）

②推論2:等邊三角形各角相等,均為600

⑵判定定理：兩底角相等的三角形是等腰三角形

⑶在Rt△中，300角所對(duì)的邊是斜邊的一半

①在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半

②過三角形一邊中點(diǎn)且平行于弟二邊的直線必過弟三邊中點(diǎn)

12、勾股定理；a2+b2=c2（此定理可逆，適合此條件的是直角三角形）

13、圖形的平移：

⑴概念：圖形沿著一定的方向平行移動(dòng)。圖形的平移由移動(dòng)的方向和距離決定。

⑵平移是物體、圖形的平行移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中，物體、圖形的形狀、大小都不會(huì)發(fā)生改變。

③平移的特征：

①平移后，圖形中的每一個(gè)點(diǎn)沿著同一方向移動(dòng)同一距離。

②平移后，對(duì)應(yīng)線段平行且相等。

③平移后，對(duì)應(yīng)角相等。

④平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相互平行或在同一條直線上

14、幾何證明初步

⑴定義：用來說明一個(gè)名詞的語句。定義一方面可以作為性質(zhì)使用，另一方面又可以作為判

定的方法。

例：說出下列名詞的定義：①兩點(diǎn)之間的距離，②全等三角形，③一元一次方程，④兩條平

行線間的距離

⑵命題：

①定義：判斷一件事情的句子叫命題。

②判斷一個(gè)語句是否為命題要抓住兩條：命題通常是一個(gè)陳述句，包括肯定句和否定句，而

疑問句和命令性語句都不是命題；必須對(duì)某件事情做出肯定或否定的判斷，二者必居其一。

③命題的組成：由題設(shè)、結(jié)論組成。模式：如果……那么……

④真命題、假命題：（略）要判斷一個(gè)命題是真命題，可以通過實(shí)驗(yàn)的方式，也可通過推理

的方式；要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉一反例即可。

⑶互逆命題：

㈠如果弟一個(gè)命題的題設(shè)是弟二個(gè)命題的結(jié)論，弟一個(gè)命題的結(jié)論是弟二個(gè)命題的題設(shè)，這

兩個(gè)命題叫互逆命題。（其中一個(gè)叫原命題，另一個(gè)叫逆命題）

（二）任何一個(gè)命題都有它的逆命題，但逆命題不一定是真命題。

⑷互逆定理：

㈠一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理,

一個(gè)叫另一個(gè)的逆定理。

㈡從逆定理定義上不難看出，逆定理一定是真命題。

⑸公理和定理

①公理:

㈠作為判定其他命題真假的根據(jù)的真命題叫做公理。即有些真命題是通過長(zhǎng)期實(shí)踐總結(jié)出來，

被大家所公認(rèn)，并且作為證實(shí)其他命題的起始依據(jù)，這樣的真命題叫公理

⑵耙們學(xué)過的公理，如：兩點(diǎn)確定一條直線；平行公理；兩直線平行同位角相等；同位角相

等，兩直線平行；ASASASSSS；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等等

②定理：

㈠其正確性是用推理證實(shí)的真命題叫定理。即我們把由已知條件、定義、公理或已經(jīng)證實(shí)了

的真命題出發(fā)，通過推理的方法得到證實(shí)的真命題叫公理。

㈡定理可作為判定其他命題真假的依據(jù)；

⑹證明：命題的真實(shí)性都需要通過推理的方法證實(shí)，推理的過程叫證明。

15、圖形的旋轉(zhuǎn)：

⑴旋轉(zhuǎn)：如果平面內(nèi)的點(diǎn)繞著某點(diǎn)0按順時(shí)針或逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這種點(diǎn)的移動(dòng)稱

為旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)。就是旋轉(zhuǎn)中心。

⑵圖形的旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)的角度所決定。

⑶旋轉(zhuǎn)角：和旋轉(zhuǎn)中心相連的對(duì)應(yīng)線段的夾角。

⑷旋轉(zhuǎn)中心是旋轉(zhuǎn)變換的唯一不動(dòng)點(diǎn)，反之，若有一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)中保持不變，則必為旋轉(zhuǎn)中心

