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專題12數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用
探究1:裂項(xiàng)相消法
【典例剖析】
例1.(2022?浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)已知遞增的等差數(shù)列滿足:的=1,且a5,
a8,的3成等比數(shù)列?數(shù)列{“}滿足:3Sn=2+bn(nGJV*),其中%為{4}的前n項(xiàng)和.
(I)求數(shù)列{廝},{%}的通項(xiàng)公式;
1
(口)設(shè)“=荷嬴而37瓦,祟為數(shù)列{%}的前幾項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)九使得不等式弟V
2WSn對(duì)一切neN*恒成立?若存在,求出2的值;若不存在,說(shuō)明理由.
J-----------------------------------------------------------------------------------------
I選題意圖:裂項(xiàng)相消法是一種重要的數(shù)列求和的方法,該類問(wèn)題背景選擇面廣,可與等差、等比數(shù)
i列、函數(shù)、不等式等知識(shí)綜合,在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題.
i思維引導(dǎo):第(2)問(wèn)中由“與冊(cè)的關(guān)系式呈分式結(jié)構(gòu),容易聯(lián)想到要利用裂項(xiàng)求和法求罩,cn通項(xiàng)
公式需要借助廠』=號(hào)2,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化從而裂項(xiàng).
?ivn+Vn+fck
【變式訓(xùn)練】
練1-1(2022?江蘇省南通市月考)已知等差數(shù)列滿足$6=21,S7=28,其中%是數(shù)
列{為}的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列{廝}的通項(xiàng);
4n
(2)令%=(一1尸證明:b1+b2+-+bn<^.
(2an-l)(2an+l)
練1-2(2022?山東省濰坊市聯(lián)考)已知數(shù)列{a“}滿足a】=l,an+1=^=(nEN*),記
5n為數(shù)列{&J的前幾項(xiàng)和,貝1k)
■2Q
A.2<S50<3B.|<S50<3C.3Vsso<4D.4<S50<|
【規(guī)律方法】
數(shù)列求和就是通過(guò)觀察分析數(shù)列的類型,變形得出熟悉的等差、等比數(shù)列,或者構(gòu)建出數(shù)列的
模型,找到求和的方法.裂項(xiàng)相消法較為靈活,一方面對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)求和,故
要熟悉常見(jiàn)的裂項(xiàng)的形式;另一方面對(duì)于本來(lái)無(wú)法裂項(xiàng)的數(shù)列,進(jìn)行適當(dāng)放縮使數(shù)列可進(jìn)
行裂項(xiàng)求和.
技巧策略:(1)常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消法主要是將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩個(gè)式子(或多個(gè)式子)的差的
形式,借助裂開(kāi)的項(xiàng)進(jìn)行合理抵消,方便運(yùn)算;
(2)裂項(xiàng)相消中要注意抵消了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),不要出現(xiàn)遺漏或增加;
(3)消項(xiàng)規(guī)律:對(duì)稱抵消(消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)(或第幾項(xiàng)),后邊就剩幾項(xiàng)(或倒數(shù)第幾項(xiàng))).
常見(jiàn)方法有:
1.常見(jiàn)的裂項(xiàng)形式:要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱性,即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng).
①若{斯}為等差數(shù)列,則工),即分母為同一個(gè)等差數(shù)列中的兩項(xiàng)相乘即
kd\anan+kJ
可裂項(xiàng);
n2(n+1)2n2(n+1)2*n(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+l)(n+2).
④—1—=恒-?⑤_____S_______=
Vn+Vn+kk,(2n+l)(2n+1+l)2n+l2n+1+l,
個(gè)n+211-n-2n+12n+22n+1
(o)-------------------=------------------------------?)---------------------------------------:
(n2+n)-2n+1n-2n(n+l)-2n+1(n+l)(n+2)n+2n+1
2.放縮后裂項(xiàng)
①/=W);〈喪〈;^5N2);
1
)--------;------<——=-------<---------;-------<工=」<
Vn+Vn+1y/n2y/ny/n+y/n-1"Vn+n+1V2nyjn+nVn+n-1
探究2:并項(xiàng)求和
【典例剖析】
例2.(2022?廣東省模擬)已知數(shù)列{a"的各項(xiàng)均不為零,S”為其前n項(xiàng)和,且與斯+1=
2Sn-l.
(1)證明:an+2-an=2;
(2)若的=一1,數(shù)列{%}為等比數(shù)列,比=的,為=。3?求數(shù)列{%A}的前2022項(xiàng)和72022?
n
‘選題意圖:并項(xiàng)求和最常見(jiàn)的一種類型是,若{an}為等差數(shù)列,則數(shù)列{(—l)-an}中的項(xiàng),正負(fù)交
替,可先求相鄰兩項(xiàng)的和,從而求出前幾項(xiàng)的和.
