新設(shè)計一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)（文）通用版講義第一章第一節(jié)集合

第一節(jié)集__合一、基礎(chǔ)知識批注——理解深一點1．集合的有關(guān)概念(1)集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性．元素互異性，即集合中不能出現(xiàn)相同的元素，此性質(zhì)常用于求解含參數(shù)的集合問題中．(2)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．(3)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為eq\a\vs4\al(∈)；不屬于，記為eq\a\vs4\al(?).(4)五個特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集．2．集合間的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱A是B的子集，記作A?B(或B?A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一個元素不屬于A，則稱A是B的真子集，記作AB或BA.AB?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A?B，,A≠B.))既要說明A中任何一個元素都屬于B，也要說明B中存在一個元素不屬于A.(3)集合相等：如果A?B，并且B?A，則A＝B.兩集合相等：A＝B?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A?B，,A?B.))A中任意一個元素都符合B中元素的特性，B中任意一個元素也符合A中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．記作?.0，{0}，?，{?}之間的關(guān)系：?≠{?}，?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．3．集合間的基本運算(1)交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．求集合A的補集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實是給定的條件.從全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為?UA.二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(1)子集的性質(zhì)：A?A，??A，A∩B?A，A∩B?B.(2)交集的性質(zhì)：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(3)并集的性質(zhì)：A∪B＝B∪A，A∪B?A，A∪B?B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A.(4)補集的性質(zhì)：A∪?UA＝U，A∩?UA＝?，?U(?UA)＝A，?AA＝?，?A?＝A.(5)含有n個元素的集合共有2n個子集，其中有2n－1個真子集，2n－1個非空子集．(6)等價關(guān)系：A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?A?B.三、基礎(chǔ)小題強化——功底牢一點eq\a\vs4\al(一判一判)eq\a\vs4\al(對的打“√”，錯的打“×”)(1)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.()(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(4)任何一個集合都至少有兩個子集．()(5)若AB，則A?B且A≠B.()(6)對于任意兩個集合A，B，關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立．()(7)若A∩B＝A∩C，則B＝C.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√(7)×(二)選一選1．已知集合A＝{x∈R|0<3－x≤2}，B＝{x∈R|0≤x≤2}，則A∪B＝()A．[0,3] B．[1,2]C．[0,3) D．[1,3]解析：選C因為A＝{x∈R|0<3－x≤2}＝{x∈R|1≤x<3}，所以A∪B＝{x∈R|0≤x<3}.2．若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(10)}，a＝2eq\r(2)，則下面結(jié)論中正確的是()A．{a}?A B．a(chǎn)?AC．{a}∈A D．a(chǎn)?A解析：選D因為2eq\r(2)不是自然數(shù)，所以a?A.3．(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為()A．9 B．8C．5 D．4解析：選A法一：將滿足x2＋y2≤3的整數(shù)x，y全部列舉出來，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9個．故選A.法二：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個整點，即為集合A的元素個數(shù)，故選A.(三)填一填4．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，則A∩B＝________.解析：由集合交集的定義可得A∩B＝{x|－2<x<－1}．答案：{x|－2<x<－1}5．已知集合U＝{－1,0,1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，則?UA＝________.解析：∵A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0,1}，∴?UA＝{－1}．答案：{－1}eq\a\vs4\al(考點一集合的基本概念)[典例](1)(2017·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0(2)已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，則a2019＋b2019的值為()A．1 B．0C．－1 D．±1[解析](1)因為A表示圓x2＋y2＝1上的點的集合，B表示直線y＝x上的點的集合，直線y＝x與圓x2＋y2＝1有兩個交點，所以A∩B中元素的個數(shù)為2.(2)由已知得a≠0，則eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.[答案](1)B(2)C[解題技法]與集合中的元素有關(guān)的解題策略(1)確定集合中的代表元素是什么，即集合是數(shù)集還是點集．(2)看這些元素滿足什么限制條件．(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．[提醒]集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．[題組訓(xùn)練]1．設(shè)集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x?A}，則集合B中元素的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A若x∈B，則－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，當(dāng)0∈B時，1－0＝1∈A；當(dāng)－1∈B時，1－(－1)＝2∈A；當(dāng)－2∈B時，1－(－2)＝3∈A；當(dāng)－3∈B時，1－(－3)＝4?A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的個數(shù)為1.2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a等于()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)解析：選D若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根．當(dāng)a＝0時，x＝eq\f(2,3)，符合題意．當(dāng)a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq\f(9,8)，所以a的值為0或eq\f(9,8).3.（2018·廈門模擬）已知P={x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3個元素，則k的取值范圍為.解析：因為P中恰有3個元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范圍為5<k≤6.答案：（5，6］eq\a\vs4\al(考點二集合間的基本關(guān)系)[典例](1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則()A．B?A B．A＝BC．AB D．BA(2)(2019·湖北八校聯(lián)考)已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，則滿足條件B?A的集合B的個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．8(3)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若B?A，則m的取值范圍為________．[解析](1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由題意知B＝{1,2,3,4}，比較A，B中的元素可知AB，故選C.(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0<x<3}＝{1,2}，又B?A，∴滿足條件B?A的集合B的個數(shù)為22＝4，故選C.(3)當(dāng)m≤0時，B＝?，顯然B?A.當(dāng)m>0時，因為A＝{x|－1<x<3}．若B?A，在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合，如圖，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m<m.))所以0<m≤1.綜上所述，m的取值范圍為(－∞，1]．[答案](1)C(2)C(3)(－∞，1][變透練清]1.eq\a\vs4\al((變條件))若本例(2)中A不變，C＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?B?C的集合B的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D因為A＝{1,2}，由題意知C＝{1,2,3,4}，所以滿足條件的B可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.eq\a\vs4\al((變條件))若本例(3)中，把條件“B?A”變?yōu)椤癆?B”，其他條件不變，則m的取值范圍為________．解析：若A?B，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≤－1，,m≥3))得m≥3，∴m的取值范圍為[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________．解析：①若B＝?