2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：解三角形（附答案解析）

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：解三角形學(xué)生版

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2023?重慶模擬）在厶工臺(tái)。中，sin/=曽，/C=3，8=45。，則8c等于（）

A.2電B./C.2sD.2s

2.（2023?南昌模擬）△NBC的內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為“，h,c,若6=3,c=2,AABC

的面積為2sin8,則cos/等于（）

3.在△/BC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若asin/+6（sinB+Ssin/）=csinC,

則C等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.（2023?鄭州模擬）2021年11月，鄭州二七罷工紀(jì)念塔入選全國(guó)職工愛(ài)國(guó)主義教育基地名

單.某數(shù)學(xué)建模小組為測(cè)量塔的高度，獲得了以下數(shù)據(jù)：甲同學(xué)在二七廣場(chǎng)/地測(cè)得紀(jì)念塔

頂。的仰角為45。，乙同學(xué)在二七廣場(chǎng)8地測(cè)得紀(jì)念塔頂。的仰角為30。，塔底為C（N,B,

C在同一水平面上，OC丄平面/8C）,測(cè)得/8=63m,乙4c8=30。，則紀(jì)念塔的高CO為

（）

A.40mB.63m

C.40smD.63^/5m

5.（2022-南寧模擬）在△48C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=2,b2+c2^a2+

be,則△/8C外接圓的面積是（）

A.-B.—C.27tD.4兀

33

6.設(shè)△/8C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,tanA=~,且8為鈍角.貝Usin/+sinC

b

的取值范圍是（）

B停a

第1頁(yè)共12頁(yè)

I^+-|r\A+-\

7.（2022?洛陽(yáng)模擬）已知在△45C中，45=5,4。=4,則當(dāng)函數(shù),/（4）=sinlJ+V3cosl6J

一cos24取得最大值時(shí)，6c等于（）

A.4B訴C.如D.2標(biāo)

8.（2022?吉安模擬）在△/8C中，/8=8C,點(diǎn)。是邊N8的中點(diǎn)，△Z8C的面積為t，則線

段8的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,+8）

>+勺DP￥]

二、多項(xiàng)選擇題

9.（2022?福州模擬）下列對(duì)△/SC解的個(gè)數(shù)的判斷中正確的是（）

A.a=7,6=14,力=30。，有一解

B.。=30,6=25,4=150。，有一解

C.a=S，b—\[6,A—60°,有一解

D.a=6,6=9,A=45°,有兩解

若宀一加+i-c2=0,則

10.在△NBC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

asinAbsinB

AABC的形狀為（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

11.（2023?寧波模擬）已知△/BC三個(gè)內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且Sccos/+〃sin

C=0,若角/的角平分線交8c于。點(diǎn)，且4。=1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.A=—B.A=~

33

C.6+c的最小值為2D.b+c的最小值為4

12.（2023?南昌模擬）已知。是△Z8C的外心，若提?鳶?歷+瑞太?訪=2加歷2,且2sin8

+sinC=3，則實(shí)數(shù)，"可取的值為（）

334

A.-B,-C.-D.1

455

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三、填空題

13.已知銳角△N8C的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足c=3,Stan/tan8

=3+tanN+tanB,則a2+b2的取值范圍為.

14.AASC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos2C=sin2/+cos28—sin/sinC,且

6=6,則5=,△N8C外接圓的面積為.

15.（2023?臨汾模擬）在△NBC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足5/+3/>2=

3c2,貝ijtan/的最大值為.

16.（2023?晉中模擬）如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建

造一個(gè)觀景臺(tái)P,已知射線4C且?jiàn)A角為120。的公路（長(zhǎng)度均超過(guò)4千米），在兩條公路

AB,4C上分別設(shè)立游客上、下點(diǎn)用，N,從觀景臺(tái)尸到M,N建造兩條觀光線路尸M,PN,

測(cè)得4V/=5千米，/N=3千米.若NMPN=60。,則兩條觀光線路PAf與尸N之和的最大值

為千米.

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2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：解三角形教師版

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2023?重慶模擬）在厶工臺(tái)。中，sin4=晉,AC=3,8=45。，則BC等于（）

A.23B./C.2sD.2也

答案D

解析由正弦定理知，-,

smAsinB

Jx氈

...8c='Csm'=——

sinByJ2

2

2.（2023?南昌模擬）厶力臺(tái)。的內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若6=3,c=2,/XABC

的面積為2sinB,則cosA等于（）

1謂「幣3

AA.-B-C.—Dn-

3344

答案D

解析因?yàn)?=3,c=2,厶力鳥。的面積為2sin&所以S/、/8c=%csin8=2sin&

所以。=2,由余弦定理得cos/="^~

2bc4

3.在△力5C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,若asinN+Z?（sinB+3sinZ）=csinC,

則。等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

答案D

解析因?yàn)閍sinA+b（sinB+yfisinA）=csinC,

所以由正弦定理得〃2+b（b+3〃）=c2,

化簡(jiǎn)得a2+b2—c2=—y[3ab,

所以由余弦定理得cos。=4±-=二^弛=—金，

2ab2ab2

因?yàn)镃G（0,兀），

所以C=150°.

