浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二年級上冊11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期

11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

考生須知：

1.本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)

字；

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.

選擇題部分

一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.）

1.已知空間向量。=（—2,2/），=。,0,加），若al。，則由=（）

A.岳B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】由題意可知a-b=-2xl+0x2+lx7〃=0=>7〃=2=>W=V12+02+m2=亞.

故選：A

2.若直線的傾斜角為60。，則該直線的一個方向向量是（）

A.（1,-@B.（-A/3,1）C.限1）D.（1,A/3）

【答案】D

【解析】因為直線的傾斜角為60°,所以直線的斜率為tan60。=6，

所以其中的一個方向向量為（1,百），故D正確，

其余選項經(jīng)檢驗，皆錯誤.

故選：D.

3.在3張彩票中有2張有獎，甲、乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎的概率為（）

1211

A.-B.—C.—D.一

2336

【答案】B

【解析】設(shè)甲中獎為A事件，乙中獎為B事件，

則P（B）=P（B|A）P（A）+P⑻司網(wǎng)司=gx|+|xg=|,

故選：B.

22

4.設(shè)橢圓?+￡=l（a〉6〉0）的左、右焦點分別為《，工，上頂點為A若

怛q=|6月|=2,則該橢圓的方程為（）

222

AA.——%+匚y=11Bn.——%+y2=11

433

22

C.—+y2=1D.—+/=1

2?4-

【答案】A

【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)，因為忸局=|耳聞=2,可得a=2c=2,

22

所以。=2,C=b則匕=而2j2=6,所以橢圓的方程為?+三_=1.

故選：A.

5.某企業(yè)兩個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為3:2,現(xiàn)采用分層隨機抽樣方法，從

兩個分廠生產(chǎn)的該產(chǎn)品中共抽取100件做使用壽命的測試，由所得樣品的測試結(jié)果計算出該

產(chǎn)品的平均使用壽命分別為1000小時，1020小時，估計這個企業(yè)所生產(chǎn)的該產(chǎn)品的平均使

用壽命為（）

A.1012小時B.1010小時C.1008小時D.1006小時

【答案】C

32

【解析】由題意可知該產(chǎn)品的平均壽命為——X1000+——xl020=1008.

3+23+2

故選：C

6.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，設(shè)事件A="第一次點數(shù)為偶數(shù)”，事件5="第二

次點數(shù)為3的倍數(shù)”，貝|（）

A.A與B是互斥事件B.A與B是互為對立事件

C.P（AnJB）=P（A）P（B）D.P（AB）=P（A）+P（B）

【答案】C

【解析】依題意，一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次的基本事件有6x6=36件，

事件A的基本事件有3x6=18件，事件B的基本事件有6x2=12件，

事件Ac5的基本事件有3x2=6件，事件AD5的基本事件有3x6+3*2=24件，

所以P⑷4=5)=黑＞風5)=||=2

3

故P（Ac5）=P（A）P（5）,P（AB）^P（A）+P（B）,

所以A與8不是互斥事件，更不是對立事件，故ABD錯誤，C正確.故選：C.

7,已知點M是直線4:tnx+ny+2n=0（m,HeR,m2+n200）與:nx-my+4m=0的

交點，則M到直線小氐—y—1=0距離的最大值為（）

9

A.3B.4C.-D.6

2

【答案】B

【解析】因為4：mx+ny+2n=0(m,n&R,/n2+n2/0)與乙:nx-my+4-m-0,

所以乙：7nx+〃(y+2)=0與4:nx-m(y-4)=0,

可得1},12必過點分別為4(0,—2),5(0,4),

由77刃+(一m)〃=0可知/1，/2垂直，垂足為M,

則M4±"8,可得M在以AB為直徑的圓上,

由4(0,—2),5(0,4)可知圓心0(0,1)，半徑r=|4-(-2)|=3

011

則圓心到&：氐—y—1=0的距離dI""!.j

所以M到直線4：A—1=0距離的最大值為d+r=1+3=4,

故選:B.

8.己知焦點分別在軸上的兩個橢圓￡,。2,且橢圓G經(jīng)過橢圓G的兩個頂點與兩個焦

點，設(shè)橢圓G，02的離心率分別是9,02,則（）

A.e；</且e；+e；<1B.e；<5且e；+e；>1

C.e；<5且e；+&<1D.e；<5且e；〉1

【答案】A

【解析】依題意，設(shè)橢圓G對應(yīng)的參數(shù)為橢圓。2對應(yīng)的參數(shù)為〃2力2，02,

則4=4也=q,所以e；=1—=1—y—1—yy—2-

axa2

又因為%>打，即4〉q，b：〉c：=a；-b：,則

iJ2272-i2]

即一<<1,1<-y<2,得0<1—y<—,0<2——y<1,即Ove；<—

2a、b]ax2bx2

令則e：+e”3一件+￡131+力，

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知y=/+：在[J上單調(diào)遞減，故片+4=3-1/+；卜

故選：A.

