函數(shù)概念及其性質(zhì)-2023年高考數(shù)學（新高考）（解析版）

專題05函數(shù)概念及其性質(zhì)

函數(shù)概念及其性質(zhì)

使

忽

用

視

搞

分段忽視不

函

數(shù)

換

元

清

函數(shù)零點復(fù)

的

定

法

忽

合

函

的單存在

義

域

視

新

數(shù)

自

調(diào)性性定

致

錯

變

量

變

量

忽視理使

范

圍

致

錯

高端用范

致

錯

點值圍致

致錯錯

易火如鴿

1.使用換元法求解析式、求函數(shù)值域時，容易忽略引入新變量的取值范圍致錯;

2.求函數(shù)值域、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、判斷函數(shù)的奇偶性時，容易忽略函數(shù)的定義域致錯;

3.研究分段函數(shù)的單調(diào)性時.，容易忽略端點值的大小致錯；

4.求定義域中有零的奇函數(shù)解析式時，容易忽略自變量0的函數(shù)值；

5.處理函數(shù)的單調(diào)性問題時，容易忽略混淆“單調(diào)區(qū)間”和“在區(qū)間上單調(diào)”而致錯:

6.有關(guān)復(fù)合函數(shù)的問題，弄不清自變量而致錯；

務(wù)指令新

一、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間忽視定義域致錯

1.函數(shù)y=MG的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

r3]r3,?

A.l2jB.L2J

C.[0,+∞）D.（-∞,-3]

【錯解】選A令∕=Λ2+3χ,是由y=3與Z=X2+3X復(fù)合而成，又外層函數(shù)y=/在

C3-1「3工]

[0,+8）上單調(diào)遞增，內(nèi)層函數(shù)∕=A2+3X在I2J上單調(diào)遞減，在2J上單調(diào)遞

C3

---------I-8,----

增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可知，函數(shù)y=√γ2+3χ的單調(diào)遞減區(qū)間為I2」.

【錯因】沒有考慮函數(shù)y=、『+3x的定義域,

【正解】選D由題意，N+3χ2o,可得χW-3或Xe0,函數(shù)y=?∣χ2+3x的定義域為

（-8,-3]U[0,+∞）.令f=∕+3χ,則外層函數(shù)V=Λ∕Λ?[O,+8）上單調(diào)遞增，內(nèi)層函數(shù)

Z=A2+3X在(-8,—3］上單調(diào)遞減，在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)y的單調(diào)遞

減區(qū)間為(一8,—3］.

二、判斷函數(shù)的奇偶性忽視定義域致錯

2.判斷函數(shù)/2=卜+1］、/定的奇偶性：

22

【錯解】V/(x)=|x+1∣j?ll=J∣x+l∣∣≡∣=J<l+^)∣ττ=

γiI人V1十√VV1ι^人

.?.f(-χ)=√1-(-X)2=y∣l-χ2=/(χ),所以函數(shù)HX)=∣x+1|為偶函數(shù)。

【錯因】沒有考慮函數(shù)火工)=∣x+ι∣的定義域,

1—Y

【正解】因為Ax)有意義，則滿足——20,所以一l<x≤l,所以AX)的定義域不關(guān)于原點對稱,

1÷x

所以/(x)為非奇非偶函數(shù).

三、有關(guān)分段函數(shù)的不等式問題忽視定義域致錯

(x+I)2,XV1,

3.設(shè)函數(shù)/(x)=<則使得/(x)?l的自變量X的取值范圍為

4-?∣χ-1,x≥l,

【錯解】由已知及/(x)21可得.(x+l)22l或4一

由(x+1)22l=>χ≤-2或x20,由4~~《一121,RNX-1W3,所以l≤x≤10.

綜上所述，X∈［1,10］.

(x+l)2,χ<l,

【錯因】沒有考慮函數(shù)y(χ)=b-MκX》］的定義域，

【正解】因為HX)是分段函數(shù)，所以應(yīng)分段求解.

當XVl時，/(χ)2l=(χ+1)22l=χW-2或x20,所以-2或0≤r<l.