4.（2023?鄭州模擬）2021年11月，鄭州二七罷工紀(jì)念塔入選全國(guó)職工愛(ài)國(guó)主義教育基地名

單.某數(shù)學(xué)建模小組為測(cè)量塔的高度，獲得了以下數(shù)據(jù)：甲同學(xué)在二七廣場(chǎng)力地測(cè)得紀(jì)念塔

頂。的仰角為45。，乙同學(xué)在二七廣場(chǎng)8地測(cè)得紀(jì)念塔頂。的仰角為30。，塔底為C（4B,

C在同一水平面上，0c丄平面/8C）,測(cè)得/8=63m,ZACB=3Q°,則紀(jì)念塔的高CD為

第4頁(yè)共12頁(yè)

A.40mB.63m

C.40>\/5mD.63A/5m

答案B

解析如圖所示，ZDAC=45°,/CBD=30。,N4cB=30。，設(shè)塔高CD為厶因?yàn)镈C丄平

面48C,所以。C丄。，DCA.CB,

B

所以NC=/,BC=血,又AB^MAC+BC-ZACBCCOSNACB,

即632=於+3產(chǎn)一2xSrXfX*,

2

解得￡=63m.

5.（2022?南寧模擬）在△A8C中，角B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=2,b2+c2^a2+

be,則△/BC外接圓的面積是（）

A兀4?！猚rv

A.-B.—C.2元D.A4兀

33

答案B

222221

解析因?yàn)閎+c=a+bc,所以b+c—a=bc9

由余弦定理得c°s”=婦/W’

所以sin"學(xué)

設(shè)△Z8C外接圓的半徑為凡由正弦定理得2/?=亠=建

sinA3

所以T

所以△/8C外接圓的面積是兀戸=也.

3

6.設(shè)△N8C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,tan/=Z且8為鈍角.W'JsinJ+sinC

b

的取值范圍是（）

A.伶12,-81.B停3

p2

C.1817(0用

第5頁(yè)共12頁(yè)

答案A

解析由tan4=旦以及正弦定理得劭L1=2=?2,所以sin8=cos4即sin8=sin(2+“

bcos/bsinB

又8為鈍角，所以北第q,

故土,

r磯

。=兀一(4+8)=：—2Z>0=404丄

于是sinJ+sinC=sinJ+sin(W=sin4+cos2A=-2sin2/i+sinX+1=—21

疝公B+

9

因?yàn)榱Α?0，J所以0〈sin，v學(xué)，

由此也＜—zG'n44)2+~^~?即sin4+sinC的取值范圍是[2，8_.

288

7.(2022?洛陽(yáng)模擬)已知在△N8C中，/8=5,ZC=4,則當(dāng)函數(shù)9)=sin1T+Scos[+Z

—cos2/取得最大值時(shí)，BC等于()

A.4B訴C.A/41D.2標(biāo)

答案B

(2cos2^-1)=-2cos24+2cos4+1,

當(dāng)C0S4=1,即4=%時(shí)，/(4)max=W，

232

.,.BC2=52+42-2X5X4X-=2l,.，.8C=訴.

2

8.(2022?吉安模擬)在中，N8=8C,點(diǎn)。是邊48的中點(diǎn)，△ZBC的面積為土則線

段CD的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,+0°)

C.^+TD(0用

答案c

第6頁(yè)共12頁(yè)

解析設(shè)AB=BC=t,CD=m,所以S△麻=貝訪3=；,BPr2sinB=1,①

在△88中，由余弦定理得〃72=f2+@2_2f,cos8,

2

即Feos5=與2一團(tuán)2,②

4

由①②得方管一叫+華,

O1

即加4-40m2/2+16"+”絲=0,

81

令產(chǎn)=x>0,設(shè)8（》）=9工2—40川2》+16,"4+丄產(chǎn)，則方程g（x）=0在（0,+8）上有解，所以

81

仔0〃?]00/叫

gl9J=919J2-40/n2X等+癡+臂支解得一吟即心*

二、多項(xiàng)選擇題

9.（2022?福州模擬）下列對(duì)厶/夕。解的個(gè)數(shù)的判斷中正確的是（）

A.a=7,6=14,/=30。，有一解

B.a=30,b=25,4=150°,有一解

C.a—yfi,b=&,A—60°,有一解

D.a—6,b—9,A=45°,有兩解

答案AB

解析選項(xiàng)A,6sin/=14sin30。=7=°,則三角形有一解，判斷正確;

選項(xiàng)B,bsin/=25sin150°=",則。>6>bsin/,則三角形有一解，判斷正確；

2

選項(xiàng)C,bsin/=*sin60。=出住，貝！|4<6sinN,則三角形無(wú)解，判斷錯(cuò)誤；

2

選項(xiàng)D,bsinZ=9sin45°=幺2,JH'Ja<bsinA,則三角形無(wú)解，判斷錯(cuò)誤.