二、選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）

9.某市為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了100戶居民用戶某年月均

用水量（單位：t）,將數(shù)據(jù)按照[1,3）,[3,5）,[5,7）,[7,9）,[9,13]分成6組，制成了

如圖所示的頻率分布直方圖.則下列說法正確的是（）

B.月均用水量的第60百分位數(shù)為8t

C.已知全市有10萬戶居民用戶，估計月均用水量不足3t的用戶有1萬戶

D.月均用水量的平均值（精確到0.1）約為6.1t

【答案】ABC

【解析】對于A,因為（0.05x2+0.075x2+4+0.15）x2=1,即。=0」0,故A正確;

對于B,[1,7）對應(yīng)的頻率為（0.05+0.075+0.1）x2=045,[1,9）對應(yīng)的頻率為

0.45+0.15x2=0.75,

所以第60百分位數(shù)在[7,9）內(nèi)，不妨設(shè)為x,則0.45+（x—7）x0.15=0.6,解得％=8,

故B正確；

對于A,因為100戶中月均用水量不足3t的用戶頻率為0.05x2=0.1,

所以估計10萬戶中有1萬戶，故C正確；

月均用水量的平均值為

(0.05x2+0.075x4+0.10x6+0.15x8+0.075x10+0.05x12)x2=7.1,故D錯誤.

故選：ABC.

10.如圖，在棱長為1的正方體—4qGR中，點G為AB的中點，點E在BD上,

且8后=l8。，點P為BG的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

3

A./平面B.DGLGF

D.三棱錐O-GEF體積為工

C.G,E,￡31四點共面

18

【答案】AC

【解析】依題意，建立空間直角坐標系，如圖,

則。(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),5(1,1,0),4(1,1,1),〃(0,0,1),

|加|(1」,。)=||,|,。］,即E

因為8石=工友），所以DE=

3

對于A,=做=(O,U)，9=(—l,O,l),

/、m-AB.=b+c=0

設(shè)平面破。1的法向量為機=(a,o,c),則《\

m-AD】=-a+c=0

取c=l,則a=l,Z?=-1,故根=(1,一1,1),

所以跖"71=—(xl+gx(—l)+gxl=O,又點Ea平面A5]￡>1，

所以EFV/平面A42,故A正確；

對于B'DG=[K，O],GE=[K￡|,

所以DG-G盧=lx[—2]+:x:+OwO,所以￡>G1_GE不成立，故B錯誤；

I2j22

對于C,GC=1—L；,o}EC=1—gg,o],則EC=|GC,

所以G,E,C三點共線，又易知用，￡C三點也共線，

所以G,E,F,男四點共面，故C正確；

、2212111

對于D,因為SDG￡=—5*r)G5=-x—SAB￡)=-x—x-xlxl=-,

332322o

又尸為BG的中點，所以尸到底面A3CQ的距離為《，

所以三棱錐。一GEF的體積為丫=」義工義工=工，故D錯誤.

36236

故選：AC.

11.己知點「在曲線。：f+y2-2%+2丁=0上，點。,4(—2,0),5(0,2)三點共線，則

()

A.當直線尸。與曲線。相切時，|PQ|的最小值為2逝

B.滿足AP,5P的點尸有且只有1個

C.當最大時，|/訓(xùn)=2后

D.當/APB最小時，|，科=2&

【答案】BCD

【解析】如圖，

由C:必+/一2x+2y=0可得圓心為(1,-1),半徑為企,

當直線P。與曲線。相切時，IPQI最小即切線長最小，直線方程x—y+2=0,

圓心到直線的距離4="[￡2=2下,所以IPQ1mhi=娓,故A錯誤;

以AB為直徑的圓的方程為（龍+1）2+（y+l）2=2與圓。外切，如圖，

//<

yt*70\9

所以滿足AP，5P的點P有且只有1個，故B正確；

當最大時，直線己4與圓C相切，且P為切點，如圖，

因為|AC|=M，所以|PA|=J|—腳=20,故C正確;

當NAPB最小時，.MB的外接圓與圓C內(nèi)切，如圖，

此時，P為切點，所以。。，回且尸。平分45,故可得P（2,-2）,故|B4|=2百，故D

正確.