當x與l時，y(x)》l今4一?f≡∏21,即Λ^Ξ1W3,所以IWXW10.

綜上所述，Λ*∈(—OO,—2］U［0,10］.

四、有關(guān)抽象函數(shù)的不等式問題忽視定義域致錯

4.設(shè)q∈R,己知函數(shù)y=∕(x)是定義在［-4,4］上的減函數(shù)，且加+l)M2α),則α的取值范圍是

()

A.［-4,1)B.(1,4］C.(1,2］D.C.(1,+∞)

【借解】Ty=Z(X)是定義在［-4,4］上的減函數(shù)，且Ka+l)M2”),.?.α+l<2",解得l<a,選D.

【錯因】沒有考慮函數(shù)y=Λx)的定義域，

【正解】’.,函數(shù)、=410是定義在［—4,4］上的減函數(shù)，且/(“+I)Y2α),-4W"+l<2αW4,

解得1<ΛW2,故選C.

五、有關(guān)分段函數(shù)的單調(diào)性問題忽視端點值致錯

Y+?XV1

5.已知函數(shù)√(x)=?''在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍為________

x2~2ax,1

【錯解】要使/(x)在R上單調(diào)遞增，必須滿足：人外在(-8,1)上單調(diào)遞增，/(X)

在(1,+8)上單調(diào)遞增；又時，/(X)=X2-2ax+a'-a2=(x-α)2-a2

作出大致圖象如圖所示.結(jié)合圖象可知a≤l,故實數(shù)α的取值范圍為(一co,1].

【錯因】沒有考慮端點值2與1.24的大小關(guān)系,

【正解】要使人丫)在R上單調(diào)遞增，必須滿足三條：第一條：/(x)在(一8,1)上單調(diào)遞增;

第二條：/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增；第三條：(χ2-2"X)I*=∣2(x+l)卜=1.

作出大致圖象如圖所示.結(jié)合圖象可知解得α≤-L

J—2〃22,2

I—OO_1

故實數(shù)α的取值范圍為I2」.

六、有關(guān)奇函數(shù)的解析式忽視自變量0的函數(shù)值致錯

6.已知定義在R上的奇函數(shù)外)，當QO時，道X)=X2+χ-l,則函數(shù)y(x)的解析式為

【錯解】設(shè)XV0,則一X>0,由題意可知/(—x)=(-x)2—X—l=χ2-χ-[,

因為義X)是R上的奇函數(shù)，所以HX)=—一X)=—/+χ+l.

X2+x-l,x>O

綜上所述,/(X)=

—x~+x+l,x<0

【錯因】沒有考慮自變量()的函數(shù)值，

【正解】設(shè)X<0,則一X>0,由題意可知.八一x)=(—x)2—X—1=χ2-X—?1,

因為/(x)是R上的奇函數(shù)，所以/(X)=—f1—x)=-χ2+x+1,且/(O)=0.

x2+χ-1,x>0,

綜上所述，/(x)=.0,x=0,

—x2+x÷1,x<0.

七、使用換元法忽視新變量的取值范圍致錯

7.若｛2')=4*—21則y(x)=.

【錯解】由題意，/(2v)=4*—2'=(2')2—2。設(shè)/=2。則/⑺=F-f,所以/(χ)=χ2-χ.

【錯因】沒有考慮2*的取值范圍，因為2*大于零，所以，大于零，

【正解】由題意，/(2Λ)=4Λ'-2N=(2*)2—2。設(shè)∕=2x>0,則Kr)=I-/,f>0,所以y(χ)=χ2-χ,χ>0.

八、忽視零點存在性定理前提條件而致錯

8.對于函數(shù)於),若/(—1)∕(3)<0,則()

A.方程火X)=O一定有實數(shù)解B.方程√(x)=0一定無實數(shù)解

C.方程/(x)=0一定有兩實根D.方程/(x)=0可能無實數(shù)解

【錯解】因為/(—1)∕(3)<0,由零點存在性定理知函數(shù)/(x)在(-1,3)上必有零點，

故方程/(x)=O一定有實數(shù)解，所以選A。

【錯因】零點存在性定理要求/(x)的圖象在區(qū)間[<?,@上連續(xù)。

【正解】選D因為函數(shù)/(x)的圖象在(-1,3)上未必連續(xù)，所以盡管/(一1?(3)<0,

但方程/(x)=0在(-1,3)上可能無實數(shù)解.