思維引導(dǎo):第(2)問(wèn)由瓦=%/2=。3,得出“的通項(xiàng)公式為(—1嚴(yán),故anbn即為(―1嚴(yán)與等差數(shù)列
的乘積,相鄰兩項(xiàng)的和為定值,利用并項(xiàng)求和法求72022.
【變式訓(xùn)練】
練2-1(2022?江蘇省蘇州市聯(lián)考)已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),且的=2,a"】-
3+]tzI3ct-j^?
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
n
(2)設(shè)%=(-l)an,求瓦+b2+b3+■■■+b20.
練2-2(2022?重慶市模擬)己知函數(shù)f(x)=sin(3久+》(其中3>0)在區(qū)間有汨上單調(diào)遞
減.
(1)求出3的取值范圍;
(2)將“X)的圖像向左平移,個(gè)單位就得到函數(shù)g(x)的圖像,記a”=n2-g(mr),nEN*.若
g(x)恰為偶函數(shù),求數(shù)列{5}前n項(xiàng)和立的表達(dá)式.
【規(guī)律方法】
并項(xiàng)求和法適用范圍:數(shù)列不能直接求和,但是可以將幾項(xiàng)進(jìn)行求和(類似于周期性質(zhì)),然
后再進(jìn)行整體求和.
①當(dāng)數(shù)列中常含有(-l)k或者(-l)k+i等符號(hào)時(shí),則其項(xiàng)常常體現(xiàn)為正負(fù)項(xiàng)間隔出現(xiàn),此時(shí)常
將相鄰的正負(fù)兩項(xiàng)(或三項(xiàng)等)并成一組,然后求和,或者考慮將數(shù)列分組為奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列和偶
數(shù)項(xiàng)數(shù)列,然后采用分組求和法;
②當(dāng)數(shù)列中含有即+an+i=/(n)的形式,或者an+an+1+an+2=/(n)的形式,將兩項(xiàng)或
三項(xiàng)的和并成一項(xiàng),構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列再求和,再由新數(shù)列的通項(xiàng)公式選擇合適的求和方
法.
探究3:數(shù)列求和的其他方法
【典例剖析】
例3.(2022?福建省泉州市期中)已知數(shù)列{即}的前幾項(xiàng)和為Sn,且{斯-蜘}是公差為:的
等差數(shù)列.
(1)求證:{即}是等差數(shù)列;
(2)用max{p,q}表示p,q中的最大值,若的=1,6n=max{2a與碌},求數(shù)列{斯與}的前n項(xiàng)
和加
選題意圖:求數(shù)列{a“bn}的前幾項(xiàng)和,容易聯(lián)想到要用錯(cuò)位相減法求和,但該題的第二問(wèn)勾的通項(xiàng)公
式,為分段的形式,要分段求和,增加了試題的難度.
思維引導(dǎo):第(2)問(wèn)中表示出勾的通項(xiàng)公式,為分段的形式;故求{瑪勾}的前n項(xiàng)和要分段討論;當(dāng)
nN4時(shí),要利用錯(cuò)位相減法求和,注意化簡(jiǎn)要仔細(xì).
【變式訓(xùn)練】
練3-1(2022?廣東省月考)已知等差數(shù)列{&J中,。5=萼,設(shè)函數(shù)/⑺=(4郎2?—
O乙
2)smx+cos2x+2,
記%=/(an),則數(shù)列{%}的前9項(xiàng)和為()
A.0B.10C.16D.18
n
練3-2(2022?浙江省模擬)已知數(shù)列{即}與{與}滿足%+1即+bnan+1=(-3)+1,
On=,n€N*,且的=2.
l,n為偶數(shù)
(1)設(shè)“=<^2n+l—a2n-l'n€N*,求q,并證明:數(shù)列{%}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)%為{廝}的前72項(xiàng)和,求S2n.
【規(guī)律方法】
常用的數(shù)列求和方法:直接利用兩個(gè)特殊數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)的前n項(xiàng)和公式、列舉
法、分組轉(zhuǎn)化法、并項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法.
①列舉法:列舉法主要應(yīng)用于數(shù)列項(xiàng)數(shù)較少的數(shù)列求和問(wèn)題,通過(guò)列舉出數(shù)列中的各項(xiàng)后加
以數(shù)列求和.而在實(shí)際解題過(guò)程中,若一直沒(méi)有想到其他思路,也可以借助列舉法來(lái)思考,在列
舉法的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析與歸納,再采用合適的方法來(lái)處理.