故選：BCD.

22

12.已知橢圓C：T+g=l（a〉6〉0）的左右焦點分別為耳，巴，左右頂點分別為A3,

點P是橢圓上的一個動點（異于A3兩點），且直線尸耳,「工的斜率均存在，則（）

當/耳尸鳥的最大角為4時，橢圓的離心率為立

A.

22

JTab2

B.當NF"=耳時,上鉆的面積為耳

C.直線PFi，PK的斜率之積一定大于直線PA,PB的斜率之積

D.PFXPF2>PAPB

【答案】ABD

【解析】對于A,當/耳2心取最大時，頂點P為上下頂點,

此時e-——cos—=YZ，故A正確；

a42

jr

對于B,當g=5時，

由|P片|+忸囚=23尸片「+忸6「=402,得

2|明忖閶=（附|+|也|）2-電「+|因「=4乩

所以月的面積為"「用忖用又SR形=g|耳用?七|=廣]詞,

T/2>]^^2

所以點的縱坐標為,則PAB的面積為S=；x2ajyp|=7^^,故B正確;

c27a~-b?

對于C,設(shè)P（w）,又耳（—c,0）,乙（c,0）,A（—a,0）,5（a,0）,

nnnnn2

則kpFjkpj

m+cm—c

*’2

所以kpFjkp%-kpA，kpB=肅二總一蔗二/

而〃，<與C?的大小不定，故上式正負不定，故C錯誤;

對于D,因PFX=^—c—m,—n),PF2=(c-m,-n),PA=(—a—m,-n),PB=(a—m,—n),

所以理?況=r^+n2-c2,PA-PB=m2+n2-a2,又。2</,

所以P%PB〉PAPB,故D正確.

故選：ABD.

非選擇題部分

三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.甲、乙兩人進行投籃練習(xí)，兩人之間互不影響，甲的命中率為0.6,乙的命中率為0.8,

則至少有一人投中的概率為.

【答案】0.92

【解析】設(shè)4="甲、乙兩人各投籃一次，則至少有一人投中”，

則P(A)=l—P(Z)=l—(l—0.6)x(l—0.8)=1—0.4x02=0.92.

故答案為：0.92

14.已知某組數(shù)據(jù)為4,7,8,10,11,則該組數(shù)據(jù)的方差為.

【答案】6

_4+7+8+10+11

【解析】依題意,x=----------------=8o，

5

所以/=,1（4—8）2+（7—8）2+（8—8）2+（10—8）2+（11—8）［=6.

5—-

故答案為：6.

15.已知4(—3,0),5(3,0),動點C(x,y)滿足|C4|=2|C理,則點C的軌跡方程為

【答案】(x-5)*2+r=16

［解析］IC4|=J(尤+3>+y2,|CB\=7(x-3)2+r,

由題意得J(x+3)2+y2=27(%-3)2+/，所以(x+3)2+丁=4［(x-3)2+/］

整理可得一+丁―10X+9=0,即(x—5p+y2=16.

故答案為：(％-5『+丁=16.

16.己知三棱錐P—A5C與Q-ABC是兩個同底面的正三棱錐，且NR4Q=90。,“是

5c的中點，記異面直線所成的角為凡則cos。的最大值為.

【答案】!

2

【解析】設(shè)AB=5C=AC=6,—ABC的外心為。，連接卜。,40，

則P,O,Q三點共線，三點共線，且W8C,PQLBC,PQ±AM,

過點。作QV/ABC,交AC于點、N,建立如圖空間直角坐標系。一孫z,

則4(26,0,0),8(-6-3,0),C(-有,3,0),“(-七,0,0),

設(shè)P(0,0,b)(b>0),e(0,0,-c)(c>0),

則PM=(-瓜0,-力,BQ=(區(qū)3,-c),PA=(2后,0,-故QA=(2瓜0,c),

由PA_LQA,得PAQ4=12-bc=0,

解得》c=12,b=—.

c

又PM.8Q=Z?c-3=9,|正必=V3+&2,|B2|=A/12+C2,

?/MMBQ999

cos0=cos(PM,BQ}\=----n------=,-=-(------------------------='—f

1'71PM\\BQ用正712+C1n2fZ—~1?,

''d3T—'v12+c4/I8O+3cH—五

又Ji8O+3c2+；>J180+2卜？=18，當且僅當3c?=1即。=2&時等號成立，

,___________-9

即J18O+3c2+l^的最小值為18,所以］=17充的最大值為9，

vc2J.180+3c2+—2

即當6="，c=2，^時，cos。取到最大值］

四、解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.在平行六面體ABC。-A4G2中，底面ABC。是正方形，

ZBA^^ZDA4,=60°,AB=2,A4j=3,設(shè)AB=a,AD=b,A4,=C.

