海南省2023-2024學年高三年級上冊高考全真模擬（四）數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年海南省高考全真模擬卷（四）

數(shù)學

1.本試卷滿分150分，測試時間120分鐘，共4頁.

2.考查范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、三角函數(shù)、平面向量、解三角形、函數(shù)與導數(shù)、數(shù)列、立體

幾何、解析幾何.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.已知集合4={刈刀|,,1},5={-3,—2,—1,0,1,2,3},,則Ac5=()

A.{-3,-2,-1,0}B.{-2,-1,0,1}c.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

x+1

o_i_n

2.若函數(shù)/（%）=/.3rm為R上的偶函數(shù)，則實數(shù)。的值為（

A.-2B.2C.lD.-1

121

3.已知sin2a+—cos。=一,則tana=)

22

A.OB.4C.-4D.0或4

4.已知數(shù)列｛%｝的通項公式為?！?2"+2,從該數(shù)列中抽取出一個以原次序組成的首項為4,公比為2的等

比數(shù)列氣，氣,,其中勺=1,則數(shù)列｛勺｝的通項公式為（）

A.勺=2"—1B.kn=2n+1

n

C.kn=2-2D.kn=2n-1

n’11'8（。’則下列說

5.己知函數(shù)〃X）=COS（5+0)?！?,附〈（的部分圖象如圖所示，其中A

71

1

C.直線X=三S77■"是〃x）圖象的一條對稱軸

D.是/（X）圖象的一個對稱中心

6.已知函數(shù)了（尤）=-4,則/（%）的圖象大致為（）

（尤―2）2

7.已知圓C過點（1,1）,（5,3）,且直線/:x+y=o被圓C所截得的弦長為J亞，若圓C的圓心在丁軸右側(cè)，

則圓C的面積為（）

A.16"B.25?C.367rD.497r

8."大衍數(shù)列"來源于《乾坤譜》中對易傳"大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原

理，是中華傳統(tǒng)文化中的一大瑰寶.已知"大衍數(shù)列"的前10項分別為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,,據(jù)此可

以推測，該數(shù)列的第15項與第60項的和為（）

A.1012B.1016C.1912D.1916

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.已知。>6>0,則下列不等式正確的是（）

A.?+—>/?+—B.a—〃>sina—sin〃

ba

「27、°C

C.a>abD.一<一

ab

10.已知向量a=（sine,cose）為=（1,/'）,c=（3,,則（）

71

A.若a//b則。］

B力在C方向上的投影向量為gc

2

c.存在9,使得。在c—b方向上投影向量的模為1

D.|a—"J的取值范圍為[1,3]

n.已知函數(shù)/(%)=acosa>x+bsina)x(a)>0)在x=三處取得最大值2,/(%)的最小正周期為萬，則下列結

論正確的是()

A.f(x)=2cos^2x-yj

Bj(九)在0,1上的單調(diào)遞減區(qū)間是

C.將y=/(X)圖象上的所有點向右平移三個單位長度,再把得到的曲線上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍,

縱坐標不變，得到y(tǒng)=2cosx的圖象

D.將y=/(x)圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移g個單位長

度，得到y(tǒng)=2cosx的圖象

12.已知定義在R上的函數(shù)〃％)滿足g(x)=sinV(l—力為奇函數(shù)，MX)=/(3x+2)的圖象關于點(0,1)

對稱，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=/(%)的圖象關于x=l對稱

B.函數(shù)y=/(x)的圖象關于點對稱

C.函數(shù)y=f(x)的一個周期為4

2024

D./(/)=2024

1=1

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

22

13.已知雙曲線C：工—二=1(?！?)的漸近線方程為y=±3x,則雙曲線C的焦距為.

a9

14.已知向量a,b滿足|。|=4,|b|=2JXa—b\=2A/21,a?Z?=—4,則2=.

15.等差數(shù)列｛4｝,也｝前幾項和分別為S“Z，且尸=3,則譽=.