⑸圖形旋轉(zhuǎn)的特征：圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中

心的距離相等；對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)角相等；圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生改變。

⑹作旋轉(zhuǎn)后的圖形，關(guān)鍵在于找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，利用圖形旋轉(zhuǎn)的特征來作。

⑺旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：

①圖形繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度后，能與自身重合，這樣的圖形稱為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。

②注意旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形與旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的聯(lián)系和區(qū)別前者就一個(gè)圖形而言，后者就兩個(gè)圖形而言。

⑻中心對(duì)稱：

①中心對(duì)稱：將一個(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800后，與另一個(gè)圖形重合，我們稱這兩個(gè)圖形

關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱。這個(gè)點(diǎn)叫對(duì)稱中心。

②中心對(duì)稱圖形：將一個(gè)圖形繞著中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800后能與自身重合，我們把這種圖形叫做

中心對(duì)稱圖形。這個(gè)中心點(diǎn)叫對(duì)稱中心。

③中心對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系；而中心對(duì)稱圖形指的是一種具有特殊性質(zhì)的圖形。

④中心對(duì)稱圖形是特殊的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。

⑤中心對(duì)稱的特征：在成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，連接對(duì)稱點(diǎn)的線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且

被對(duì)稱中心平分。

⑥中心對(duì)稱的識(shí)別：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連成的線段都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且都被該點(diǎn)平分，

那么這兩個(gè)圖形一定關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱。

⑼、㈠定理：①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)稱點(diǎn)連線都通過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分

㈡逆定理:如果兩個(gè)圖形的對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)

于這點(diǎn)對(duì)稱

16、四邊形

⑴凸多邊形內(nèi)角和定理：n邊形內(nèi)角和等于(n-2)X1800

⑵恣意凸多邊形外角和定理：均為3600

⑶從凸n邊形一個(gè)角引的對(duì)角線條數(shù)：n-3

⑷凸n邊形對(duì)角線總條數(shù)：n(n-3)/2

⑸平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)(每三點(diǎn)不共線)，最多能確定的直線的條數(shù)：n(n-l)-2

能確定的圓的個(gè)數(shù)：n(n-l)(n-2)+6

17、平行四邊形定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

18、平行四邊形性質(zhì)：

①平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。

②平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。

③平行四邊形對(duì)角線互相平分。

④平行四邊形的對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)。

19、兩條平行線間的距離

⑴定義：兩條平行線中，一條直線上恣意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的

距離。

⑵兩平行線間的距離處處相等

20、平行四邊形的判定：

①兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

④一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

⑤兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

21、矩形：

⑴定義：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形

⑵性質(zhì)：

(19)肋有平行四邊形的一切性質(zhì),

②四角是直角，

③對(duì)角線相等

④矩形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形(有兩條對(duì)稱軸)

22、菱形:

⑴定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形

⑵菱形的性質(zhì)：

?肋有平行四邊形的一切性質(zhì),

②四條邊相等，

③對(duì)角線相互垂直、每一條對(duì)角線平分一組內(nèi)對(duì)角

④菱形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形

⑶菱形的面積計(jì)算：底x高或者：兩條對(duì)角線乘積的一半

23、正方形:

⑴定義：①有一個(gè)角是直角的菱形

②有一組鄰邊相等的矩形

⑵崛：

(19)肋有平行四邊形的性質(zhì),

②邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行。

③角：四角是直角,

④對(duì)角線：相等、相互垂直平分、每條對(duì)角線平分一組內(nèi)角

⑤是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形

⑺梯形：①定義：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形

②等腰梯形性質(zhì)定理：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等

③等腰梯形判定：同一底上兩角相等的是等腰梯形

④平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上

截得的線段也相等

推論1:經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰

推論2:經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分弟三邊。

①三角形中位線定理：平行弟三邊且等于弟三邊的一半

②梯形中位線定理：梯形的中位線平行兩底且等于兩底和的一半

三、相似形：

24、①比例線段a:ba稱前項(xiàng)b稱后項(xiàng)