9.若函數(shù)夕=兀0在區(qū)間[a,句上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，則下列說法正確的是()

A.若U6)>0,則不存在實數(shù)c∈[a,0，使得AC)=O

B.若以次b)<0,則存在且只存在一個實數(shù)ce[a,勾，使得√(c)=0

C.若丸α)∕(6)>0,則可能存在實數(shù)c∈[a使得CC)=O

D.若貝吻切<0,則可能不存在實數(shù)c∈[a,切,使得火C)=O

【錯解】選A,因為/(一2)/(2)>0,與零點存在性定理/(a)∕3)<0不符，所以不存在實數(shù)

c∈[a,使得用)=0。

【錯因】零點存在性定理是HX)在區(qū)間[a,b]上存在零點的充分不必要條件。

【正解】選C,取./(X)=X2—1,區(qū)間取為[-2,2],滿足八一2雙2)>0,但是人x)在[-2,2]內(nèi)存在兩

π19兀Cπ?p9τt∣

個零點一1,1,故A說法錯誤，C說法正確：取/(x)=Sin%,區(qū)間取為?V∣,滿足人6從6J=

IMl慳當

^×l?=一50,但是火內(nèi))在1_6'6」內(nèi)存在三個零點π,2π,3π,故B說法錯誤：根據(jù)函數(shù)零

點存在定理可知，D說法錯誤.

九、搞不清復(fù)合函數(shù)的自變量而致錯

10.己知/2一])的定義域為[0,3],則y(2χ-l)的定義域是()

A,L2JB.2」

-31lΓ11f-oo,T

C.1,—1(J----,0D.I2_

2jL2

【錯解】選C:∕(χ2—1)的定義域為[0,3],Λ0≤x≤3,Λ0≤x2-l≤3,Λl≤x2≤4,

Λl≤x≤2或一2WxW—1,所以1W2X-1W2或一2W2Λ~1W-1,

31「31「1-

所以IWxW]或一5WxWO,則./(2χ-l)的定義域是1，萬IU-?,o

【錯因】搞不清復(fù)合函數(shù)的自變量是哪個，人丫2—1)的定義域為10,3],是說OWXW3。

【正解】選B；/仁2—1)的定義域為[0,3],.?.0WxW3,—lWχ2一ι≤8,即HX)的定義域為

9「。，fI

[-1,8].在√(2Λ-I)中一l≤2x一1<8,Λ0≤x≤∣,即函數(shù)人2%—1)的定義域為12_.

十、搞不清函數(shù)圖象左右平移規(guī)則而致錯

10.將函數(shù)y=∕(—X)的圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象.

【錯解】y=∕(一χ)的圖象向右平移1個單位長度，根據(jù)左加右減的原則，可知得到函數(shù)./(一'一1)

的圖象。故答案為y=/(一χ-1)

【錯因】函數(shù)圖象左加右減變換針對的是自變量X,

【正解】y=/(—x)的圖象向右平移1個單位長度，根據(jù)左加右減的原則，可知得到函數(shù)

?[-(?-1)]=/(—X+1)的圖象，故答案為，=/(—x+i)

務(wù)翁超通關(guān)

1.已知函數(shù)於)=ex-e-x+x3+3,若/(Q)=5,則/(一〃)=()

A.2B.1C.-2D.-5

【答案】B

【解析】設(shè)g(x)=∕(x)-3=er-e^^χ+χ3,則g(—x)=e-χ-er-x3=—(ev-e-χ+x3)=^^g(x),所以

g(x)是奇函數(shù).因為g(a)=∕(α)-3=2,所以g(—4)=∕(-a)—3=—2,則/(—a)=l.