3

221

16.已知橢圓。：=+2=13〉6〉0）的左、右焦點分別為耳,尸2,離心率為X，”為C上任意一點，且

ab2

MF；月的周長為6,若直線/:丁=左（%—1）+1經(jīng)過定點N,貝ij|兒W|+|阿|的最小值為.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）

在ABC中，角所對的邊分別為a,b,c,己知asiaB=bsin+A].

（1）求A的大??；

（2）若入。為3。上的高，且AD=2,求.A5C面積的最小值.

18.（12分）

如圖，在長方體ABC。-AB1G2中，A4=&。=2,點M為A3的中點，點N是8耳上靠近用的三等

分點，8,與用。交于點。.

（1）求證：OM〃平面3CG4；

（2）若CO，用。，求點N到平面COM的距離.

19.（12分）

已知數(shù)列｛4｝的前"項和為SQ且塔/1一（"+1）5"=2/2+2〃,%=7.

（1）求S“；

（2）若2=5"?4,求數(shù)列也“｝的前〃項和Tn.

20.（12分）

如圖，在四棱錐P—A3CD中，PAL^ABCD,底面A5CD為直角梯形，ZBAD=ZABC=9G-

AD=2B4=2AB=23C=2,點E為PB的中點.

4

(1)證明：PBkDE；

(2)求直線3D與平面PCD所成角的正弦值.

21.(12分)

已知拋物線C:丁=?的焦點為尸，直線小y=匕(x+2)與直線4：丁=%(%+2)與拋物線C分別交于點

尸,。和點氏5.

(1)若尢=：，求—PQ尸的面積；

(2)若直線PS與RQ交于點A，證明：點A在定直線上.

22.已知函數(shù)/(%)=如%-依2.

(1)當a=l時，討論函數(shù)八%)的單調(diào)性；

(2)若不等式/(x)>ae*+(l—a)f—%恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

2023-2024學年海南省高考全真模擬卷（四）

數(shù)學?答案

l.D2,A3.D4.A

5.C6,A7.B8,C

9.ABC10.BCDll.ABD12.ACD

l_513

13.2,1014.2或一一15.一16.3

23

17.解：（1）因為asiiLB=6sin[q+A],

結合正弦定理得，

sinAsinB=sinBsinIy+A1,

5

因為sinB>0,所以sinA=sin[1+Aj,

所以sinA=cosA+—sinA，

22

所以tanA=石.

又A?0,乃），所以A=g.

（2）由題意得，

S=—BCAD--bcsmA,

ABRC22

故。=^-bc?

4

由余弦定理，得"2=/+/一2bccOSA，

3

/.——b1c1=b2+c2-bc..2bc-bc=bc,

16

：.bc..^,當且僅當6=c時取等號，

3

ABC面積的最小值為工=

2323

18.解：（1）連接A￡>i，BG.

易知。,M分別為線段BDX,A3的中點，

所以//ADX.

又AB=D]C]且AB//D?,

所以四邊形A3GA是平行四邊形，

所以ADX//BCX,故OM〃BQ,

又二平面BCCXBX,BC[u平面BCC[B],

故OM〃平面3CCI4.

6

(2)連接用CGN.由題易知BG=20.

易知。為耳。的中點，又COLBiD,

所以CD=B[C=2e.

以。為原點，DA,DC,DD[所在直線分別為羽％z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

則C（0,2應,0）,M（2,貶,0）,O（l,V2,l）,2Vl2,2A/2,1

所以CO=（1,—后,1）,CM=（2,—后,0）.

設平面COM的法向量為小=（%,%,zj,

mCO=0,fx-41y+z,=0,

則,即二y

m-CM=0,\2x{-y/2yi-0,

令％=i,則％=e/i=i,

可得加=（1,V2,lj.

因為CN=12,0,：1,

\CN-m\5

故點N到平面COM的距離為d=1,,1=-

|m|3

19.解：（1）依題意，

nSn+i-（zz+l）Sn=2"+2〃=2〃（〃+l）,

故^±L__k=2,

n+1n

7

是以2為公差的等差數(shù)列.

而昆_縣=g-q=2,

又42=7,解得q=3,

的首項為3,

q

則j=3+（"-1>2=2〃+1,

2

貝ijSn=2n+n.