②倒序相加法:若一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)、尾項(xiàng)能構(gòu)建出特殊的關(guān)系,則可以反向構(gòu)建關(guān)系,先把數(shù)
列倒著寫一遍再和原來(lái)的數(shù)列相加,從而得到題中所證或所求.
③分組求和法:當(dāng)所求解的數(shù)列本身不是特殊數(shù)列,而通過(guò)適當(dāng)拆分并重新組合后,可以分成
若干個(gè)特殊數(shù)列,分別求和.
④錯(cuò)位相減法:對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題,常用
錯(cuò)位相減法求和.這種
方法主要用于求數(shù)列{與■%}的前幾項(xiàng)和,其中{%}、{%}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,等式兩
端同時(shí)乘以公比后進(jìn)行錯(cuò)位相減,再利用等比數(shù)列的求和公式加以轉(zhuǎn)化即可.
探究4:數(shù)列求和的綜合問(wèn)題
【典例剖析】
例4.(2022?江蘇省南京市聯(lián)考?多選)已知數(shù)列{廝}的前幾項(xiàng)和為工,%=1,且
4an-an+1=an-3an+1(n=1,2,則()
A.3a<aB.CI5=-T--C.ln(-)<n+1D.1<S<—
n+1nn14,
!選題意圖:數(shù)列的多選題,涉及的數(shù)列知識(shí)較多,綜合性較強(qiáng),考查學(xué)生能否靈活的運(yùn)用數(shù)列的基本概
:念,基本方法解決問(wèn)題.
;思維引導(dǎo):由遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列,求出冊(cè)的通項(xiàng)公式后逐個(gè)判斷選項(xiàng),其中D選項(xiàng)涉及求和,與的通項(xiàng)
;公式不能直接利用上述求和方法,就要通過(guò)放縮將不特殊數(shù)列化為特殊數(shù)列,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)
【變式訓(xùn)練】
練4-1(2022?廣東省佛山市模擬)某科技研發(fā)公司2021年全年投入的研發(fā)資金為300萬(wàn)
元,在此基礎(chǔ)上,計(jì)劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%,則該公司全年投入的研發(fā)
資金開(kāi)始超過(guò)600萬(wàn)元的年份是()
(參考數(shù)據(jù):lg2=0.301,lg3=0.477,lg5=0.699,Igll=1.041)
A.2027年B.2028年C.2029年D.2030年
練4-2(2022?江蘇省模擬)若一個(gè)數(shù)列的第m項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前a項(xiàng)的乘積,則稱該數(shù)
列為積數(shù)列”.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{冊(cè)}是一個(gè)“2019積數(shù)列”,且的>1,則
當(dāng)其前幾項(xiàng)的乘積取最大值時(shí)n的值為()
A.1010B.1009C.1009或1010D.1008或1009
練4-3(2022?安徽省皖江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)/(%)=21n(x+2)+ax2.
(1)若a=-2,求函數(shù)/(%)在(0,+8)上的單調(diào)區(qū)間;
⑵求正白?加等<2.
【規(guī)律方法】
將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式結(jié)合的綜合問(wèn)題是近年來(lái)高考的熱門題型.常見(jiàn)的綜合類型
有:①數(shù)列間的綜合;②將問(wèn)題化歸為基本數(shù)列的求和問(wèn)題;③數(shù)列與其他知識(shí)的綜合
(函數(shù)方程、不等式、導(dǎo)數(shù)、解幾、新情景問(wèn)題等).
考查的思路方法:
1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題:常以基礎(chǔ)知識(shí)的考查為立足點(diǎn),以函數(shù)關(guān)系引入數(shù)列中的量
an,Sn,然后轉(zhuǎn)化為方程,最
終歸結(jié)為等差或等比數(shù)列問(wèn)題.
2.數(shù)列是特殊的函數(shù),要多利用函數(shù)思想解決數(shù)列問(wèn)題.數(shù)列的單調(diào)性、最值問(wèn)題都可以利
用把a(bǔ)“Sn,看作是n的函數(shù)求解.
3.數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題:通常是由等差、等比進(jìn)行復(fù)合變形后得到的新數(shù)列的求和問(wèn)
題,解答時(shí)需要合理變形,常用到放縮法.
4.數(shù)列與三角、解析幾何、概率等都可以綜合在一起考查,關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)列,而后用數(shù)列知
識(shí)解決即可.
5.數(shù)列與實(shí)際問(wèn)題:建立有關(guān)等差、等比數(shù)列或遞推數(shù)列的模型,再利用數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決
問(wèn)題.常見(jiàn)的有利息、產(chǎn)量、降升價(jià)、繁殖與增長(zhǎng)率或降低率,分期付款、期貨貿(mào)易等等.