2.若函數(shù)y=∕(x)的定義域是[0,2],則函數(shù)g(x)=儂的定義域是()

X—1

A.[0zl]B.[0,1)

C.[0zl)U(lz4]D.(0,1)

【答案】B

?,,f(2χ)[θ≤2x≤2,

【解析】根據(jù)已知可得函數(shù)g(x)="”的定義域需滿足,解得OWxvl,即函數(shù)的定

X—1b≠l,

義域是[0,1).

3.函數(shù)y=lg(x+l)—1的圖象可以由函數(shù)N=Igx的圖象()

A.上移1個單位再左移1個單位得到B.下移1個單位再左移1個單位得到

C.上移1個單位再右移1個單位得到D.下移1個單位再右移1個單位得到

【答案】B

【解析】令/(x)=lgx,則有/(x+l)-I=Ig(X+1)—1.明顯地，對于函數(shù)y=lg(x+l)-l的圖象，

可以由函數(shù)y=lgx的圖象向下移一個單位再向左移一個單位得到，故選B.

4.若a<h<c,則函數(shù)√(x)=(χ-a)(χ-6)+(χ-6)(χ-c)+(X-C)(X—“)的兩個零點分別位于區(qū)間

()

A.(a,6)和(b,C)內(nèi)B.(―∞,a)和(a,8)內(nèi)

C.(b,C)和(c,+8)內(nèi)D.(—co>a)和(c,+oo)

【答案】A

【解析】'."a<b<c,.,.∕(tz)=(a-?)(a-c)>0,/(fe)=(ft-c)(ft-a)<0,/(c)=(c-a)(c-?)>0,由函

數(shù)零點存在性定理可知：在區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi)分別存在零點.又函數(shù)√(x)是二次函數(shù)，最多

有兩個零點，因此函數(shù)√(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b),(h,C)內(nèi).

5.函數(shù)兀0=他+2χ-χ2的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—∞,1]B.[1,+∞)

C.[1,3]D.[-1,1]

【答案】D

【解析】設(shè)z=3+2χ-N,則y=電，由3+2x—1NO,解得一1WXW3,由于z=3+2χ-χ2在[―

LU上單調(diào)遞增，在(1,3]上單調(diào)遞減，又)，=電在定義域上單調(diào)遞增，可得HX)=山+2工一爐的單

調(diào)遞增區(qū)間為[一L1].

6.已知y(x)=8+2χ-χ2,若g(x)=/(2—X2),則g(x)()

A.在區(qū)間(一1,0)內(nèi)是減函數(shù)B.在區(qū)間((M)內(nèi)是減函數(shù)

C.在區(qū)間(一2,0)內(nèi)是增函數(shù)D.在區(qū)間(0,2)內(nèi)是增函數(shù)

【答案】A

【解析】/(x)=8+2χ-/在(―8,1)上單調(diào)遞增，在([,+8)上單調(diào)遞減，

/=2—/在(―8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

當X∈(-8,—])時，∕∈(-8,1),函數(shù)g(x)單調(diào)遞增：

當x∈(—1,0)時，∕∈(1,2),函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當x∈(0,l)時,∕∈(l,2),函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;

當x∈(l,+∞)Bf,∕∈(-81),函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

7.已知函數(shù)y(χ)=,

【答案】B

【解析】由題意得，當1+2x20,即x2-g時，/(l+2x)=2+2x;當1+2XV0,

2x+2,x≥-?,

]2

即XV-L時，/(l+2x)=-2χ-l,所以3+2;V)=1故選B.

2-2χ-1,XV—,

2

8.已知函數(shù)T(X)=J°gg°"<1'滿足對任意X1^X2,都有危D一火X2)<0成立,則實數(shù)。

(4。-I)X+20,x≥1x↑~X2

的取值范圍是()

"""

A.l6JBl6jCl4JD.(1,+∞)

【答案】B

【解析】因為函數(shù)對任意片#X2,都有ZS)一/2)《)成立,

X?-X2

O<a<l,

所以函數(shù)人x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以.4a—]<0,解得0<?∕W;

Jogill≥(4tz-1)?1+2a,

9.設(shè)函數(shù)y=∕(x)的定義域為R,則函數(shù)N=/(X—3)與函數(shù)y=/U—x)的圖象關(guān)于()