，則Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2；②若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時B＝{1}，符合題意；③若2∈B，則22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此時B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不合題意．綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為[－2,2)．答案：[－2,2)[解題技法]判定集合間基本關(guān)系的兩種方法和一個關(guān)鍵兩種方法①化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合的關(guān)系；②用列舉法(或圖示法等)表示各個集合，從元素(或圖形)中尋找關(guān)系一個關(guān)鍵關(guān)鍵是看它們是否具有包含關(guān)系，若有包含關(guān)系就是子集關(guān)系，包括相等和真子集兩種關(guān)系eq\a\vs4\al(考點三集合的基本運算)考法(一)集合的運算[典例](1)(2018·天津高考)設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，則(A∪B)∩C＝()A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，則如圖所示陰影部分所表示的集合為()A．{x|－2≤x<4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤2}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．(2)依題意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，題中的陰影部分所表示的集合為(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．[答案](1)C(2)D[解題技法]集合基本運算的方法技巧(1)當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進(jìn)行運算，也可借助Venn圖運算．(2)當(dāng)集合是用不等式表示時，可運用數(shù)軸求解．對于端點處的取舍，可以單獨檢驗．(3)集合的交、并、補運算口訣如下：交集元素仔細(xì)找，屬于A且屬于B；并集元素勿遺漏，切記重復(fù)僅取一；全集U是大范圍，去掉U中a元素，剩余元素成補集．考法(二)根據(jù)集合運算結(jié)果求參數(shù)[典例](1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－4,3) B．[－3,4]C．(－3,4) D．(－∞，4](2)(2019·河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，則a＝()A．3 B．2C．2或3 D．3或1[解析](1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故選B.(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，則a＝3，此時B＝{4,6}，符合題意；若2a＝4，則a＝2，此時B＝{3,4}，不符合題意．綜上，a＝3，故選A.[答案](1)B(2)A[解題技法]根據(jù)集合的運算結(jié)果求參數(shù)值或范圍的方法(1)將集合中的運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個集合之間的關(guān)系．若集合中的元素能一一列舉，則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系；若集合是與不等式有關(guān)的集合，則一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到．(2)將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問題求解．(3)根據(jù)求解結(jié)果來確定參數(shù)的值或取值范圍．[題組訓(xùn)練]1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，則A∪B＝()A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：選C因為集合B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，而A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．2．(2019·重慶六校聯(lián)考)已知集合A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lgx<2}，則(?RA)∩B＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，100)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，100)) D．?解析：選A由題意得A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，B＝(0,100)，則?RA＝(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，所以(?RA)∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，100)).3．(2019·合肥質(zhì)量檢測)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a≤x≤2a－1))))，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．(1，＋∞)解析：選A因為A∩B≠?，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1≥1，2a－1≥\f(1,2)a，))解得a≥1.eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．(2019·福州質(zhì)量檢測)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1<x≤4}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B依題意，集合A是由所有的奇數(shù)組成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的個數(shù)為2.2．設(shè)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，則?U(A∪B)＝()A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}解析：選A因為A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以?U(A∪B)＝{2,6}．3．(2018·天津高考)設(shè)全集為R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，則A∩(?RB)＝()A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}解析：選B∵全集為R，B＝{x|x≥1}，∴?RB＝{x|x＜1}．∵集合A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩(?RB)＝{x|0＜x＜1}．4．(2018·南寧畢業(yè)班摸底)設(shè)集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，則下列關(guān)系中正確的是()A．M∩N＝M B．M∪(?RN)＝MC．N∪(?RM)＝R D．M∪N＝M解析：選D由題意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以M∪N＝M.5．設(shè)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤2x<\r(2)))))，B＝{x|lnx≤0}，則A∩B為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．[－1,0)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．[－1,1]解析：選A∵eq\f(1,2)≤2x<eq\r(2)，即2－1≤2x<2，∴－1≤x<eq\f(1,2)，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x<\f(1,2))))).∵lnx≤0，即lnx≤ln1，∴0<x≤1，∴B＝{x|0<x≤1}，∴A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2))))).6．(2019·鄭州質(zhì)量測試)設(shè)集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，則a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．(－∞，1]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)解析：選D由A∩B＝A，可得A?B，又因為A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.7．已知全集U＝A∪B中有m個元素，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(?UA))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(?UB))中有n個元素．若A∩B非空，則A∩B的元素個數(shù)為()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：選D因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(?UA))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(?UB))中有n個元素，如圖中陰影部分所示，又U＝A∪B中有m個元素，故A∩B中有m－n個元素．8．定義集合的商集運算為eq\f(A,B)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m,n)，m∈A，n∈B))))，已知集合A＝{2,4,6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)－1，k∈A))))，則集合eq\f(B,A)∪B中的元素個數(shù)為()A．6 B．7C．8 D．9解析：選B由題意知，B＝{0,1,2}，eq\f(B,A)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)))，則eq\f(B,A)∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)，2))，共有7個元素．9．設(shè)集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，則A∩B＝________.解析：依題意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}10．已知集合U＝R，集合A＝[－5,2]，B＝(1,4)，則下圖中陰影部