專題12數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用
探究1:裂項(xiàng)相消法
【典例剖析】
例1.(2022?浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)已知遞增的等差數(shù)列滿足:的=1,且。5,
a8,的3成等此數(shù)列?數(shù)列{4}滿足:3Sn=2+bn(n&N^,其中目為{.}的前n項(xiàng)和.
(I)求數(shù)列{即},{加}的通項(xiàng)公式;
1
(1)設(shè)%=布質(zhì)節(jié)+味1回加為數(shù)列{%}的前幾項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)人使得不等式7;W
4WSn對(duì)一切幾eN*恒成立?若存在,求出2的值;若不存在,說(shuō)明理由.
----------------------------------------------------------------------------------------
I選題意圖:裂項(xiàng)相消法是一種重要的數(shù)列求和的方法,該類問(wèn)題背景選擇面廣,可與等差、等比數(shù)
:歹k函數(shù)、不等式等知識(shí)綜合,在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題.
i思維引導(dǎo):第(2)問(wèn)中由“與時(shí)的關(guān)系式呈分式結(jié)構(gòu),容易聯(lián)想到要利用裂項(xiàng)求和法求〃,%通項(xiàng)
i公式需要借助="二"再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化從而裂項(xiàng).
Ivn+vn+fck
、、
【解析】(I)設(shè){4}的公差為d(d>0),
由。5,。8,。13成等比數(shù)列得欣=a5a13,
貝U(1+7dt=(1+4d)(l+12d),
所以d=2,an=2n—1.
因?yàn)?s九=2+4/71€N*),①
當(dāng)ri=1時(shí),3sl=2+binbi=1;
當(dāng)九之2時(shí),3Sn_1=2+bn_1,②
①-②得3b九=bn—勾_1,bn=-"gi,
所以{加}是以1為首項(xiàng),-(為公比的等比數(shù)列,
所以%=(一扔T(neN*);
(II)S"=竽,顯然(%)mm=瓦=-所以(Sn)min=
由為l=271-1得
_1_1
Cn-(2n-l)V2n+1+(2n+l)V2n-1-V2n-1-V2n+1-(V2n-1+72n+1)
_1_1.__1________1__.
-2XV5n=LV5n+T-2^V2n^T-V2n+T^
,+2(V5^TV2n+1^—5(1―V2n+1^
顯然〃<2T旦成立,且當(dāng)九T+8時(shí),Tn—>—9
所以存在唯一實(shí)數(shù)4=3吏得不等式7;<2<Sn對(duì)一切neN*恒成立.
【變式訓(xùn)練】
練1-1(2022?江蘇省南通市月考)已知等差數(shù)列{an}滿足S6=21,S7=28,其中%是數(shù)
列{an}的前幾項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列{即}的通項(xiàng);
(2)令勿=(-1尸3廣景中),證明:瓦+歷+…+加三霜.
【解析】⑴數(shù)列5}為等差數(shù)列,依題意有棄m
IJ.D(Z—Z,1.
解得:ar=1,d=1,
所以a九=1+(n—1)x1,所以a九=n,
4n=(-1產(chǎn)白+(-1尸焉
(2)證明:(2)bn=(—1尸t
(2a九一1)(2azi+1)
瓦+歷+仇+…+%
1111111
產(chǎn)T------+------
=(l+p+(-廠耳)+(耳+7)+…+[(T)2n-li)2n+1J1
=1+(—1尸—<1+—=^.
2n+l2n+l2n+l
練1-2(2022?山東省濰坊市聯(lián)考)已知數(shù)列{&J滿足%=1,廝+】=儡(兀€"),記
S九為數(shù)列{a九}的前幾項(xiàng)和,則()
2Q
A.2Vs5o<3B.1<S50<3C.3Vs50<4D.4Vs5oV2
【解析】因?yàn)榈?1,廝+1=琮篇(九eN*),所以a>0,1
n“2=5,
所以S50>1+1=|?
由廝+】=嬴今含='+/=(盍+TT
...工<(工+1)20-^<J_+工即_2_____L<1
an+lJan2y/an+ly/an2J%l+1N2
根據(jù)累加法可得,《w1+7=亨,當(dāng)且僅當(dāng)幾=1時(shí)取等號(hào),an>?!,???an+1=
7an,乙(n+1)
。九vn+l
n+31
.En+1v0°<________
n當(dāng)且僅當(dāng)n=l,2時(shí)取等號(hào),
"an~n+3~(n+l)(n+2)
所以550<6X(?升?去+;—+…+=一第=6X(?專)<3.
故選B.