UUULII

（1）用向量a,Z?,e表示AC],并求|ACJ；

（2）求直線AG與45所成角的余弦值.

解：（1）作出平行六面體ABC?！狝4G2,如圖，

因為ACLAB+BC+CCLAB+AD+M=a+b+c,

又底面ABC。是正方形，ZBA4,=ZDA4(=60°,AB^2,9=3,

所以Q?〃=AB-AD=0,Q?c=AB?AA^=AD-AAi=b-c=2x3xcos60°=3,

所以|AC1|—Ia+b+c|—+b2+。2+2a?b+2a?i+2b?W

=74+4+9+2x3+2x3=729.

(2)因為A,JB=AB—=a—c,

所以=|a—c|=y/a2+c2-2a-c=74+9-2x3=4，

又ACJ-A^B=(a+Z?+c),(tz—c)=ci~~\~a,b—b-c—c?=4-3-9=-8,

IAQ-ABI|-8|8A/203

設(shè)直線AG與48所成角為氏所以cos6=^~「T=J?=笠丁,

AQ.|AS|V29XV7203

即直線AG與48所成角的余弦值為嚕1.

18.已知直線4過點(1,1)和(-1,2).

(1)若直線4，4且在y軸上的截距為-2，求直線k的方程；

(2)若圓。的圓心在y軸上，半徑為3,且直線4被圓。截得的弦長為4,求圓。的方程.

2—11

解：(1)因為直線4過點(1,1)和(-1,2),所以直線4的斜率為左=二口=—

則直線12的斜率為2,所以直線6的方程為y=2x-2.

(2)依題意，直線/］的方程為二=忙工，即x+2y—3=0,

2-1-1-1

設(shè)圓心坐標為(OS),圓心到直線乙的距離為"=用?，

又d=J/一］［；=可4=追，所以=逐，得b=-l或8=4,

所以圓。的方程為：x2+(y+l)2=9或丁+(丁一4)2=9.

19.如圖，在四棱錐尸―A5CD中，底面ABC。是菱形，ZBAD=60°,平面PCD,平

面ABCD，CD=2,CP=DP=y/2,M為AB的中點.

(1)求證：CP_L平面PDM；

（2）求平面與平面八45的夾角的余弦值.

解：（1）.四邊形ABC。為菱形，/胡0=60°,

/.ADB是等邊三角形，AD=2,DM=^/3

為AB的中點，

ADMA.AB,又,：AB//DC,

：.DM±DC,又：平面PCD，平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,DMu

平面ABCD，

以，平面PCD,CPu平面PC。，

：.DM±CP,

,/CD=2,CP=DP=④,：.CD2=CP2+DP~，:.CP上DP,

DPDM=D,DP,DMu平面PDM,：.CP±平面PDM；

（2）取CD的中點E,則由仃=。。=0,所以PE_L。。，DE=EC=EP=1,

由（1）同理可證PE_L平面ABCD,

如圖，以。為原點，0M為無軸，。。為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則皿后0,0）,尸（0,1,1）,B（A1,O）,C（0,2,0）,

uum/i—\

CP=（O,-l,l）,MB=（0,1,0）,P3=（，3,0,-1）,

由CP_L平面PDM得出平面PDM法向量CP=（O,—l,l）,

設(shè)平面PAB的法向量=（a,b,c）,

m-MB=0\b=Q/廠、

則，即廠，令a=l，則a=1,0,。3.

m-PB=0[J3a-c=0'，

則。一”曰=＞亞

\/|m|CPV2x24

所以平面PDM與平面PAB的夾角的余弦值為—.

4

20.已知圓0：兀2+9=廠2（廠＞0）與圓eg—4『+（y—2）2=4有兩個不同的交點。石.

（1）求，的取值范圍；

（2）過直線OE上的一點尸（在線段OE外的部分上），分別作圓。與圓。的一條切線,

切點分別為A3,問是否存在常數(shù)4,使得|PA仁川尸理恒成立？若存在，求力的值；若

不存在，說明理由.