②a:b=c:d比例的項(xiàng)比例外項(xiàng)比例內(nèi)項(xiàng)弟四比例項(xiàng)（略）

③比例的基本性質(zhì):a:b=c:d則ad=bc（可逆）

a:b=b:c貝!]b2=ac（b稱為ac的比例中項(xiàng)）

④和比性質(zhì):若a:b=c:d則(a+b)/b=(c+d)/d

⑤等比性質(zhì)：若a/b=c/d==m/n貝！j(a+c+...+m)/(b+d+…+n)=a/b

⑥黃金分割：把線段AB分成兩段AC、BC(AC>BC)，使AC2=ABxBC,叫把線段AB

黃金分割，C點(diǎn)叫AB的黃金分割點(diǎn)

25、⑴平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

⑵推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

⑶定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

四、相似三角形

26、定理1:平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角

形和原三角形相似

定理2:射影定理：RtMBC斜邊的高為CD,則①AC2=ADxAB

②BC2=BDXAB③CD2=ADXBD

27、相似三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1、相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比

性質(zhì)2、相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。

性質(zhì)3、相似三角形面積的比等于相似比的平方。

28、相似三角形的判定

定理1:兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。

定理2:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。

定理3:三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。

定理4:如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比

例，則兩三角形相似。

29、⑴射影定理：如圖

貝U:AC2=ADAB

BC2=BD-BA

DC2=ADDB

30、解直角三角形

⑴特殊角的三角函數(shù)值（請(qǐng)同學(xué)們?cè)谙卤碇刑钌险_的數(shù)值）

00

300

450

600

900

sinA

0

1

cosA

1

0

tanA

0

不存在

cotA

不存在

0

⑵三角函數(shù)公式：

①定義公式(略)

(2)tanA=sinA/cosAcotA=cosA/sinA

③tanAcotA=l

④sin2A+cos2A=1

⑤sin(900-A)=cosA

(6)cos(900-A)=sinA

⑦tan(900-A)=cotA

⑧cot(900-A)=tanA

五、圓：

31、圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。

①圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合。

②圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合。

32、弦：連接圓上恣意兩點(diǎn)的半徑

半圓：圓的恣意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每條弧都叫做半圓。

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧。

劣?。盒∮诎雸A的弧。

弓形：由弦及所對(duì)的弧組成的圖形。

等圓：能夠重合的兩個(gè)圓。

等?。涸谕瑘A和等圓中，能夠重合的兩弧。

33、點(diǎn)的軌跡：

⑴到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑的圓。

⑵和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是線段的垂直平分線。

⑶到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線

⑷到直線L的距離等于定長(zhǎng)d的點(diǎn)的軌跡，是平行于這條直線并且到這條直線的距離等于

定長(zhǎng)的兩條直線

⑸到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

34、垂直于圓的直徑

⑴圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸

⑵垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

⑶垂經(jīng)定理推論

推論1

①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等

35、圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系

⑴圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形

①圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角

②圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等

③弦心距：圓心到弦的距離

⑵定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦的弦心距相等

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相

等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等

36、圓周角：⑴定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊和圓相交的角

⑵定理：T弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

推論2:半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑

推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

37、圓與三角形：

⑴與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓圓心叫三角形的內(nèi)心，這

個(gè)三角形叫外切三角形；三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。

⑵過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫三角形的外接圓，外接圓圓心叫三角形的外心，三角形的外心

是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)。

⑶不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓

38、圓的內(nèi)接四邊形

定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角

39、直線和圓的關(guān)系

⑴直線于圓相交（割線）、相切（切線）、相離（略）

⑵切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

⑶切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑

推論1,經(jīng)過圓心且垂直于切線的直徑必經(jīng)過切點(diǎn)

推論2，經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

⑷三角形的內(nèi)切圓（內(nèi)心，圓的外切三角形）

⑸切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分

兩條切線的夾角

推論：圓外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等

⑹弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。