【規(guī)律方法】
數(shù)列求和就是通過(guò)觀察分析數(shù)列的類型,變形得出熟悉的等差、等比數(shù)列,或者構(gòu)建出數(shù)列的
模型,找到求和的方法.裂項(xiàng)相消法較為靈活,一方面對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)求和,故
要熟悉常見(jiàn)的裂項(xiàng)的形式;另一方面對(duì)于本來(lái)無(wú)法裂項(xiàng)的數(shù)列,進(jìn)行適當(dāng)放縮使數(shù)列可進(jìn)
行裂項(xiàng)求和.
技巧策略:(1)常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消法主要是將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩個(gè)式子(或多個(gè)式子)的差的
形式,借助裂開(kāi)的項(xiàng)進(jìn)行合理抵消,方便運(yùn)算;
(2)裂項(xiàng)相消中要注意抵消了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),不要出現(xiàn)遺漏或增加;
(3)消項(xiàng)規(guī)律:對(duì)稱抵消(消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)(或第幾項(xiàng)),后邊就剩幾項(xiàng)(或倒數(shù)第幾項(xiàng))).
常見(jiàn)方法有:
1.常見(jiàn)的裂項(xiàng)形式:要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱性,即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng).
①若5}為等差數(shù)列,則茄七=高仁-士),即分母為同一個(gè)等差數(shù)列中的兩項(xiàng)相乘即
可裂項(xiàng);
2n+l_11)1=1____________1.
n2(n+l)2n2(n+1)2九(n+1)(n+2)2Ln(n+1)(n+l)(n+2).
④1_y/n+k-y/n2n11
Vn+Vn+fck(2n+l)(2n+1+l)2n+l2n+1+l
n+2_11⑦n-2n+1_2n+22n+1
(n2+n)-2n+1-n-2n(九+1>2n+】'^(71+1)(71+2)-n+2n+1
⑧(R.(…鼠)=(H4島+擊);
2.放縮后裂項(xiàng)
①上〈島建島-總;<*<;^(心2);
111
③赤+焉<3=磊<而+焉;④舄君<V2ny/n+n<y/n+n-1
探究2:并項(xiàng)求和
【典例剖析】
例2.(2022?廣東省模擬)已知數(shù)列{a"的各項(xiàng)均不為零,Sn為其前n項(xiàng)和,且與即+1=
2Sn-l.
(1)證明:an+2-an=2;
(2)若的=一1,數(shù)列{%}為等比數(shù)列,&=的,為=43?求數(shù)列{&Ai}的前2022項(xiàng)和72022?
\選題意圖:并項(xiàng)求和最常見(jiàn)的一種類型是,若{冊(cè)}為等差數(shù)列,則數(shù)列{(-1)也際}中的項(xiàng),正負(fù)交替,可先求
!相鄰兩項(xiàng)的和,從而求出前幾項(xiàng)的和.
[思維弓I導(dǎo):第(2)問(wèn)由瓦=。1/2=。3,得出陽(yáng)的通項(xiàng)公式為(一1產(chǎn),故為1al即為(一1尸與等差數(shù)列的乘積,相
!鄰兩項(xiàng)的和為定值,利用并項(xiàng)求和法求72022.
【解析】(1)因?yàn)閍71azi+i=2Sn—1①,
所以冊(cè)+1%1+2=2szi+i—1②,
②-①倚a鹿+1(a九+2—。九)—2a九+1,
因?yàn)閍九+iW0,所以為2+2—=2.
(2)由口1=—1得。3=1,于是力2=。3=1,
由瓦=-1得{匕}的公比q=-1.
nn
所以"=(T),anbn=(-l)an.
=2al—=3.
由由1+2~an=2得。2022—a2021=a2020~。2019=…=。2一=%
因此心022=~al+。2一。3+。4---a2021+。2022
aa
=(tt2—01)+(%一。3)■1---(2022一2021)
=1011x(a2一%)=1011x4=4044.
【變式訓(xùn)練】
練2-1(2022?江蘇省蘇州市聯(lián)考)已知數(shù)列{冊(cè)}各項(xiàng)均為正數(shù),且4=2,a"1-
3九I3?
(1)求{a九}的通項(xiàng)公式;
n
(2)設(shè)匕=(-l)an,求瓦+厲+>3+…+厲0.
【解析】(1)因?yàn)閍n+i~3。n+1=成+3a九,
所以(3i+l+an)(.an+l—。九—3)=0,
因?yàn)椋?J是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列,
所以出計(jì)1—a九=3,
所以數(shù)列{。九}是以2為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,
則冊(cè)=2+3(n-l)=3n-l(nGN*);
nn
(2)方法一:bn=(-l)an=(-l)?(3n-1),
貝%+%+i=(-1)九+i-3,
所以為+歷+力3+…+匕20=(瓦+力2)+(63+力4)+…+(瓦9+,20)=3X10=30.
nn
方法二:bn=(-l)an=(-l)?(3n-1),
則瓦+力2+b3T----卜b20=Si+53+卜瓦9)+32+b4T---卜力20)
=-(2+8+…+56)+(5+11+…+59)
=一1叱+56)+必(;+59)=_290+320=30.