（2）由（1）可知，當〃=1時，％=3；

=

當.2時，cin—Sn—=2n~+n—2（“，—1）2_—1）4“—1,q=3

也滿足該式，故a”=4〃—l（〃eN*）,

故用=（4”—1）5,

則Z,=35+7-52+n§++（4?-l）-5\

57；=3-52+7-53+ll-54++（4W-1）-5/,+1

兩式相減得，-47；,=4-5'+4-52+4-53++4-5n-（4w-1）-5n+1-5=（2-4w）-5n+1-10,

?。?n-l）-5n+1+5

故T------------

20.解：（1）法一：連接AE，在Rt_Q4B中,

PA=AB,PE=EB,PB±AE.

QAJ_底面ABCD,r.QA_LAD.

又在直角梯形A5CD中，ADLAB，

PA,ABu平面PAB,PAr\AB=A,

..AZ），平面PAB,AD±PB,

而A。cAE=A,AEu平面ADE，

.?.尸8,平面ADE，

8

:.PB±DE.

法二：PD=yJp^+AD-=75,BD=

VAB2+AD2=V5,PD=BD,?E=BE,

:.PB±DE.

(2)以A為坐標原點，分別以AB,AD,AP所在直線為蒼y,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系A-孫z,

則3(1,0,0),25(0,2,0),P(0,0,1),C(l,1,0),

BD=(-1,2,0),DC=(1,-1,0),

DP=(O,-2,l).

設平面尸CD的法向量場=(%,y,z),

fn-DC=0fx-y=0,

令〈即〈

n-DP=0,[-2y+z=0,

令x=l,則n=(1,1,2),

設直線3D與平面PCD所成角為8,

..?.,八小?n-BD1730

則nsin0=cos〈”,BD)\=----------=—^==------.

\n\\BD\V3030

即直線3D與平面PCD所成角的正弦值為典.

30

21.解:(1)依題意，“1,0),

y2=4x,

聯(lián)立《

y=g(x+2),

9

得y2_8y+8=0.

設。（馬，力），。（加，為卜

故丁尸+>2=8,yPyQ=8,

故

yP-yo\

=7i+4xJ64—32:4回，

3

點廠（1,0）到直線4的距離d=而

故SPQF——x4^/10x—j==65/2.

（、,2、（、,2、(,2、

(2)設P,Q吟%,%，R?,為

4

7k47\47

(2、)

y=K(x+2,

S-j-,y,聯(lián)立＜

I44y/=4x,

得k^y~—4_y+8kl=0,

則=8.

同理可得，為%=8.

(2、

pc._:%—M_2L

則直線vvT

44

化簡得，4%-(％+乂)丁+%%=°，①

同理可得，直線尺。：4*一(%+%)丁+%%=。，②

聯(lián)立①②消去y可得，

*=%%(%+%)-%%(%+%)

,4[(%+為H%+%)]

_x%%+y2y3y4—。為”—xy3y4

4[(%+%)-(%+”)]

10

=8y3+8%-8%-8y=?

4[(先+%)-(%+%)]'

故點A在直線％=2上.

22.解：(1)當々=1時，/(x)=xlnx-x2,x>0,

所以/'(%)=lnx+l-2x,

令加(x)=/'(%)=lnx+l—2%x>0,

11-7Y

可得加'(％)=上_2=二^,

XX

當X￡/g1時，加(X)>°，根(%)單調(diào)遞增；

當x￡時，mr(x)<0,m(x)單調(diào)遞減，

所以當冗二；時，根(x)取得極大值，也為最大值，

門「1一11八

且機[5)=1115+1-1=In'VO,

所以/'(尤)<0,所以“X)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

(2)由/(x)>ae，+(1-。)為2,

得aex<xlnx一/+x，

即a<xlnx—J+x在(0,+“)上恒成立.

令丸⑶=X1nx:+x,xe(0,+")，

e

可得小)=(1)(<T明,

令0(x)=x-2-lnx,

1丫-1

可得(p'(x\=\=----，

XX

令0（力＞0,可得尤＞1；

11

令0’（九）<0,可得O<X<1,

所以。（%）在（0,1）單調(diào)遞減，在（1,+"）單調(diào)遞增