解：（1）因為圓0:丁+/=/（廠>0）與圓°：（X—4）2+6—2）2=4有兩個不同的交點，

所以兩圓相交，

所以『一2|<|（9C|<r+2<|0C|=J（4-0『+（2-0）2=2拜，

|r-2|<275廠廣

即f1廣，解得2石-2<r<26+2.

r+2>2y/5

所以廠的取值范圍25—2<r<26+2.

（2）圓。:/+9=/2（廠>0）,

圓C:（無一4）?+（y—2）2=4,

兩圓方程相減可得：4（2x—4）+2（2y—2）=，一4,

化簡可得直線OE的方程：y=-2x+4-—,

4

設(shè)點尸（以"）,

因為Q4與圓。:犬+丁=/（廠>0）相切，

22222

所以在直角三角形PAO中=|po|_r=m+?_r,

又點尸在OE上，即〃=一2m+4-1,

(r2、2

所以可得|尸呢—m-\9-—2m+4---—r9=5m2+mr~+16-16m-3r2H---，

I4j16

同理可得|P5「=|PC「—4=(m—4)2+("—2)2-4

、

22r4

=(m—4)2+-2m+4--2—4=5m2+mr2+16-16m—3r2+一，

716

2

所以=|PB|,則|PA|=\PB\,

故存在常數(shù)4=1,使得|/聞=4歸即亙成立，

22

21.已知橢圓。：1+2=1（?！?〉0）經(jīng)過點（2,1）,焦距為2#,是橢圓。上不在

坐標軸上的兩點，且A3關(guān)于坐標原點對稱，設(shè)點P（0,2）,直線Q4交橢圓于另一點M,

直線PB交橢圓于另一點N.

（1）求橢圓。的標準方程；

k.

（2）記直線A5與肱V的斜率分別為求證：言為定值.

解：（1）因為焦距為2振，所以2c=2癡,0=逐，

y2

因為橢圓C:工+=1(?>b>0)經(jīng)過點(2,1)

ab2

22l2

所以二+二=1,又因為

ab

聯(lián)立以上可得a=2&力=J5

22

所以橢圓。的標準方程為三+乙=1

82

（2）因為A3是橢圓。上不在坐標軸上的兩點，且A,3關(guān)于坐標原點對稱，

設(shè)5（-%,-%）,且不在坐標軸上，所以-20<%o<20,-挺<為〈夜

設(shè)直線PA-.y=kPAx+2,與橢圓的另一個交點%）,

[22

土+21=1

聯(lián)立橢圓與直線方程可得，82,消去,,得（4勺：+1）￡+164p/+8=0

y=kPAx+2

91

D=（16%>-32（4V+1）>0,所以％2>->

因為&A=生工，

玉）

8___8_____________8X(；

%X.....................——222

由韋達定理可得…百+14V2+i-x0+4(y0-2)

8%

所以石22代入直線方程可得

x0+4(y0-2),

%=左一+2=生工?二~電——728(%-2)+2療+8(%-2『

22

'/靖+4(%-2)-x0+4(y0-2)

同理，設(shè)直線依：丁=上肥％+2,與橢圓的另一個交點N（%,%）

22

乙+2=1

聯(lián)立橢圓與直線方程可得82,消去y,得(4%pj+i)無2+16左M彳+8=0,

y=kPBx+2

91

D=(16^B)-32(4V+1)>0,所以解>--

7--2%+2

因kpB=3一=￡一，由韋達定理可得

-%%0

8,_就2,

2+4+22

^,+2+1V(Jo)

顆％0

_Qy

所以％=2*°小2，代入直線方程可得

%。+4（%+2）

-8(%+2)+2年+8(%+2)2

%=%々+2=%？/2+4（；+2/2

為2+4(%+2]

因為直線AB與MN的斜率分別為kg

所以匕=&,

%

-8(%+2)+2年+8(%+2『8(%-2)+2靖+8(%-2『

婕+4(%+2)2城+4(%一2)2

幺=9

九2-西-8%迎

%一+4(%+2)X；+4(%-2『

%?為2+4%2T6,

化簡可得心

%,升2+4為2+16'

k、V+4y2+16

所以廣—0，代入=8-4%2,

22

伊伯w滬k-X；+4yo2+16_8-4y0+4y0+16_24_

化間叫H、02+4%2_16-8-4%2+4%2一16一區(qū)一

故得證.

22.如圖，在三棱柱ABC-Age中，AB=AC=45,BC=2,側(cè)面是正方形,

兀

二面角A-3C—用的大小是2;.