練2-2(2022?重慶市模擬)已知函數(shù)/⑶=sin(s+以其中3>0)在區(qū)間百兀]上單調(diào)遞
減.
(1)求出3的取值范圍;
(2)將/'(X)的圖像向左平移今個(gè)單位就得到函數(shù)g(久)的圖像,記廝=n2-g(mr),nGN*.若
gO)恰為偶函數(shù),求數(shù)列{即}前n項(xiàng)和立的表達(dá)式.
【解析】(1)由題可得3=2之兀一5貝IJ0V3M2,
當(dāng)%eg,7T]時(shí),0)X++p7TC0+7]-(p2"+勺,
因?yàn)?(%)在g,7r]遞減,所以+%7T3+勺G[?/
乙Z44LL
解得3e[^,|];
(2)將f(x)的圖像向左平移(個(gè)單位就得到函數(shù)g(x)的圖像,
因?yàn)闉榕己瘮?shù),
所以f(x)關(guān)于x=3對(duì)稱,
所以3.+*=T+/OT,得3=4k+l(keZ),
又由(1)問(wèn)可知3e4,口,所以3=1,
則9(%)=cos%,
-712,為奇數(shù)
2n
an=ncosn7r=
.4,71為偶數(shù)
當(dāng)九為偶數(shù)時(shí),
2222
Sn=%+。2+。3+…+。九=(—#+2)+(—3+4)+…+[—(71—1)2+(71)]
=2x1+1+2x34-1+2x5+1+?■?+2(n—1)+1=2xx
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),ri-1為偶數(shù),則
21
Sn=Sn-i+an="7)-n=-。;";
n(n+l)
,"為奇數(shù)
2
則%=n(n+l)
,n為偶數(shù)
【規(guī)律方法】
并項(xiàng)求和法適用范圍:數(shù)列不能直接求和,但是可以將幾項(xiàng)進(jìn)行求和(類似于周期性質(zhì)),然
后再進(jìn)行整體求和.
①當(dāng)數(shù)列中常含有(-l)k或者(-l)k+l等符號(hào)時(shí),則其項(xiàng)常常體現(xiàn)為正負(fù)項(xiàng)間隔出現(xiàn),此時(shí)常
將相鄰的正負(fù)兩項(xiàng)(或三項(xiàng)等)并成一組,然后求和,或者考慮將數(shù)列分組為奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列和偶
數(shù)項(xiàng)數(shù)列,然后采用分組求和法;
②當(dāng)數(shù)列中含有即+a“+i=/(n)的形式,或者a“+an+1+an+2=/(n)的形式,將兩項(xiàng)或
三項(xiàng)的和并成一項(xiàng),構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列再求和,再由新數(shù)列的通項(xiàng)公式選擇合適的求和方
法.
探究3:數(shù)列求和的其他方法
【典例剖析】
例3.(2022?福建省泉州市期中)已知數(shù)列5}的前幾項(xiàng)和為土,且5-個(gè)}是公差為擲
等差數(shù)列.
(1)求證:{即}是等差數(shù)列;
(2)用max{p,q}表示p,q中的最大值,若%=1,6n=max{2?!?嗎},求數(shù)列{M蜃}的前"項(xiàng)
和7n.
;選題意圖:求數(shù)列{髭匕}的前幾項(xiàng)和,容易聯(lián)想到要用錯(cuò)位相減法求和,但該題的第二問(wèn)bn的通項(xiàng)公
i式,為分段的形式,要分段求和,增加了試題的難度.
i思維引導(dǎo):第(2)問(wèn)中表示出勾的通項(xiàng)公式,為分段的形式;故求{&AJ的前幾項(xiàng)和要分段討論;
i當(dāng)nN4時(shí),要利用錯(cuò)位相減法求和,注意化簡(jiǎn)要仔細(xì).