2

10.在△A&C中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若。2+.—62+°2&2.=0,則

asinAbsinB

△ABC的形狀為（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

答案AD

解析M+U-%a2T2-2=0,變形得層+?—62="+c2—

asinAbsinBasinAbsinB

結(jié)合余弦定理得厶

asinAbsinB

第7頁(yè)共12頁(yè)

因?yàn)閏WO,所以sinBcos5=sinAcosA,

即sin2/=sinIB.

因?yàn)?8W(O,7t),

所以2/=28或2/+28=兀，即/=8或/+8=匹，

2

所以△4BC為等腰三角形或直角三角形.

II.(2023?寧波模擬)已知△ZBC三個(gè)內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且3ccosZ+“sin

C=0,若角/的角平分線交BC于。點(diǎn)，且力。=1,則下列結(jié)論正確的是()

A.A=—B.A=-

33

C.b+c的最小值為2D.6+c的最小值為4

答案AD

解析由\[3ccosA+asinC=0及正弦定理，

得由sinCeosJ+sin/sinC=0,

因?yàn)镃G(0,?t),sinCr0,所以mcos/l+sin/=0,即tan/=-3,

因?yàn)?W(0,兀)，所以/=與，故A正確；

SdABC=S^ABD+S^ACD，

所以—hesin—=-c'1sin-+—/>,1sin-,

232323

所以bc=b+c9即丄+1=1,

bc

所以8+c=(b+c)(+c]=2+2+C，2+21/—x—=4,

cb\]cb

當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以6+c的最小值為4,故D正確.

12.（2023?南昌模擬）已知。是△A8C的外心，若駡?鳶?歷+需農(nóng)?歷=2加元2,且2sin8

+sinC=3，則實(shí)數(shù)〃?可取的值為（）

334

A.-B.-C.-D.1

455

答案AB

解析設(shè)△Z8C的外接圓半徑為心因?yàn)?。是?8C的外心，故可得M。|=凡

且恭.訪=；|前2=$2,而歷=軻?|2=步，

故嗎方?訪+四太?訪=2，"訪2,

第8頁(yè)共12頁(yè)

即^AB[\AC\+^AB[\AC\=2mR2,

也即bc=2mR2,則〃?=粗三，

2R2

又2sin8+sinC=3,

由正弦定理可得2b+c=237?,則上=06匿,

L,6bc-----6----------——3

故加=-----------—AlW[77~=一，

4Z>2+c2+4/)c唯+6+42A/---+44

cb\lcb

當(dāng)且僅當(dāng)也=C,即c=2b時(shí)，〃[取得最大值3,

cb4

故結(jié)合選項(xiàng)知m可取的值為3或3.

45

三、填空題

13.已知銳角厶力夕。的內(nèi)角4,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,c,且滿足c=3，^3tanB

=\[3+tanA+tanB,則京+乂的取值范圍為.

答案(5,6]

解析方法一由韻tanZtan8=d5+tanZ+tan8,

得tan4+tanB=出(tan力tan8—1),

則tanN+tanS=—e

1—tanJtanB

即tan(4+8)=一3，

/.tanC=韻.

又0<C<-,

2

：.A+B=—,

3

又???044v匹，0<^<-,

22

62

由正弦定理，得|=*=六=噂=2,

sinAsmBsmC

2

a2+b2=(2sinA)2+(2sinB)2

第9頁(yè)共12頁(yè)

???5〈屏+〃<6,即小+加的取值范圍為(5,6].

方法二由/tanNtanB=3+tan力+tan8,

得tan/+tanB=\[3(tanAtanB—1),

M.tanJ+tanBr

則-----------二f,

1—tan4tanB

即tan6+8)=—3,

??tanC="\/5.

又0<C<-,

2

3

設(shè)z=￡一%B=-+a.

33

??八/兀/兀

.0<----a<—,0<—+a<—,

3232

得，—=亠~=，—=羋=2

由正弦定理,

sinAsin3sinC'

2

a2+b2=(2sin/>+(2sinB)2

第10頁(yè)共12頁(yè)

fl--X2cos—cos2oil

=4l23J

=4+2cos2a.

,?7C.it

?—<?<-,

66

；?一匹<2av匹,

33

-^<cos1,

2

5<a2+/?2^6,

即解+加的取值范圍為（5,6].

14.的內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos2C=sin24+cos2B—sin/sinC,且

6=6,則8=,△49C外接圓的面積為.

答案J12兀

3

解析由cos2C=sin2^+cos2i5—sin/sinC,

可得1—sin2C=sin2z+1—sin25—sin/lsinC,

即sin2J+sin2C—sin2^=sinJsinC,

由余弦定理可得cos

2ac2

又因?yàn)?W（0,兀），可得

所以A/BC外接圓的半徑R=—^=2\b,

2smB

所以△力8C外接圓的面積為兀R2=12兀

15.（2023?臨汾模擬）在△48C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為°,b,c,且滿足54+3加=

3c2,則tanZ的最大值為_(kāi)_______.

答案7

（

解析'：5a2+3b2=3c2,：.a2=33/?~

5