A.直線V=I對稱B.直線x=l對稱

C.直線夕=2對稱D.直線x=2對稱

【答案】D

【解析】設(shè)函數(shù).y=∕(χ-3)的圖象上任意一點尸(XO,?o),則>?=∕(xo-?3),且尸(x°,則)關(guān)于直線X

=2的對稱點為。(4—?χo,?o).又函數(shù)y=√(l—X)中，當x=4—xo時，y=∕∏-(4—揚)]=/(Xo—3),

所以0(4—xo,yo)在y=/(l—x)的圖象上.故函數(shù)y=∕(χ-3)與函數(shù)y=∕(l—x)的圖象關(guān)于直線X

=2對稱，故選D.

3ex,x≤0,

10.已知函數(shù)兀v)=?若人/—3)不(一2"),則實數(shù)。的取值范圍是()

—4x÷3,x>0>

A.(―∞,1]B.(-∞,-3]U[1,+∞)

C.(一8,∣]U[3,+∞)D.[-3,1]

【答案】D

【解析】當XWO時，/(x)=3er單調(diào)遞減；當x>0時，/(x)=-4x+3單調(diào)遞減.

又3e0=-4×0+3,則函數(shù)y=∕(x)在R上連續(xù)，則函數(shù)y={r)在R上單調(diào)遞減.

由/(。2一3)2/(一2。)，可得/-3W-20,即q2+24-3W0,

解得一3WαWL因此，實數(shù)α的取值范圍是1一3口.

11.己知函數(shù)√(x)=J°g"'0<T<1,滿足對任意為#X2,都有&匕妙<0成立，則實數(shù)

(4a-l)x+2α,x21x↑~X2

〃的取值范圍是()

A.flo,16j]B.fIo,?6一lC.1fo√4jlD.(1,+,∞)

【答案】B

【解析】因為函數(shù)對任意XlWX2,都有曲匕空久0成立，

XLX2

O<tz<l,

所以函數(shù)./(X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以?4CL1V0,解得0<αwL

IogaI2(4〃-1)?1+2af

12.已知函數(shù)√(x)=L—OJS>1),則不等式負2Λ2)+HX-I)>0的解集是()

ax

A.(-8,-I)∪β÷°0]B,H?]C?E，-3u(l,+8)D3

【答案】D

【解析】∕(x)的定義域為R,且/(一x)=r-?L=-/(X),所以/(x)為奇函數(shù).由于α>l,所以/(x)

ax

在R上遞減.由/(2χ2)+y(χ-l)>0,得./(2χ2)>-∕(X-I)=√∏-χ),所以2χ2<l-χ,即2χ2+χ-l

=(2x-l)(x+1)<0,解得一l<x<3.所以不等式的解集是[I'J.

13.某單位計劃建一矩形場地，現(xiàn)有總長度為IOOm的可作為圍墻的材料，則場地的面積S(單

位：m2)與場地的長x(單位：m)的函數(shù)關(guān)系式為.

【答案】5=X(50-X)(0<X<50)

【解析】由于場地的長為xm,則寬為(50-χ)m,由題意得S=x(50-χ).易知x>0,50-χ>0,

所以自變量X的取值范圍為0<χV50.故所求函數(shù)的關(guān)系式為S=X(50-X)(0<X<50).

14.已知函數(shù)/U)=/-2αχ+6是定義在區(qū)間[—2e36—1]上的偶函數(shù)，則函數(shù)/(x)的值域為

【答案】口⑸

【解析】:危)為偶函數(shù)，.?Λ-χ)=∕(x),即α=0.又.仆:)的定義域為[-2。3匕-1],

Λ-2?+3δ-l=0,解得6=l..?√(x)=x2+l,x∈[-2,2],函數(shù)/(x)的值域為口,5].

(k∑Lf∣(k±f∣

15.已知函數(shù)J(X)滿足認XJ+AXJ=l+x,其中x∈R且x#0,則函數(shù)外)的解析式為

【答案】/(x)=1-(x≠l).

3X—1

【解析】由題意，用一X代換解析式中的X,