【解析】(1)證明:因?yàn)椋麜r(shí)-?}是公差為:的等差數(shù)列,
所以冊(cè)—y+(n—l)x1=
于是當(dāng)n>2時(shí),Sn-Sn_1-^=三
所以顯
nn—i2
可見(jiàn)數(shù)歹喑}是首項(xiàng)為S]=%,公差為g的等差數(shù)歹U,
于是皂=四+三工,S=na+n(n]),
n2n11r2
又當(dāng)71=1時(shí),Si=a「
所以對(duì)neN*,Sn=na1+
當(dāng)幾>2時(shí),an=Sn-Sr1T=+n—1,當(dāng)幾=1時(shí)也成立,
因此時(shí)一冊(cè)_i=l,則{冊(cè)}是首項(xiàng)為的,公差為1的等差數(shù)列;
(2)解:=1,又{G九}的公差為1,所以的I=n,
n
-2fn<2
n22
所以b九=max{2,n}n,n=3,
2n,n>4
(i)當(dāng)幾>4時(shí),7^=1x21+2x22+3x32+???+n?2n
=1x21+2x22+3x23+-+n-2n+3
令&=1X21+2X22+3x23+???+n-2n,
2/^=1X22+2X23+3X24+???+n?2n+1,
所以=21+22+23+---+2n-n-2n+1
=2(R-)-n-2n+1=(1-n)-2n+1-2,
所以'=(n—1)?2兀+1+2,
所以當(dāng)n>4時(shí),祟=(n—1)?2n+1+5,
n+1
3)當(dāng)nW2時(shí),Tn=Fn=(n-l)-2+2,
(iii)當(dāng)n=3時(shí),Tn=T3=37,(或直接分別求=2,T2=10,T3=37).
Xn-1')-2n+1+2,n<2
綜上,Tn=]37,n=3
n+1
<(n-l)-2+5,n>4
【變式訓(xùn)練】
練3-1(2022?廣東省月考)已知等差數(shù)列{廝}中,。5=稱,設(shè)函數(shù)-x)=(4cos2A
oz
2)sinx+cos2x+2,
記%=/(%i),則數(shù)列{%J的前9項(xiàng)和為()
A.0B.10C.16D.18
【解析】函數(shù)/(%)=Icosxsinx+cos2x+2=sin2x+cos2x+2=V2sin(2x+,)+2,
記%=/(%),
所以=/(%)=V2sin(2ar+§+2,y2=/(a2)=V2sin(2a2+§+2,…,
y5=/(a5)=V2sin(2as+力+2,…,y9=/(a9)=V2sin(2a9+))+2,
所以數(shù)列{y九}的前9項(xiàng)和S9=Xi+丫2+…+丫5+…+3/9,①
又S9=+丫8+…+丫5+1"yi?②
因?yàn)樗虏顢?shù)列{&i}中,=方",所以+。9=。2+。8=“3+。7=。4+。6=2。5=~4~f
所以%+丫9=V2sin(2的+,)+2+V2sin[2―aj+j+2
=V2sin(2ar+^—V2sin(2a[+§+4=4,
同理,72+78=%+丫7=丫4+%=丫5+則=4,
由①+②可得,
2s9=(yi+y9)+(y2+犯)+(乃+乃)+(y4+y6)+2y5+(%+yQ+(y7+y3)
+(y8+y2)+(y9+為)
=4x9,
則59=18.
故選D
練3-2(2022?浙江省模擬)已知數(shù)列與{配}滿足勾+逆九+bnan+1=(—3)"+1,
2,n為奇數(shù),neN*,
6n=且%=2.
L九為偶數(shù)
⑴設(shè)“=a2n+1-a2n_lfnCN*,求q,并證明:數(shù)列{c九}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)立為{冊(cè)}的前幾項(xiàng)和,求S2rl.
【解析】⑴當(dāng)幾=2k—1時(shí),kEN*,得知c-i+2a2fc=(一3產(chǎn)一1+1①.
當(dāng)九=2k時(shí),kEN*,得2a2k+。2k+1=(-3)21+1.②,
②一①得。21+1_a2k-i=32上+32fc-1=4-32k-1,即。2九+1一a2n-l=4,32n-1
:.q=。3一◎1=4?32X1-1=12.
0AQ2n+1
???皿=勺1T=9,.??{4}為首項(xiàng)為12,公比為9的等比數(shù)列.
cn4-3
aa
(2)由(1)知:a2k+1=(a2fc+i-a2k-1)+(a2fc-i一。2”3)+…+(。3-i)+i
=%+。-]++q+%
=4-32k-1+4-32k-3+…+4?31+2=-2)+2=(32k+1+1),
所以,2s2n=2al+2a2+…2a2九-1+2a2九
=(。1+2a2)+(。3+2a4)+--1"(a2n-l+2a2n)+(al+他+。5+…a2n-l)
1
1
=[(-3)+1]+[(—3)3+1]+…+[(-3)2n-l+1]+_[(31+1)+(33+1)+…+(32n-l
+1)]
QIQQ2T1+1Q
=―2(31+33+…+32"-1)=2n-^r+^-
332n+13
S21n--愛(ài)"+直
【規(guī)律方法】
常用的數(shù)列求和方法:直接利用兩個(gè)特殊數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)的前幾項(xiàng)和公式、列舉
法、分組轉(zhuǎn)化法、并項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法.
①列舉法:列舉法主要應(yīng)用于數(shù)列項(xiàng)數(shù)較少的數(shù)列求和問(wèn)題,通過(guò)列舉出數(shù)列中的各項(xiàng)后加
以數(shù)列求和.而在實(shí)際解題過(guò)程中,若一直沒(méi)有想到其他思路,也可以借助列舉法來(lái)思考,在列
舉法的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析與歸納,再采用合適的方法來(lái)處理.
②倒序相加法:若一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)、尾項(xiàng)能構(gòu)建出特殊的關(guān)系,則可以反向構(gòu)建關(guān)系,先把數(shù)
列倒著寫一遍再和原來(lái)的數(shù)列相加,從而得到題中所證或所求.
③分組求和法:當(dāng)所求解的數(shù)列本身不是特殊數(shù)列,而通過(guò)適當(dāng)拆分并重新組合后,可以分成
若干個(gè)特殊數(shù)列,分別求和.
④錯(cuò)位相減法:對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題,常用
錯(cuò)位相減法求和.這種
方法主要用于求數(shù)列{。小的前幾項(xiàng)和,其中{廝卜仍"分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,等式兩
端同時(shí)乘以公比后進(jìn)行錯(cuò)位相減,再利用等比數(shù)列的求和公式加以轉(zhuǎn)化即可.
探究4:數(shù)列求和的綜合問(wèn)題
【典例剖析】
例4.(2022?江蘇省南京市聯(lián)考?多選)已知數(shù)列{廝}的前n項(xiàng)和為%,%=1,且
4an-an+1=an-3an+1(n=1,2,貝U
A.3czn+1<anB.C.lng)<n+lD.1<Sn<
[選題意圖:數(shù)列的多選題,涉及的數(shù)列知識(shí)較多,綜合性較強(qiáng),考查學(xué)生能否靈活的運(yùn)用數(shù)列的基本概
;念,基本方法解決問(wèn)題.
;思維引導(dǎo):由遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列,求出冊(cè)的通項(xiàng)公式后逐個(gè)判斷選項(xiàng),其中D選項(xiàng)涉及求和,與的通項(xiàng)公
!式不能直接利用上述求和方法,就要通過(guò)放縮將不特殊數(shù)列化為特殊數(shù)列,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求
、、
13
【解析】由4。九?a九+i=%—3a九+i兩邊同除以冊(cè)?a九+i得:4=-----,
an+lan
所以『一+2=3(;+2),
an+lan
.??數(shù)列{(+2}是以A+2=3為首項(xiàng),公比為3的等比數(shù)列,
所以42=3x3"T=3?,所以廝=方
對(duì)于4選項(xiàng):因?yàn)榧?3n_2>°>
所以4冊(cè)?%+1=a九一3a九+1>0,得到:an>3an+1,所以A正確;
對(duì)于B選項(xiàng):因?yàn)閍九=3nL2,所以所以3錯(cuò)誤;
對(duì)于C選項(xiàng):因?yàn)閍n=六,所以ln(《)<n+l等價(jià)于31一2<”+1,由極限思想易得:當(dāng)
n-?+8時(shí),
3n_2>en+l,所以。錯(cuò)誤;
1111
對(duì)于D選項(xiàng):因?yàn)閮?cè)=鏟與=3口_2)W3”(1-巧=雙產(chǎn)(“22),
3717327
11111
a+
所以Sn=a1+&2+。3+…+n-l+an<1+…7x3n-3+7x3n-2=1+'X
1(一言
31U-二x工(工,
=1+五(1一護(hù):)14143"-114
又因?yàn)?21顯然成立,所以lWSn<%所以。正確.
故選:AD.
【變式訓(xùn)練】
練4-1(2022?廣東省佛山市模擬)某科技研發(fā)公司2021年全年投入的研發(fā)資金為300萬(wàn)
元,在此基礎(chǔ)上,計(jì)劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%,則該公司全年投入的研發(fā)
資金開(kāi)始超過(guò)600萬(wàn)元的年份是()
(參考數(shù)據(jù):lg2=0.301,lg3=0.477,lg5=0.699,Igll=1.041)
A.2027年B,2028年C.2029年D.2030年
【解析】根據(jù)題意設(shè)“neN*)年后公司全年投入的研發(fā)資金為y,
則y=300(1+10%)n,
4-300(1+10%)n>600,
解得">黑=島=品"3,
所以71的最小值
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